L 2I« ÉDIT

45o CBAPiTii BDiniau.

forces norniales exercées sur Tarbalétrier en B» I» G» L, C «liront les valeurs suivantes (n* 77), savoir :

R' = Tg/'^cosj}» au milieu G,

R'' = -pa cosp, en I et L,

R*'=: — pacosô, en 3 et C.

Les deux forces R' ne sont autre chose que les compressions des bielles PI et NL; les autres nous serviront à établir des relations entre les inconnues qui restent à trouver.

Ainsi la réaction R^ en Ç est produite par les composantes, suivant la normale à BC, de la force pa due à Tappui et de la tension Q du tirant NC : donc on a

— pa cosp = pa cosjî — Q sina,

^ loi cosô iia'^ sma

En procédant de même pour le point B, avec la force T action mutuelle des deux moitiés de la ferme et la tension S du tirant BP, on aura

— /iacos(î = Tsinp — Ssîna, •

ou bien

c TsinS n cosS

S = -r — 'pa -r-^?

sina 112^ sma

ce qui donne S, puisque T est connu.

Pour avoir les tensions Q', Q^, S', S*" des tirants NE, NG, PE, PG, on pourra poser les équations d'équilibre des points P et N. Si Ton choisit pour axes de projection la parallèle et la per- ]>endiculaire à Tarbalétrier, on obtiendra les équations

(Q'-Q'^-Q)slna^R''=o,

(S'^S"~S)sinaH-R'^=:o,

SYSTÈMES AKTIGULÉS SAKS FROTTEVBNT. . 4^1

relations d'où Ton déduira très-facilement Q', Q'', S', S*', les quantités Q, S, R'^ étant déjà déterminées. On trourera

2sma 7^ sma

/v 85 cos(3 ^ iia'^ sma

S' = -A- f T sin p - ^ M cos S V sma \ "^ 112-^ ^ ]

Enfin, on détermine la pressioo R de la bielle GE, en exprimant que la somme des projections sur la ligne GE des forces R, Q'', S" est égale à la réaction R' que l'arbalétrier doit recevoir en G; donc on a

^ ptf cos (3 = R - ( Q'^ H- S'' ) sin a,

et finalement

R^|§P«cosP-

Toutes les forces extérieures qui sont appliquées à chaque pièce étant maintenant connues, la vérification de la résistance ou le calcul des dimensions transversales s'effectueront sans difficulté.

174. Poutres en treillis; i® poutres simplifiées. — Nous considérerons d'abord le système simplifié que représente layig-.65.

La poutre est formée de deux cours de tiges horizontales placées dans le même plan vertical, suivant les lignes ÀBCD. . ., A'B'C'D', . .; ces tiges sont censées articulées entre elles aux points B, C, . . . et aux points B% C% . . • . En ces mêmes points, ainsi qu'en A et A', sont articulées d'autres tiges inclinées AA% A'B, BB',. . ., ayant toutes la même longueur, et faisant par

452 chàpitjie huitième.

conséquent le même angle a avec la verticale. La poutre ainsi définie peut être posée sur deux appuis et chargée en ses sommets A, B, C,. . ., A', B', C',. . ., de poids quelconques, dans lesquels on suppose compris le poids propre des tiges.

Quelle que soit la charge, comme il n'y a que deux appuis seulement, la Statique élémentaire permettra de calculer immédiatement leurs réactions : nommons P la résultante obtenue en composant celle qui s'exerce à l'extrémité A avec le poids directement appliqué à cette articulation. Le point A doit rester en équilibre sous l'action de la force P et de deux autres forces dirigées suivant AA' et AB, lesquelles sont les pressions ou tensions de ces deux côtés : ces deux dernières forces sont donc déterminées, puisqu'on connaît leur direction et leur résultante. Le parallélogramme des forces fait voir

que A A' supporte une pression et AB une tension P tanga.

De même, si nous nommons F la résultante de la pression

subie par AA' et du poids suspendu en A', nous verrons

que P' doit être tenue en équilibre par deux forces agissant dans les directions A'B' et A'B, de sorte qu'il suffira de décomposer P' suivant ces deux lignes pour en conclure les pressions ou tensions correspondantes. On passera ensuite au point B; nommant P'^ la résultante du poids suspendu en B et des forces déjà trouvées qui agissent suivant BA, BA', on décomposera P" suivant BG et BB', ce qui fera connaître les efforts supportés par ces deux tiges. Et ainsi de suite, en parcourant successivement les. sommets suivant la ligne brisée AA'BB'CC. . ., on finira par avoir déterminé, de proche en proche, toutes les forces intérieures du système.

Cette méthode, fort simple en principe, réussirait toujours, avec une distribution quelconque des charges sur les sommets; mais elle serait d'un usage pénible, si l'on voulait effectuer graphiquement, par la règle du parallélogramme des forces, les nombreuses compositions ou décompositions qu'elle exige. Dans la pratique, il vaudrait mieux employer le calcul et procéder comme il suit.

Considérons C et C {Jig. 65) comme deux sommets dé rang

quelconque ï, le numérotage commençant par o en A et A', et marchant de gauche à droite. Nommons :

ipi le poids attaché en C; 7.p\ celui qui agit en C; T," la tension du côté BC ; "// celle du côté incliné CD; Q/ la compression de B'C; qi celle de CC.

