C .= ( A -4- B) (cosy — i

on a, pour déterminer /, nj, 6, A, B, G, les équations

pour rendre ce système canonique, il suffit de remplacer V par

H = V H , en efTaçant le terme n qui figure dans la valeur

Kn faisant

dk dt

dl di

rfB

~dt

= " dB'

rfÔ

-de'

~ àC

— B e-'CJ,

— B e'ra,

les équations

deviennent sans

peine, d'après le n° 9

, dk d\ l idt ~ à{il)

d{il\ dy idt^" dk'

; ^Bî dN idt ~ dB/ dCz dV idt ~ dGi'

fi?B, dN i dt " dBx ' r/G, dV i dt ~ dGa '

et l'on est encore ramené à la forme canonique comme précédemment, en remplaçant aussi l el t par il et it.

La forme des équations (i) et (2) présente de grands avantages lliéoriques, et nous aurons à en faire usage de ce point de vue; mais le choix des variables est pratiquement incommode. 11 convient de mettre en évidence l'excentricité et l'inclinaison ; on aurait les résultats

les plus simples en prenant asin - et 2sin - y, cosca comme nouvelles

variables pour remplacer B et C; mais, en examinant la question sous ses divers aspects, on se convainc qu'il est encore préférable.

malgré rintroduction de coefficients à la vérité peu gênants, de conserver avec /, ra, Q les éléments képlériens ordinaires déjà considérés précédemment, loga (ou /i), £= sinco, y = 2 sin^; et l'on remplacera aussi avec avantage e, ro, y, 9 pai" les éléments équivalents £) , Si, yi , y^ définis au n° 90. On obtient ainsi, toujours par application des incmes principes, les nouvelles équations :

bien

■>. d\ / dn 3 d\'\ na-^ dl \"^ dt '^ a2 dlj'

dt "

...^ ecoscpséc^^ ...

à\\ ' 2 ôY Ysecco

âaj ina^ dz •ina'^

so <)\/

ecosçséc^— ,,,

{ dt

na'^z drs

ina'^ dl

cos«o d\

y séccp à\

lïï ~

na^ £ dl

■i.na'^ dy '

d-r dt

y sécç /()V dV\ 2 ««2 \dT3 dt /

sécci (^V

i dt ~

i dt

c^V / dn 3 (^V 2 d(i7; y" idt ~ a2 (^(iV)

i diil

^y coscpséc^i ^^

idt

r^«; •2««'^ V'dz, ' '^

sécœ / (^V dW

cosç 'xna"^

dV ^•«««'P^^^^l ^v

idt

ôz, ina^ ^(*0

£, séctp/ dW dW \

dt.

COSÇp

,-, £2COSCpséc2i

i dt

■>. na>

d£i 2Ai<:/2 d(t7j

£« séccp / dV d\ \ ^ ^na^V^dy^-^'^dJ'

idt

séc<p f.na"-

d\ Yi séccp / dW >â\ d^z ma'^ \d{ir) "' <^£i

idt

séc^

d\ y,séctf / d\ d\

<^Y, ina^ \diil) '' dsi ~^"

dW' dzj

La fonction V, somme de termes de la forme/m'R, est susceptible d'un développement analogue à celui de la fonction R, que nous avons étudiée au Chapitre précédent. Les seconds membres des équations (4) sont donc eux-mêmes développables immédiatement

de la même façon, au facteur — (ou — -) près. Il suffit pour s'en

convaincre de faire les remarques suivantes :

1° R étant le produit par (aa') ^ d'une fonction du rap|)()rt a

égal à —7 ou — suivant que l'on a a -< «' ou a > a', on peut manifestement écrire

da \ 2/ '

le signe supérieur correspondant, comme on l'a déjà dit d'une façon générale, au cas de a <^ a', le signe inférieur au cas contraire, et le symbole d'opération D étant toujours entendu de la même façon; c'est-à-dire que, si R est une somme de termes de la

forme 1 D*^^, A étant indépendant de a et r/, DR sera la

somme des termes , D^+'èi*.

