Résistance au glissement longitudinal dê^ fibres. — On

a vu au n« 83 que si une poutre droite chargée de forces transversales fléchit comme le suppose la théorie, alors il y a dans chaque élément de la poutre compris entre deux sections consécutives une force qui tend à faire glisser Tune sur l'autre les deux moitiés de cet élément parallèlement à la longueur des fibres. Il se développe ainsi une nature particulière de résistance dont nous ne dirons qi^e quelques , mots. Quand on considère une poutre en fonte ou en tôle, on peut admettre, faute de données suffisantes, que les forces de rupture par glissement longitudinal et par. glissement transversal sont sensiblement les mêmes. Pour les bois de chêne et de sapin, d'après MM. Chevandier et Wertheim, cette force de rupture serait de 3o à 4o kilogrammes par centimètre carré de surface, soit de 3o. 10* à 4o.io* kilogrammes par mètre carré.

§ IV. — Expériences sut la flezion et snr les effets d'une charge en mouvement.

157. Férification expérimentale de diverses notions théoriques relatives à la flexion des pièces droites chargées transversalement, — Considérons, pour fixer les idées, une poutre droite horizontale reposant sur des appuis et supportant des. poids. Dans ce cas, la théorie nous apprend (n'*2i) que les tensions longitudinales et les variations de longueur des éléments de fibre qui traversent une même section sont proportionnelles aux distances qui les séparent de la fibre moyenne, en sorte que celle-ci n'est ni pressée ni tendue; nous avons vu de plus que les fibres sont tendues ou comprimées suivant qu'elles se trouvent d'un côté ou de l'autre de l'axe de flexion.

Comme vérification de ces faits, on peut d'abord citer les expériences anciennement faites par Duhamel du Monceaux, insérées dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1767. Duhamel du Monceaux ayant fait préparer une série de barreaux en bois de saule, identiques autant que possible, les plaça successivement sur des appuis de même niveau qui en soutenaient les extrémités, et les rompit par un poids placé au niilieu, dans les circonstances suivantes : Une partie des barreaux n'avait pas subi de modification quand on

4l4 CHAPITRE SBPTitME.

les soumettait à raction de la charge; d'autres avaient reçu un trait de scie dans le plan de la section du milieu, et cette partie sciée occupait le tiers de la hauteur de l'équarrissage, à partir de la face supérieure et sur toute la largeur; d'autres barreaux avaient pareillement des traits de scie sur la moitié et sur les trois quarts de la hauteur. Le petFt vide produit par l'épaisseur du trait était rempli par une planchette en bois dur. Or, l'expérience a montré que tous ces barreaux se rompaient à peu près sous la même charge, et les différences peu sensibles des charges de rupture s'expliqueraient suffisamment par l'impossibilité de se procurer des barreaux absolument identiques. Cela se comprend aisément au moyen des notions théoriques sur la flexion; car en sciant les fibres en travers, dans la partie de la section qui est comprimée, et remplissant le vide par du bois dur, on n'empêche pas les actions répulsives dues à la compression de s'exercer tout aussi bien qu'avant la solution de continuité, et par conséquent on n'affaiblit pas la pièce, en tant qu'on la considère comme résistant à la flexion; on ne produit pas encore d'affaiblissement notable quand on scie au delà du milieu de la hauteur, jusqu'aux trois quarts, car les fibres situées près de la fibre moyenne ne supportent que de faibles pressions ou tensions, et il y a peu d'inconvénient à les scier, lors même qu'elles sont tendues.

M. Charles Dupin et Duleau ont également fait des expériences en petit sur des pièces de bois et de fer, desquelles il résulte que dans les pièces droites courbées par la flexion due à des charges perpendiculaires à leur axe, les sections normales restent planes, et que dans le cas d'une section rectangulaire l'allongement de la partie convexe est égal au raccourcissement de la partie concave, comme l'indique la théorie, puisque ces deux parties sont également éloignées de l'axe neutre. '

M. le général Morin a fait exécuter au Conservatoire des Arts et Métiers, à Paris> des expériences nombreuses sur des poutres en bois ou en métal de 4 mètres de portée, les poutres métalliques ayant des sections en forme de double T^à branches égales ou inégales. La conclusion à laquelle il a été conduit confirme les notions théoriques rappelées au com-

mencement du n" 157, et montre que ces notions peuvent être admises, non comme vérité absolue et mathématique, mais comme représentation suffisamment exacte* des faits réels, dans les limites de charge qu'exige la pratique des constructions.

En nous occupant de la flèche que prend une poutre horizontale reposant sur deux appuis simples, quand elle supporte un poids placé au milieu, nous avons trouvé (n°71) la formule

dans laquelle /désigne la flèche, R la moitié de la charge, a la demi-distance des appuis, er^ le moment d'inflexibilité de la section transversale. Si la section est un rectangle homogène de hauteur h et de largeur b parallèlement à Taxe de flexion, en appelant E le coefficient d'élasticité longitudinale on a

er^ === — EiA% et par suite

4Ra>

ce qui montre : i** que la flèche est proportionnelle à la charge et au cube de la portée; 2° qu'elle est en raison inverse de la largeur de l'équarrissage et du cube de la hauteur. On sait en outre qu'une charge uniformément répartie produit la même flèche qu'une charge concentrée au milieu, ayant pour intensité les cinq huitièmes de la précédente. Tous ces faits ont été vérifiés expérimentalement par M. Charles Dupin, sur des barreaux de faibles dimensions : ils le sont aussi par les expériences de M. Hodgkinson sur la flexion des pièces de fonte, au moins dans les limites de charge admissibles en pratique.

158. Résistance à la rupture par flexion. — Une poutre droite étant posée sur deux appuis au même niveau et chargée en son milieu, si l'on conserve les notations du n" 157 et qu'on appelle en outre p le poids de la pièce par mètre courant, on sait (n° 71) que le maximum du moment fléchissant est exprimé par Ra -i- -pa\ Supposons, par exemple, que la section

4l6 GHAPITRB SBPTlfOIE.

soit rectangulaire et homogène : alors la tension ou compression longitudinale maximum par unité de surface sera égale à

sections on pourrait aussi facilement obtenir des résultats analogues.

Cela posé, on a quelquefois déterminé par expérience la valeur de la charge 2 R qui entraîne la rupture immédiate; puis en calculant, comme on vient de le rappeler, la tension maximum correspondante (c'est-à-dire la quantité — bh^^ '*

dans le cas de la section rectangulaire et homogène), oii a ce qu'on appelle résistance à la rupture par flexion^ pour la matière formant la pièce essayée. Nous avons déjà dit (n« lilS) pourquoi cette méthode est vicieuse et il serait inutile d'en répéter la raison. En définitive, quand une pièce est rompue par flexion, c'est que la tension ou la compression longitudinale de certaines fibres a pris la grandeur nécessaire pour entraîner la rupture : donc la résistance à la rupture par flexion devrait être la même que la moindre des. deux qu'on a trouvé^es pour l'extension et la compression longitudinales : si l'on parvient à un résultat différent, c'est sans doute parce qu'il y a quelque chose d'inexact dans les raisonnements qu'on a faits ou dans les formules qu'on a employées; et nous savons, en effet, qu'on ne doit plus compter sur la vérité des formules théoriques lorsque les actions moléculaires s'approchent de la limite extrême pour laquelle la rupture se produit.

D'après cela, il ne faut point s'attendre à ce que le chiffre de la résistance à la rupture par flexion soit identique avec le moindre des deux qui se rapportent à l'extension et à la compression, comme cela devrait être. La discordance sur ce poifit est le résultat ordinaire de l'expérience. Ainsi, dans le cas de la fonte, on sait qu'une tension longitudinale de 1 1 kilogrammes par millimètre carré est suffisante pour produire la rupture, tandis que la résistance à la rupture par flexion serait deux ou trois fois plus grande. D'ailleurs on a déjà vu (n® Mih) que pour la fonte il y a une cause particulière d'erreur, qui consiste dans le défaut d'homogénéité du métal, défaut d'où résulte

DONNÉES EXPÉRWENTAtES. 4<7

révaluatîon incertaine du moment d'inflexibilité de la section transversafle.

La résistance à la rupture par flexion des pièces en bois de chêne serait, d'après M. Barlow, de 6. io« à 7. io« kilogrammes par mètre carré; pour des sapins ordinaires, ce chiffre s'abaisserait à 4^5.1 o®.

