I -+- //i -t- ni
pour MM',
pour MM",
',x\ . . ., pour M' M",
Posons alors
j.^ ^ /^ l /^ (i 4- /n')(i -4- m) fm!' (i-f- m")(i + m -^ m!) r /•' \-\- m -^ m! r" i -\- m -\- m' -\- m'
puis
l4 CHAPITRE XIV.
les mouvements considérés sont des mouvements képlériens troublés
de masses égales à l'vinité, sous l'action de fonctions de forces égales
.,.(1-4- m) ^(i-f-m') ..(i-hm") respectivement a j ; — -, j -, — -i J -, — -, ■ , augmentées
des fonctions perturbatrices \ , V, \ ". . . . qui ne difilérent entre elles que par des facteurs constants.
Il est évident d'ailleurs que la fonction <I> est du second ordre par rapport aux masses m, m\m\.... de sorte que les fonctions V,V' ,V ", ... sont elles-mêmes du premier ordre, et par suite admettent le facteur fx. On s'assure aussi facilement que dans les équations mêmes du mou-
vement, telles que -7— = » • • 5 les masses ne peuvent iieurer
' ^ df^ m âjr ^ &
en dénominateur, et par suite l'hjpothèse d'une masse évanouissante ne peut susciter aucune difficulté. Enfin, on voit encore sans peine que les fonctions V, V, . . . actuelles sont susceptibles de développements jouissant de toutes les mêmes propriétés essentielles que <;elles qui figurent dans les différents systèmes d'équations du n" 93.
En résumé, pour étudier le mouvement relatif de la planète M par rapport au Soleil O, nous pouvons le considérer comme faisant partie d'un ensemble de mouvements en tous points analogue à celui des mouvements de M, M', M", . . . par rapport au Soleil, mais pour lesquels les fonctions perturbatrices sont les mêmes à des facteurs constants près : les nouveaux mouvements des points M', M", ... ne diffèrent des anciens que de quantités de l'ordre des masses m, m', m", . . :, puisqu'ils se confondraient avec eux si ces masses étaient nulles.
IVenons, pour déterminer notre nouvel ensemble de mouvements, des éléments canoniques tels que ceux qui figurent dans les équations (1) et (2), c'est-à-dire comprenant en particulier les longitudes moyennes /,/',..., el leurs éléments conjugués. A, A', .... Désignons par (B, C), (B', C), . . . l'ensemble de tous les autres couples d'éléments conjugués deux à deux, et par a, a', . . ., ^3, |ii', . : ., des nombres constants; les équations de notre nouveau problème prennent la forme
dA ~dî
dl
dt
d\i 'dt
dC
dK' dt
dl'
-— — n' dt
dB' dt
dC
dt ~
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. l5
V est une fonction perturbatrice de l'ordre de [x, et n, n\ . . . senties fonctions bien connues de A, A', . . . respectivement.
97. Supposons plus généralement que les moyens mouvements /i, «',... dépendent de l'ensemble des éléments A, A, ... à l'exclusion des autres; faisons encore
et déterminons les variables nouvelles A, s, . . . par les conditions .
dl dt VV
dt dt dA
En modifiant les notations de façon à remplacer A, A', . . . par exemple, par A,, A2, . . . , les équations (8) deviennent
dk^> <W dzp ô\ d^,, dV dC^ àV
"^"^""^' ~dr-'''"àx;/ nf-^^'^dc,' ~dr- ^'^dx^,,'
les coefficients a^, ^q étant des constantes numériques, et les iip dépendant de l'ensemble des A,,.
En vue de diminuer la prolixité des formules, désignons encore para:,, ^27 • • • l'ensemble des variables Ap, s^, B^, G^; en remarq^uant
que TT- ne diffère pas de ^r » nous pouvons écrire plus simplement
les équations précédenles sous la forme
en faisant
rj.ji.-= ay, quand on a .Xj=:Ap, a:/. = ip,
rj.jl,~—'3.p » Xj=Zp, Xl^= k,,^
ay/.= 'p,, » Xj=\i,„ x/,= C..,,
y.jk = — ^q » ^j = G7, «"^ = Ry.
0Ljk=^o dans tous les autres cas;
de sorte que généralement les nombres (*.jh vérifient la relation
Ea fonction V et ses dérivées partielles sont de la forme v(;g/((,/,+vy,+...j^ les coefficients G dépendant des A^, By, G^, tandis que 5,, «25 •• • sont des entiers quelconques.
l6 CHAPITRE XIV.
Intégrant les équations (9) par approximations successives ordonnées suivant les puissances de tx, et appelant précisément A,,, B^., . . . les valeurs de première approximation obtenues en négligeant [ji. afin d'éviter la surcharge des notations, nous représenterons maintenant par
A;,^- oA;,-4-82A/, + . , .. B,/-HSB,/^-o•^B,/-^-...,
les inconnues correspondantes, mettant ainsi en évidence leurs parties des divers ordres par rapport à u.
Ap, B^, C^, ep sont des constantes ; il en est de même des /ip = 'fp (A,, A), . . .), et Ton peut prendre Ip = n pt-\-zp^ en faisant ici les quantités que nous devrions désigner par Vp égales aux rip. Comme précédemment, nous supposons essentiellement qu'il n'existe entre les Up aucune relation linéaire et homogène à coefficients entiers, c'est-à-dire que l'argument w =5,/, +;Ço/2 + • • -, dans lequel le coefficient de t est N = 5| /i| -1-^2 'îa + • • -5 n^ peut être indépendant du temps que si l'on a simultanément 5| = ^^j = . . . o.
l^ar suite les fonctions -r- et toutes leurs dérivées partielles ne
ôtp ^
contiennent aucun terme constant, et sont composées uniquement de
termes périodiques.
