coscp'Z,, = CF''^^{k"l -^ [JL"rj ) \/di,'--+-dr;-~d-Ç

el comme les quantités placées sous le signe / sont homogènes et

du degré zéro par rapport aux variables ^, r,, Ç, on peut dire que les intégrales sont étendues à l'ensemble des valeurs réelles que prennent les variables homogènes i, Tj, ^, liées par la relation

Regardons s, '^i, "^ comme des coordonnées cartésiennes ordinaires dans l'espace : nous pouvons dire encore, en d'autres termes, que les intégrales sont prises le long du cône C d'équation

Dans ces mêmes conditions, l'équation F==o représente elle aussi un second cône C, évidemment réel, et qui n'admet avec G aucune génératrice commune réelle, d'après la nature de la question; C et C ont par suite un trièdre conjugué commun réel.

On peut alors faire sur les variables i, t;, î^ une substitution linéaire introduisant de nouvelles variables ç', r/, ^', et telle que les deux formes/ et F se réduisent à des sommes algébriques de carrés que

Io8 CHAPITRE XVII.

l'on peut écrire ainsi

Si, Sa, S3 étant des quantités réelles. Si l'on fait

F = A^2^. A'r,2-f- A"Ç2-t- 2By]Ç + 2 B'ÇS-+- .^J^"tTi,

de sorte que

A=t'^p- — 2£'Xp, B= — tjip,

A' = o, B' = — Xp-f-£'p2,

A"=I-f-p2, B" = — £'[JLp,

et que l'on désigne par Do le discriminant d'une forme quadratique quelconque o, les nombres Si, S,, S3 sont les racines de l'équation

D(F-S/) = o, ou

S3-H (i-i- 2e'Xp-i- p2cos2<p')S2

-H [2£'Xp -+- (À2-+- [Jl2 cOS^Cp'— £'2)p2]S — £'2 IJL^ p» = O;

on vérifie immédiatement que cette équation a en effet deux racines négatives séparées par le nombre — i , et une racine positive inférieui'e à tang^o'.

En prenant précisément Si-<S.<;S3, on s'assure facilement que la substitution entre ^, r\, ^ et ^', t/, ^' est entièrement réelle; il suffit d'observer que la forme F est, comme/, décomposable en une somme de deux carrés positifs et d'un carré négatif, et en outre que les cônes C et C n'ont aucune génératrice commune réelle.

Considérons maintenant les formes

? = ç[).^ + [X7î — p(Ç4-£'0J, ?'=a>''^-+-i^'-n), ?"=ç(X"?^[^"to), et imaginons que la substitution sur ^, 7^, "C, les transforme en

cp = - A, t^-hA^ V' ^ Aa Ç'î + Bi r/!:'-+- B^ ^ ^ + Bs^'^',

cp' :^ A', ^'2-H A',ri'2+ A',i:'^+ B\ r/Ç'+ «'3?'?'+ K'^'r,',

en observant que d^- -{-d-fi'- — oJ^- se transforme nécessairement en - d^'- -+- dr^'^ -+- d'C.''^, nous pouvons écrire

p' Xo = Tf '2 ? /— df^ -*- ^^'' + d^'' '

et des formules analogues pour Yo, Zy, les fonctions F et cp ayant leurs nouvelles expressions en ^', ri', Z' ', et comme précédemment, l'intégrale est prise le long du cône C, c'est-à-dire étendue à l'en-

I semble des valeurs réelles que prennent les variables homogènes ^', K, Ç' liées par la relation

Or, il est clair que les termes rectangles B, y)' s , • • • de la fonction cp n'apportent qu'une contribution nulle à cette intégrale, d'après la nouvelle forme de F; on a donc plus simplement

avec des expressions analogues pour Y,,, ^o-

11 est aisé de calculer les coefficients A,, Ao, A3 et leurs analogues, cet effet, rappelons que deux formes quadratiques quelconques

<\i = aÇ2 i a'T,2-4- a"Ç2-f- 267]^ -1- ib'Z^ -+- ih"\r\^

admettent l'invariant

appliquons ce résultat en prenant pour d» la forme F — S/, et pour y la forme es, ou co', ou co", et observons que le carré du déterminant de la substitution faite sur ^, iri, J^ est égal à l'unité; en égalant les coefficients des diverses puissances du paramètre S dans les deux expressions de l'invariant ci-dessus, et en se servant des relations

entre les neuf cosinus X, |ji, v, . . ., on obtiendra immédiatement

!P = A,-4- Aj-H A3= p, Q =Ai(S2-hS3) + A2(S3-4-Si)+A3(S,4-S2) = (v2-i)p, R = A]S2S3-i- A2S3S1-4- A3SiS2= o;

\ Q' = Ai(S2-t- S3) +. . .= vv'p -H s'X'pï,

l R' = A'^ S2 S3 + . . . = e' jo-v" p- ;

r P" = Aï ■+- A'; -t- A'; - (.,

) Q"= A';(S2+S3)-t-...= Vv"p-i-£'X"p2,

ces formules montrent que le calcul des cosinus jj.' et jx" est en réalité inutile.

Faisons actuellement

S, -+- Sj-f- S3 = 3a,

et = — S,-f-CT, 62 = — Sa-i-a, 63 = — Ss-t-cr,

de sorte que