Les mêmes lettres affectées d'autres indices désigneront les forces analogues agissant avant ou après les points C et C II ne peut d'ailleurs y avoir aucun inconvénient à préjuger d'avance, comme nous l'avons fait, la nature de Teffort intérieur subi par chaque côté : quand on se trompe sur le'sens d'une force inconnue, elle figure partout dans le calcul avec un signe contraire à celui qu'elle devrait avoir, de sorte qu'on est averti de l'erreur en trouvant finalement une valeur négative pour cette inconnue, et qu'il est alors facile de rétablir les choses conformément à la réalité. Cela posé, ^équilibre de C exige que la somme des projections horizontales ou verticales des forces appliquées à ce point soit égale à zéro, ce qui donne les équations

(i) t,+, — T/— (^,-, -f- qi) sina = o,

(2) (/,, — ^i)cosa — 2/i, = o;

on aura pareillement les équations d'équilibre du point C : *

(3) Q,+, — Qi — ( ti 4- qi) sin a == o,

(4) {^/— ^i)cosa + 2/?;. = o.

En retranchant l'équation (2) de l'équation (4) telle qu'elle est écrite, puis de cette équation dans laquelle on aurait diminué les indices d'une unité, on trouve

(5) [ti— //,)C0Sa-f-2(/?/H-/?'. )==:0,

(6) (gi-~î,-i)cosa-4- 2(p/H-/>;.J=:o;

la combinaison des équations (i) et (2) d'une part, (3) et (4)

454 chàpitbx Huiniaa.

d'autre pari fournit aussi les relations

( 7 ) Ti+t — T, — 2 (gfi sina -4- /i,langa) = o,

(8) Q/+, — Q/ — 2{qiSmoc —p'. tangar) = a.

Les huit relations précédentes sont vraies lorsque Tindice i est au moins égal à i; mais pour les points A et A^ répondant à 1 = 0, il faut les modifier en raison : i®de la force ascendante P qui se substitue au poids 2p,; 2? de Tabsence des forces Q., T„ /,, g,, p^ : en tenant compte de ces changements, on trouve par les quatre dernières relations ou par les quatre premières

cosa

T, = a 5. sin a — P tanga =: P tanga,

Qi = 2 (g. sina — /, tanga) = 2 (P — /, ) tanga,

résultats qu'il serait aussi facile de démontrer par la méthode de décomposition successive exposée en premier lieu. Maintenant on connaît les valeurs initiales des forces généralement désignées par t, q, T, Q, et, comme les relations (5), (6), (7 )et (8) déterminent leurs accroissements ou différences quand l'indice augmente d'une unité, il sera facile de former toutes les va^ leurs suivantes. Voici comment le calcul pourrait être conduit. Écrivons les deux suites d'équations tirées de (5) et de (6) ;

(^— tt)cosa = i{pt-\-p\), (ti — ti) cosa =2 2 (pi-hp\), ( /, — /,) cosa = 2 {pi-\-p\),

(/;, — ti ) cosa — ^(pi-^p\ );

(?• — ?i) cosa = 2 [p,^p\)^ (î« — ?> ) cosa = 2 (;>, H- p\ ), (î» ~ ?s) cosa — 2 (/>, + /?',),

{},.., — qi) cosa = 2 {pi -h p\^ );

STSTftHES ÀineOUB UàM tllOTTEHENT. 4^

si Ton somme chacun de ces deux gtimpes, ii viendra

{t$— ti)cosa

= ^[{pi-^pt'^p,-h...-hpi)-¥-{p\-hp\-^p',-h...-hp])], (?o— î,)cosa

= ^[iPi-^Pi^Pz'h...'^Pi)'h(pf.'¥'p\^p\^...-hp\^,)].

En substituant les expressions (9) ci-dessus trouvées pour U et qo, et posant, afin d'abréger,

i.n\ ) Si = Pi-^p.-hp,^...-hpi,

les deux équations précédentes, résolues par rapport à f«- et f^ deviennent .

) cosa

^ cosor

Ces formules comprennent, comme cas particulier, les deux premières formules (9), pourvu qu'on regarde S« et Sl^ comme nulles [ce qui n'a d'ailleurs rien d'incompatible avec la définition des sommes S,-, SJ contenue dans les formules (10)]; on y serait arrivé directement et très-simplement si Ton avait exprimé l'équilibre en projection verticale des forces appliquées à la partie du système comprise entre le point A et un plan vertical passant d'abord entre C et D, puis entre C et C.

Une marche analogue donne T.- et Q,. D'abord on substitue dans (7) et (8) la valeur (i i) de Çi, et l'on trouve

T,>i - T, =: atanga (P + ;?, — 2S1- aS'^), de là résultent, en faisant i successivement égal à i, 2, 3,. . .,

'4^6 CHAPITIK HURliMI.

les deux groupes d'équations :

T,— T.= 2langa(P-+-p,— aS.— aS;), T, — T,= 2tanga(P-+-/>,— aS,— aS'J, T4— T5=alanga(P-+-/?,— aS,— aS^,),

Ti4.i— T.= atanga(P-4-/>.~aS.— aS;.i);

Q,~Q. = 2tanga(P-p',-aS.~aS'J, Q3-Q,=:3langa(P — /?', — aS,— aSrj, Q,-Q3z=alanga(P~/>',-aS3-aSr,),

Qi+i-Qi= 2Ung« (P— /,- aS,~ aS;.i).

