rt | 71 i.(n+i) n i.2.(rt-H i)(n -1-2) "j
rt 2
et si ces formules se montrent pratiquement peu avantageuses, nous avons vu précédemment comment on pouvait j remédier.
110. Si l'on se borne au calcul des perturbations du premier ordre, on peut procéder comme nous allons l'indiquer sommairement.
Etudiant d'abord les perturbations de la longitude et du rayon vecteur, on aura
= j uin
et les quantités [3, to seront déterminées par les formules (22) et (aS bis)^ où l'on remplacera p et 'l par p^ et J>o- La fonction W doit être réduite à
Po
et dans les dérivées -p» b -^, ondoitremplacer6, b\g,g' para, «'.y, y'.
Si l'on fait cette substitution dans la fonction R elle-même, et que revenant à l'emploi des exponentielles, plus commode analjtiquemeni,
on pose
on pourra écrire
\J aa!
les exposants 5, 5' étant des entiers quelconques, el les coefficients A, „ étant des combinaisons numériques, -linéaires et homogènes, des
nombres de Laplace calculés avec le rapport a égal à — (ou — )•
NOUVELLES MÉTHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS, ETC. 8l
On a alors
()g ' ' ^^T V Po
'db
.\x'n.'>-aiY.x^x'» D A,,.,
\ -V po
et il est facile d'effectuer les diverses opérations indiquées. Mais la méthode est surtout avantageuse au point de vue numérique, et se prête mal aux développements analytiques : traitons cependant de cette façon le cas des inégalités qui ne dépassent pas le premier degré par rapport aux excentricités, et qui sont indépendantes de x . Dans ces conditions, si l'on fait encore
— pi{TS-~-r^'+i",
on a
et par suite, pour déterminer les perturbations dues à l'action de la planète M ,
àg
dW
db
= n'^a'^i[S.t{x — .-r') -+- k'z'ixy — a^->jK •)],
avec
A= ui'f ^-Dl èH.
De plus.
cos^ap — p5
f'po sin'l'n séccs = - (a; — :r-' -\- - {x^ — x^
On trouve alors successivement
Pi dt = Ki{x -H .r-i) -+- k't{xy -f- a;-'jK-'),
P2 dt = 2A(a7— x-^)-\ z{x^--^oc-^)-^ ^{x^y^x-^y-'^)
-H (aA'-J- W)t {y — y-^)ijit,
V^dt = %k{x — a;-') + ^ z{x^ — x-'^)^ e'(^*7 — ^ "*>'"')
— 9.(A-l- B)tint — {'iK'-^ B')e'(r -+-7-')^/;
puis, en remai-quant que les constantes [i,, [io^ ^3 seront au moins du premier degré par rapport aux excentricités,
-t- 4 A £ ( r + x-^ ) — z (.ry ■+- x-^y-^ )
+ (A -I- B)z(x — x-'- )int -i- (2 A'-f- Yi'){{xy — x-^y-^ )int.
Si maintenant on tient compte de la même façon de la partie
v.it'-a'- „ , H , , 1
de W, il est facile de s'assurer qu'il faut simplement augmenter to de 2x, même en tenant compte des puissances supérieures de l'excentricité £ : ce résultat est intuitif, car d'après le principe même de la
méthode suivie, il est clair que l'influence de la partie — ; — de la
fonction perturbatrice peut se traduire immédiatement par les conditions
c'est-à-dire exactement
a = y., 0) = 2/., <J = (2X -\-x^)nt.
D'après ce résultat, on voit que, pour supprimer la partie constante
de 0) comme celle de a, il faut prendre d'abord
P, = o, x = — 2A = ijl'(— I -1- 2D)6,^,
en conservant toujours le même degré d'approximation, et en se bornant à considérer l'action de la planète M'.
Pour faire disparaître de même les termes en x et x~^ dans a-, il faut que (x) soit de la forme
[(A-HB)£a7 -+- (9,A'-H B')£a7j] (i'nf -h I) — [(A + B)£a;-i-+-(2A'-+- \^')z x~^y-^\ ( int — i).
ce qui détermine les constantes ^o 6t j^s, et donne finalement
a = s.{x — x~^)int -H — i {xy — x-^ y ^)int
-\- • z{x — J7-1 j H ■ £ {xy -\- x-^y~^),
a = (A -1- B) i.{x + x-^ )nt -t- (2 A'-i- B' )i{xy -4- a:-'^-' )nt.