2" On a

dY . ^

à {il) àl

3" Les coefficients cos«p, séc©, cos^séc^- sont développables suivant les puissances de Si Sg par les formules telles que

coscp = (i— ^eis-i)'

' oc

-G^,,er'^r' = >-^^'^^-'-^-

séc«p = (i— 4ei£î) ■-'

, „ <a coscD — i coscp sec^ -i. = 2 -J '

2 El £2

Il sera tout aussi simple de former les seconds membres des équations (3) avec le même développement de R. H suffit d'ajouter que l'on a

()\ àW d\ d\ ôV àV

£-]-=£!- — i-e2;r-> Yt~=T':^ ^-Y2T~'

Pour nous servir des équations (2), observons d'abord que l'on a

lî __ C,

2A ■ . ' v/2(A — BjB,)

la fonction V peut donc se développer sous la même forme que précédemment, c'est-à-dire en ne tenant compte que des éléments de la planète M, suivant les puissances entières positives ou non de À, et suivant les puissances entières non négatives de B, , B-j, G| , C2, les coefficients de ce développement étant certaines fonctions de A. Enfin, dans les équations (i), on a

^A . [^ <)y p ô\ \ i)V ./,, à\ dy\

Ui. S'il est bien facile de former comme nous venons de le voir les équations qui déterminent les éléments osculateurs à chaque instant du mouvement képlérien troublé des diverses planètes M, M', M", . . ., l'intégration analytique de ces équations présente des difficultés considérables, sinon insurmontables, et si même elle était efTectuée, elle resterait pratiquement inutilisable. Ecartant donc ce point de vue, nous allons chercher une méthode d'approximations successives dont le succès sera assuré par la petitesse des masses m, m', m", .. ., rapportées, comme nous l'avons dit, à la masse du Soleil prise pour unité. A la vérité, on ne peut se flatter d'obtenir ainsi une solution qui soit indéfiniment valable pour toute valeur du temps, mais il

nous suffît qu'elle le soit pour un intervalle de temps suffisamment grand.

Soit |j. une petite quantité, telle que les masses ni, m, m \ ... puissent être considérées comme de l'ordre de \x. Choisissons comme éléments du mouvement des planètes M, M', . . . leurs moyens mouvements /i, /?', ..., leurs longitudes moyennes /, /', .... (;t d'autres éléments tels que s, y, ttt, 9, ... ou des équivalents, dont nous désignerons l'ensemble par /i, h'. .... Ces inconnues sont déterminées par des équations de la forme très générale

(hi (Il dh .,

dt ' dt ^ ' dt '

(5; { dn' , , dV , , , dh! ,,,

dt ' dl ' ' dt ' '

dans lesquelles N, N', . . ., L, L', . . ., H, H', ... sonl des séries telles que SAe'<^'+^'''+ ^ les coefficients A étant des fonctions de /?, n' . . . .. h, h\ ..., tandis que .s, .s', ... sont des entiers positifs, négatifs ou nuls. Dans le cas qui nous occupe, deux de ces entiers au plus ne sont pas nuls; mais cette circonstance est actuellement sans intérêt, ainsi que d'autres particularités sur lesquelles il est inutile de s'arrêter.

Il est facile d'intégrer les équations (5) par des séries ordonnées suivant les puissances de p.. Si l'on supposait cette quantité nulle, les inconnues /i, /i', ..., /i, //', ... seraient des constantes, tandis que /, /', ... seraient des fonctions linéaires du temps, aux vitesses x^espectives /?, n\ .... Désignons donc par /i„, /i^, ...,Vo, vj,, ..., /lo, /i'o, . . ., /ooi ^'005 • • • des constantes, et par /o, /'(,, ... les arguments linéaires par rapport au temps Vq/ + /oo, '■'o^ + ^oo; •• • ^^^ diflerences Uq — Vy, ti'^ — ^v^, ... sont nécessairement petites de l'ordre de [A au moins. Supposons alors que l'on ait, en ordonnant suivant les puissances de a, et appelant v,, vo, ... de nouvelles constantes.

Ho = Vo -t- fi-V) -I- ;j.2 V2 - .... // = /<o -*- I^ 'M ^^ !^* "2 — • • • • / = /p -f- a /| -f- |ji2 /j-r- . . . , A = Ao -f- [J- /* I -f- [J-^ /i-i -f- . . • .

et, en substituant ces valeurs de //,, /, A, ... (mais non de «0, •••) dans N, L, H, ....

N = No+ ;jLN,-f-[x2N.2-i-..., L = Lo+ ,'^^1^-+- [Jl" L-, + ..,

En portant ces expressions dans les équations (5), et égalant dans les deux membres de chacune les coefficients des mêmes puissances de a, il viendra

< <•) 1 dn.2 „ dL , dli-î

(;L Ton est ainsi en possession d'une méthode simple d'approximations successives, puisque N^, L^, H^, . . . sont connus dès que l'on a déterminé tip^ Ip^ lip, ..., de sorte que des quadratures suffisent pour obtenir ensuite «^04.1, lp+\i lip+K-, ■ ■ ■■

Les quantités [t-frip, [x/'/^, tx^/i^r,, ... sont les perturbations, ou «'ucore iné<^alilès d^ ordre p, des éléments /, /i, A, ....

