CHAPITRE SBPTiftHB

pour déterminer les allolBiremcBts d'une berre de fer, sons divers poids.

par

NOMBRES propor- UodmU

ÂLLONCBMKNT RELATIF

exprimé en miUiènee de la loncuenr primltlre

QUOTIENT DE LA CHARGE rapportée an mètre carré,

dirisée par l'allongement relatif

mlUinèCracarrAi

charges.

ToUl.

Élastique.

Total.

Elastiqne.

io»xa2,8

o,oo3

o,oo5

i3,iî»

i5,oo

i,oi3

i,ai6

U même après !■*

ii,7So

3o,oo

2,ll5

raptvre de la tige.

BONKÉBS BXP^RIKKNTALBS. Sgi

Si, pour rendre plus sensibles les résultats du tableau précédent, nous portons sur un axe kx {fi^. 56) les charges par

Fig. 56.

SOkr. p'mmq.

millimètre carré, et en ordonnées parallèles à Aj les allongements totaux ou élastiques, après avoir corrigé quelques irrégularités qui viennent sans doute des erreurs d'expérience, nous constaterons :

Que les allongements totaux du fer sont sensiblement proportionnels aux charges, tant que celles-ci ne dépassent pas la limite de i5 kilogrammes par millimètre carré; que, au delà de cette limite, les allongements totaux croissent suivant une loi qui devient progressivement beaucoup plus rapide, de telle sorte que le coefficient d'élasticité se trouve à la fin quinze ou vingt fois plus petit qu'au commencement;

Que les allongements élastiques restent toujours à peu près proportionnels aux charges, même quand celles-ci se rapprochent de celle qui entraîne la rupture immédiate;

Que la valeur du coefficient d'élasticité longitudinale E, pour l'extension du fer, est en nombres ronds de a.io'S le mètre carré étant pris pour unité de surface et le kilogramme pour unité de force.

L'ensemble des expériences de M. Hodgkinson a confirmé

3gi2 CBAPlTlfi SSPTlftME*

ces résultatç. Voici encore d'autres propriétés qui ont été observées par ce physicien. Les charges les plus faibles donnent lieu, dans le fer, à une déformation permanente;, mais on voit que les allongements permanents sont très-petits tant que les allongements totaux restent proportionnels aux charges. En «effet, pour la charge de i5 kilogrammes par millimètre carré, rallongement permanent n'est encore que 0,0 1 de millimètre

par mètre, soit -^ de l'allongement total. Un caractère remarquable de cet allongement permanent, c'est qu'il n'augmente plus lorsque, après avoir laissé reposer quelque temps la barre, on la soumet de nouveau à une traction plus faible. Ainsi une barre de fer, de 10 mètres de longueur primitive, ayant été soumise à une traction de 22''**,5 par millimètre carré, conservera, après l'enlèvement de la charge, une longueur de io",oi i3, d'après le tableau ci-dessus; cette barre de io",oi i3, soumise ensuite à de nouvelles tensions moindres que 2py^\5 par millimètre carré, reprendra toujours la longueur de i9*",oii3 après l'enlèvement de la charge, et éprouvera pour .chaque tension un allongement proportionnel à cette tension, pourvu, bien entendu, que dans la mesure de l'allongement on considère io",oii3 comme la longueur primitive. 11 y a' donc dans le fait de soumettre une barre à une certaine tension en quelque sorte un fabrication nouvelle qui, comme le martelage ou le passage au laminoir, change dans une certaine mesure Jes qualités physiques du métal.

145. Remarques sur les résultats précédents. Limites dans lesquelles on peut appliquer les formules de la Résistance des ifa/ériû«^. — Anciennement on admettait que tout corps soumis à une force reprenait sa forme primitive quand la force cessait d'agir, pourvu que cette force fût en dessous d'une certaine limite. C'est en cela qu'on faisait consister l'élasticité de la matière, et l'on disait que la limite de l'élasticité se trouvait dépassée quand, après ia suppression de la force, il y avait un retour incomplet vers la forme primitive. Aujourd'hui, cette notion de la limite d'élasticité ne peut plus être admise en toute rigueur, puisqu'il y a toujours après l'action d'une force une

DONNÉES EXPÉBIVBNTALES. SgS

déformation permanente. Le retour incomplet vers la form;e primitive après l'action d'une certaine force ne prouvé pas que la matière ait perdu son élasticité, mais seulement que la force a dépassé la limite de celles auxquelles on avait précédemment soumis le corps dans des circonstances analogues, ce qui en fait un corps nouveau ayant ses molécules dans un état d'équilibre différent du premier.

Les formules fondamentales de la Résistance des Matériaux reposent sur plusieurs hypothèses, et entre autres sur celle de la proportionnalité des allongements et des forces qui les produisent. En ce qui concerne le fer, on voit que cette pror portionnalité existe en effet pour des charges bien supérieures à celles que les constructeurs regardent comme limites des efforts auxquels on peut soumettre les pièces de fer; mais quand on se rapproche du point de rupture, la loi change complètement, et les allongements croissent dans une proportion bien plus rapide que les charges.