Pour la fonte on a indiqué des nombres excessivement variables; le chiffre de 32.io« kilogrammes par mètre carré peut être regardé comme une moyenne de laquelle on s'écarte parfois assez notablement, tant au-dessus qu'au-dessous.

La détermination de la résistance du fer à la rupture par flexion présente une difficulté particulière : c'est que la rupture n'arrive pas sans être précédée de grandes déformations, de sorte que, si l'on veut pousser l'expérience jusqu'au bout, ce n'est plus en général une pièce droite qu'on réussît à rompre, mais une pièce sensiblement courbe, à laquelle on ne peut plus appliquer la formule ci^dessus rappelée. Aussi on se borne souvent à déterminer non pas la charge produisant la rupture, mais la charge donnant lieu à une altération notable de l'élasticité ou à une grande déformation permanente. Dans des expériences exécutées au Conservatoire des Arts et Métiers, sous la direction de M. le Général A. Morîn, on a trouvé que l'élasticité du fer est assez fortement altérée

lorsque là quantité — ^ AAa atteint une valeur variable

de 21 . io« à 3o. io« kilogrammes par mètre carré. -

159. Limites pratiques des tensions longitudinales dans les pièces soumises à la flexion, — Le tableau suivant est emprunté à la Résistance des Matériaux de M. le Général A. Morin, qui le donne comme résultant de l'observation des bonnes constructions, à la fois solides et légères.

L 3* iDiT. 27

GaàFiTBE Mpntn.

HATOftB DBS MATÉRfAOX.

PoDto de chemins de fer ... .

„ , Ponte ordinaires et arbres de

•'""'••^ nHi«l>7df»dfq.«.

PièoesordînaiMS de madhiiiei.

Fer forgé

i de première qualité

I de qualité moyenne

Bois de chéoe on de sapin

BFrOBT LOHGITD»lKAIi ( teuioa oa pretriim ) •• fitfrs caVpOTfw afw aienrlli

Cas •rdiBSInf.

UI

0fi

MatériSBx da choix

flt

ko

On ne distingue pas la limite relative à la compression de celle qui se rapporte à l'extension : cette simplification est consacrée par l'usage.

160. Effet d'une charge en mouvement et des vibrations en général. — En 1847, ^^ gouvernement anglais, à la suite de plusieurs accidents arrivés à des ponts de chemins de fer, nomma une commission pour faire une enquête sur les conditions que les ingénieurs doivent observer, lorsqu'ils emploient le fer et la fonte dans les constructions exposées à de violentes secousses et à des vibrations.

La commission a examiné les deux questions suivantes (*) :

Lorsqu'une pièce métallique a été soumise pendant longtemps à des chocs et à des vibrations, s'opère-t41 dans l'arrangement de ses molécules quelque altération qui diminue sa résistance?

Quels sont les effets mécaniques des chocs et du passage des

C^ ) Le Rapport de la commission, traduit par M. Busche, inspecteur général des Ponts et Chaussées, est inséré dans les Annales des Ponts et Chaussées, iSSi, ] *'' semestre. Nous ne faisons ici que l'analyser brièvement et en reproduire les principales conclusions relatives à l'effet des charges en mouvement et des vibratioBs.

corps pesants pour courber et rompre les bâires ou les poutres sur lesquelles ils agissent?

Sur la première question, on a constaté une grande diver-* gence d'opinions chez les hommes de pratique, les uns se prononçant pour l'affirmatiTe, les autres pour la' négative, et attribuant Tétat cristallin soit au mode de fabrication, soit au mode de rupture. — Pour étudier la question^ la commission a exécuté des expériences de divers genres, i** Une barre de fonte à section carrée, de ©",076 de côté, a été placée sur des supports écartés de 4'">^7 ? une boule pesante, suspendue à un fil de fer de 5",48 de longueur, était ensuite écartée de la verticale du point de suspension, et venait en retombant frapper la barre par le milieu. Le nombre de chocs ainsi produits sur une même barre est allé jusqu'à ^000; on en faisait varier l'intensité, en changeant soit le poids de la boule, soit simple* ment son écart de la verticale. 2* On a plié des barres de même force, au moyen d'une came tournante, qui les fléchissait lentement et les laissait ensuite reprendre leur forme primitive; d'autres fois on employait un moyen par suite duquel la flexion était accompagnée d'une violente trépidation. Ce genre d'épreuves a été répété, dans certains cas, jusqu'à 100 000 fois sur chaque barre. 3* Enfin, on a fait promener lentement, et jusqu'à 96000 fois sur certaines barres, un poids égal à la moitié du poids de rupture.

Dans les deux premiers genres d'épreuves, on a reconnu que les barres de fonte n'avaient subi aucun affaiblissement tant que la flèche passagère, prise sous l'action du choc ou de la eame tournante, ne dépassait pas le tiers de celle qui aurait eu pour conséquence la rupture instantanée, et l'on s'assurait du Êfeit en constatant qu^ii n'y avait pas de diminution dans la charge morte capable de produire la rupture. Au contraire, les barres étaient affaiblies, quand la flèche passagère atteignait la Booitié du maximum, et dans ce cas moins de 900 flexions suffisaient pour briser la pièce. On conclut de là que la flèche passagère^ mais réitérée, prise par une poutre en fonte, ne doit pas dépasser le ti^s du maximum ; et comme les chocs aussi, bien que le mouvement imprimé à la charge peuvent augmenter beaucoup la flèche déjà produite par le poids mort^

^ao CHAPITRE 8BPTllaiE...<

il suit de là qu'en réduisant le maximum de la charge totale au sixième de celle qui entraînerait la rupture, on aura une limite à peine suffisante pour la sécurité, même en admettant que la poutre soit parfaitement saine.' Le troisième genre d'épreuves ne conduit pas à modifier celte conclusion, car la flèche passagère pourrait alors atteindre la moitié au lieu du tiers de la flèche de rupture.

Le Rapport entre dans moins de détails au sujet du fer. Cependant il mentionne ce fait qu'aucun affaiblissement notable n'est résulté, pour les barres en fer forgé, de loooo flexions produites par une came tournante, chaque flexion étant due à la moitié du poids qui, par sa pression statique, produirait une grande flexion permanente. Nous ne savons quel est ce poids, et il reste ici un peu de vague. D'ailleurs la commission, conclut, pour le fer comme pour la fonte, qu'il faut, limiter la charge au sixième du poids de rupture.

Sur la seconde question indiquée tout à l'heure, de nombreuses expériences ont également été faites. Elles ont donné les résultats suivants, relativement à l'effet des chocs, i*» Une barre de fonte ayant pour section un rectangle dont un côté est quadruple de l'autre, et reposant sur deux appuis, exige, pour être rompu, un choc de mêmei ntensité, soit que le coup porte sur le petit côté, soit qu'il porte sur le grand côté du rectangle. Les barres de même longueur et de même poids, quelle que soit la forme de leur section, présentent la même résistance au choc, a» La flexion produite par un choc sur une barre de fer est proportionnelle à la vitesse du choc; pour la fonte vies flexions croissent dans un rapport plus grand que les vitesses. 3° Un poids additionnel uniformément réparti sur une poutre la rend capable de résister à un choc vertical plus intense ; dans certains cas, la résistance a pu être doublée de cette manière.

Il reste enfin la dernière partie de la seconde question, celle qui concerne le passage des corps pesants sur les poutres, avec une vitesse.plus ou moins considérable. Pour l'étudier, entre autres méthodes suivies, on a fait construire, un appareil par le moyen duquel un chariot, chargé de poids variables à: volonté, était abandonné à lui-même au sommet d'un plan In-

DONNÉES BXPfiEIKENTALES. 4^1

cliné : les poutressoumises à rexpérîence formaient, au bas du plan incliné, un chemin de fer sur lequel le chariot s'engageait avec la vitesse acquise pendant la descente. Lé maximum du poids roulant à été de 2000 kilogrammes environ, et le maximum de la vitesse i3 mètres par seconde. Les barres avaient a", 74 de portée. Les expériences faites à l'aide de cet appareil prouvent que la flèche augmente avec la vitesse du chariot, quand le poids de celui-ci reste constant; on a quelquefois observé des flexions doubles de la flexion statique. On a aussi remarqué que le point où se produit la plus grande flèche n'est pas au milieu de la barre, mais au delà, en suivant le sens du mouvement du chariot; de même la fracture a lieu au delà du centre, et quelquefois la barre se brise à la fois en plusieurs morceaux.