Pour étudier de plus près la nature de ces inégalités, il est tout d'abord nécessaire de donner quelques indications préliminaires. En premier lieu, nous supposerons que dans le développement des fonctions N, N', ..., sous la forme S Ae'^^''+^''^'+- •' indiquée cidessus, il n'existe aucun terme pour lequel on ait simultanément S' z= ,s' =: 5" = . . . = o; cette hypothèse est bien vérifiée dans les ('■quations (3) ou (4) du numéro précédent, puisqu'on a alors

ITt ~~ ^2 <)l '

ce qui montre, d'après la nature de V, que dans les différents termes de la fonction N, par exemple, l'entier 5 est nécessairement non nul. De plus nous supposerons que les constantes Vy, v^, . . . sont telles (ju'il n'existe entre elles aucune relation linéaire homogène à (;(»(!flicients enlicns, c'est-à-dire que les arguments 5/0 + -^'/'o H" • • • tie sont i;iiii;ii> indépendants du temps, si l'on n'a pas simultanément

Les fonctions Nq. Lq, Hq, . . . sont alors des sommes de termes de la forme Be'"' "' * , en désignant par B une constante fonction de «0, /'o5 • •• j '"' l^^l terme ne peut être constant, d'après ce qui précède, que si l'on a 5 = s' = . . . = o; sinon il est périodique par rapport aux arguments Z^, /',, ... ; en particulier N,,, ^J'o? • ■ • sont des sommes de termes tous périodiques, d'après l'hypothèse faite sur les fonctions N. N', ....

Plus généralement, nous serons amenés à considérer des termes de la forme Ctf e'^-"'"^"'''"-^--'^ C étant une constante quelconque, et /> un entier non négatif : si y; =o, c'est un terme constant ou périodique comme ci-dessus, et s'il est périodique, nous le représenterons généralement par P; si l'on a p > o, el s = s' = . . . = o^ c'est un terme séculaire de rang {^) p, soit S^, ; si l'on a /? > o, sans que les nombres 5, .ç', . . . soient tous nuls, c'est un terme mixte de rang p aussi, soit M^,.

Enfin, remarquons que l'on a, en appelant p un entier positif ou nul, (1) une constante donnée, et c une constante arbitraire,

IP dt — f- c, / gw' dt ~ 1- c,

p -^ l J co '

il) ' ft" c"^' dt - ^" ^""^ P^"~ ' ''"' I l'(P-'^ '"-' ''"

p{p — \){p — ■>. ) ti'-^ e^t

pour obtenir la dernière de ces formules, il suffit de différentier la précédente/? fois par rapport à o).

Revenons alors aux équations (6) : d'après la nature des fonctions Nq, Lq, Hq, . . . précisée ci-dessus, on voit immédiatement que les /^,, n, , ... seront de la forme c-|-!ïP, tandis que les /, , /?,, ... contiendront en outre des termes séculaires S).

Formons maintenant N,, L,, H,, ...; si X désigne généralemeul une quelconque des fonctions N, 1^, H, .... on a

<^Xo (^Xo (^Xq ,

Al = - — /il -L . . . - -^— /| -f- . . . -i- — r— /i, -t- . . . ;

or les dérivées partielles de Xo sont composées de la même façon

que Xfl {-TT- toutefois ne contenant jamais de termes constants);

d'autre part, le produit de deux termes périodiques est lui-même périodique ou constant; il est donc clair que les N,, N'j, . . . seront de la forme C-(- SP -f- SM, , tandis que les L,, H,, ... contiendront en outre des termes S,. Par suite, les quantités n.,, «',, . • . seront elles-

(') La terminologie employée ici et plus loin diffère un peu de celle introduite par H. Poincaré dans ses Leçons de Mécanique céleste.

mêmes de la forme c + S, + i^l/* + ïM, , tandis que les l^^ /i^-, ••• contiendront en outre des termes So.

On a ensuite, en n'écrivant que quelques termes types,

arin olo à/if,

I ^^Xo ., 02 x„

9, d«5 aho ofiQ

donc N2, r^; , . . . seront de la forme C + S, + S (P + M, +M2), et les I.o, H2, . . . contiendront en outre des termes S^ ; par suite,

Le raisonnement peut être poursuivi sans aucune difficulté, de s(»rtc qu'on peut écrire généralement

Kn d'autres teruies, le's perturbations d'ordre y> des éléments/, /i, ... contiennent, outre une constante arbitraire, des termes périodiques, des termes séculaires jusqu'au rang jo, et des termes mixtes jusqu'au rang p — i ; et s'il s'agit des éléments /i, ?i' , — il en est de même, sauf que les termes séculaires ne vont que jusqu'au rang p — i .

