I VI

M', = — -.^ -4- i:' II./ e-'-'/A' , M^, = SVy U,, e-'-'/A-, 4 VI

de sorte que l'on a les nouvelles expressions

pcos6 = Q,(Mi-i- M'i), fpsiin|;cos3! = Pi(Mi— M'i ), (^t aussi

cos<^-4-£ = Pi(M2-f-M'2), f sinij;séc? = Qi(Mj— M',).

En mettant ces valeurs dans —r^, -^> tandis que l'on conserve pour

les facteurs pcos-i;, ipsin-i; séc cp extérieurs aux signes d'intégration les expressions P, (Fj + F,), Q,(Fi — F^), il vient pour la partie ■•onsidérée de ooj :

On peut remplacer, si l'on veut, a — 2[i par ^•

Il faut encore prendre en considération les termes en ^'^ de Pi, P., P;, ; ils donnent immédiatement

/ri r n

soit encore

Sw = F, Te in Pi Q, F', ^ fi?^ + F', C - 6 in Pi Q, Fi ^ dt.

On a d'ailleurs, avec une approximation généralement suffisante et facile à augmenter,

De la même façon, il faut compléter la fonction — '— par l'addition

' ^ na- ^

terme

qui se réduit à

"^\pâ p3 6*

£ sin 1^ séccp

[après la valeur connue de j-«

lOO CHAPITRE XVII.

Il en résulte donc

8^= F, r-6mP,Q,F;(l-!i^^laC-i,.0

avec

— —\-\- -t^-\- -zie'S-^ e-'-?-)-*- ^U^'g -)-e-2'^)-)-

i£ sindi séccp e,. ., 3.,„. „.,

ï 1 = -{e's— e-'s) + - ti(e'>-'g— e-2'<?-) -+-

En quatrième lieu, il faut donner aux fonctions B,, Ba, Bj, C, C , qui figurent dans les expressions de [i, w, w, et qui définissent l'action de la planète M' sur le mouvement de M, les accroissements SB,, SB», . . ., que prennent ces fonctions, quand on y tient compte des perturbations du premier ordre a-, a, J^, a-', a', Ç, de M et de M'. Si <ï> désigne l'une quelconque de ces fonctions, on a donc

ùg ()g ôb ôb dÇ dX^

et il en résulte

0^=1 5B, dt -+- -j^ ( I 0B2 dt -i- Ab'^ dt\

avec des formules analogues pour oo), 0^.

L,es dérivées r—, -r— , résultent immédiatement de 1 expression même àg àg ^

de 4>, puisque cette quantité apparaît comme une fonction explicite de g et de g' .

Les autres dérivées b -rj-i • • • proviennent uniquement des fonc-

tions -j — > o -rr-) —7- 5 dont <P est une combinaison linéaire, et il sutiit

og ()b o^ '

d'indiquer leurs valeurs quand on remplace $ précisément par unede ces fonctions. Et comme ces fonctions sont homogènes par rapport' à b, b\ 'Q, ^\ les deux premières de degré — i, la troisième du degré — 2, on a simplement, ici,

db' \ àg ) ~ dg db\âg )'

^Ib'K^-dbj—^-db-^TbV-lb

,, â /d\\\ dW , 0 /d\V\

^Tb\-d^) =-^-ôï-^lb\-ô^)'

DÉVELOPPEMENT NUMÉRIQUE DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT, ETC. lOI

Les dérivées Z; ^-^ (^— j, -(^— j, ^ (^^) sont égales a - (6 ^j,

T^ I -ûT J' i~ ( "TT' )' 6t par suite se calculent immédiatement en partant

des expressions deja connues de t>—û-'-^' ety joignant, d après le n" 109,

y — [x'/i^a^ sin Jp sin(({^ -+- to) I ( —

cette fonction, comme les suivantes, est facile à calculer d'après les indications déjà données. '

La dérivée b-r i^—r) est directement égale, d'après l'expression

de W, à

, « „ / — 7 r î('"'' cosll — r^)- /v'cosH — ir^ /-cosH] a n^a^ \J aa — i ; — -

ou encore, en remplaçant a / r'cos H par r'^ + ;'- — A^, à

<J aa' /a\-pcosH a' .^(aa')'^ 3 /«' ,„ a „\^(aa')^ i 4 A \a' j p'2 a' A* 4\«' « / Ai J

De la même façon, on a

■1 ^ ' A3 Va' a ' / A»