Telle est, en résumé, la partie du rapport qui concerne les effets des charges en mouvement et des vibrations. On voit que la commission anglaise ne paraît pas redouter beaucoup les efforts et secousses passagères, tant que leurs effets restent en dessous d'une certaine limite. Sur ce point, le temps est peut-être un élément indispensable pour qu'on puisse décider la question en parfaite connaissance de cause. L'avenir nous donnera la réponse: il montrera si les constructions en métal, employées si fréquemment aujourd'hui dans les chemins de fer et les édifices publics ou privés, finissent par cristalliser et perdre leur résistance après une certaine durée. Quant à l'accroissement de la flèche statique, dû spécialement aux chocs et à la vitesse des convois qui passent sur les ponts, nous ne croyons pas qu'il y ait en général à s'en inquiéter beaucoup, lorsqu'il s'agit de ponts à grande ouverture. Les expériences de la commission anglaise avec le chariot mobile étaient faites dans des conditions toutes différentes de celles qu'on peut rencontrer dans les ouvrages d'art, parce que la charge roulante était considérable relativement au poids de la poutre, tandis que dans la pratique le poids mort de la construction l'emporte ordinairement, ce qui atténue beaucoup l'importance des accroissements de flèche produits par la vitesse. Ainsi, dans un cas cité par la commission elle-même, la vitesse étant de 22 mètres

4»t CHAPITM SEFTlinL. — MWHÉW VKr^EUIBNTALBS.

par seconde environ, l'accroissement était seulement - de la

flèche étatique ; c'est-à-dire que cette vitesse considérable équi« valait» au point de vue de la flèche produite, à augmenter la charge mobile d'un septième de sa valeur, pour la faire ensuite siationner sur le pont. Diverses expériences faites par M. Jules Poirée, sur plusieurs ponts du chemin de fer de Lyon et sur le pont du Carrousel à Paris (*)> viennent à l'appui de notre opi* nion, que confirment encore les applications numériques des formules de M. Philipps et les calculs que nous avons exposés relativement à l'effet d'un convoi roulant indéfini (n'^Ki-a).

(*) Annales des Ponts et Chaussées, i8j4, i**" semestre.

ÉQUIUB&B DES STSTÈMES ARTICULÉS SANS FaOTTflMBNT.

§ I. ~ Systèmes articulés simples.

161. Dé/initions; propriété caractéristique désarticulations sans frottement. — On appelle articulation la liaison de deux corps solides en vertu de laquelle ils ne peuvent prendre, re^ lativement l'un à l'autre, que des mouvements de rotation autour d'axes passant par un point géométriquement commun aux deux corps, et occupant une position déterminée dans Tun et Taûtre. Ce point se nomme le centre d'articulation.

L'articulation est dite cylindrique lorsque l'axe de la rotation relative est une ligne déterminée dans chaque corps; elle est dite sphérique dans le cas contraire. L'assemblage à charnière donne la réalisation pratique delà première espèce d'articulation; il consiste essentiellement, comme on le sait, en deux cylindres circulaires, ayant même axe et même rayon, l'un creux et attaché au premier corps, l'autre plein et attaché au second corps. Pareillement l'articulation sphérique est réalisée dans l'appareil qu'on nomme assemblage à genou, consistant essentiellement en deux sphères concentriques et de même rayon, respectivement attachées aux deux corps. Dans la suite de ce chapitre, nous supposerons constamment des articulations sphériques; mais dans certains cas la solution des problèmes ne cessera pas d'être applicable en les prenant cylindriques. C'est ce qui arriverait notamment si le système considéré était formé de lignes et de forces toutes contenues dans le même plan.

L'articulation sera sans frottement, quand les deux corps solides qui sont réunis par elle n'exerceront l'un sur l'autre

4s( jCfUPtf KB HUITlIn,

que des forces normales aux surfaces de contact. Dans ce cas, on sait que pour tout déplacement réel ou possible du système la somme des travaux de ces actions mutuelles est nulle : or, cette somme de travs^ux ne dépend ,q.ue du mouvement relatif; donc on peut conclure que pour tout mouvement de rotation de Tun des deux corps autour d'un axe passant par le centre d'articulation, le travail total des a'ctions qu'il reçoit de l'autre corps est nul. £t puisque le travail d'une force dans la rotation d'un solide autour d'un axe est proportionnel au moment de la force par rapport au même axe, nous énoncerons la proposition suivante.

Dans une articulation cylindrique sans frottement, la somme des moments des actions d'un des deux corps sur Vautre, par rapport à l'axe de leur rotation relative, est nécessairement nulle.

Dans une articulation sphérique sans f rot tendent, la somme des moments de ces mêmes actions par rapport à un axe quelconque contenant le centre d'articulation est nulle, c'est^dire que ces actions doivent se réduire à une force unique passant cua centre d'articulation.

. La proposition est évidente dans le cas d'un assemblage à genou ou à charnière; mais la démonstration qui précède a l'avantage d'être indépendante du procédé employé pour réaliser matériellement la liaison.

Les systèmes de corps liés par des articulations sans frottement n'existent point en réalité et sont une pure abstraction. Cependant la théorie que nous allons donner trouvera son application dans bien des problèmes pratiques. Ainsi les différentes pièces d!une charpente sont fréquemment reliées entre elles par des assemblages de faibles dimensions, incapables de résister à un effort notable qui tendrait à produire .une rotation autour de leur centre. Il est donc nécessaire que. l'équilibre existe en les considérant comme des articulations parfaites, et cette hypothèse ne peut pas conduire à des conséquences très-éloignées de la réalité.

Nous nous proposons principalement, dans ce chapitre, d'arriver, par l'élude de l'équilibre, à la connaissance des forces que chaque corps faisant partie d'uo système, articulé reçoit

STSTftMES AVnCOLfiS SAHSntOTTEVEKT. {sS

de la part des autres, corps qui. le touchent. Cela fait, on serait en mesure d'appliquer, pour vérifier la stabilité ou pour chercher les déformations, les théories de la Résistance des Matériaux, exposées dans les deux premiers chapitres de ce Cours. Subsidiairement nous établirons diverses. propriétés qui présentent un certain intérêt en elles-mêmes.

162. Équilibre d'un corps solide articulé en deux points fixes» — Le corps M (fig*.^']) est articulé sphériquement en A . Piç^ 5 et en B avec deux appuis

fixes, de telle sorte que les centres d'articulation A et B ne pouvant prendre aucun mouvement, le corps conserve seulement la liberté de . tourner autour de la ligne AB. Il est d'ailleurs sollicité par des forces quelconques, désignées généralement par F. Il s'agit de trouver: i" la condition, d'équilibre du système solide M; 2*> les réactions des points fixes A et B.

Les forces qui proviennent des appuis devant nécessairement se réduire à deux forces N, N' passant par les points A. .et B (n® IM ), il y aura équilibre entre N, N' et toutes les forces F;. et comme, en vertu d'un théorème de Statique élémentaire, un système de forces en équilibre doit avoir une somme de moments nulle par rapport à un axe quelconque, on en conclura que la somme des moments des forces F seules, par rapport à la ligne qui joint les centres d'articulation est nulle. Cette condition à remplir par le système des forces F est une condition nécessaire de l'équilibre : elle est d'ailleurs suffisante, car si le corps, primitivement en repos, se mettait en mouvement, on pourrait empêcher ce mouvement en appliquant à chaque point une force en sens contraire de l'élément de cercle qu'il tend à décrire, et alors l'équilibre existerait. Donc la somme des moments, relativement à AB, serait nulle, et par conséquent elle serait nulle pour. les forces nouvelles, prises séparémenl puisqu'elle l'était déjà pc^ur lesan-

49$ CVAPITAI VOItlÈni*

ciennes. Or, toutes ces nouvelles forces ont des moments de même sens et qui ne peuvent pas se détruire algébriquement. Donc le mouvent supposé n'existe pas. Ce qu'il fallait démontrer.