Ces remarques sont importantes. Souvent on donne aux formules théoriques de la Résistance des Matériaux une généralité qu'elles ne doivent pas avoir, en continuant de les appliquer quelles que soient les tensions intérieures des pièces que l'on considère. C'est ainsi qu'on détermine le poids qui, suspendu au milieu d'une poutre reposant sur deux appuis, serait capable de la rompre, en exprimant par le calcul que la tension longitudinale maximum des fibres atteint la limite indiquée paf l'expérience pour produire la rupture. Mais, dans cette question et dans toutes les applications analogues qu'on pourrait imaginer, on oublie que l'expression de la tension maximum repose sur l'hypothèse de la proportionnalité entre les tensions et les allongements, laquelle cesse d'être vraie dans les environs de la rupture. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner, quand on procède ainsi, du désaccord entre les données de l'expérience et les résultats du calcul, car il y aurait lieu plutôt de s'étonner du fait contraire; et les reproches qui, pour cette cause, ont été adressés à la théorie, paraissent en réalité peu fondés. Les forniules ne doivent être soumises à la véririca7 tion expérimentale qu'en se tenant dans de justes limites quant à la grandeur des déformations et des forces moléculaires

394 chàpitrb septième.

mises en jeu; nous ne croyons pas, moyennant celle reslriclion, que l'expérience soil venue les démentir, et nous pourrons au conlraire citer bien des faits pour les confirmer, comme la suile le montrera.

146. Expériences sur l'extension de la fonte. — M. Hodgkinson a constaté pour l'extension de la fonte des propriétés toul à fait analogues à celles qu'on a vues au sujet du fer. Il se produit toujours, même pour les charges, les plus faibles, un allongement permanent qui subsiste après l'enlèvement de la charge. La proportionnalité entre les allongements et les tensions subsiste assez approximativement jusqu'à une charge moitié de celle qui produirait la rupture immédiate; elle subsisterait même au delà si l'on ne considérait que les allongements élastiques.

D'après les résultats moyens des expériences de M- Hodgkinson, le coefficient d'élaslicité longitudinale pour l'extension de la fonte serait environ de 9. io\ Précédemment on admettait le chiffre de 12. lo». M. Stephenson a proposés. 10»; enfin, il y a quelques années, MM. Desplaces et Collet-Meygret ont attribué à ce coefficient, dans les arcs du viaduc de Tarascon, la valeur de 6. 10% et, d'après leurs expériences, ce ne serait là qu'une moyenne de nombres variant depuis 3. lo» jusqu'à 12.10». Des divergences aussi considérables ne viennent pas sans doute uniquement de la différence d'origine des fontes essayées, laquelle a cependant une influence marquée sur une matière de propriétés physiques aussi changeantes. Suivant MM. Desplaces et CoUet-Meygrel, il y aurait en réalité, dans toute pièce de fonte de dimensions transversales un peu fortes, deux métaux essentiellement différents : le métal extérieur, occupant la surface de la pièce sur une profondeur de quelques millimètres, et le métal intérieur. Le premier, refroidi plus rapidement par le contact du moule au moment du coulage, serait plus dur, plus dense, doué d'un coefficient plus considérable que le second, pour lequel le resserrement des molécules aurait été gêné et contrarié par l'enveloppe déjà refroidie. En admettant cette distinction comme fondée, on comprend aisément que l'essai d'une pièce mince fasse attribuer une valeur

DONNÉES EXPÉRIMENTALES. SqS

plus forte au coefficient d'élasticité longitudinale de la fonte que l'essai d'une pièce à grande épaisseur; car dans le premier cas l'influence .du métal extérieur serait dominante» et dans le second elle serait plus ou moins effacée.

Il est bien difQcile, quand on doit faire des calculs sur les déformations d'une pièce de fonte, de fixer à priori la valeur exacte du coefficient dont il s'agit. Suivant que la pièce aura des épaisseurs faibles, moyennes ou fortes, il conviendra de se rapprocher des nombres 12.10», 9.10% 6.10% à défaut de données plus précises. Mais il vaudrait mieux faire quelques expériences directes sur des morceaux analogues, pour les dimensions et la provenance, avec ceux qu'on doit définitivement employer. D'ailleurs, si l'on avait besoin de connaître le coefficient d'élasticité longitudinale maximum dans une sec»tlon, il serait assez plausible de le supposer toujours égal à 12. 10».

147. Expériences sur l'extension des bois. — Les résultats suivants ont été donnés par MM. Chevandier et Wertheim, comme conséquence de nombreux essais :

I*» La densité d'un bois varie peu avec l'âge; mais le coefficient d'élasticité longitudinale E diminue à partir d'un ceiv tain âge; il dépend, en outre, de la sécheresse, de l'exposition et de la constitution géologique du terrain. Il est plus grand pour les expositions nord, nord-est, nord-ouest et pour les terrains secs, toutes choses étant égales d'ailleurs.

a® La résistance à l'extension est soumise à des influences analogue^.

3*» Les arbres coupés en pleine sève et ceux d'une même essence qui sont coupés avant la sève ont à peu près la même élasticité.

4^ L'épaisseur des couches ligneuses n'a pas d'influence notable sur le coefficient d'élasticité longitudinale, excepté quand il s'agit du sapin ; la valeur de ce coefficient est d'au» tant plus grande, que l'épaisseur des couches est plus petite.

5^ Il se produit toujours un allongement permanent en même temps qu'un allongement élastique.

Quant à la valeur du coefficient d'élasticité longitudinale

pour l'extension des bois, elle est naturellement très-varîabj0, suivant les essences et les circonstances particulières qui influent sur la qualité de chaque échantillon* Bans le cas du chêne et du sapin, on a trouvé généralement E variable de g.io^ à 12. 10*; mais ces chiffres sont loin d'être absolus, et nous ne les citons que pour donner une idée de l'ordre de grandeur du nombre dont nous parlons.