On a d'ailleurs
A -^B = !Ji'( -J: — D2j èf = — jji'èf, .>.A'+B'= pi' (— ^ -4- D^ ) è^ = [^'èj,
et comme au degré d'approximation adopté, on a simplement
logr = logapo — a,
on constate immédiatement l'identité de ces résultats avec ceux déjà \ trouvés deux fois précédemment.
11 en est de même quand on examine les inégalités dépendant de x\ et de degré zéro par rapport aux excentricités.
Il faut prendre
B yjan' ^ SX<X'-'-6| = I-x^x'-' y' bf ;
posons comme nous l'avons déjà fait, sans confusion possible,
B,= ;jL'X^X'-^èi -p= ~^;
on a sTir('(\ssivemeiît
jLd s -^ '^ ^mi 5 — 3
Pour délerminer mainlenant la partie du premier ordre de la coordonnée w, on voit d'abord comme au n" 107 qu'il faut prendre
^AV - / I ï \
Z ^ -y^ = 'iix'n^ a- sinJp;, sin (^/'o + to'— -' j (aa')^ / \ ,
le développement de la fonction — j- étant effectué comme ci-dessus
celui de Pi.
* Bornons-nous à chercher la partie principale de ^, en négligeant les excentricités et les puissances supérieures de sinJ, et laissant encore de côté les termes qui dépendent de x' . On a
Z — 2 jj.' /«"a'^^] siii J sin ( Y -+- ^ — ~),
et il en résidte immédiatement
Ç = — [j^' siii .1 b'-{ lit ros(Y + to — x), en prenant
/i = ij,' sin J èj cos(tit — t ), ^(^2 = ~ 1^^' sin J è'f smi(7jj — -).
Le calcul des perturbations d'ordre supérieur est relativement simple dans cette méthode, où le nombre des xariiihlcs est réduit au
NOUVELLES METHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS, ETC. bo
minimum : mais il ne serait pas possible d'entrer ici dans des détails sur ce sujet. C'est d'ailleurs, il faut le répéter, surtout dans l'application numérique que la méthode actuelle se montre avantageuse, et nous allons bientôt y revenir en la considérant de ce point de vue.
Revenant au calcul des inégalités du premier ordre, envisagé d'une façon .générale, nous pouvons encore faire les observations suivantes.
En premier lieu, les expressions (22) de [i et to montrent que la quantité 7 seule est du second degré par rapport aux diviseurs
introduits par les intégrations ; et comme les facteurs p cos»]; -\ >
p sin'I>sécc3 ne contiennent aucun terme non périodique par rapport à y, on voit que les seuls termes de a qui dépendent des carrés de ces diviseurs sont ceux qui résultent de la double quadrature -^ 3/ /Pi 7idf^.
En second lieu, il est aisé de rapprocher la métliode actuelle de celle de la variation des constantes. Comparons en effet les équations obtenues ci-dessus avec celles du n° 66; en se limitant aux perturbations du premier ordre, et appelant comme d'habitude (sans craindre de confusion dans les notations), //, /, e, TTî,y, 8 les éléments de l'orbite osculalrice de la planète M rapportés au plan fixe P, on constate immédiatement c|ue l'on a
dn de I , dm i
- =.-3nP„ - = -^cos-cpP,, s— = -coscpla,
dl 1 /, ^AV\ <û f dm\
dt na^ \ àb J *= -2 V dt )
-n[ysin(9-TO)] =. psin^^séccp-— ,
-7- \ i cosCÔ — w)^ = p cos'L séccD — -<
Ces résultats faciles, à vérifier encore à l'aide des équations (3) du n° 93, étaient à prévoir d'après la méthode suivie : ils mettent en évidence la signification des diverses quadratures exigées ; mais, encore une fois, ils ne sont valables que pour les perturbations du premier ordre.