La condition d'équilibre étant établie, cherchons N et N'. On sait que le système des forces F peut être remplacé par un autre, équivalent au point de vue de l'équilibre des forces extérieures appliquées au solide, cet autre système étant formé de deux forces dont l'une passe en un point donné, A par exemple. Alors la seconde devra se trouver dans un même plan avec AB; donc on pourra la décomposer en deux dont l'une passe en A et l'autre en B, de manière que flnalement les forces F seront remplacées par deux forces P, F passant respectivement en A et B. Soit R la résultante de N et de P, R' la résultante de N' et de F. L'équilibre du corps M, soumis uniquement à R et i R' exige que ces deux forces soient égales et contraires, et par conséquent dirigées toutes deux suivant la ligne AB; donc la projection de N sur un plan perpendiculaire à AB est égale et opposée à la projection de P sur le même plan, et une relation identique existe entre N' et P'. Aitisi les réactions totales des appuis se trouvent déterminées quant à la grandeur et à la direction, en projection sur le plan perpendiculaire à la ligne qui joint les centres d'articulation ; mais leurs composantes S, S' suivant cette ligne restent indéterminées. S et S' ne sont en effet assujetties qu'à une condition, c'est que leur somme algébrique soit égale et contraire à la somme algébrique des projections de P et de P' sur AB, le sens positif étant le même, bien entendu, pour S, S' et les deux projections de P et P'.

Le procédé géométrique indiqué ci-dessus n'étant pas toujours d'une application facile, il convient de savoir comment on le remplacerait par le calcul. Pour le montrer, prenons trois axes rectangulaires A^, A/, Az, dont le premier coïncide avec AB; désignons généralement par les notations F,, F^, F,, M, F, M^F, M,F, les projections d'une force F sur les trois axes et ses moments par rapport aux mêmes axes; appelons a la distance AB et 2 une somme étendue à toutes les forces autres que les réactions des points d'appui. Les six équations connues

sTSTbKBs .AKtieinis: aura raoTTEMBirr. 4^

de l'équilibre d'un solide donneront

-aN'.+2M;.F = o, aN; + ZM.F=ro.

La quatrième équation est la condition d'équilibre indépendante de N et de N'; la seconde et la troisième jointes à la cinquième et à la sixième déterminent N^, N^, N^ , N'^, c'est-à-dire les composantes de N et de N' perpendiculairement à AB ; la première détermine seulement la somme N, -h N',. Nous arrivons donc à des résultats identiques avec ceux trouvés par l'autre méthode*

L'indétermination que l'on rencontre ici dans la recherche des composantes N«» N'^ n'a rien qui doive surprendre. Dans la réalité phjrsique, les réactions des points d'appui ont une va* leur déterminée pour chaque point; mais pour arriver à les connaître, il ne suffit pas de savoir que le corps M est actuelle»ment en équilibre. £n effet, on ne trouble pas Téquilibre par l'addition de deux forces égales et contraires dirigées suivant AB; ce qui prouve qu'il y a une infinité de systèmes de réactions compatibles avec l'état d'équilibre. Lequel se produira réellement? Pour répondre à cette question, il faudrait con*naître toutes les circonstances qui ont précédé Tétat d'équi-^ libre, c'est-à-dire l'établissement du corps sur ses appuis et ses déformations sous les forces qui lui sont appliquées. Au reste> l'indétermination cesse, comme on va le voir, quand on consi-^ dère des systèmes de plusieurs corps articulés entre eux.

163. Équilibre d'un système polygonal articulé. — Nous allons prendre un système ABCDEFG {Jig. 58 ) formé d'une série de corps solides, dont les corps intermédiaires BC, CD, DE, ••. présentent chacun deux articulations, l'une avec le solide précédent, l'autre avec le suivant. B^ C,D,. . ., F sont les

4^8 . GHAPinB Huinlon.

centres d'articulations. Indépendamment de leurs actions mutuelles, les solides supportent diverses forces extérieures : il

Fig.58.

s'agit d'établir les conditions d'équilibre et de trouvef les réac* tions mutuelles qui s'exercent dans les points d'articulation.

Désignons collectivement par ( P ) le système de forces appliquées au premier corps AB, et de même par (P,), (P,), (Ps),..., les systèmes de forces qui sollicitent respectivement BC, CD, DE,..., ces systèmes n'étant pas censés comprendre les réactions que chaque corps reçoit de ses deux voisins, mais devant comprendre au contraire les réactions des articulations extrêmes placées en A et G, si ces articulations existent. Soit Ni la résultante de translation de (P), Nt la résultante de translation de (P) et de (P.), N, celle de(P), (P.) et (P,), et ainsi de suite. Les groupes (P), (P.), (Pa)>«-y sont regardés provisoirement comme des données immédiates d'où l'on déduira sans peine Ni, Ns, N,,. . . •

Cela posé, considérons un certain nombre de corps consécutifs à partir d*une extrémité, trois par exemple à partir de la droite. Ce système ABCD doit être en équilibre sous l'action des forces extérieures (P), (P,), (P,), et de la réaction qu'il reçoit en D; donc la somme des moments de (P), (P,), (Pj), relativement à un axe quelconque passant au point D, doit être égale à zéro. Une condition analogue doit être remplie pour chaque centre d'articulation. Pour énoncer ce fait, nous dirons:

Lorsqu'un système polygonal articulé se trouve en équilibre, si Von considère l'ensemble d'un certain nombre de corps

STSTfiMES ARUCDXfiS SAKS: FS0TTEMENT. 429

consécutifs de cesystèmci à partir d'une extrémité jusqu'à un centre d'articulation quelconque qui le termine, le moment résultant de toutes les forces: extérieures appliquées à cet en-' semble doit être nul relativement au centre d'articulation dont on vient de parler.

Il faut de plus que le système pris en entier satisfasse auxsix.conditions générales que doivent remplir toujours les forces extérieures appliquées à un système matériel en équilibre.

Réciproquement, si toutes ces .conditions sont remplies,' les forces se feront équilibre, c'est-à-dire que les corps AB, BC,. . ., FG, supposés primitivement en repos, ne se mettront pas en mouvement. C'est ce que nous allons démontrer à Taide: du théorème du travail virtuel (*). A cet effet, nous remarque-' rons qu'on peut, sans changer la somme des travaux virtuels» dans un déplacement possible quelconque du système articulé:: i" appliquer en B, au corps AB, une force — N,, pourvu qu'ont applique la même force en sens contraire au corps BC, également en B, car ces deux forces, agissant sur deux points dont les déplacements sont identiques, feront.toujours une sommes de travaux nulle; 2*> faire agir en C deux forces égales et con-> traires, la première— Nj sollicitant le corps BC, la seconde N,. le corps CD; 3° procéder de .la même manière pour les articu-. lations suivantes : par exemple appliquer en D les forces — N3 et N3 respectivement aux corps CD et DE, et ainsi de suite.. Si l'équilibre existe après les opérations que nous venons de: faire, c'est que déjà il existait auparavant, puisque nous n'avons: pas altéré là somme des travaux virtuels dans l'un quelconque, des déplacements permis par les liaisons. Or, après l'intro-» duction des forces nouvelles, il est aisé. de. reconnaître que chaque. corps est sollicité par des forces ayant. une résultante, nulle. Ainsi, le groupe (P), appliqué au premier corps, donne: une résultante égalera Ni passant par le point B, puisqueJa somme des moments des forces (P) est nulle relativement à.

C^) 'Le théorème du travail virtuel s'énonce ainsi; dans le cas d'un système àliaisons : Pour qu'un système matériel soit, en équilibre ^ il est- nécessaire et suffi-, sont que la somme des travaux ^virtuels des forces tant intérieures qu'extérieures qui le sollicitent, soit nulle, pour un déplacement 'virtuel quelconque, compatible avec les 'liaisons du système.

43o CBAPRU ■lIlTlftBB*

tout axe mené par B; donc cette résultante s'équilibre avec la fèrce — Nt que nous avons ajoutée au corps AB. Pareillement, le corps BC est soumis à Ni et au groupe (P,); attendu l'équivalence de Ni et de (P) d'une part, et la nullité des moments de l'ensemble (P), (Pi) relativement aux axes qui passent par C, d'autre part, le groupe (P.), composé avec Nt , donnera une résultante Ns passant au point C, qui sera équilibrée par la force — Ns que nous avons appliquée en dernier lieu k ce même point du corps BC. Le raisonnement serait identique pour les autres corps en allant de proche en proche.