148. Résistance de diverses matières à l'extension; limites pratiques de la tension longitudinale par unité de surface» — La résistance du fer à la rupture par extension est assez variable avec la nature des fers essayés et leur mode de fabrication. Certains fils de fer de très-bonne qualité peuvent ne se rompre que sous une charge de 90 kilogrammes par millimètre carré^ tandis que aS suffiraient pour des fers en barre médiocres et de gros échantillon. On peut admettre comme charges moyennes produisant la rupture par extension des pièces en fer:

70''^* pour le fil de fer, les limites extrêmes étant 5o et 90 40^'* pour le fer en barre » » 25 et 60

38*^*^ pour la tôle » » 35 et 40

La tôle est, comme on le voit, sujette à des variations moins considérables.

Lorsqu'il s'agit de la fonte, il faut s'attendre à trouver des variations encore bien plus grandes que pour le fer. M. Hodgkinson a reconnu que la rupture s'opérait pour des charges comprises entre 9 et i4 kilogrammes par millimètre carré; la section des barres essayées était de 10 centimètres carrés au moins et de 26 au plus. MM. Minard et Desormes, eni8ï5, avaient indiqué un chiffre sensiblement égal à la ipoyenne de M. Hodgkinson. Mais ces chiffres paraissent devoir être considérablement diminués dans le cas de dimensions transversales assez fortes. Ainsi, dans la construction du pont tubulaire sur le détroit de Menai, le fond du cylindre d'une presse hydraulique s'est détaché sous une tension qui ne dépassait guère 2 kilogrammes par millimètre carré. Une aussi grande

DONNÉES EXPÉRIMENTALBS. San

réduction de résistance tenait sans doute d'abord à Tépaisseur des parois latérales du cylindre, qui allait jusqu'à o'",a54. I* y a probablement ici une influence analogue à celle que nous ayons signalée précédemment en nous occupant du coeffleient d'élasticité £ (n^* 146). Peut-être aussi n'avait-on pas assez pris soin d'éviter les inégalités d'épaisseur des parties adjacentes, ce qui donne souvent lieu à des défauts intérieurs dans la pièce, au moment où elle se solidifie dans le moule qui a servi à la couler.

Parmi les bois de construction ordinaires, le chêne et le sapin du Nprd se rompent par extension sous des charges de 6 à. 9 kilogrammes par millimètre carré; pour le sapin des Vosges, ce chiffre est réduit à 4 kilogrammes environ. . On n'a point déterminé jusqu'à présent d'une manière bien précise les limites que peut atteindre la tension longitudinale permanente des matériaux de diverses natures dans les constructions. Les expériences sont en effet difflciles, à cause de l'influence mal connue de la durée des efforts, ce qui exigerait qu'on les prolongeât pendant des années; cette difficulté s'augmente encore à cause de la variété infinie de circonstances secondaires que présente la pratique. Quand il s'agit des métaux, on recommande en général d'adopter comme limite des

tensions permanentes ^ de celle qui entraîne la rupture immédiate, et d'aller à — au plus pour les autres matières. Ce que

l'on doit dire pour justifier ces chiffres, c'est que l'habitude et le sentiment des constructeurs les ont consacrés, et que d'asàez nombreuses applications sur des échelles très-variées n'ont pas encore fait reconnaître l'utilité de les modifier. On verra cependant plus loin que le rapport de 77 ne donne pas une sécurité exagérée, au moins quand on emploie la fonte.

Les rapports ci-dessus ^ et — sont observés non-seulement quand il s'agit de l'extension simple, mais aussi des diverses natures d'actions que nous allons passer successivement en revue.

3g8 CHAPirn SEPTikMB.

§ n. — Compression.

149. Élasticité longitudinale du fer et de la fonte comprimés. — Les expériences faites par M. Hodgkinson sur la compression du fer et de la fonte ont donné divers résultats analogues à ceux qu'on a déjà vus tout à l'heure, au sujet de l'extension. Ainsi, tant que la charge d'une barre de fer ne dépasse pas i5 à 18 kilogrammes par millimètre carré, les raccour-f cissements restent sensiblement proportionnels aux charges qui les produisent; mais au delà les raccourcissements croissent Suivant une loi de plus en plus rapide. Les charges les plus faibles donnent lieu à un raccourcissement permanent, qui subsiste après la charge, mais qui n'est qu'une petite fraction du raccourcissement total, tant que la charge est elle-même peu considérable.

Le coefQcient d'élasticité longitudinale du fer, relatif à la compression^, serait, d'après l'expérimentateur que nous citons, un peu inférieur à celui de l'extension, et la différence relative serait de i5à 20 pour 100 environ. Pour la fonte, l'inégalité subsisterait dans le même sens, mais serait de quelques centièmes seulement. Le fait dont il s'agit n'est pas encore établi d'une manière bien irrécusable ; il a d'ailleurs peu d'importance pratique. On peut donc toujours admettre l'égalité des deux coefficients d'élasticité longitudinale; ce qui ne signifie pas, comme on le dit quelquefois, que la charge de rupture est la même dans les deux cas de l'extension et de la compression.