DÉVELOPPEiMENT NUxMÉRIQUE DES PEHTURBATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES.
m. Quand il s'agit d'édifier réellement la théorie d'une planète, on s'aperçoit bien vite qu'aucune des méthodes que nous avons esquissées dans les Chapitres précédents n'est entièrement satisfaisante en général.
En efFet, le développement analytique de la fonction perturbatrice et des inégalités qu'elle engendre, donne lieu à un trop grand nombre de termes, même si les excentricités et les inclinaisons sont petites ; et lorsque, finalement, on réunit les termes qui dépendent d'un même argument, on se trouve en présence d'une multitude de nombres dont la combinaison est fort incertaine, à moins d'avoir poussé le calcul plus loin qu'il n'est nécessaire en réalité, puisque beaucoup de nombres séparément négligeables peuvent donner une somme sensible, et qu'inversement la somme de plusieurs nombres sensibles peut devenir négligeable. Si les excentricités et les inclinaisons grandissent quelque peu, ces inconvénients s'exagèrent encore, la convergence des séries diminue, et bien vite, l'usage des développements entièrement analytiques devient tout à fait impraticable. De plus, quand il s'agit des inégalités d'ordre supérieur au premier, les ternies à prendre en considération et à combiner se multiplient d'une façon rebutante, et même dans les circonstances les plus favorables, le succès des plus longs efforts est loin d'être assuré.
Pour éviter le désavantage des développements pui^ement analytiques, il est nécessaire de recourir aux méthodes d'interpolation. Cela peut se faire de plusieurs façons : nous nous bornerons à exposer avec quelques détails le mode de développement indiqué d'abord par Cauchy, qui paraît s'adapter le mieux au calcul numérique des coeffi-
cients des perturbations, quand on applique la méthode expliquée en dernier lieu, d'après les principes de Hansen ; et nous montrerons en même temps comment on peut diriger ce calcul.
Soient M et M' deux planètes de masses m et m' ; supposons-les animées de mouvements képlériens, et soient, pour M par exemple, a, £ ou sinc3, /•, (v, a, g le demi-grand axe, l'excentricité, le rayon vecteur, les anomalies vraie, excentrique et moyenne. En désignant par P et P' les plans de leurs orbites, et par 01 la direction de l'un des nœuds de P' sur P, soient de plus co et w' les distances du nœud I aux périhélies des deux planètes, et J l'inclinaison de P sur P.
Si l'on appelle A la distance MM', le premier problème que nous devons nous poser est celui du développement périodique par rapport aux deux angles g et g des fonctions
aa' \ i>
p prenant les valeurs -, -,-■,-,-■ ■
Supposant d'abord que g reçoive une valeur numérique fixe, ces fonctions ne dépendent plus que de l'argument o-', et c'est de ce point de vue que nous allons les envisager en premier lieu.
Soient pour un instant deux axes rectangulaires Ox' , Oy\ dans le plan P', le premier passant par le périhélie de l'orbite de M' ; et nommons j:, y, x\y\ les projections sur ces axes des rayons vecteurs r
et r', de sorte que
/^2 — ,-2 | ,.'2 — %yxx' -\- yy' ).
On a immédiatement
en faisant
X sin( A ■ À cos(A
D'autre part
A), y = ]xr?,\n{vi> -\- E),
w) = cosw',
oj) = cosJ sin u>',
/-'= a'(i • x' =: a'icosu' — • c'),
[ji sin( B — to) = — sin to', u cos(B — w) = cosJ cosw'.
e' cosm'), yi = a' COS9' sin«';
il vient par suite
A'-=: P — Qcos(u'— G)-4- Rcos^fi',
P, Q, R, G étant déterminés par les relations numériques
Q sinG — 'i.a'y coscp', Q cosG = -la' (x -h a' s.');
et Ion doit remarquer la petitesse de R par rapport à P, Q. On peut mettre A- sous la forme
A2 = yo[i — s'\n-/^co?,(u' — <V')] [' — i'^ cos( u' -+- <\i' )],
en déterminant les nombres p, y , S, 'V comme il suit. L'identification des deux expressions de A^ donne
— =1 — Ssiny sin^i!;', — = Ssin7,
— cosG = (siny -+- 3 ) cos'J;', — sinG = (siny — S) sintL';
et ces relations re\ iennent à
Rsin^24^'(P-f-Rsin'4^')
'■"^ • ~^^- Q^sin(f+G), '
/> = P -^ Rsin^y, Qsin(tL'+G) „ Qsin(<L'^-G)
Sin/ = r^— p , p =:. r^—r-,
La première de ces nouvelles équations est du troisième degré par rapport à tang^ <|»' ; mais d'après la petitesse observée de R, elle admet une solution <h' voisine de G : c'est cette solution que l'on adoptera, en la déterminant par des approximations successives dont le mécanisme est évident. De cette valeur de -y découlent immédiatement p, y, ^, cette dernière quantité étant fort petite.