Les équations (8) deviennent maintenant
di^Tj) V" • ^^ d{hXp) •^drip^.
dt ^ ^ ' \ àx/c dt,, '' dxk d.
d(b^lp) y^ /àfip I d^n
dt
Vf, j. un,,
6*Xj) v^ o'-yi -,, <y' V ■„ i a- \ ,, ^, —-L1 = > a,/, — 82X„-4- T — -. — ^^x,n + - — T- OA^OX,.
OXn \ .
(>.r/,. de,, àx,„ 2 ôxk f)x„, <)x„
et dans chaque somme on fait varier, comme dans ce qui suit, tous les indices autres que y ou /?, suivant le cas, de toutes les façons possibles. Dé plus, nous conviendrons de prendre nulles toutes les constantes arbitraires c introduites par l'application des formules d'intégration (7) : comme nous le savons, ceci ne saurait influer en rien
sur la généralité des conclusions relatives à la forme des résultats, pas plus que la restriction que nous avons déjà faite en prenant V/,=: n p.
On a en particulier
di^kp) à\
<-t par suite ôA^, ne contient aucun terme séculaire, ainsi que nous I avons déjà vu.
Considérons maintenant ô-A^,; on a
c'est-à-dire, d'après ce qui précède,
dio^kp) y^ dn,, 0-'\
dt
y a.p a,. —-' — — / / — - dt^ .a^ â\,. 'hpde,, J J àsr
Il est clair que le second membre de cette formule ne contient aucun terme séculaire de rang an] nous allons faire voir qu'il ne contient aucun terme constant non plus.
Examinons en effet de plus près les deux sommes S, et S2 dont se compose le second membre, et d'abord la première S, . Posons
l'argument o) étant celui défini plus haut, dans lequel le coefficient du temps est N, et l'argument oj' étant analogue : on peut écrire
la sommation s'étendant à tous les indices q et /■, comme nous l'avons déjà dit, et en outre à tous les arguments to et w' non nuls.
On voit alors que l'expression de S, est purement périodique, puisque si l'on suppose o) + (o'=o, on a aussi 5^+5., =0, 5^ -h s = o, ,s> -h 5^. :=o, N + ]N' = o, de sorte que le coefficient placé entre parenthèses est nul : les termes qui pourraient être constants disparaissent.
En permutant les indices / et /r, on peut écrire maintenant
S == V 1 a a ( -^^ f 'ly^d — ^'^ f ^ d\
l8 CHAPITRE XIV.
Plaisons comme plus haut
il vient, en supposant d'abord to et to non nuls,
^.l=^-^^^,,XjlS'
CJ gi(w f o)')
et, comme tout à l'heure, ce résultat est purement périodique, les termes qui pourraient être constants disparaissant encore, pour une raison analogue.
Si l'on suppose nul l'un des arguments (o, co, il en résulte j)our S^. des termes complémentaires mixtes, de rang un.
Celte analyse nous montre que ô-A^ ne contient aucun terme séculaire, mais seulement des termes périodiques et des termes mixtes de rang un ; c'est le théorème de Poisson, annoncé précédemment.
Pour obtenir la généralisation de ce théorème, il suffit de poursuivre de la même façon. On a
- j. =/,«/' i r- 0-2 A,/ -h -— o2a:yH -hkr,T>k,
dt j^ ' \i)zpà'c,, ' (k/.ôxj x àzpdi^fhs
(h,,<)t,,<).rj "' ' ■' ■>. <}zp<).rj()x„t ■' ' '
soit dt
-a„a,. a, ( / / vd/x / , dt\df
■X ' <)\,. »\t\ OtpOi/,1 .1 ihr<)l, J J <)l,
d^y r r()\ , , r ro\ , ,
fhi,(h,,(h,J J <kr J J <k,
^ ' ■' <)\r (Jl,,()l,iJ,l Oi, ■<>■>• j J l)X/,.
+ -— , / dt / / -- df'
dipdi.idxjj J d£,. ./ àxi, J
+ '"^ f^dtxf^^^'^^
i)-./,() r I i).r,„ ,1 àx/,- J àx,i
ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES. ly
Si 1 on cherche les termes séculaires qui peuvent exister dans cette expression, on n'en trouve aucun dans les deux premières sommes.
En représentant par F la partie constante d'une fonction périodique quelconque F, on trouve dans la troisième somme les termes d(^ rang an
\:^ On,, 0\
dz„ dz
./ ,/ otrO.ij âîpâi,idxjj J os,.
ov
si l'on fait alors V =SGe"^, .— = ïCe'^, on voit immédiatement,
comme ci-dessus quand il s'agissait de la souime S,, que la quantité entre crochets est effectivemeni nulle : ("es termes disparaissent donc.
Considérons maintenant la dernière somme; en échangeant dans le premier terme les indices y et /r, et permutant ensuite simultanément y et m, k et n, elle peul s'écrire
v-i I [ ,)->\ r à\ , rà\,
()Ij)()T/;J àXjdXin J dXn
/ dt \ -^ — dt .
âtp dXn . ' OXj ()X,„ , / nx/c
Elle contient alors des termes séculaires de rang un^ correspondant aux parties constantes de - — et j-;-; on peut Jes reunir sons la tonne
^P -^ il' '^•'iin
et si l'on fait