On connaît peu d'expériences entreprises dans le but de mesurer spécialement le coefficient d'élasticité longitudinale, relatif à la compression, pour d'autres matières que le fer et la fonte. D'autres exemples de l'inégalité dont nous venons de parler n'ont été signalés par aucun observateur.

150. Généralités sur la rupture par compression; deux cas à distinguer. Premier cas. — On comprend difficilement au premier abord comment un corps peut se rompre par compression. La rupture, en effet, consiste dans la séparation des diverses molécules, et il semble que la compression ne peut

POimÉES BXPÉRIMBNTALES* 3qQ

produire cet effet, puisqu'elle tend au contraire à les rapprocher les unes des autres. Cela serait vrai s'il n'y avait qu^une compression simple telle que nous l'avons étudiée au corn-mencement du Cours {n^ 13 et 14); mais la compression est presque toujours accompagnée d'effets secondaires, et c'est à eux qu'est due la disjonction des parties, quand les forces deviennent assez grandes. Ainsi, par exemple, dans le cas d'un prisme dé longueur notable, chargé suivant son axe, la charge en croissant progressivement finira par produire la flexion du prisme (n" 84); alors il y aura des fibres tendues et la rupture pourra s'ensuivre. Si la longueur du prisme est trop faible pour que la flexion soit possible (n®84), on observe que la compression longitudinale est accompagnée d'une dilatation latérale^ et dç déformation par glissement de certaines parties relativement à d'autres, ce qui finit par amener la division du corps en plusieurs fragments.

Les explications précédentes n'ont pas seulement pour but de faire comprendre la possibilité de la rupture par compression; elles montrent en outre qu'il y a deux cas essentiellement différents à distinguer, parce que la cause de rupture n'y est point la même. Ces deux cas sont: i*" celui de la rupture par compression d'un prisme trop court pour fléchir sous l'action d'une force dirigée suivant son axe; a*» celui de la rupture par compression d'un prisme dont la longueur est assez considérable pour rendre la flexion possible.

Dans le premier cas, la charge capable de produire l'écrasement est indépendante de la longueur et proportionnelle à la section transversale. Elle est de ^5 kilogrammes environ par millimètre carré quand il s'agit du fer; s'il s'agit de la fonte, d'après M. Hodgkinson, le chiffre est moyennement de 63 kilogrammes par millimètre carré, c'est-à-dire cinq fois et demie ce que nous avons indiqué pour l'extension (a"" 148) : ces nombres sont d'ailleurs très-variables. Suivant Rondelet, le chêne et le sapin du Nord s'écraseraient sous une charge de 4 ^^logrammes à 4^", 5 par millimètre carré; mais celle résistance peut être augmentée par la dessiccation, ainsi que M. Hodgkinson l'a constaté; et même l'augmentation peut aller jusqu'à doubler le chiffre relatif à certaines essences de bois.

4oO CHAPITBB SEPTifeSE.

Les pierres et les maçonneries ont donné des résultats extrêmement variables. Nous reproduirons plus loin, dans une des tables numériques placées à la fin de ce volume, quelques chiffres bons à connaître.

151. Deuxième cas : rupture par compression des prismes qui peuvent fléchir. — On a déjà vu (n*»84.) quelle est la condition théorique nécessaire pour qu'un prisme puisse fléchir sous Faction d'une force dirigée suivant la fibre moyenne. En appelant :

aa.la longueur dû prisme;

r le rayon de gyration de la section transversale relativement à Taxe autour duquel s'opère la flexion;

£, le plus grand coefficient d'élasticité longitudinale pour une fibre quelconque du prisme;

Ra la compression par unité de surface capable de produire récrasement;

Tt le rapport de la circonférence au diamètre,

il faut que Ton ait

2a>7rri/i-f-— 5

on doit d'ailleurs choisir pour axe de flexion celui qui donne le minimum de r, car c'est celui autour duquel la flexion est la plus facile, et auquel correspond la plus petite limite inférieure de la longueur 2a. Ainsi, quand la base est un rectangle homogène dont la plus petite dimension est h, il faut prendre

r=A i/ — =10,29/1; quand la base est un cercle homogène

de diamètre rf, on a r= o,25rf.

On s'est peu préoccupé de déterminer expérimentalement la limite inférieure dont nous parlons. Seulement M. Hodgkinson a énoncé ce fait : tant que la longueur d'une barre de fonte carrée ou circulaire ne dépasse pas cinq fois le diamètre, la rupture se fait par écrasement simple ; quand la longueur est de cinq à vingi-cinq fois le diamètre, il y a rupture mixte, à la fois par écrasement et par flexion; au delà de vingt-cinq fois le diamètre, la flexion devient irrésistible. Or, si dans la for-

DONNteS BXPÉ&IMJaiTÀLSS. 4^1

mule rappelée tout à l'heure, on fait r= 0,29/1, Ei=i2.io% R, = 63.io«{n~146 el 150), on trouve !2^a>i2A, résultat qui concorde assez bien avec 1- indication de M. Hodgkinson; ee résultat varierait d'ailleurs avec les échantillons de fonte, par le changement des nombres £1 et R3.