Si les excentricités et l'inclinaison J étaient nulles, on aurait
n = P = a2 4 rt'2 a = R = o, Q = 2aa', sin/ = — '- -,
si donc on fait encore
'^ = 4^' — ^, de sorte que
A2=/3[i — sin/ cos((^ — ji'-H (J')] [i — P cos(^ -f- m'-i- 4^)], les quantités /?, siny, 'l .>\';carieront peu en général des valeurs
moyennes «-+«'-, -~^~^r^-> ^-^ — w', et la quantité |^ sera très petite, de l'ordi'e de s'-.
Choisissons l'angle y compris entre o et -> et faisons
a = tane - ;
ce nombre a aura pour valeur moyenne celui des rapports —, ou — qui
est inférieur à l'unité ; et en posant encore
•X aa'
quantité de valeur moyenne égale à l'unité, nous pouvons écrire
aa! . a i -
A2 I -|-a2— ia cos(^ — u' -h ^ii) i — ji cos(^ -I- a'-(- 4^)
Soient alors, comme au Chapitre XIII, b',] les coefficients de Laplace qui correspondent au nombre a ; on a immédiatement, n prenant toutes les valeurs entières, positives ou non,
(^Y = A/'[i— iî cos(^-i- «'-4-4-)]-/^ 16/; e'>''.^~"'+'>';
et en développant le second facteur suivant les puissances de la petite quantité ^, il vient finalement
avec
1',/;=: X''bile'"'\> , P
^^^^^^ '^^AP[b'^-i e(l«^~4(fi'+4/)i + <^6/;ei/i4^-+- 1,'/,+^ e*i«.^+4(^+.]/)ij
la loi de ce développement est évidente.
Imaginons maintenant que l'on ait donné à g les valeurs
en désignant par k un nombre entier positif, pair de préférence ; et soient (B,^)o, (B^),, (B^)^, ..., les valeurs correspondantes du coefficient B^. Ce coefficient est une fonction périodique de l'argument g^ qui peut se développer sous la forme SB^^ ^^e"??, q étant un entier quelconque ; et l'on a, comme on sait, en appelant pour un instant q' les entiers congrus à q suivant le module /r,
/-SB/;,,/, = ( B^)o e-ii^o+ ( B^), e-'?^, 4-. . . -t- ( B^ )k-x e-iisv-..
Mais nous savons aussi que le coefficient B^^ sera, par rapport aux excentricités et à l'inclinaison d'un degré égal à la valeur absolue de ^ ; en choisissant convenablement le nombre A', on pourra donc déterminer par la formule précédente les coefficients B^^ , pour les valeurs o, zb i . rh 2, . . . de ^, jusqu'à ce qu'ils deviennent insensibles, à un certain degré d'approximation fixé. On aura alors le développement périodique par rapport aux deux arguments g et u
/ aa' \i'
Il ne reste plus qu'à faire apparaître g à la place de u pour avoir le développement cherché en fonction des deux anomalies moyennes g et g ; or, d'après une formule établie au n** 81, on a, en faisant usage des fonctions de Bessel, que nous savons calculer, et désignant par ^' un entier quelconque,
il faut d'ailleurs convenir que dans le cas ^'=0, le terme correspondant de la somme du second membre doit être pris égal à i si aï = o,
à — -si7i = ±:i,à zéro pour toutes les autres valeurs de n. Sous le
bénéfice de cette convention, nous avons donc finalement, en remplaçant n-\-q par q :
n, q, q' étant des entiers quelconques; il faut encore ajouter aux remarques déjà faites que les coefficients Jç',i sont par rapport à l'excentricité e' d'un degré égal à la valeur absolue de q' — n.