Plus généralement, soit f une fonction quelconque des éléments /t, /, A, . . . , périodique par rapport aux /,..., comme les L, N, H,...; on y remplaçant ces éléments par leurs valeurs et en ordonnant suivant les puissances de [x, on a

et par suite les perturbations d'ordre p de f comprennent un terme constant, des termes périodiques, ainsi que des termes séculaires et

mixtes jusqu'au rang p. Si, comme les N, la fonction / ne contient aucun terme indépendant des /,..., les termes séculaires de fp ne vont que jusqu'au rang p — ^ i ; si / est indépendante des /,..., ce sont les termes mixtes qui no vont que jusqu'au rang p — i ; si enfin y ne dépend que des /t, . . ., les termes séculaires comme les termes mixtes s'arrêtent au rangyy — i .

En particulier, dans le problème qui nous occupe, les demi-grands axes a, a', . . . jouissent des mêmes propriétés que les moyens mouvements /z, n\ . . ., et n'ont de perturbations séculaires d'ordre p que jusqu'au rang/-» — i. C'est le théorème de V invariabilité des grands axes reconnu d'abord partiellement par Laplace, puis énoncé par Lagrange sous la forme limitée suivante : les grands axes n'ont pas de perturbations séculaires de premier ordre. Plus tard, Poisson a complété ce théorème en démontrant que les grands axes n'ont pas davantage de perturbations séculaires du second ordre ; nous verrons en effet plus loin que, généralement, les termes séculaires de Up^ ne dépassent pas le rang p — 2 ; mais, pour arriver à ce

résultat, il faut prendre les équations sous une forme moins générale que celle des équations (5).

Les différentes constantes arbitraires c introduites par l'intégration dans les formules précédentes sont, avec «0, /oo, /<o? '-')? ^^-i^ • ■ •? f'" nombre surabondant; s'il J a q équations (5), il n'existe que q de ces diverses constantes dont on ne puisse disposer à volonté. Dans leur ensemble, en effet, elles sont uniquement assujetties à la condition suivante : les données du problème étant en réalité les valeurs initiales des inconnues, c'est-à-dire les valeurs des éléments osculateurs n, /, A, . . . à l'origine du temps, que l'on peut d'ailleurs faire coïncider avec une époque donnée quelconque, on doit retrouver ces valeurs quand on fait t = o dans les formules. Il en résulte en particulier que les différences entre ces valeurs el les quantités no, ^00, fh, . . . doivent être petites de l'ordre de [x.

Si l'on veut comparer les développements que l'on obtient pour les inconnues en partant de deux systèmes distincts de constantes no, vo, /oo, /io, • • • d'une part, n\ v", /j), h\ . . . d'autre part, il faudra commencer par remplacer, dans les formules qui correspondent à ce dernier choix, les arguments /<» = v»7 -h /«, • •• P»r les arguments /„ = Vo ^ -h /oo, ce qui se fera en écrivant par exemple

(•(•tte substitution ne changera pas la forme des développements et leurs propriétés générales, puisque les différences v" — Vo, Il — ho-, •■■ sont de l'ordre de [jl. Une fois cette substitution faite, les deux développements d'une même inconnue, procédant suivant les puissances de t et celles des quantités e''", e'''% ..., devront être identiques, d'après la proposition générale que nous avons admise au n" 11 (3").

95. Les développements que nous venons d'obtenir pour les inconnues «, /, A, . . . doivent être limités, si l'on veut leur attribuer une valeur pratique : il faut donc que les termes dont l'influence n'est pas négligeable, à un certain degré d'approximation fixé à l'avance, soient en nombre fini.

C'est ce qui arrive dans le problème qui nous occupe, pour plusieurs raisons différentes. En premier lieu, comme les excentricités et les inclinaisons des orbites des grosses planètes restent petites, il (Si clair qu'on peut sans inconvénient limiter le développement de la l'onction perturbatrice V aux termes dont le degré par rapport à ces (piantités ne dépasse pas un nombre donné, en tenant compte toutefois de ce qui sera dit plus loin. En second lieu, observons que l'intégration d'un terme de la forme Ce"''""^''"^"' reproduitce terme divisé |)arle coefficient de ^ dans l'argument, c'est-à-dire par 5Vo -|-5'vÔH-. . . . en laissant de côté le facteur /; et plus généralement la même observation s'applique, avec les modifications convenables, à l'intégration du même terme multiplié par ti'. Par suite, on pourra se borner à considérer les termes pour lesquels ces diviseurs sy^ -{- s'y'„-{- . . . ne dépassent pas une certaine limite.