Quand un corps de forme prismatique a une longueur assez grande pour commencer à Oéchir avant de s'écraser, si la charge acquiert une intensité suffisante pour que la flexion puisse exister en effet, on sait (n® SA') qu'un faible supplément de charge peut entraîner un grand accroissement de flèche, et par conséquent la rupture de la pièce. Ainsi donc, si l'on désigne par e le ressort longitudinal du prisipe (n® 14-), la moindre charge capable de maintenir la pièce fléchie étant expri*

méepar-^~Y t*^*^^)' ^® ^®^^ ^^ aussi l'expression théorique

de la charge de rupture, puisqu'on ne saurait la dépasser d'une manière sensible sans très-grand danger* Dans le cas d'une section transversale homogène, ayant la forme d'un cercle

plein, de diamètre rf, on aurait «r^ = ^7rErf*; dans le cas

d'une section rectangulaire homogène, h étant son petit côté

et / le grand, on aurait er*=: — E//i\ Par conséquent la force N

capable de produire la rupture serait exprimée théoriquement

par

I rf*

—=r^ tt'E —- î pour la sectiofa circulaire;

7f»E — -? pour la section rectangulaire. 40 a'

Il est indispensable de se rappeler que l'expression , ^

de la force de rupture a été obtenue dans l'hypothèse où les sections extrêmes de la pièce ne seraient pas encastrées et pourraient au contraire tourner librement, tout en conservant leur centre sur la direction même de l'effort total de compression. Dans le cas où l'encastrement existerait et empêcherait rigoureusement toute rotation des sections extrêmes, la force de rupture serait quadruplée(n®85).Or^ cederj:iier cas se rapproche I, a« ÉDiT. a6

4o2 CHAPITEB SBPTlftXB.

peut-être plus que l'autre des circonstances pratiques les plus ordinaires; car les poteaux et colonnes sont toujours terminés par des surfaces plates s'appuyant aussi sur des plans, en sorte que rétendue même de ces surfaces d'appui s'oppose plus ou moins complètement à leur rotation et constitue tout au moins un encastrement partiel. L'expérience confirme cette manière de voir. M. Hodgkinson a trouvé en effet que les colonnes de fonte à extrémités arrondies résistaient trois fois moins à la rupture par compression que colles dont les extrémités présentaient une section plane. Ainsi donc, en admettant la substitution de ce multiplicateur 3 au multiplicateur théorique 4» pour tenir compte par aperçu de l'imperfection de l'encastrement, on aurait, dans le cas des bases plates :

^ __ Z__ ^ rf* pour la section circulaire, pleine et 256 ' a' ' homogène ;

^ ! 2X» ^ pour la section rectangulaire, égale- "~ i6 «* ' ment pleine et homogène.

A la vérité, comme nous l'avons déjà fait observer (n® 145), on ne doit pas compter sur l'exactitude des formules théoriques lorsqu'il s'agit de calculer les forces de rupture; néanmoins M. Hodgkinson a reconnu que la charge capable de rompre un poteau en chêne de bonne qualité, à section rectangulaire et à bases plates, était représentée par la formule empirique

le kilogramme et le mètre étant pris pour unités. On voit que N varie proportionnellement à / et au cube de A, et en raison inverse du carré de la longueur 2a, comme l'indique la théorie;

de plus, en comparant la valeur de la constante -^ — avec

l'expression -7: tt^E, on en conclurait E = io'» environ, valeur

s'accordant à peu près avec les nombres admis. Nous devons

dire que les expériences du physicien anglais n'ont pas été

très-nombreuses et se rapportaient à de petits échantillons.

Pour des poteaux en sapin rouge, le même expérimentateur a indiqué la formule

4^' Si les boiSy au lieu d'être choisis^ étaient de qualité médiocre, les coefficients numériques diminueraient environ de j

ou de -r de leur valeur.

o M. Hodgkinson a aussi proposé, pour déterminer la charge de rupture des colonnes pleines en fonte à bases plates, la formule

N = 3200. io« r r-- ;

et dans le cas de colonnes creuses, c étant le diamètre du vide supposé concentrique au plein,

N = 32go. 10®

La théorie aurait donné, au lieu de Texposant 3,6, l'exposant 4;

2 au lieu de 1,7; au lieu de 3290.10% la quantité ^tt^E, soit,

en faisant £ = 9.10® (valeur moyenne pour la fonte), le nombre i3o8o.ix)^ Mais ces discordances paraissent toutes naturelles si Ton veut bien se reporter aux considérations du n° 145, et nous ne saurions trop répéter qu'on risque beaucoup de s'engager dans une fausse voie, quand on veut calculer les charges de rupture à l'aide des formules fondées sur les théories de la Résistance des Matériaux, puisque les hypothèses premières qui leur servent de base, suffisamment vraies pour le cas de faibles efforts moléculaires, deviennent radicalement inexactes si la rupture est sur le point de se produire. En résumé, pour les solides pouvant fléchir, la résistance à la rupture par compression directe est, à section égale, décroissante avec la longueur et croissante avec la petite dimension de l'équarrissage : on voit aussi qu'il est difficile de la représenter par une formule qui convienne à tous les cas.

4o4 GHAPITHB SBPTifcMB. .

M. Hodgkinson a observé en outre les deux faits suivants :

I*» A égalité de nîatière employée, le renflement vers le

milieu augmente peu la résistance; il ne l'augmente que

de - ou ^ seulement.

2^ Sous la même condition d'une égale dépense de matière» les colonnes creuses résistent mieux que les colonnes pleines; elles sont également préférables à celles dont la section transversale est en forme de croix. Cependant leur emploi exige des précautions; le moule peut se déranger pendant le coulage, et le vide ne plus être bien concentrique avec la circonférence extérieure, ce qui produirait une diminution notable de résistance. Quant à l'explication théorique de ce deuxième fait, elle consisterait à dire que la charge de rupture est pro* portionnelle au moment d'inflexibilité, lequel est plus grand, à égalité d'aire, pour une section annulaire que pour une section ayant la forme d'un cercle plein ou d'une croix.