Comme le développement ci-dessus est réel, les coefficients de e^'-'is—'i'g"^ et e^' (y»~y'ô''' seront des quantités imaginaires conjuguées, et le retour à la forme réelle, si on la préfère, sera immédiat.
Supposons en particulier que l'on veuille calculer la partie de ( -^
qui est indépendante de «' ; on aura pour cette partie
En faisant ce calcul pour ^ =-,/> = -, on aura les fonctions nécessaires à la détermination des perturbations du premier ordre de la planète M dues à l'action de M', et indépendantes de g , et en particulier, par suite, de celles de ces perturbations qui sont séculaires. Si l'on voulait se limiter strictement au calcul de ces perturbations séculaires, on pourrait, dans le même ordre d'idées, établir sans peine les formules correspondantes : nous j reviendrons à la fin du Chapitre, quoique cette limitation stricte paraisse peu justifiée pratiquement.
Si l'on donne à l'indice/ les valeurs o, i, 2, ..., A — i, et si la valeur
absolue de ^ — n est suffisamment inférieure à -. on peut écrire avec exactitude
et par suite
Si q et q sont donnés, et que l'on veuille calculer spécialement le coefficient de e' fvé'-y'A'') dans le développement de ( — - \ > soit
il pourra être plus convenable, au moins dans certains cas, de commencer là sommation en faisant varier l'indice /i, contrairement à ce que nous avons fait ci-dessus.
442. Examinons maintenant comment on doit adapter au calcul numérique la méthode exposée au n° 108, dans le Chapitre précédent ;
9'i CHAPITRE XVII.
et tout d'abord, cherchons les perturbations du premier ordre du mouvement de M dues à l'action de M'.
Reprenons l'ensemble des notations précédemment adoptées, sauf que nous conserverons les lettres g^ g pour désigner les arguments nt -\- ^>oi ri f + 00' ^^ ^^^ nous remplacerons ^ par — ? c'est-àdire que nous aurons dorénavant
La fonction W doit être réduite ici, pour le calcul de -- — et b -^r
^ ^ dg 00
(plus exactement, pour le calcul des parties de ces fonctions qui sont
du premier ordre), à
les diflerentes coordonnées recevant partout, comme dans ce qui suit, leurs valeurs elliptiques.
Si l'on connaît le développement périodique de W par rapport
à g^ g\ on a immédiatement aussi celui de - — 5 par simple différen-
tiaùon. Le développement de —~t~ nous est donné par ce qui précède ;
il faut tout d'abord le compléter par celui de la fonction -7:^ cosH, Avec les constantes )., jjl, A, B du numéro précédent, on a
cosH = X cos»];' sin(4' -t- A ) -f- p. simj/' sin (4^ H- B ) ; et par suite, en posant
il vient
X sinA = 6, ,u cos B coscp cosç' = 6', [ji sinB costp'= c, — A cosA cosœ = c'
p II / , cos'L ,, . , , SI ni sec es -7- cos H = É»p cosd; — ~ — \- b Q sinu^ seccp ^—, —
, sintL secœ , . , , cos^ii
c p cos u/ ^— — c p SI n iL sec <e — ~- <
Or, d'après le n° 81, on à
avec
3s JyCyO „ h,-x(q^)-h,.dqt)
Qv =
et l'on a des expressions analogues pour pcos-V, ... en accentuant les lettres P, Q, s, g.
Il en résulte immédiatement
4-, cos H = i: ^'2 e'(7é'-vV) [ é V„ p;. - 6' Q^ q;. + i ( c p,/ % + c' Q^ P^)] ;
on observera sur cette formule que, pour obtenir le développement
semblable de^^cosH, il suffira de changer le facteur q'^ en ^^ j g^
d'une façon générale, on vérifiera les propriétés déjà énoncées au n" 90 du développement de la partie complémentaire de la fonction
perturbatrice.
^ • ^ 1 f • , rAV , , , ^AY , , ,.