DéOnissons maintenant deux nouvelles séries de sommes par les équations

( 2,- — Si-+-S,-4-S3H-..--f-Sf

I z=iipj-+-(i— i)/?,H-(i— a)/>,-f-...-f-a/>^.,H-/?/,

et faisons la sommation de chacun des deux groupes précédents; en substituant dans les résultats les valeurs (9) de T. et Qi . il viendra définitivement

( T,^..==atang«[^^i-i-i^PH-Si-a2,-22;J> ( Q/+.= atanga [(!-+- i)P-S;-a2,-a2;J.

Comme les sommes 8/, S^ , 2, 2^^ peuvent, ainsi que la force P, se calculer immédiatement au moyen des poids donnés, les formules (11) et (i3) renferment la solution la plus générale du problème que nous nous étions proposé. Nous passons maintenant à Texamen des cas particuliers.

Effet d'une charge isolée, suspendue à un sommet infé" rieur. — Si la charge se réduisait à un seul poids ap* suspendu à Tune des articulations B, C, D, . . . de la ligne inférieure, il faudrait supposer p'i constamment nul, et par conséquent

SYSTÈMES ARTIGUUfiS SANS VROTTISMBIIT. 4^7

de même» on aurait

Si=:0

pour toute valeur de i inférieure à A", et

lorsque î atteindrait ou dépasserait k. On déduit de là, par la première formule (12),

2/=:o pour i<ik^

li=:{i—k-^i)pi pour i^k*

D'un autre côté, nommons » -4- 1 le nombre des sommets tels que B compris entre les deux extrémités; le poids npt agissant à la distance A*AB du point A, pendant que la longueur totale entre les appuis est (» + i)ÂB, produira en A une

réaction 2/11 ( j > qui ne diffère point de P : ainsi

Eu égard à ces premiers résultats, les formules (11} et (i3) donnent, l'indice i étant inférieur à A*,

a/?it(yi — A- + I) ^'~^'" (/i-f-i)cosa '

4/?* tanga (/i — A* + 1) f / + - j

^ ^pk tanga (n — k •4-i)(t-4-i) .

l'indice i étant égal ou supérieur à fr.

qi=ti

^kpk

(»-4-i) cosa 4A-p* tanga U — ' + ^j

n-hi

A — 4^P* tanga (n — Q

vi+i — zrT~:

458 ciAPiTmi vuiTitaB*

Les formules (i4) et (i5) conduisent à quelques remarques importantes.

i"* Les valeurs de i et de k ne pouvant nécessairement dépasser n, on voit de suite que les forces T,+, et Qz+i restent toujours positives, quels que soient ces indices. Ainsi, Tun quelconque des poids attachés en B,C«D,... comprime les côtés horizontaux supérieurs et tend au contraire les côtés horizontaux inférieurs. Or, le théorème général du n*» 63, relatif à la superposition des effets produits par les forces, est applicable aux tensions et pressions T, Q, t, q, car si Ton imaginait la pièce coupée en deux par un plan, ces forces de^ viendraient des forces extérieures inconnues pour chacune des deux parties; d'ailleurs le théorème se vérifie sans peine dans le cas actuel, au moyen des formules (i i) et (i3), après y avoir remplacé P par sa valeur. Donc, si l'on suppose un ensemble de poids analogues à 2p*, les effets partiels de chacun d'eux étant ici tous de même signe, leur somme algébrique ira toujours en s'augmentant à mesure qu'on ajoutera un poids nouveau; et comme cette somme exprime l'effet total dû à Tensemble des poids, on voit que les pressions et tensions dans les côtés horizontaux acquerront leur plus grande intensité lorsque la charge sera complète.

a° La même proposition n'est plus exacte en ce qui concerne les efforts t eiq supportés par les tiges inclinées. On voit en effet, par les formules (i4) et (i5), que /,• et qt passent brusquement du positif au négatif lorsque i devient égal ou supérieur à k. Les notations ti et qi désignant les efforts de deux tiges qui viennent se couper sur la ligne horizontale supérieure, en un point tel que ÇI{fig. 65), il résulte de ce changement de signe que l'un quelconque des poids np^^V-* tachés au delà de C vers la droite produit une pression dans la tige ce, tandis que les poids 2/?^, suspendus au point C lui-même ou" en deçà vers la gauche, engendreraient une tension dans la même tige. Ainsi, l'effort total de la tige en question, lorsqu'on chargera un certain nombre de sommets inférieurs arbitrairement choisis, peut varier entre la pression totale produite par les poids agissant au delà du point C jusqu'à l'extrémité de droite, et la tension produite par les poids

SYSTÈMES AETlCCLfiS SlKft PBOTTEHBNT. 459

agissant depuis l'extrémité A jusqu'au point C inclusivement. Les deux mêmes combinaisons de poids donnent aussi, comme on le reconnaît facilement, les efforts limites de la tige conjuguée CD. On a toujours, en effet, ^, = g, lorsque les poids ^p' sont tous supposés nuls.