D'autre part, les niasses des planètes sont petites par rapport à celle du Soleil, et celte circonstance rend insensibles les perturbations d'ordre élevé; on peut généralement se borner à la considération des perturbations du prcîmier ordre, en y joignant quelques termes du second ordre, et exceptionnellement d'un ordre supérieur.

En s'appujant sur ces observations, on voit aisément que le nombre des termes utiles à prendre dans les divers développements du numéro précédent est limil(''; et l'on obtient ainsi une solution entièrement satisfaisante au point de vue pratique, mais valable seulement pour un intervalle de temps borné, puisque t figure directement dans les formules en dehors des signes de fonctions périodiques. Pour obtenir davantage, si l'on.estime ce résultat insuffisant, il faut procéder autrement, ainsi que nous le verrons plus tard.

II faut encore faire une remarque essentielle. Nous venons de dire que l'intégration amenait des diviseurs dont l'effet était de diminuer les perturbations périodiques ou mixtes quand ils sont grands, c'està-dire évidemment quand leurs arguments sont à compte période ; mais inversement, un petit diviseur grandira les perturbations correspondantes qui seront alors à longue période. Il sera donc nécessaire de prêter une attention particulière aux inégalités de cette nature,

surtout quand il s'agit des longitudes moyennes / ; en effet celles-ci.

sont déterminées par des équations de la forme

dl ^

de sorte que celles de leurs inégalités qui proviennent des perturbations de 71, . . . nécessitent une double intégration.

Ce sont les inégalités à longue période qui rendront nécessaire la considération des termes d'ordre supérieur ou de degré élevé par rapport aux excentricités et inclinaisons.

On peut même concevoir que si leur inflation due à la petitesse des diviseurs n'était pas suffisamment compensée par la petitesse des masses et celle des excentricités et inclinaisons, leur présence rendrait illusoire la solution que nous venons de décrire : mais ce n'est pas le cas dans la théorie des grosses planètes.

96. Pour arriver au théorème de Poisson, qu'il nous reste à démontrer dans ce Chapitre sous sa forme générale, il faut d'abord modifier convenablement les équations qui déterminent le mouvement des planètes. D'après les développements du n° 93, ces équations dépendent uniquement des fonctions perturbatrices V, V, V", . . . qui correspondent aux diverses planètes M, M', M", ... : ces fonctions sont toutes distinctes, et c'est là, au point de vue théorique, un grave; inconvénient que nous devons chercher à faire dispai^aître, A cet effet, en profitant de ce qui a été dit au n" 7, nous allons envisager non plus l'ensemble des mouvements relatifs de M, M', M", . . . par rapport au Soleil O, mais l'ensemble des mouvements suivants : 1° mouvement relatif de M par rapport à O ; 2" mouvement relatif de M' par rapport au centre de gravité G de O et de M; 3" mouvement relatif de M" par rapport au centre de gravité G' de O, M et M'; et ainsi de suite. Il est clair que toute propriété appartenant à chacun

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. l3

des mouvements de ce second ensemble appartiendra aussi à chacun de ceux de l'ensemble primitif, puisque le mouvement relatif de la planète quelconque M par rapport au Soleil est commun aux deux ensembles, et nous avons ainsi, en réalisant l'unité des fonctions perturbatrices, le moyen de pousser plus loin l'analyse des numéros précédents, et de mettre en évidence de nouvelles et importantes propriétés de la solution générale du problème que nous étudions.

En nous reportant en effet au n° 7, nous voyons que les nouveaux

mouvements envisagés sont ceux de masses respectivement égales

tn , I -4- m „ 1 -H m -t- m'

seule vl même fonction de forces

• • sous l'action d'une

fm fm frn" fmm' fmm" fni' m"

(m (m' ôw ~^"' MM^ MM^ ' ' ' ivrivr

Si d'ailleurs on appelle r, /', /", ... les vecteurs OM, GM', G'M", . . . elx,y, 5, .27, r, s, x",y', z\ ... leurs projections sur les axes, les projections de OM'. OM", . . . sont

x^ . . ., pour OM',

X, . . ., pour OM", ' >

in!