e2>e3; puis

Ç'^ = -(/ — e,)(É'2— 63), ■l'2=(? — 62)(e3— ei), ^'2=(<— 63)(6,-e2)r

D == (ei — e2)(6i — e3)(e2— 63).

Les variables ç', r/, Z' sont ainsi liées par la relation

de sorte qu'on peut leur substituer la nouvelle variable t, el elle> prendront des valeurs réelles sous la condition

On a d'ailleurs

-SiÇ'2-+-S2r/2-4-S3r2=D,

4(« — ei)(« — e2)(^ — 63)' et si l'on fait encore

(^2 — e3)Ai-+- (63— e,)A2-H (e,— 63) A3 = — DN, ^1(^2— 63) A, -4- 60 (63— 61) A2 -4- 63 (6, — 62) A3 = — 1>M,

la différentielle de aTrcoso' Xq prend la forme

(M — 'Nt)dt

\/^(t — ei) (t — 62) {t — es)

Comme l'intégration qui donne Xo doit être étendue à toutes les valeurs réelles de ^', tj', C vérifiant la relation — ^'^ -{-'r\'- + ^'- =o, il est clair, d'après la forme des relations qui définissent ^\ r^', s' en fonction de t, qu'il faut intégrer par rapport à t entre les limites e^ ît e., et multiplier le résultat par 4, de sorte que

costp

{U — '^t)dt

^/iit — ei)(t — e,){t-~e3)'

on a des formules analogues pour Yq, Zo, en remplaçant M et N par M' et N', ou M" et N ", ces quantités ayant une définition évidente semblable à celle de M et N.

Il reste à lever l'ambiguïté qui provient de la présence d'un radical dans la formule précédente. Pour y arriver, il suffit d'examiner un cas particulier. Supposons donc X = [jl =: o ; la valeur de X^ est alors négative, comme le montre sa première forme; on a S2 = o, e^ << o,

puis

A2 = o, Ai-(-A3=p, Al Ss-f- A3S1 = o,

'où

Ai>o, A3>o, M<o, N<o,

;t par suite le radical doit être pris positivement. Envisageons maintenantles fonctions ellipliquesqui sont construites,

|uivant les notations classiques, avec les nombres e,, e^, <?;,, et soient %, -/i les deux nombres réels généralement ainsi désignés. Onaimméjdiatement

cos«>'Xo= - (Mw -i-Nï)), ' t:

cos cp' Yo = - ( M' Oi -t- IN" Y) ) ,

coscp'Zo = -CM"w -h N"'f)),

ît les intégrales \o, Yq, Zq sont ainsi déterminées.

Toutefois, il faut encore indiquer les détails du calcul. Soit

/jO= 2£'Àp -h p2 COS^tp', A3= £'2jJLÎp2, 3Ai=H-Ao, /l2= V2p2-f- /I3 Hq,

de sorte que

bi-|-02-+-b3 = — 3/li, 52^3~t~^3^1~'~^lS2 = — "tj OiO}t53=A3,

et par suite

— (eiCi-h esCi-i- 6162) = A2-4- 3AÎ = s^,

Ci ej 63 = — /i3 -H Al /i2 -+- 2 /ij = 53 , Faisons encore

P,= 9/,,P + Q, P2=Aîp + A,Q+R

(et, bien entendu, on a des formules analogues avec les grandes lettres accentuées une fois et deux fois), de sorte que

Aj-H As-i- A3= P,

ejAi-f- e2Aî-t-e3A3= Pi,

6363 Al 4- 6361 Aj-t- exCik^— P2;

il en résulte

et par suite

D^M = 352S3P — 2^1 PiH- 9S3P2,

D2N =— 25|P-4-9S3Pl-6*2P2,

cos<p Xo= - 4=7^ — ^ Pi H fT^ (S2P-H3P2).

Il ne reste donc plus qu'à nous occuper du calcul de oj et vj, qui peut se faire de bien des manières. En particulier, on pourra procéder comme il suit, d'après les formules connues de la théorie des fonctions elliptiques.

Faisons

y/ci— ^3-+- v/ei — 62

^ "' 3 1— Sg-î+S^r»— 75rJ2-+-... ^

on aura

Ces formules sont particulièrement avantageuses si l'on a e^ <^ o ; dans le cas contraire, si les séries ci-dessus deviennent insuffisamment convergentes, on fera moins simplement, mais avec les mêmes avantages que dans le premier cas,

es-

vV:

«3+ v/ej— es

et en déterminant toujours q, y, v' de la même façon, la différence <?i — e.2 étant remplacée par e^ — 63, on aura

— Loe —

TT ^ q

it\ I / I \

— = — 2 — Y Log - )

le logarithme étant hyperbolique.

Le calcul précédent n'exige que la connaissance des différences e, — ^3, 61 — 63 ou e.2 — 63. Or, d'après la résolution trigonométrique de l'équation du troisième degré, si l'on fait

sln2 30 =

Si

on a

et par suite

«1— 63= v/452 sin /-^ + 6 j, «, — 62= ^4s2 sin / -" — ô j,

«, — «2 = V 4*2 sin gj = ^//j^a sin G.

L'expression de Xo devient illusoire si l'on a D = o, c'est-à-dire Cl = e», ou bien ^2 = ^3. Le premier de ces cas est à écarter, car s'il se présentait, les orbites des deux planètes M et M' se couperaient, comme on le vérifie sans peine : il est par suite inutile défaire l'hypothèse où l'angle 9 serait voisin de ^« Mais il n'en est pas de même du second cas, e^ = e.,, et s'il ne se présente guère rigoureusement

réalisé, il iinporle cependant de modifier le calcul indiqué ci-dessus pour le mieux adapter à l'hjpothèse où Tangh^ 0 est potii. l.a solution suivante, parmi beaucoup d'autres, supprime toute perte de précision, et est presque toujours applicable avec grand avantage, en raison de sa forme simple et de la convergence rapide des deux séries dont elle dépend.

Posons, suivant d'autres notations usuelles,

«2—63 ei—€i

il suffit d'ailleurs de calculer

sin -- — 6 ,