Effet d'une charge uniforme et complète. — Supposons un même poids ^p en chacun des sommets inférieurs ByC,D,. . .; afin de rendre encore plus grande l'uniformité de la charge, on pourrait aussi supposer un poids p à chacune des deux extrémités : mais cela ne changerait rien aux résultats, car ces derniers poids seraient détruits par' une réaction égale des culées. Les poids 2/1 étant en nombre n, il faut faire P = np,\ on a d'ailleurs, en vertu de la définition même des notations,

la substitution de ces valeurs particulières dans les formules ( 1 1 ) et ( 1 3 ) donne en conséquence

ti =^ Qi = ' —J

^ cosa

T.+.nrr ip tanga \n M -+- ^] -^ « — i(' -*- oj

=i:[/i-h2/(7»-— i)'\p tang(Xy Q,-i.i= ^p tanga [»(i -4- 1) — «( t + 1)] =: 2(i-f-i)(i»— i)/> tanga.

Lorsqu'on examine comment varient les forces exercées sur les divers corps du système, dans le cas actuel, on voit sans peine, au moyen des formules (16), que les pressions et tensions des tiges inclinées diminuent en allant de l'extrémité au milieu de la poutre, tandis que le contraire a lieu pour les tiges horizontales. La première formule (16) indique même une valeur nulle pour ti et qi au point milieu, en supposant que» soit un nombre pair; dans le cas contraire, » — 21 ne peut s'annuler, mais peut descendre seulement jusqu'à i : le

46o GBA.P1TRB HUITlfeHB.

minimum — ^ de ti et Oif sans se réduire à zéro, n'est qu'une cos« • ^ ' > ^

assez faible fraction du maximum — ^> le nombre n descen-

cosa

dant rarement au-dessous de 5.

Les maxima de T^^.! et de Qi^t, lorsqu'on fait varier i, répondent respectivement à i = - et à i = ? c'est-à-dire

qu'ils ont lieu dans les côtés qui contiennent le point milieu ou lui sont adjacents; ils ne peuvent pas se produire rigoureusement tous les deux, puisque i ne doit recevoir que des valeurs entières, mais ils se produiront, l'un rigoureusement et l'autre à très-peu près, pour peu que n soit un nombre notable. Ils ont pour valeurs

-/> tanga.(/n-i)» et -p tanga [{n-^iy — i];

ils sont donc sensiblement égaux, car leur différence relative s'exprime par la fraction r -> soit ^ au plus,

^ffet d'une charge permanente uniforme et complète, jointe à une surcharge également uniforme, mais pouvant être à volonté complète ou incomplète. — Nous supposons encore tous les poids attachés aux sommets inférieurs. Les remarques faites plus haut, à l'occasion du premier cas (celui d'un poids unique), montrent que les côtés horizontaux se trouveront dans la condition la plus défavorable et supporteront les plus grandes forces quand la surcharge sera complète. Les formules (i6) seront alors applicables, puisque en somme la poutre soutiendra un poids uniformément réparti sur sa longueur entière.

Pour chacun des côtés inclinés on doit ajouter algébrique^ ment l'effet de la charge permanente [déjà déterminé au moyen de la première formule (i6)] avec les deux effets limites de la surcharge, lesquels s'obtiendront en surchargeant toute la portion de poutre située avant ou après le côté en question. On a donc ici besoin de déterminer /,• et qt sous l'action d'une surcharge uniforme, mais incomplète, commençant à l'une

SYSTÈMES ÀRTIGUUfiS' SkUS FROTTEHEMT. 4^1

des extrémités, et finissant au côté dont on s'occupe ou bien immédiatement avant.

Nous allons d'abord traiter cette question incidente avec un peu plus de généralité, en plaçant un poids api sur chacun des k premiers sommets B, C, D, • . . , et cherchant ti et qt pour une valeur quelconque de l'indice. A cet effet il faut employer les formules (ii), après avoir calculé préalablement la force P. Or, les k poids 2/>, donnent une résultante ^kpt située à la

distance - (A* -f- 1) AB du point A, qui produit en ce point une

, r I //r-hiNI . /rfan — /r + i) , ,

pression zkpi 1 i ( ) j soit — ^ pi : c est

la valeur de P. D'ailleurs, S] est toujours nulle, et l'on a, pour i inférieur ou égal à k,

Si=:ipi; donc on tire des formules (i i)

^ '' « V' cosa L ^-^^ J

Lorsque ï atteint ou dépasse A*, la somme S, ne varie plus, mais conserve la valeur constante kpi ; la formule précédente doit donc se modifier en remplaçant 1 par k dans le second membre, d'où résulte

^ cosa L '* "^ ^ J

OU bien

/ Q> / ^ kp^{k-hl)

Cela posé, on a vu plus haut que les limites de /,• et qt répondent à la surcharge des i premiers sommets B, C, D, . . . , ou à celle des n — i sommets restants dans l'intervalle des appuis. On les obtiendra donc en faisant /r = i dans la formule (17) ou A- ?= /i — I dans Ja formule (18), ce qui donne

4&B CBàPITRB HVITIÈIU.

successivement

'^-«-~~û-hi)cos«'