Passons maintenant a la lonction b -^r^y égale a r — p-> c est-a-dire
(Jb '^ or
, I- — , 1 rr cos II — /- /• cos H \ iji n2 a^ \J aa \ — — ^7^ — I ;
en tirant cos H de la relation
A^î ;-2 l ,-'2 .^;.,.' COS H,
on peut donc écrire
ôb ^
> „ \l ao! / a \ - 0 cos H la! ,„ a S\{aa )^ 1
et pour former cette fonction, il suffira de profiter des développements déjà obtenus, et de multiplier successivement par p^ et p- le déve-
-> uoim
p2 = S R^ e'VA-,
loppement de ^ "'"'J , connu d'après le numéro précédent. On a d'ailleurs (n" 81) :
avec
3 s' ■>-■ Ro = ' H » IV/ = Q,„
et une expression analogue pour p'-.
Quai n" HO,
Quant à la fonction — , elle est ici, d'après ce qu'on a déjà vu au
, . , . , , , {aa'y- / « \ " I I [an^a^sinJp sin(tl; +w )|^— ^^^ (^^j ^J;
or on a
p' siu(']^'-H w') = S S^/' <?'■'/'«■' avec
S,/ = sin to' l*,7' — i cosco' coscpQ„';
et aussi
le développement périodique de -ttt est donc immédiat. Si nous rappelons encore que l'on a, d'après le n** 109,
cos'o — p2 5 e V^' 2 ,,
£ 2 Jm^ q '
ip sin'\i séc(f (cos^ç + p) =\ - P^^ e''J^, ^•^ q
la valeur </ = o étant exclue de la sommation S', on voit maintenant que nous avons tous les éléments nécessaires jxpur calculer les fonctions P,, Pj, Pg, Z, et par suite (o, p, a, a-, S^.
On simplifie ce calcul dans une assez large mesure en le dirigeant de la façon suivante, entièrement équivalente aux procédés de Haiisen. Les coefficients P^ et Q^ ayant toujours la même signification, supposons ^ ^ o, et faisons
de sorte qu'en particulier K, = i, K, = o; généralement, ces quantités sont des fonctions de l'excentricité e, et pour ^ >> o, les parties principales de K^ et K y sont respectivement
lqj\l-^ £2 (£--0 /çrew-i
DÉVELOPPEMENT NUMÉRIQUE DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT, ETC. qS
par suite les coefficients K 2, K 3, K,,, . . . sont très petits et presque tous négligeables ; et c'est là le principal avantage de leur introduction. Posons encore
F = S' K„ e'VA', G = S' 'L e^is^
on peut alors écrire 3c
p COSl^' =
Pi(F-f- F'), ipsinJ;séc<p = Q,(F — F'),
cos'9
Qi(G + G'), ip si ru!; séccp(cos2<p ~\- p) = Pi(G — G').
Portons ces valeurs dans les formules (22), (.24) et (20 bis) du n° 108, en n'oubliant pas qu'il ne s'agit que de la détermination des perturbations du premier ordre ; posons encore
Al
Fo = F -i-
ip,
4Qi
4Ql
pui
Bi
na^ \ dg db I
* na^ \ àg ^ db )
on trouve alors sans aucune peine
jppelant que
0) = 3 Tb, rff + F Tb'j rf^ + F' Tb, (h, Ç = F, fc'dt-^F\ Ccdt,
== , a — / (an dt^
nous avons l'ensemble des formules qui correspondent au calcul des perluihalions du |H'eni ht oïdic du inomciiK;!!! de la planète M. Les quadratures indiquées, sauf la dernière, sont accompagnées implicitement de constantes arbitraires [5*,, j^^, ^j, y, y'; B,, ^j sont des quantilés réelles, tandis que B. et B^, ^^ et [i'^, G et G', y ety', F et F', G et G' sont respectivement conjuguées : le calcul se trouve simplifié (le ce fait.
Daprès la relation ([i) du n" 108, on pourra vérifier que l'on a, au même degré d'a])pr()xiniati()n,
àF r^, , ûF' r„ j
doi dF r^, . àF'
2 — r n al
mais l'emploi direct de cette formule ])0ur calculer a ne paraît pas recommandable, bien que ce soit le procédé de Hansen.