Si nous comptons le nombre des conditions d'équilibre, nous en trouvons d'abord six pour l'équilibre de toutes les forces extérieures du système, puis trois pour chaque centre d'articulation, nécessaires pour exprimer la nullité des moments des forces appliquées aux corps compris entre ce centre et une des extrémités. En désignant par n le nombre de corps, il y aura donc 6h-3{» — i), c'est-à-dire 3in- 3 conditions. Dans le cas, assez ordinaire, où il y aurait vers les extrémités A et G deux articulations dont les centres seraient fixes, les trois composantes des réactions de ces points, parallèlement à trois axes coordonnés, deviendraient des inconnues auxiliaires, et le nombre des conditions ne serait plus que de 3/i — 3.

Quant aux réactions des différents corps les uns sur les autres, il est clair que ce sont les forces désignées tout à l'heure par Ni, Nt, Nj,..., c'est-à-dire que la partie formée d'un certain nombre de corps consécutifs, à partir d'une extrémité, exerce sur l'autre partie une action égale à la résultante de translation des forces qui lui sont appliquées»

Bans tous les raisonnements qui précèdent, on peut placer l'extrémité du système à tel centre d'articulation qu'on veut, pourvu qu'on tienne compte des forces exercées en ce point sur la partie conservée par celle qu'on laisse de côté. De. même, s'il y a des appuis fixes, les réactions inconnues de ces. appuis doivent être comptées dans les groupes des forces tels, que (P). Ces réactions se détermineraient» comme on l'a dit tout à l'heure, au moyen des conditions d'équilibre; ainsi, par exemple, A et G étant des points fixes, l'équilibre du corps AB, considéré comme articulé en A et B^ fera connaître les cipm-

STSTitMES ▲ETICBUS SAKS PIOTTEHENT. 43t

posantes de la réaction N du point A suivant deux directions perpendiculaires à AB; la troisième composante s'obtiendra en faisant usage d'une équation de moments du groupe N, (f)f (Pi) relativement à un axe mené par le point C.

La recherche des réactions des points A et G, supposés fixes, est d'ailleurs beaucoup simplifiée lorsque les centres d'articulation sont tous dans un même plan contenant aussi les forces extérieures, et que le système est symétrique, pour les forces et les dimensions, relativement à la perpendiculaire au milieu de AG» Les réactions en A et en G sont alors égales et ^métriques ; leurs composantes parallèles à l'axe de symé* trie s'obtiennent par une simple projection des forces exté» rieures sur cet axe; cela fait, les composantes parallèles à A6 sont connues au moyen d'une des équations .de moments né-> cessaires à l'équilibre,

lôb. Équilibre d'un système dont les articulations sont inr- Jiniment rapprochées. — Supposons que les centres d'articulation B, C, D,..., du système que nous venons d'étudier se Fig.59. rapprochent indéfiniment, de

manière à former une courbe

^^.-'•''^"YT'^^^^ continue AG (fig. Sg). A l'élé-

^ V ment quelconque DE, dont la

\ longueur sera représentée par ds^

\ sont appliquées des forces ayant

une résultante Jfds. Appelons T

Faction mutuelle des deux parties du système qui se réunis*

sent en £»

En premier lieu, l'élément DE est en équilibre, et, par suite, la somme des moments des forces extérieures qui le sollicitent, relativement à un arc quelconque, est nulle. Ces forces sont l'action T exercée en £, l'action analogue en D et la résultante Vdsi si l'axe des mom^its passe enD, lemoraent de la seconde est nul, et celui de la troisième est infinîm^it petit du second ordre. Donc le moment de T est de même ordre, ainsi que sa distance à D; donc la force T est tangente à la courbe. Ainsi l'action mutaelle qui s'exerce en un des points de la courbe, 4e la part d'une portion du système sur

43a cHAPmnE huitièiie. '

une autre portion, est dirigée suivant la tangente à l'élément qu'elle sollicite : on la nomme pression ou tension^ suivant le sens dans lequel elle agit.

D'un autre côté» on remarquera que pour l'équilibre de la partie AS du système, la pression ou tension en E doit être égale à la résultante des forces extérieures appliquées de A en £; donc la condition d'équilibre du système considéré s'exprime en disant que : Si l'on compose toutes les forces appliquées depuis une extrémité k jusqu'à un point quelconque E, la résultante unique doit passer en E et se confondre avec la tangente à la courbe en ce point. A cette condition, il fout encore ajouter, bien entendu, que les forces extérieures se feraient équilibre sur le système toul considéré comme solide. On démontrerait, comme au n^ 163, que ces conditions sont sufflsantes.

165. Forme d'équilibre d'un sjrstème articulé, — La question à résoudre est celle-ci : Étant données les diverses forces qui doivent agir sur les côtés d'un sjrstème polygonal articulé et les longueurs de ces côtés, trouver la forme du polygone. Ainsi, dans la^g*. 58, on donne les groupes de forces (P), (P,), (P,),..., et, par suite, les résultantes partielles N,, N,, N,,...; on donne aussi les longueurs BC, CD, DE,..., et l'on demande les sommets B, C, D, • . . .

Le problème, ainsi posé se résout sans peine par la construction graphique suivante. On place arbitrairement le sommet B sur la première résultante Ni; puis, avec la longueur donnée BC pour rayon, on décrit un cercle (ou une sphère plus généralement) qui coupe N, au point cherché C, et ainsi de suite pour les autres. On voit qu'il y m une infinité de solutions..

Mais il est rare :qu'en pratique la question soit tout à fait présentée . comme on .vient .de le voir, et .ordinairement la solution . n'est pas aussi facile; Ainsi, les. forces extérieures peuvent dépendre de la situation des. côtés du polygone; au lieu d'être absolument déterminées, commenous l'avons supposé ; elles pourraient aussi comprendre Jes réactions depoints. fixes, dontJa recherclie:se lierait avec celle .de> la forme du

polygone lui-même. Les hypothèses et données étant susceptibles de varier à Tinfinl^ nous nous contenterons de traiter quelques exemples.

166. Exemples particuliers du problème précédent. — Soit le système ABCD... {fig. 60), dont les centres d'articulation

sont B, C, D,...; chaque corps supporte un poids uniformément réparti suivant la ligne qui joint les deux articulations de ce corps/ et proportionnel à la longueur de cette ligne projetée sur Thorizontaie. ,

En premier lieu, il est nécessaire pour l'équilibre que tout le polygone ABCD soit dans un même plan vertical ; car si deux côtés consécutifs, tels que BC et CD, n'étaient pas dans un même plan. vertical, la somme des moments des foret sappliquées à BCD, y compris les réactions, exercées en B et D, ne serait pas nulle relativement à Taxe BD. Donc deux côtés consécutifs sont contenus dans un plan vertical; donc BC est dans le plan vertical de AB; par suite, ce plan contient aussi CD, et en allant de proche en proche on verrait ainsi qu'il contient le polygone tout entier.

Soient maintenant AX, AY .deux. axes coordonnés tracés dans ce plan; X, Y les composantes de la force appliquée en A au système; x, y les coordonnées d'un sommet quelconque C; p le poids qui charge l'unité de longueur en projection horizontale. En égalant à zéro la somme des moments, relativement au point C, de toutes les forces qui agissent depuis ce point jusqu'à l'extrémité A, on aura

Y^r— X/ pX^ZZZQ^ ;

ce qui prouve que tous les sommets A, B, C, D,..., sont sur une même parabole représentée par l'équation précédente. La détermination des constantes X, Y, nécessaire pour la connaissance complète de cette parabole, dépendrait d'autres données particulières de la question.

Si le polygone ABCD... représentait la section droite d'une L a* «DIT. 28

434 GHAPITM SQlTilaU.

enveloppe cylindrique soumise à la pression normale uniforme d'un gaz, dont Tintensité serait de p kilogrammes par mètre de longueur mesurée suivant le contour ABCD, l'équation des moments deviendrait

Yar— Xr±^/>(*»-Hr') = o,

et tous les sommets se trouveraient sur un même cercle. La

quantité -p{a:^-^y) est la somme des moments, relativement

à un sommet C, de toutes les pressions exercées par le gaz depuis ce sommet jusqu'à l'extrémité A; le signe + convient au cas d'une pression intérieure» le signe — au cas d'une pression extérieure. Ici, comme dans le premier problème, il y aurait deux constantes Y, X à déterminer.