^^^ * ^' (n^i)cosa

Si Ton résout par rapport à i l'inégalité

on en déduit, toute simplification faite,

donc l'expression (19) l'emporte en valeur absolue sur la précédente dans la première moitié de la poutre, et si Ton se borne à considérer cette moitié (ce qui suffit en raison de la symétrie), la même expression fera connaître la limite de j, et ti sous l'action isolée de la surcharge. En y Joignant l'effet de la charge permanente, calculé précédemment, on aurait finalement pour la limite qui existerait en réalité

formule dans laquelle i pourrait recevoir toutes les valeurs positives ne dépassant pas - •

On voit que l'expression (20) décroît paraboliquement lorsque i augmente, depuis le maximum ^\P'^P'] rénondant

cosa ^

à « = o et à une charge complète, jusqu'au minimum dont la valeur est

4(ii-+.i)cos« <lans le cas de n pair,

— ;^^g^ dans le cas de n impair.

Le rapport du minimum au maximum s'exprime respective-

SYSTÈMES A.IITIGOIJS SAHS FROTTEMENT. 4^3

ment par

4* n-f-i 'p-4-p, 4' ^{p-^Pt) ^

pour le rendre aussi grand que possiUe, il faut supposer p négligeable devant j»t et donner à n sa plus iaible valeur. Les

hypothèses /> = o, nz=5 le rendent égal à ^^ ce nombre est

une limite supérieure. On se rapproche de la vérité, dans les circonstances ordinaires» en supposant /»=:/7i, ce qui abaisse

à -2- la fraction qu'on vient de trouver; avec n pair et égal

à 4 ou 6, les résultats seraient encore moindres : par cette

raison, nous adopterons j pour valeur générale du rapport

dont il s'agit, et cette évaluation se trouvera plutôt forte que faible. On remarque en outre que la parabole représentative des valeurs de l'expression (20), lorsqu'on prend i pour abscisse, tourne sa concavité vers les ordonnées positives; elle est donc toujours en dessous d'une ligne brisée qui joindrait son sommet aux deux points extrêmes. On aura donc une limite supérieure des efforts U^ qt en les déterminant conformément à la règle que voici : 1° Chercher les efforts ^,, q^ aux environs d'un appui dans l'hypothèse où la surcharge complète agit concurremment avec la charge permanente; 2P faire décroître uniformément cette valeur initiale en allant d'une extrémité au milieu de la poutre, non plus jusqu'à un minimum nul {comme dans le cas d'une charge uniforme et complète),, mais seulement jusqu'à un minimum égal au quart du maximum; 3* répéter symétriquement les mêmes résultats dans la^ seconde moitié. Telle est la règle pratique à laquelle nous conseillons de se conformer, dans le but de réunir la simplicité des calculs à une exactitude suffisante.

2*» Extension des résultats précédents aux poutres en treillis. — Pour passer du système abstrait que nous venons d'étudier aux poutres en treillis, telles qu'on les emploie dans les ponts américains, on fera usage des aperçus approximatifs suivants.

464 CHAPITRE HOITltMB.

D'abord les tiges horizontales articulées à leurs extrémités pourront être remplacées par des poutres dont ABCD..., A'B'C'D'... {Jig*6S) seraient les fibres moyennes; car ces poutres n'ayant que de petites dimensions transversales, eu égard à leur ouverture, jouiront d'une flexibilité considérable qui permettra de les assimiler théoriquement à des corps formés d'une série d'éléments joints entre .eux par des articulations. En second lieu, on imaginera que la tige inclinée AA' est subdivisée en plusieurs autres tiges de même direction, également espacées et réparties entre AA' et BB', et qu'une transformation tout à fait pareille a été opérée sur les autres tiges inclinées. On conçoit que si AB est une fraction suffisamment petite de la distance totale des appuis, ce second changement n'aura pas encore notablement troublé les tensions et pressions des côtés horizontaux ; et quant aux côtés inclinés, les groupes compris entre deux côtés parallèles et consécutifs du premier système travailleront, en somme, à peu près comme les côtés qu'ils ont respectivement remplacés. Ils devront donc avoir, en somme, la même section. La section de chacun d'eux en particulier pourra se calculer comme s'ils travaillaient tous également, ou, mieux peut-être, comme si le changement de tension entre deux tiges parallèles consécutives de la Jig. 65 devait s'effectuer par accroissements égaux dans les tiges du treillis (*). Une hypothèse analogue serait applicable aux côtés horizontaux.

En vertu d'une remarque faite tout à l'heure, il conviendrait

C^) Si lea distances AB, BG, ... étaient subdivisées en k parties égales, la charge étant formée de n poids 3/7 appliqués en B, C, D,. . ., on pourrait dire^ par exemple, qu'il y a dans chacune des k tiges substituées à AA' une même

pression •; — — » dans celles qui remplacent BB' une même pression ■ — —* " kcoBtx. '^ Acosa

et ainsi de suite. Mais il serait plus convenable d'effectuer progressivement le

changement de pression et d'admettre, au lieu du seul coefficient n de la quan*

tite T ' dans l'intervalle AB, les k coefficients

K cos oc

»-+-i — p n-t-i — -, n-t-i— -,..., Il— I4--,

éqaidi£férent8 et donnant la même valeur moyenne; pareillement le coefficient

que le treillis eût ufie force plus grande vers les extrémité^ que vers le milieu, tandis que les longrines ou moises horizontales seraient dans une condition contraire. Des expériences faites en Allemagne sur la rupture des poutres en treillis ont confirmé ce résultat, car la rupture du treillis a eu lieu dans le voisinage des extrémités.