Pour tenir complc ciiliii de la partie xn-a- - de la fonction perturbatrice générale, nous avojis \u précédemment qu'il suffisait d'augmenter (ode 2x.
Quand on aura ainsi déterminé l'influence des diverses planètes perturbai nées, ou elioisira les diverses constantes fi), [îij, Ti'., y, y', et aussi X comme nous l'avons dit, c'est-à-dire de façon que co et a n'aient pas de partie constante, en même temps que les fonctions «ret^ n'auront aucun terme périodique en e'^ el e '^. A la vérité, on a supposé connue à l'avance la quantité x : mais on peut admettre qu'elle a été fournie par une première ajjproximation rapide, et dans ces conditions, il pourra subsister dans a un ternie constant très petit.
113. Indic|uons maintenant la marche à suivre pour déterminer les perturbations du second ordre, dont nous désignerons les différentes parties, sans distinction, par oa, 5|^, oto, ot, ôS:^, en conservant les notations a, ,3, w, a, (^ pour les perturbations du premier ordre; el de même, les perturbations du premier ordre de la planète M' seront a', [i' , oj', 0-', w'. On a d'ailleurs généralement les relations
8a = - ( So) -t- ôp ), Ôa = / ôw n dt.
En premier lieu, on devra, sans modifier to et p, compléter les
valeurs de a et a- en leur ajoutant les quantités
ûx=p^^^-J, 8<T=/'(aH-6)
n dt\
on négligeant des termes du troisième ordre, ceci peut s'écrire encore
En second lieu, dans ia dernière expression donnée pour oj, on l<;vra tenir compte de la perturbation a- de ^ dans les fonctions F et F', <jn faisant
c'est-à-dire plus simplement, d'après une remarque faite ci-dessus,
dcc
n al
Il n'y a rien d'analogue à faire pour ^, comme le montre la formule (24) du nM 08.
En troisième lieu, remontons aux expressions complètes (aS) el (25 ter) du n° 108 pour les fonctions P,, P2, P3, Z.
Pj, Pj, P3 contiennent, comme nous l'avons déjà fait observer, des termes en a et ^ dont il faut tenir compte tout d'abord.
Kn nous bornant toujours aux termes nécessaii'es au calcul actuel, on a
âPi 2séc2o/ , dW . , . ,àW\ ()P, 2séc2cp/ ,àW.,,,dW\
f^P, 2séc2(p / dW . , , , àW\
Jp na^ y ôg ^ ^ i)b )
-Tô- = TT- p sec2 9(cosd/ ■+- s) — \- sirnl sec9(p — i)6-ry- ,
0;i «a^ L ^S àb \
-^^^ (^p2 sin 4/ sec cp -^ — £ p sin2 <]; sec2 0 6 ^^ j ;
gH CHAPITRE XVII.
et l'on peut écrire encore, comme on le vérifie sans peine. D'après les formules (22), on a donc
et par suite
plus exactement, il conviendra de prendre pour oj3 la valeur de ^3^ privée de son terme constant, si l'on effectue toutes les quadratures que nous allons rencontrer maintenant sans addition de constantes arbitraires nouvelles, en se contentant d'ajouter aux constantes primitives ,3i, ^2,. . . des accroissements S {3,, S|3.,. . . dont on disposera comme on a fait de |^i, [i», ....
Il vient ensuite pour la partie correspondante de ow
Sw = 2 — 3 / Pi p rf^ -i- / p cos'i^ H ^ j I P^pdt ■+■ p sint]/ séccp / P3 ^ dt
— r-^ (a — 2p)<if-i-psinii séc «p / —-^ ( j. — •.> jî ) dt.
En se reportant au numéro précédent, la première ligne de cell( expression s'écrit
8w = 6 Tb , p f//! + •>. F Tb^ P dt + -i. F' /*B2 3 dt ;
quant à la seconde, il est facile de lui donner une forme analogue. A cet effet, remarquons que l'on a (n° 8J )
cos^* -h £ = cos^cpS'»/ Q^y e^'ts ^ i^\x\^ coscp = "L'q V ,, e^is ;
faisons alors
"'/— :; ITT
2VQ1 P,
puis