M. Love, ingénieur civil, a donné, dans un Mémoire sur la résistance du fer et de la fonte, des formules plus simples que celles de M. Hodgkinson, pour calculer la charge de rupture des colonnes pleines en fer ou en fonte. Ces formules, qui concordent suffisamment avec les expériences du physicien anglais, sont les suivantes :

N' pour la fonte... N =

N' pour le fer N = •

1,55 -h o,ooo5o

en nommant N' la charge de rupture calculée d'après la section de la colonne, comme si celle-ci était incapable de fléchir. Il est visible que ces formules ne sont pas applicables quand

le rapport -^ devient trop faible; car pour une très-petite

longueur on devrait avoir N = N', tandis que les formules donnent toujours N<N'. Il faut supposer que la longueur est au moins égale à vingt fois le diamètre.

On voit, par Texamen des deux formules précédentes, que la résistance des colonnes de fonte diminue plus rapidement que celle des colonnes de fer, quand la longueur augmente. C'est ce qui explique ce fait d'observation, que si le rap-

port-T- vient à dépasser une certaine limite (3o environ), les colonnes' pleines en fer résistent mieux que celles de fonte.

152. Limites pratiques des efforts de compression permanente. — Ces limites sont fixées absolument de la même manière que pour l'extension (n*» 148), comme nous l'avons déjà dit.

§ m.— Glissement transversal; glissement longitudinal des fibres dans les pièces de bois.

153. Difficulté de procéder à une mesure directe de l'élasticité transversale ; comment on peut V évaluer indirectement. — Le glissement relatif simple des sections transversales d'un prisme» tel qu'il a été défini et étudié au n" 15, est difficile à produire Isolément. Si, par exemple, on cherche à le faire naître en suspendant un poids à Textrémilé d'un prisme horizontal encastré à l'autre bout, il est clair que cette charge aura un moment par rapport aux divers centres d'élasticité des sections successives, en sorte qu'elle engendrera tout à la fois un glissement et une flexion. On peut dire qu'il en sera toujours ainsi quand le prisme ne sera soumis qu'à des forces perpendiculaires à sa longueur; car s'il n*y avait pas de flexion, le moment fléchissant serait constamment nul : or la dérivée de cette quantité, considérée comme variable d'une section à l'autre, représente la valeur de la force transversale de glissement (n** 70); donc cette force serait elle-même toujours nulle, et le glissement n'existerait pas. Ainsi la production isolée du glissement transversal exigerait qu'on Ht usage tout à la fois de forces perpendiculaires et de forces parallèles à la longueur du prisme; et bien que cette combinaison ne soit pas absolument impossible à réaliser, nous croyons cepen* dant que l'expérience directe présenterait d'assez grandes difficultés.

4o6 CHAPITRE SEPTIÈME.

Mais si le glissement simple ne .se produit pas isolément sans beaucoup de précautions^ on peut aisément mettre enjeu l'élasticité transversale dans un autre phénomène, qui est celui de la torsion simple. Il suffira, par exemple, d'encastrer ua cylindre par une extrémité et d'appliquer à l'autre un couple contenu dans un plan perpendiculaire à l'axe. Appelons V le moment du couple, a et 6 les rayons de gyration principaux ( n® 3) de la section transversale, w un élément de cette section, dont 6 serait le coefficient d'élasticité transversale. Comme les actions moléculaires développées dans une section quelconque doivent faire équilibre au couple V, la rotation relative de deux sections distantes d'une longueur ds aura pour expression

\ds

r-T-T-rrrvTr- ( n° 18), et cctte rotation s'effectuera autour de

l'axe de la pièce. Entre deux sections quelconques il y aura donc une rotation relative proportionnelle à leur distance, et

la quantité « . i.2\yf ' représentant cette rotation rapportée à l'unité de longueur, est ce que l'on appelle ordinairement angle de torsion par unité de longueur. Quand la matière

est supposée homogène, l'angle de torsion par unité de Ion-

gueur a simplement pour valeur 8 = ^^ tjLlh^\^ ^" appelant Q, la section totale. On comprend maintenant sans peine que si l'expérience a donné pour un cylindre déterminé la valeur de Q correspondante à urT couple V, l'égalité précédente, où tout serait connu sauf G, ferait connaître ce coefficient. Ainsi, dans le cas d'un cylindre circulaire homogène de rayon p,

l'on aurait Û = 7rp2, a^=b^=jp^, et par suite

si la section est un carré homogène de côté c, on devra faire 12 = c% a^=z b^= — c\ d'où résultera

Une telle manière de procéder serait à l'abri de toute cth

tique si l'hypothèse en vertu de laquelle nous avons établi que la torsion simple correspond à l'action d*un couple était ellemême rigoureuse. Or les beaux travaux de M. de Saint-Venant sur la théorie mathématique de l'élasticité (*) tendent à démontrer que cela n'est pas, sauf dans le cas d'une section circulaire- Si l'on prend, par exemple, une section carrée homogène, il faudrait, d'après M. de Saint-Venant, rectifier réquation (a) ci-dessus en divisant le second membre par le nombre o,8435. Il nous semblerait donc préférable, sans les difficultés don't il a été question tout à l'heure, de chercher le coefficient G par la mesure d'un glissement transversal simple, plutôt que le déduire d'un effet qui en dépend suivant une loi plus ou moins compliquée et peut-être imparfaitement connue. Par la même raison, il semble plus sage de déterminer le coefficients par la mesure d'extensions simples que par des expériences sur la flexion, phénomène qui met bien en jeu l'élasticité longitudinale, mais d'une manière plus| complexe et moins facile à saisir. Tout au moins, quand on déduira G d'expériences sur la torsion, conviendra-t-il d'écarter une cause d'erreur en employant de préférence les cylindres à base circulaire.