^ L\«'/ f' •>.A3 '2V« ? a' ^7 AS J

linfin

-— - = u'n^aî > ^3 s,n2jp'2sm2(4>'-+- w')!^-—^ h

w!,- • L rt A* ' A* ]

cosj ^— — p cosJ I — , -7- A3 V a / p 3

— 3 sin2 J p sin(4' -+- i»>)p' sin((|>'-f- w')

En cinquième et dernier lieu, il ne reste plus qu'à tenir compte de

la partie x n-a- { -r o -^ -y- ) de la fonction W. En raison de ce

complément, il faut d'abord inclure dans les fonctions — et b —rr qui figurent dans Bj, B., Bj, les quantités

y.n^a'^ do •/. /i^rt- s sin cp séc6

7 r-^ ou —^ , et

o2 dg p2

tout ce que nous avons dit ci-dessus s'applique alors sans modification,

1 A' ■ ' , à /dW\ j à /à\\\ ,

en augmentant les dérivées o -rj- { - — et y -r —rr de ces mêmes

" ()o \ dg- j do \ 00 J

quantités changées de signe.

Il faut de plus augmenter dans C et C la fonction -rr- de — y.n'-a- ™-

S'il devenait nécessaire de tenir compte des termes du troisième ordre par rapport aux masses perturbatrices, on suivrait les mêmes principes : les calculs deviendraient extrêmement prolixes, mais il serait assez facile de les limiter à leurs parties vraiment utiles, en négligeant tous les termes sans influence réelle.

114. Pour terminer ce Chapitre, nous allons expliquer la méthode que l'on peut suivre pour déterminer numériquement, d'après les principes indiqués tout d'abord par Gauss, les perturbations séculaires du premier ordre des éléments osculateurs du mouvement d'une planète M.

Soit m la masse de cette planète; appelons y et B l'inclinaison et la longitude du nœud ascendant par rapport au plan fixe Oay, e = sincp l'excentricité, nr la longitude du périhélie, a le demi-grand axe, n le moyen mouvement lié à a par la relation n- a^ = /( i -(- m)^ l la longitude moyenne, p, u, g les trois anomalies vraie, excentrique et moyenne, /' le rayon vecteur.

Employons les mêmes notations accentuées pour la planète M', dont il s'agit de déterminer l'influence sur les variations séculaires des éléments de M.

Nommons •i^X,-^Y,-^Z les projections de la force perturba-

trice sur le rayon vecteur OM, la perpendiculaire OP à ce rayon vecteur menée dans le plan de l'orbite de M, et la normale ON à ce

DÉVELOPPEMENT NUMÉRIQUE DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT, ETC. lOo

plan. En faisant encore a = —,, les équations du n° 66 s'écrivent sans peine sous la nouvelle forme, plus propre au calcul actuel,

m' tfx- sécca

os(p -f- Tjj — 6) — Z,

. .rfO sin 7 — - = •^ dt

m' nafl séco . , «x '' -#

isinfp -+- HT — 6)- Z,

dt "'

?7l'n<X- COSO r • V ^ NVl

sin t» A -+- (cosa -H cosp) Y ,

dm'

m' Il CL- coscp

— cos(^X-hf iH séc^o» Isint"

dm Ht ~

dm' . i d% -~- -1- 2 sin2-^ — -, dt 2 dt

Tt ~

— 3 ( sincB sinp A H cos^cc Y ,

dl dt " ~

m' ncr.^ 7

vr . ^^ dm . ^ ] d{) 2 a^ 2 rf?

. am { sincp — ,— =

ce sont les équations du mouvement de M, d'après la méthode de la variation des éléments.

Si l'inclinaison y était de l'ordre des perturbations (c'est le cas de la Terre, si le plan fondamental Oxy est celui de l'écliptique à une

cei liiluc époque), les termes en 2 sin- - -7- disparaîtraient des formules

ci-dessus, et en faisant p = siny sin 8, q = siny' cos9, on aurait

-sin((.' -f- ra)Z, c<)s(p -1- TrT)Z ;

mais nous ne nous occuperons pas davantage de ce cas. Soit a- lin quelconque des éléments, et

l'équation correspondante. Donnons aux différents éléments /, 8, s, TO, n, leurs valeurs constantes de première approximation, et prenons aussi l sous la forme nt-{-lo, en désignant par Iq une constante; faisons de même pour la planète perturbatrice. La fonction S est développable suivant les puissances de e'o^ e'»', et si So est sa partie

Ti'j.^ sécç

dt 4q