A cet effet on pourrait, dans les deux cas, donner par exemple la position de deux sommets relativement aux axes AX, AY; les coordonnées de ces sommets, introduites dans l'équation au Heu de or, ^, donneraient deux relations d'où l'on tirerait X et Y. Si le système était assujetti à être symétrique relativement à une certaine ligne passant par un sommet, les axes de coordonnées étant menés par ce point, celui des x suivant la ligne de symétrie et l'autre perpendiculairement, on aurait Y = o; l'équation de la courbe ne contiendrait plus qu'une constante, et une seule condition serait suffisante pour la déterminer.

Enfin, on remarquera que soit pour la parabole, soit pour

dr Y

le cercle, à l'origine A on a -^ = =7-> ce qui montre que la

force exercée en A sur le polygone articulé est tangente à la courbe des sommets. L'origine pouvant d'ailleurs être placée en un sommet quelconque, sans changer la forme de l'équation d'équilibre, la même propriété est vraie pour les deux actions mutuelles exercées en chaque centre d'articulation.

167. Forme d'équilibre dans le cas d'articulaiiQns infini-ment rapprochées. — Replaçons-nous dans les conditions du n^" 164, et exprimons par des équations l'équilibre de Télé-

STSTfiMES AKTIGULÉS SANS nOTTEMBNT. 4^

ment DE, dont la longueur est ds (fig. Sg). Indépendamment de la force P&, l'élément est sollicité en E par la force T provenant de Faction de la partie £G da système, et en D par une force analogue due à l'action de la partie DA. La première force T> à laquelle nous attribuons comme sens positif celui d'une pression sur DE, est dirigée suivant la tangente en D (n* 164); elle aura donc pour composantes suivant trois axes coordonnés rectangulaires

^dx^ ^dx rj^dz ds^ ds^ ds

Si l'on adopte pour sens des 5 positifs celui de E vers D, la pression en ce dernier point donnera pareillement trois composantes

ds ds ds ds ds ds^

ex comme elles so&t en sens contraire de celles de la force T, il restera en définitive

ds as ds

Donc en appelant X, Y, Z les composantes de P, on aura

Xi5-rf.T$î = o, ds

(1) ( YA^rf.T^=:o,

ds

^élimination de Tînconnue auxiliaire T entre les trois équations (i) donnera deux équations entre les quantités connues X, Y, Z et les coordonnées Xj /-, z. Ce seront les équations diflKrentielles de la courbe d'équilibre.

En multiplant la première des équations (i) par dxy la seconde par dy^ la troisième par dz^ faisant la somme et divisant

436 CHAPITEE HUITlftlIE.

par dSf on trouvera, tout calcul effectué, X.,.ï., + Z..-<,T[(é)V(*)V(S)-]

Or, de la relation

($)'-(îMè)=-

on déduit, en différentiant par rapport à s,

dxd^x ds'

^ ds'

dzd^z ^ ds' =

donc

on aura

dl:

= Xdx-{-

Ydx-hZdz,

équation qui montre comment la pression varie d'un point à l'autre de la courbe des centres d'articulation.

L'équation (2) aurait pu se démontrer plus simplement en projetant sur la direction même de l'élément DE les trois forces T, T-+- rfT, Vds; car « étant l'angle de P avec ds, on aurait eu

rfT=:Pcosa.rf5,

et comme on a d'ailleurs

Xdx-^Ydx-hZdz

cos a =

Pds

on retrouverait l'équation (2) par une multiplication membre à membre des deux dernières équations. Pareillement on peut encore remarquer que pour l'équilibre de Vds avec les deux forces T et T + </T, P doit être dans le plan des deux tangentes avec lesquelles coïncident T et T + rfT, c'est-à-dire dans le plan osculateur de la courbe, que l'angle de contingenc&est

exprimé par — > p étant le rayon de la première courbure; et,

par suite, en projetant sur la direction de p, on posera la relation

(3) î=:=Psin«, ,

SYSTilBIES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 4^7

dont la démonstration analytique serait notablement plus longue. ^

i68. Exemple particulier d'un système dont les articulations sont infiniment rapprochées; système supportant une charge d'eau. — Soit ACB (/%'• 6i) la courbe des centres d'articulation, que nous considérerons Fig. 6i. simplement comme la section droite d'un

cylindre ayant des génératrices de longueur égale à I . On néglige le poids propre des corps articulés et on suppose que les forces extérieures consistent, indépendamment de celles que produisent les appuis, en pressions dues à une charge d'eau dont ■- le niveau est NN. La ligne NN est prise pour axe des or; Taxe des/ est une verticale 0/, relativement à laquelle on admet que le système est symétrique.

n étant le poids d'un mètre cube d'eau, nous devons faire, dans les équations du n** 467,

R = nj, a = 9o^ Donc on a d'abord

JT = o, ou T = constante, T

c'est-à-dire que la pression T est constante, et que le rayon de courbure de la courbe ACB est, dans chaque point, en raison inverse de l'ordonnée y. Cette considération donnerait un premier moyen de tracer approximativement la courbe, au moyen d'une série d'arcs de cercle se raccordant entre eux. On tracerait un premier arc CD partant du point C avec un centre placé arbitrairement sur C/; puis, appelant p^ et p, les rayons de la courbe en C et D, A et A^ les cotes de ces mêmes points au-dessous ^du niveau NN, on poserait la proportion

d'où l'on tirerait le rayon p, avec lequel on décrirait le second arc à partir du point D. On irait dé même de proche en proche, et on aurait toujours soin de ne faire correspondre les arcs successifs qu'à de faibles accroissements d'ordonnées/. Le premier rayon ayant été pris arbitrairement, pour déterminer complètement la courbe, on pourrait lui imposer les conditions d'avoir son point le plus haut C et son extrémité A dans

438 CBApniB Binmftu.

des situations données. Le problème se résoudrait alors par tfttomieiiien^

en essayant diverses valeurs du rayon initial.

Si Ton veut employer le calcul, on remplacera p par sa valeur en fonction de ^ et de -^i ce qui donnera Téquation différentielle de la

courbe CA :

Sh(i)T'=

On peut fiadre une première int^ration, après avoir multiplié les deux membres par %dj^ et on trouvera

ou bien, attendu que ^ = o pour / = A,

Cette équation, résolue par rapport à -^t devient

*= / ■ .\/-[-ai^--''']'

soit, en remplaçant la différence de deux carrés par le produit de la somme et de la différence, et effectuant la séparation des variables,

Y/(/^-A')['-^Cr'-A')]

On doit avoir nécessairement t» (j'-r A')< i, sans quoi l'eipreesion de ^ ne serait pas réelle; par suite, on pourra développer

yj^-h^-^'

:en série, au moyen de la (ormule du binôme; de

STSTfiHES ÀftTICDtÉS SAKS PROTTraiENT. 4^9

cette maniôre, la dernière équation devient

L'intégration est maintenant facile, car elle se ramène à la recherche d'intégrales de la forme / /^ ^ , n étant un nombre entier positif. Or, on sait que

«t, d'un autre o6té, l'intégration par parties donne

J Vf^^^' « \ ^ J J yff^=^'

Ainsi, par cette dernière formule, connaissant les valeurs de l'intégrale pour /« = o et /î = I , on les aura pour /z = 2 et w = 3 ; au moyen de ces dernières, on les aura dans les cas de « = 4 et « = 5 ; et ainsi de suite.

Nous ne pousaerona pas plus loin le calcul sans introduire une hypothèse

restrictive. D'après une équation établie tout à l'heure, 1 j Ct*— /**)

^st égal à I 1 + ( ^ ) J 5 c'est-à-dire au cosinus de l'angle que la tangente à la courbe fait avec l'horizontale. Si la coorbe est assez surbaissée, le cosinus différera de très-peu de i, et -=, (j>^— A') sera une petite

quantité dont il suffira de conserver la première puissance dans les calculs. Dans rhypothèse d'un faible rapport entre la flèche et l'ouverture de la courbe ABC, on posera donc

*V^=;^[-ît(^-''>][-+wi^-*i+-]

44^ GHAPiTR£ HUITlini.