Voici les valeurs du coefficient d'élasticité transversale G pour les deux métaux les plus usuels :

Fer 6,7. 10',

Fonte 2,0. lo*.

Quant aux bois, il y a peu d'expériences connues, et les auteurs indiquent à ce sujet des résultats assez discordants. Nous trouvons, par exemple, dans un travail de M. Wertheim (Annales de Chimie et de Physique ^ 3® série, t. L), une expérience sur un prisme carré en bois de chêne, dans laquelle on aurait

V = o^«",2475, -c = o,oioi, 0i==o,io8;

(*) Voir l'ouvrage intitulé : De la torsion des prismes, erc/par M. de Saint- Venant, extrait 'du tome XIV des Mémoires présentée par divers savants à l'Académie des Sciences.

4^8 CHAPnBB SBPTlftlIB.

la formule (a) donnerait en conséquence

= OySa.ioS

valeur qui, en raffeciant du coefficient rectificatif — ^tt^ de

M. de Saint-Venant, s'élèverait aux environs de lo». M. l'ingénieur en chef Bounîceau a trouvé, de son côté, comme résultat de ses propres expériences sur des prismes en chêne de la haute Normandie (Annales des Ponts ^et Chaussées, 1861, 1" semestre),

ou encore, eu égard au coefficient rectificatif, G = 0, 58. 10».

Enfin, M. le général A. Morin (Résistance des Matériaux, n^ 600 de la 2* édition) indique pour le chêne la valeur G=z^.io^. La conclusion que nous devons naturellement tirer de là, c'est que le coefficient G relatif à une même espèce de bois varie considérablement d'un échantillon à l'autre, et qu'on doit désirer d'être éclairé sur ce sujet par des expériences plus nombreuses.

154'. Résistance transversale^ — La résistance transversale des matériaux a été beaucoup moins étudiée par les ingénieurs et les physiciens que les résistances à l'extension et à la.compression. Cependant on ne rencontre pas ici les difficultés que nous avons signalées dans le n"* 153, à propos du coefiicieut d!élasticité; la mesure de la résistance dont il s'agit pourrait être opérée simplement et d'une manière directe en encastrant un prisme horizontal par une extrémité et suspendant une charge verticale très-près du point d'encastrement.

M. Vicat, à qui l'on doit quelques expériences sur ce sujet, n'a pas procédé tout à fait comme on vient de le dire. Il a opéré sur des cubes de plâtre, sur des briques, des mortiers et des pierres calcaires. Les solides étaient percés de deux trous cylindriques opposés, de même diamètre ; on mesurait la force

nécessaire pour détacher le solide intermédiaire qui restait entre ces trous, en l'obligeant, par la pression d'un piston, à glisser dans le sens parallèle à Taxe commun des deux cylindres. Si Ton nomme F cette force, p le rayon des trous, 8 répaisseur restant pleine entre les fonds des trous, le quo-

tient mesurera la résistance transversale à la rupture par

2 7rpe "^ '^

unité de surface. Voici les valeurs données par les expériences

de M. Vicat pour la quantité ;

'^ ^ 27rp6

Plâtre ordinaire gâché. de 21 . lo* à 53. lo*

Brique crue » 3o. 10*

^Mortier de chaux grasse et de sable,

âgé de quatorze ans )) 28. 10*

Pierre calcaire » 121 . 10*

Calcaire lithographique » 289. 10^

' La méthode de M. Vicat semble bonne pour les corps grenus comme ceux sur lesquels il a opéré ; mais elle laisserait quelque incertitude pour les corps flbreux, car la résistance au glissement pourrait ne pas être constante sur tout le contour du cylindre restant dans l'intervalle des trous.

La résistance transversale du fer est connue par des expériences sur le cisaillement dés rivets employés dans les constructions et appareils en tôle, c'est-à-dire sur leur rupture par un glissement de la tête parallèlement à son plan. D'après les résultats suffisamment concordants obtenus par diverses personnes, on admet généralement comme un fait acquis que la résistance transversale du fer et sa résistance longitudinale à la rupture par extension sont à peu près identiques; ou, en d'autres termes, qu'il faut, pour cisailler une barre de fer, une force à peu près égale à celle qui serait capable d'en produire la rupture par extension. Cependant l'expérience semblerait plutôt indiquer une légère infériorité dans la résistance transversale ; peut-être serait-il plus exact d'admettre qu'elle est

seulement les t de Tautre, comme l'avait indiqué Navier d'a-

4lO GHAPITRC SBPTifiMB.

près certaines considérations théoriques. Au reste, le fait a pratiquement peu d'importance; pour les rivets en particulier, la résistance au cisaillement est beaucoup augmentée par le frottement dû au serrage, frottement en vertu duquel une partie de la force totale est transmise, sans l'intermédiaire des rivets, de Tune à l'autre des deux pièces de tôle qu'ils servent à réunir.