11 est bien entendu que pour autoriser le dédoublement des tiges inclinées, au moyen duquel nous avons passé du système de la Jig. 65 à la poutre en treillis, il est nécessaire de supposer que les tiges dédoublées ne sont pas liées à celles qu'elles traversent en d'autres points qu'à leurs extrémités. Cette liaison existe cependant en général dans la pratique; mais comme il serait difficile d'en tenir compte, on devra en faire abstraction, ce qui aura pour effet de donner un surcroît de sécurité.

178. Autre solution du problème des poutres en treillis. — La question que nous venons de résoudre peut se traiter en adoptant un point de vue un peu différent, qui cependant con-. duit à peu près aux mêmes résultats, mais qui a l'avantage de rattacher la théorie des poutres en treillis à celle des poutres .pleines, et permet ainsi d'utiliser partiellement les propriétés démontrées aux §§ I et II du chapitre HP, ainsi que dans la troisième partie du Cours.

Étant donnée une poutre en treillis, coupons-la par un plan quelconque AB {fig. 66) mené perpendiculairement à son axe. Toutes les forces extérieures, y compris les réactions des appuis, qui agissent transversalement sur la poutre dans le plan de la figure, entre la section AB et une extrémité (celle de droite par exemple), peuvent toujours se réduire à une résultante de translation P et à un couple X. Ces deux quan-

n — 3 du second intervalle BG serait remplacé par les k coefficients

et ainsi de suite. De cette manière toutes les pressions des côtés parallèles à AA' formeraient une seule progression arithmétique ayant pour raison

cpsa'

I* 2* ÉDiT. 3o

466 GHAPITIB HDITltoU.

tiiés ne sont autre chose que ce qu'on a nommé Y effort traorchant et le moment de flexion dans la théorie des poutres

droites; nous les supposons évaluées en adoptant les sens positifs indiqués par les flèches. La partie du système située à droite du plan AB doit être en équilibre sous Faction de la force V, du couple X, et enQn des réactions qu'elle reçoit dans le plan AB, en vertu de sa liaison avec la partie située à gauche. Ces réactions ne sont autre chose que les pressions et tensions des tiges rencontrées par AB (*)• Nous supposerons â /^riori •• i"" que toutes le tiges parallèles à CD sont comprimées et que, les tiges parallèles à CE sont tendues; a"» que ia pièce horizontale supérieure éprouve une compression Q, et la pièce horizontale inférieure une tension T. Les erreurs que nous pouvons commettre sur la vraie nature des efforts ne sauraient avoir, comme on l'a déjà remarqué [n?nk)f aucun incon* veulent; elles se manifesteront , dans le résultat final, par les valeurs négatives des inconnues, et alors il sera bien aisé de les rectifier. Il suffira pour cela de considérer une pression négative comme représentant une tension, et vice versé*

Toutes les tiges parallèles à CD, et rencontrées par AB, sont attachées en des points de la ligne Ax occupant une longueur au plus égale à Atanga, en nommant h la hauteur de la poutre

(^*) Chaque tige est censée articulée en ses deux points extrêmes; dans Tintervalle elle ne supporte qiM son poids propre, lequdi est oonsidéré eomme négligeable. Dès lors il faut, pour l'équilibre de eette Uge, que les deux résul*

tantes appliquées aux deux centres d'articulation soient égales et contndres, et par suite la tige n'éprouve qu'une tension ou compression directe.

SYSTÈMES ARTICULlB SAJXS nOTTEMSKT. 4%

et a Fangle des tiges du treillis arec la tvrtlcale; Mes forment la moitié des tiges dans lequelles nous supposions précédemment (n"" 174, 2^) qu'on dédoublait une tige mclinée quelconque de la Jig. 65, CC par exemple. Les compressions de ces liges étant supposées varier 4'une manière continue avec Fabscisse j?, on pourra les considérer comme égales, parce que i tanga sera> par hypothèse, une petite fraction de la longueur de la poutre (*); nous nommerons - leur résultante,

et q aura ainsi la signification qu'on donnait tout à l'heure àft> De même toutes les tiges parallèles à CE, qui viennent cou* per AB, pourront être regardées comme également tendues^

et nous désignerons par - la tension résultante, t étant ce

qu'on appelait précédemment ^i. Les deux résultantes - et -,

provenant de forces à répartition à peu près uniforme, seront appliquées à peu près au milieu de la hauteur h.