équation dont Tintégrale, calculée comme il est dit ci-dessus, est la suivante :

La constante T pourrait être déterminée par la condition de faire passer la courbe au point donné Â.

169. application des formes d'équilibre de systèmes articulés à la construction de pièces rigides* — Quand on connaît toutes les charges qui doivent agir sur une pièce, y compris son poids propre et les réactions des appuis, on peut construire, en s'appuyant sur les considérations du n^ 167, une courbe telle, que si celle-ci était considérée comme le lieu des articulations, infiniment rapiprochées entre elles, d'un système articulé, l'équilibre existerait. Or cette courbe peut aussi être prise pour fibre moyenne de la pièce, et alors oh aura cet avantage que, dans toutes les sections transversales, la résultante des actions moléculaires passera au centre d'élasticité. De là il résulte que les efforts se répartissent uniformément sur la section, c'est-à-dire de la manière la plus favorable à la résistance, ce qui permet d'employer moins de matière dans la construction de la pièce.

Pour faire usage de cette propriété, il faut cependant remarquer que l'action des forces produit des allongements, raccourcissements ou glissements par suite desquels la forme d'équilibre que la pièce doit finalement conserver ne sera pas tout à fait identique avec celle sous laquelle on doit la construire. Il serait donc toujours utile, et quelquefois nécessaire, de prévoir et de calculer par avance les déformations et d'établir la pièce avec une forme provisoire, de manière que, par l'effet même des charges, elle prtt la forme d'équilibre qu'on aurait en vue. On y parviendrait approximativement au moyen d'une règle de fausse position : on supposerait la pièce construite avec la forme d'équilibre; les déplacements produits par les forces seraient ensuite calculés dans cette hypothèse pour les différents points de la force moyenne, et portés en sens contraire de leur direction à partir de ces points. Le lieu des extrémités de ces déplacements inverses pourrait être

adopté pour fibre moyenne provisoire. Cette solution serait rigoureuse pour le cas de déplacements infiniment petits : pratiquement elle sera donc, en général, d'une exactitude suffisante, car la petitesse des déformations est une conséquence de la stabilité.

Dans sa théorie de la stabilité des voûtes (*), M. Yvon Yillarceau a cherché à déterminer les courbes d'intrados et d'extrados de telle sorte, que la résultante des pressions sur un joint passât au centre de gravité de^ ce joint : la fibre moyenne de la voûte ainsi construite satisferait à la condition d'être identique avec le lieu des centres d'articulation d'un système articulé en équilibre sous les forces appliquées à la voûte, et par conséquent on obtiendrait une certaine économie dans le cube des maçonneries. C'est une des applications les plus intéressantes qu'on ait faites des considérations que nous venons de présenter.

§ IL — Systèmes articulés complexes.

170. Des systèmes articulés complexes. — Dans tous les systèmes précédemment étudiés, chaque corps présentait seulement deux points d'articulation, l'un avec un corps précédent, l'autre avec un corps suivant, et l'ensemble, rédjmit aux lignes droites joignant les deux centres d'articulation de chaque corps, formait un polygone convexe ayant deux extrémités bien définies. Nous avions alors ce que nous conviendrons d'appeler un système articulé simple. Mais il peut arriver qu'après avoir établi un tel système, on réunisse certains corps de ce système entre eux ou à d'autres corps au moyen de tiges ou corps de forme quelconque, articulés eux-mêmes à leurs points d'assemblage. On aura formé de cette manière ce que nous appellerons un système articulé complexe. Le caractère général auquel on les reconnaît, c'est qu'il y a au moins un des corps du système qui présente plus de deux centres d'articulation ou points considérés comme tels.

Ainsi une charpente qui ne serait composée que de deux

(*) Foir l'ouvrage intitulé : Sur l'établissement des arches de pont, envisagé mi point de vue de la plus grande stabilité; Paris, i854.

44^ GHAnTBB ■mntBB.

arbalétriers et un tirant se classerait cependant parmi les sjstèmes complexes, parce que chaque arbalétrier serait articulé avec l'autre arbalétrier et le tirant, et aurait en outre un appui fixe assimilé k un centre d'articulation.

Nous ne pouvons pas donner de théorie générale des systèmes articulés complexes. Nous nous bornerons à traiter quelques exemples.

171. Charpente composée de deux arkaléîriers simples^ deux contre-fiches^ tinmt et poinçon. -^ Soit donnée la charpente ABCDFGH (fig. 6^), dont nous représentons les diverses pièces Fig. 63. par de simples lignes droites ; AB,

BC sont les arbalétriers, soutenus vers le milieu de leur longueur^ en D et G, par les contre-fiches DF, GF; un tirant AC reçoit les extrémités des arbalétriers; enfin les points B, F, H sont réunis par un poinçon principalement destiné à empêcher la flexion que subirait le tirant sous l'action de son poids et des pressions transmises par les contre-fiches dans le cas où l'absence de poinçon obligerait le constructeur à les assembler avec le tirant. Les pièces AB, BC supportent un poids uniformément réparti, à raison de p kilogrammes par mètre courant de pro* jection horizontale, y compris leur poids propre. Le système est supposé symétrique par rapport à la verticale, et il repose sur deux appuis fixes en A et C ; enfin tous les assemblages sont censés constituer des articulations sans frottement. Il s'agit de déterminer les forces extérieures inconnues qui sollicitent les différentes pièces, afin de vérifier si les dimensions sont suffisantes, conformément aux méthodes qu'enseigne la Résistance des Matériaux.

Soient « et |3 les angles FGB, HCB; 2a l'ouverture AC; T la tension du tirant ; R la compression de la contre-fiche ; S la tension du poinçon en dessus du point F; P le poids du tirant. On négligera, pour plus de simplicité, les poids des trois pièces FG, FD, BH, comme faibles comparativement à P et à la charge 2pa des arbalétriers.

STSTJfcHES ÀKTICULtS SAKS PEOTTBMSNT. 443

Si Fon considère d'abord un arbalétrier BC^ on voit qu'il supporte» en dehors des points d'appui B, G, C, une force pa uniformément répartie, dont chaque élément pdx^ répondant à une longueur infiniment petite dx prise sur la longueur HC, pourrait être décomposé en deux forces pdxsxiï^y pdx cos^, suivant la direction de BC et la direction perpendiculaire. Les premières composantes tendraient seulement à comprimer la fibre moyenne de l'arbalétrier; les secondes seules produiraient une flexion. Or nous admettrons que le constructeur a déterminé le serrage de la contre-fiche de manière à rendre nulle la flèche que toutes les forces />rfj:cosp, dont la somme est pa cos^f feraient prendre en C à l'arbalétrier s'il n'était pas soutenu par la contre-fiche. Il en résulte que, au point de vue de la flexion et des pressions normales exercées sur les appuis, la pièce BC pourra être considérée comme supportant une charge. /^acos^, uniformément répartie et comme soutenue en trois points équidistants B, G, C. On trouve alors immédiatement les réactions normales des points d'appui, savoir :

-^pacos^ pour B et C, ^pacos(3 pourG(n*T7).

Cela posé, comme il n'y a de forces appliquées à la contrefiche qu'aux extrémités F, G, et que par conséquent ces forces doivent être dirigées suivant la droite FG, on voit que la réaction totale B, supportée en G par l'arbalétrier, aura cette même direction; donc on pourra d'abord poser l'égalité

B sin a = g pa cos (3,

qui détermine l'inconnue B. Secondement, la réaction totale appliquée au point C de l'arbalétrier se compose de la tension horizontale T du tirant et d'une force verticale Q; la composante normale de cette réaction sera Qcos^ — TsinP; donc

on aura

Q cosp — Tsinp = -g pacos^.

On voit que la tension T serait connue si l'on avait la valeur de Q : pour la déterminer, il faut auparavant trouver la ten-

444 CHAPITKB HUlTltMI.

sion du poinçon dans la partie FH. Cette tension, devant

simplement empêcher la flexion du tirant, aurait pour valeur

normale g P; donc, si Ton pose Téquation d'équilibre en projection verticale, des forces extérieures au système composé des deux abalétriers, des contre-fiches et du poinçon, cette équation sera

2Q-2/>a--gP=zo (*).