Là résistance transversale de la fonte n'a pas été, à notre connaissance, l'objet d'essais directs; elle a été déduite seulement d'expériences sur la torsion. En conservant les notations du n* 153, la quantité p6 serait, pour un cylindre circulaire homogène soumis à la torsion, la valeur du glissement transversal maximum des fibres par unité de longueur; la tension transversale maximum par unité de surface serait donc Gp9,

Vp aV

OU bien ^ , , .,,» ou enfin — -• Par conséquent, si l'on ad-

met que les formules continuent à s'appliquer jusqu'à la rupture, et qu'on la produise en augmentant convenablement le

couple V, le calcul de l'expression — - donnera la résistance

TTp

transversale à la rupture, rapportée à l'unité de surface. On a trouvé ainsi, dans le cas de la fonte, des nombres variables de 17. 10* à 26.io% et moyennement aa.io». Outre l'inconvénient déjà signalé (n°" 145 et 151) d'appliquer les formules théoriques de la Résistance des Matériaux à la détermination de forces de rupture, ce procédé suppose l'homogénéité de la fonte, tandis que plus vraisemblablement la partie centrale n'a pas la même élasticité que la partie extérieure. Mais la plupart des déductions que l'on a tirées des expériences faites sur la fonte sont également fondées sur l'hypothèse d'une matière homogène, et peut-être est-ce là une des causes qui en rendent les résultats si divergents.

A l'égard du bois, nous n'avons guère d'autres renseignements que ceux qui nous sont fournis par le travail de M. Bouniceau, déjà cité (n"* 153). M. Bouniceau a opéré sur des prismes à section carrée : c désignant le côté, le glissement

maximum est alors exprimé par-c0 v/2, d'où résulte la ten-

DONNÉES EXPÉRIMENTiJLES. 4^ <

sion correspondante - Gcô v'^ , soit, en vertu de la relation {2),

SVi/â

— ~ — • En angmentanl V jusqu'à rompre le prisme, le calcul

de cette expression a donné les résultats moyens que voici :

Résistances transversales Essences des bois essayés. à la rupture.

Sapin rouge de Prusse 1,29. io«

Orme 1,16. io«

Chêne de haute Normandie ï>96. io«

Hêtre .' 1,23.106

Hêtre injecté 0,93. io«

Sapin rouge de Norvège 0,80. io«

D*après la théorie de M. de Saint-Venant, la tension maximum,

dans un prisme carré et homogène soumis à la torsion, serait

^^^.. — '^ ou a peu près -^5 par suite, les résultats de

M. Bouniceau devraient se multiplier par-^^ = i,i3.

155. Limites pratiques des tensions transversales, — Il est assez rare que dans les constructions telles que peuvent avoir à en établir les ingénieurs des Ponts et Chaussées, les tensions transversales jouent. un rôle important; presque toujours les dimensions qu'on est obligé de donner aux pièces pour résister à des actions d'une autre nature sont plus que suffisantes pour les mettre en état de résister aussi aux forces de glissement. Cependant Tingénieur ne doit pas perdre ces forces de vue, surtout quand, pour économiser la matière, il réduit les dimensions des diverses sections d'une pièce à ce qui est strictement nécessaire, comme dans les solides d'égale résistance. Il peut arriver alors que dans certaines sections déterminées, la force de glissement fatigue plus la pièce que les forces qui résultent de l'extension longitudinale.

En pareil cas, suivant la règle indiquée au n** 148, on s'assurera que le maximum de la tension transversale par unité de

4i3 cHAPrnn nraftsE.

saiiace dans une pièce de métal ne dépasse pas ^ de celle qui

enlratneralt la niptare lomiédiate; la fraction g sera rédaite

a — poar les antres matières*

Bans les machines, il y a certaines pièces, les arbres de rotation par exemple, qui sont plas particulièrement exposés à des tensions transversales produites par la torsion. Il convient ici, non-seulement que les efforts moléculaires ne compromettent pas la pièce, mais encore que l'angle de torsion n'atteigne pas une grandeur bien sensible, aGn d'assurer la régularité dans les transmissions de mouvement et de ne pas donner lieu à des suppléments de frottement plus ou moins considérables. On comprend alors qu'il est bon de restreindre le maximum des efforts qui seraient parfaitement admissibles dans d'autres circonstances. Si donc il s'agit d'arbres ayant une section circulaire ou en forme de polygone régulier, p étant le

rayon du cercle inscrit, au lieu d'égaler la quantité — ; ( n* i5i )

au sixième ou au dixième de la résistance à la rupture par unité de surface, on devra l'égaler à une constante C, que la pratique des constructeurs de machines et des exemples connus auront permis de déterminer pour chaque matière. M. le général A. Morin a proposé les valeurs suivantes, que nous transcrivons en nombres ronds :

Pour le fer et l'acier C :=: 4- «<>•

Pour la fonte i33. io«

Pour le bois de chêne 27. lo^

Pour le bois de sapin ^29. 10^

Les valeurs ci-dessus conviennent au cas des arbres allégés; si l'on veut avoir des arbres forts, on prend C deux fois plus petit. Dans le cas d'arbres creux, p' étant le rayon intérieur,

C devrait être égalé à ,^^^ ' »