Cela posé, nous écrirons les trois équations d'équilibre des forces qui sollicitent la portion de poutre comprise entre le plan AB et l'extrémité de droite, savoir :

Projections horizontales et verticales,

Q — T-hi(g— ^)sin« = a,

-(gH-/)cosa -f-P = o;

{*) Cette condition domine tout le calcul que nous allons faire; les résultats seraient fort incertains si elle n'était pas remplie. Au reste, la méthode exposée plus haut (n^ 174, 2^) présente le même inconvénient, car nous avons 4té obligé, dans le eouri du raisonnement, de faire cette restriction : » AË (ou 3Atanga) est une fraction suffisamment petite de la distance totale de$ appuis. Il faut donc admettre que le nombre désigné par n au n9 174 est assez :grand, sans quoi Ton pourrait bien calculer les forces intérieures dans le système simplifié (n<> 174, i*), snaîs le passage de ce système an treillis aurait ^■elqiie chose de trop arbitraire, et Ton pourrait en dire autant de notre seconde méthode. Dans la pratique , n varie le plus souvent de 5 à 8 : c'est à .peine si cela nous parait suffisant ponr la justification des procédés que no«& faisons connaître, et qui sont généralement reçus.

468 GHAP1TE1S flCITIÈHE.

Moments relativement au point A,

TA -f- i ( / — 5f) A sin« -f- X nr o.

On n'a ainsi que trois équations entre les quatre înconnues T, Q, t, q, et il semble que pour achever de les déterminer il serait nécessaire d'avoir égard à la manière dont le système se déforme sous Faction des forces; mais pour éviter cette complication , nous aurons encore recours à un raisonnement approximatif. On a vu (n® ilk) que si tous les poids agissent sur la longrine inférieure, il en résulte la relation qt = /,-, c'est-à-dire que deux tiges inclinées aboutissant au même point de la longrine supérieure sont Tune pressée, l'autre tendue par la même force : donc t ne diffère pas beaucoup de g, car il s'agit ici de tiges inclinées qui descendent en par^ tant de points assez voisins les uns des autres. Un raisonnement tout à fait analogue s'appliquerait au cas où tous les poids seraient attachés à la longrine supérieure; la conclusion subsisterait donc aussi dans le cas le plus général , en vertu du principe de la superposition des effets des forces. Si en conséquence nous admettons l'égalité

la première des trois équations précédentes sera

les deux autres deviendront

(21) /cosa-f-P — o,

(22) TA-+-X=:rO,

ce qui fera connaître les forces t et T, et partant leurs égales jet Q.

Mais il faut, pour cela, qu'on soit parvenu à trouver par un moyen quelconque l'effort tranchant P et le moment fléchissant X. Cette question ne peut offrir aucune diiliculté quand il s'agit, comme au n® 174, de pièces simplement posées sur deux appuis, dont la Statique élémentaire fait connaître les

réactions, car on connaît alors toutes les forcés teriicales

agissant sur la pièce depuis une section jusqu'à l'extrémité»

et il est facile d'en conclure leur somme algébrique P, ainsi

que leur moment total X, relativement à un point de la section.

Le problème est un peu plus complexe quand la poutre n'est

pas simplement appuyée en ses points extrêmes ou quand

elle a plus detieux appuis. Voici comment on le ramène à un

problème déjà traité dans ce Cours.

Un élément dx de la longrine supérieure se raccourcit d'une

Tdx longueur —7-5 et l'élément de la longrine inférieure, situé

Tdx directement au-dessous, s'allonge de — ï?-9 en nommant e'

et c" les ressorts longitudinaux des deux longrines (n" 13 et 14); les deux plans verticaux, qui comprenaient entre eux l'espace dx avant la déformation, seront inclinés l'un sur l'autre dans l'état final, et leur angle s'exprimera par le rapport à h

de Tdx ( -T -^ -i?)» soit par

Tdx h

Cet angle infiniment petit n'est autre chose que l'angle de

contingence pour la poutre déformée; en le divisant par dx^

on a donc l'inverse du rayon de courbure, exprimé aussi,

d^y* comme on le sait {n« 142), par — t-^; ainsi l'on a

^'r T / 1 I \ dx^~ h \e' e^y

ou bien, en vertu de l'équation (22),

Imaginons maintenant une poutre fictive dont la section transversale ne comprendrait que deux éléments w', a/'j séparés par la distance verticale h et doués de ressorts longitudinaux e', e^ : ce sera la poutre donnée, débarrassée de son

470 CHÂTITtE MlTITlltME.

treilliSi mais consefvant use emière solidarité entre les éeox longrines. SopposOns*la soumise aux mêmes farces, et, la traitant comme une poutre à section continue, appliquons-lui réquatlon {i)du n"" 42; Téquation de sa fleiion sera, si Ton appelle er> son moment d'inflexibilité.

Or le centre d'élasticité de la section transversale (n*» 16) est

en un point 0 qui divise la distance tacù' en deuK segments

he^ fie' 0&)'=-7 y» Oto"=.-7 ^9 inversement proportionnels à

e' et e'' ; donc

ou bien

er'^Tr'\e'~^ e^f

En vertu de celte relation, les équations (aS) et (24) deviennent identiques entre elles, et par suite la poutre fictive fléchit absolument comme la poutre donnée, sous Taction des mêmes charges. Si Ton se rappelle maintenant que les réactions des appuis d'une poutre sont déterminées par les conditions de la Statique jointes à celles que fournit Téquation (24)9 on en conclura que ces réactions sont égales dans les deux poutres; les charges y étant déjà supposées les mêmes, il y aura donc finalement une complète identité entre leurs moments de flexion aussi bien qu'entre leurs efforts -tranchants. Ainsi ces deux quantités X et P se détermineront comme pour une poutre à section continue, en suivant les méthodes et employant les formules indiquées au §§ I et II du chapitre III* de ce volume, ainsi que dans la troisième partie de notre Cours.

