I -t- m m' nafl coso

tsin(t'-l-ro — 0)— -Zo , 'a'- J 0

— -sinvXoH Ccosu -t- cosr ) Yo ,

\ a a Jo

cospXoH — sinp ( I

û/ = — — Xo -1-2 sm2^ ûîît'-h 2 sin^-oO:

el comme un = t», on aura l'équation de condition

tsincp— sin pXq-I- cos-tp Yq = o, ' « Jo

qui servira de vérification partielle.

Le problème est ainsi ramené au calcul des intégrales Xo, Yo, Zo, pour chaque valeur particulière donnée à u. Or nous savons encore que pour déterminer X, Y, Z, nous pouvons ici réduire la fonction

fm!

perturbatrice à sa partie principale ■^-r-> en désignant par A la distance

MM' : la partie complémentaire, développée comme fonction périodique de g\ ne contient en effet aucun terme indépendant de g .

Soient alors deux axes rectangulaires Ox\ Oy dans le plan H' de l'orbite de M', le premier passant par le périhélie de cette orbite, et soit O;;' un troisième axe perpendiculaire' à Ox\ Oy : le point M' a pour coordonnées par rapport à ces axes

x' = r' cos v' = a'{cosu' — e'), et l'on peut ajoviter

r SI IIP = a coso s\nu

a'(i — s' cosu').

Soient maintenant X, pi, v les cosinus des angles que fait le rayon vecteur OM avec Ox\ Oy'^ Oz' ; et )/, m', v', puis ).", ij.", v" les quantités analogues pour la perpendiculaire OP à OM menée dans le plan n de l'orbite de M, et pour la normale ON à ce plan. Les coordonnées de M par rapjjort aux axes O^', Oy\ Oz' sontX/', [j./', v/',

et l'on a

de plus les projections de la force perturbatrice sur Ox\ O r , Oz sont

de sorte qu'il vient

x=^-^Ckx'-\-ij.y—r), \=^{i'x'-^ix'y), z=^-^(X"x'-^ix'y),

et

Désignons par K le nœud ascendant du plan II' sur le plan IT; soit J l'inclinaison correspondante de II' sur II, et appelons co, tu' les distances du nœud K aux périhélies des deux orbites; ces angles J, (0, w' sont faciles à calculer une fois pour toutes.

Déterminons de même des quantités auxiliaires/?, ^, P, Q, telles que

/> sin(P — w) = cosoj', q s\n {Q — m) ~ — sinto',

p cos( P — tu) = siu w' cosJ, g C()s(Q — co) = cosw' cosJ ;

on a sans peine

X =/) sinft' -f- F'), [i. =:: ^ sin(p -f- Q), v = — sin(c' -t- w) sinJ,

X' =/? cos(i' -+- P j, iJ.' = q cos(i> -\- Q), v' = — cos(c-4- w) sin J,

X" = sino>' siii J, [Ji"= coso)' sin J, v":=:^cosJ;

ces neuf quantités sont liées entre elles par les relations connues. . Remarquons actuellement que l'on a

et aussi