Quant à la tension S du poinçon dans la partie FB, il est clair que ce sera celle de la portion FH, plus la somme des deux composantes verticales des forces R transmises par les contrefiches; et Ton aura, par suite,

S = gP-4-2Rsin(«-(3),

- Il est aisé maintenant d'écrire les valeurs de toutes les forces cherchées. On trouvera successivement

•. 5 cosô 8'^ sina

^ i3/>a + 5P i6tangp

S=.^p^5 cosfisin(«-P)^ 8 4'^ sma

La dernière formule peut encore s'écrire ainsi :

S=|[p.,^eo,.,(-?HÉ)],

( * ) La force Q ainsi calculée diffère du poids de la demi-ferme : mais cela n'a rien qui doÎTe surprendre, car T et Q constituent, non pas la réaction de l'appui siir la ferme, mais la réaction du tirant sur Tarbalétrier.

SYSTftHES ARTICULÉS SANS FROTTEMENT. 44^

et, dans l'hypothèse de a peu différent de go degrés,

S=:g(PH-2/>aCOS^(3).

On possède maintenant toutes les données utiles pour procéder à la vérification de la résistance des principales pièces de la ferme. Le tirant ne doit guère résister qu'à ia tension T, car la flexion due à son poids est peu sensible, surtout avec le secours du poinçon. Lescontre-fiches.et le poinçon ne résistent pareillement qu'à des efforts longitudinaux. Quant aux arbalétriers, ils doivent supporter, outre les efforts dus à la flexion, des forces de compression longitudinale agissant suivant leur axe; les forces totales qui produisent ces effets seront connues dans chaque section, et l'on en conclura les actions moléculaires correspondantes.

172. Ferme de charpente enfer à grande portée. — Danis la plupart des gares de chemin de fer et beaucoup d'autres bâtiments, on trouve des fermes construites comme l'indique le croquis ci-dessous (^g. 63), dont la disposition ingénieuse' a été imaginée par M. Polonceau. AB, BC sont les arbalétriers, p. g3 tantôt en bois, tantôt

jj en fer ou en fonte, sou-

y J^;. T tenus perpendiculaire-

x/ \ \/\ ment en leurs milieux

F, G par des bielles en fonte FD,GE. Ces biel- -^<r^ . .„^ ^*^'^'^;^^ les s'articulent à leurs

' < deux extrémités, d'une

part avec les arbalétriers, d'autre part avec des mirants AD, DB, GE,£B, qui les réunissent aux extrémités des arbalétriers. Enfin, un tirant horizontal DE réunit les deux moitiés de la ferme et les empêche d'exercer une poussée trop considérable contre les supports. Il s'agit encore ici de se rendre compte des forces auxquelles doivetit résister les 'diverses pièces.

D'abord les appuis doivent exercer en' C et A, sur cette ferme, des réactions égales pour cause de symétrie, dont la composante verticale aura nécessairement pour valeur le poids

tPo

446 CHAPrrRB HUiTitai.

de la demi-ferme avec la charge correspondante. Nous admettrons que cette iîharge, en y comprenant le poids propre des pièces, est un poids uniformément réparti suivant Thorizontaie, et nous la désignerons par pa^ p étant le poids par mètre

eourant mesuré horizontalement» et a« la distance ÂC;

pa sera donc la composante verticale de la réaction en A ou CL

Les forces verticales appliquées à une moitié de la ferme se

réduisent à un couple (pa, —pa), dont la force est pa et le

bras de levier à très-peu près - a; ce serait rigoureusement - a

en négligeant le poids des bielles et tirants, simplification qui n'entraînera pas d'erreur sensible. Donc les forces horizontales doivent se réduire à un couple dont -pa* sera le moment.

Or, ces forces horizontales sont : i^ la réaction mutuelle des deux moitiés de ferme en B ; 2? la tension T du tirant ; 3<* la composante suivant AC de la réaction de l'appui soutenant la moitié considérée. SI l'on suppose que le Urant DE a été suffisamment tendu, cette dernière composante pourra être nulle; la réaction mutuelle en B sera égale et contraire à T, et, en désignant par b la distance de DE au sommet B de la ferme, on aura

d'où l'on tire

Telle est la tension qu'il conviendra de donner au tirant; elle se produirait d'elle-même par le seul fait de l^ailibre, si un des appuîis A ou C était disposé de manière à ne pouvoir exercer de réaction horizontale» ce qui entraînerait la nulUté de ta réaction horizontale exercée par l'autre appui. Ordinairement cette condition n'est pas remplie, en sorte, que k tensM)n T. est réalisée par un serrage couyenaUe que l'on effeeiue atf moyen des procédés connus, par exemple avec un écrou portant deux surfaces de vis filetées en sens contraii^es; cet éorou, placé vers le milieu du tirant» assemble ses deux moitiés et les lait

marcher Tune vers l'autre, de manière à produire une tension si les points D et E sont fixes. On emploie aussi des vis de rappel placées à une extrémité du tirant qu'il s'agit de tendre» ou bien des clefs et contre-clefs analogues à celles des têtes de bielle, usitées dans les machines à vapeur.

Les tensions S et Q des tirants BE, €E et de leurs symé* triques BD, AD sont produites artificiellement par des moyens analogues. En opérant le serrage, le constructeur doit remplir cette condition que les bielles FD, GE soient assez pressées contre leurs arbalétriers pour annuler les flèches que ces pièces tendraient à prendre aux points F et G. Dès lors, par des considérations semblables à celles dont on a fait usage au n** 171» en appelant R la pression totale de l'une des bielles, et ^ l'angle des arbalétriers avec l'horizontale AC, on est conduit

à l'égalité

R= g/?rtcosp.

De même on voit que la réaction appliquée au point C, normale-

ment à l'arbalétrier, est exprimée à la fois par -gf û cos|3 et

par pa cos|3 — Q cosa, a étant l'angle de l'arbalétrier avec uA des tirants qui soutiennent la bielle. Donc on a

-^pacos^ = pacos^ — Qsina,

et par suite

^ i3/><gtcosp.

i6sina

Enfin on trouve la tension du tirant B£ par un procédé analogue, en exprimant que la somme algébrique des projections des forces S et T, sur 1^ perpendiculaire à l'arbalétrier, doit

être égale à -g/>«cosPj ce qui donne

Tsin|3 — Ssina = -g/>tf cos(3,

ou bien

sina losma asina\ à 8 ^/

448 CHAPITBB HUITIÈME.

Connaissant les forces Q, R, S, T, qui s'exercent symétriquement sur les deux moitiés de la ferme, la vériflcation de la résistance devient facile» comme dans l'exemple du n^ 171.

Quelquefois, quand la portée devient un peu considérable, on ajoute à la ferme un poinçon pour soutenir le tirant DE en son milieu, el rendre insensible sa flexion, qui produirait un effet désagréable à l'œil. La tension de ce poinçon doit être alors les cinq huitièmes du poids du tirant. L'introduction d'une aussi faible force dans le système ne modifie pas sensiblement les résultats que nous avons trouvés.

Dans certaines circonstances, afin d'éviter la poussée horizontale que doit produire la ferme quand elle se dilate par suite d'un accroissement de température, les deux extrémités inférieures des arbalétriers ont été reçues dans deux sabots de fonte, dont l'un a été fait mobile sur des roulettes. La course du sabot mobile s'effectue suivant une horizontale, elle est d'ailleurs limitée par la fixité de l'autre sabot, ou par des arrêts qui ne lui permettent qu'une amplitude convenable. On peut éviter aussi que les variations de température ne soient accompagnées de changements plus ou moins nuisibles dans le serrage des tirants; il suffit pour cela de constituer toute la ferme avec des matériaux ayant le même coefficient de dilatation, parce qu'alors le système en se dilatant resterait semblable à sa figure première. Cependant il ne paraît pas, d'après l'expérience acquise des constructeurs, que ces précautions aient une grande importance pratique, et le plus souvent on ne s'assujettit pas à les observer.

Enfin, nous remarquerons qu'il parait assez difficile de réaliser exactement pour les cinq tirants le degré de serrage convenable, correspondant à la tension indiquée par les calculs précédents. Peut-être serait-il bon de chercher un procédé d'un emploi facile pour connaître la tension qui existe dans un tirant, quand il est posé et serré; car, faute de ce procédé, il reste nécessairement beaucoup d'incertitude sur les actions moléculaires effectives auxquelles sont soumises les diverses pièces.