176. Comparaifon de la s^uiion précédàtte €t/vee celle dm af 174; 4AseiV€Uions diverses. — Dans la thème <tu n» 17*, les pressions et tmisions étalent eonsUlérées cmnme des bmc^

STSTÈMES ÀRTIGCLÉS SANS FROTTEMENT. /^Jl

lions discontinues, changeant brusquement de Valeur en certains points, tandis que nous les avons regardées, au n® 175, comme des fonctions continues d'une variable x. Les résultats obtenus avec ces deux hypothèses ne peuvent donc pas être absolument pareils; mais ils se ressemblent dans leur physionomie générale. C'est ce que nous allons constater dans le cas d'une poutre reposant sur deux appuis et chargée d'un poids à distribution uniforme.

Soient 2 a la longueur de la poutre et m le poids de la charge par unité de longueur; les autres notations étant celles des articles précédents et l'origine des abscisses x {Jlg. 66) étant placée sur l'appui de gauche, on aura

comme il est facile de le constater de suite, puisque abaque appui exerce une réaction ascendante égale k tssa. Par suite, on tire des formules (21) et (22) du n® 17S

' cosa

Q = T=: — jcja:(2a — x).

D'après cela, la force q commence par être positive avec x=zo,

et égale à -- — 5 ce qui prouve que les tiges parallèles à

CD {fig. 66) sont comprimées aux environs de l'appui gauche; sa valeur absolue décroît uniformément avec x, devient nulle au milieu de la pièce et repasse ensuite par les mêmes grandeurs en ordre inverse ; son signe est négatif à partir de ar = a, et dans la seconde moitié de la pièce les tiges parallèles à CD supportent effectivement une tension. Quant à la tension T, elle est nulle aux deux extrémités, et dans l'intervalle on peut lia représenter parles ordonnées d'une parabole à axe vertical, 4ont le sommet se trouve sur le milieu de la pièce et a pour

47 2 CHAPITBE HUITlfeMS.

ordonnée — r-* Voyons maintenant jusqu'à quel point les

mêmes choses ont lieu dans la théorie du n** ITti', nous bornant d'ailleurs à supposer le cas d'une charge uniforme suspendue aux articulations inférieures.

On a trouvé pour la compression du côté AA' (Jig»6S) — ^9

ou, ce qui revient au même, » car np n'est autre chose

^ cosa '^

que la moitié de la charge totale soutenue par la poutre; donc les deux méthodes conduisent à la même compression pour les tiges inclinées dans un certain sens, aux environs de l'un ou l'autre appui. L'égalité subsiste encore au milieu de la poutre, rigoureusement si le nombre n est pair (n® ITi), approximativement dans le cas contraire. Les compressions déterminées par les deux théories forment ainsi deux séries de quantités uniformément décroissantes, depuis un même maximum jusqu'à un minimum nul ou à peu près nul : elles restent, donc toujours sensiblement égales.

On peut raisonner de même à l'égard des tensions supportées par le surplus des tiges inclinées; elles passent en effet par les mêmes valeurs que les compressions.

Les tensions T,- des côtés horizontaux inférieurs (fig, 65), ainsi que les compressions des côtés supérieurs, ont un maximum peu différent de -/;(n + i)'tanga au milieu de la poutre (n'* 174); le maximum analogue, dans la théorie qu'on vient de faire, a pour expression — jr- Or on a, parla définition même des lettres,

a= (n-f-i) Atanga, p^ierAtanga; donc aussi

ce qui démontre l'identité des deux maxima. D'ailleurs la décroissance des fonctions T/ et Q,- d'une part, T et Q de l'autre.

à partir du maximum, s'opère dans les deux cas suivant une loi parabolique exprimée par une fonction entière du second degré; enfm les fonctions T, et Q,-, si elles ne s'annulent pas tout à fait pour les points extrêmes, se réduisent du moins à une faible fraction du maximum quand n est un peu grand. Donc les fonctions T/, Q,- ne peuvent jamais s'écarter beaucoup des fonctions T, Q, sauf le cas où le nombre n n'aurait qu'une valeur insufOsante.

Ainsi se trouve établie la coïncidence approximative que nous avions annoncée.

L'angle a ne doit pas être choisi arbitrairement, car il influe sur le volume total du treillis. On a en effet reconnu ci-dessus que toutes les tiges inclinées, coupées à l'intérieur même de la poutre par un plan vertical donné AB {Jig. 65), se partagent en ^eux groupes égaux, dont l'un résiste à une tension totale - et l'autre à une pression - de même valeur, ce qui fait

en tout un effort t ou • Si donc on nomme R la limite

cosa

des efforts longitudinaux (pressions ou tensions) par unité de

surface, les sections réunies de toutes ces tiges donneront une

somme égale à n ' et comme elles ont pour Ion-

° Rcosa cosa ^

gueur commune, leur volume sera r=r • Ces mêmes tiges

^ Rcos'a °

forment une longueur Atanga de treillis, mesurée parallèlement à l'axe de la poutre : ainsi le volume de matière dépensé dans le treillis sur l'unité de longueur horizontale, aux environs