lAv+l^AB-t-^A«+^.A'o+'^^f/,n
' « r,6 OIO Ol* ■>'" 9ÎO
ce qui justifie les assertions précédentes relativement à la convergence de ces séries dans les cas usuels. Ces deux séries S et S, sont d'ailleurs convergentes encore pour h = i , et sont alors respectivement égales,
d après leur dehnition même, a —. — et
Il6 CHAPITRE XVH. — DÉVELOPPEMENT NUMÉRIQUE DES PERTURBATIONS, ETC.
On peut faciliter le «aïeul par l'emploi de la table suivante, qui suffit pour tous les cas usuels, avec l'approximation de la septième décimale. Si l'on fait
on trouvera e et Sj dans cette table :
log/i. logs. DifT. loge,. Diff.
THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX INÉGALITÉS SÉCULAIRES ET A LONGUE PÉRIODE.
Ho. Comme nous l'avons dit au n° 95, les diverses solutions que nous avons développées dans les précédents Chapitres ne peuvent être regardées comme valables que pour un intervalle de temps limité, en raison de la présence des termes séculaires et aussi des termes mixtes. Est-il possible, en procédant d'une autre manière, de trouver des résultats valables pour de très grands intervalles de temps? C'est la question que nous devons examiner dans ce Chapitre.
Reportons-nous au n" 94, dont nous allons reprendre les notations et la terminologie. Si l'on veut étudier d'une façon au moins approchée ce que devient le mouvement du système formé parles planètes M, M',. . . pour des époques très éloignées de l'origine du temps, il est clair qu'il faut envisager, dans les valeurs des inconnues, l'ensemble formé par les termes séculaires principaux, c'est-à-dire ceux qui sont de rang maximum pour un ordre donné, soit, en précisant, ceux qui sont à la fois de rang p et d'ordre p : tous les autres termes, en effet, deviennent négligeables devant ceux-là pour t très grand, et 'autre part, tous ces termes sont à conserver, puisque la grandeur de t compense la petitesse de p.. Nous allons montrer, d'après H. Poincaré, que ces termes peuvent être définis séparément par un système 'équations différentielles simples, que nous pourrons ensuite chercher
intégrer sous une forme différente, permettant d'énoncer des conclusions qui resteraient cachées si l'on conservait la forme primitive, tout comme le développement en série de sincoi, par exemple, masque la périodicité de cette fonction.
Revenant aux équations (5) et (6) du n" 91, appelons S^ (^/>)> Sp{hp),. . . les parties séculaires principales de Ip, hp, ... : ce sont
Il8 CHAPITRE XVIII.
les seules inconnues que nous chercherons à déterminer, puisque les iip ne contiennent pas de tels termes, nous le savons. Convenons de plus de prendre Vq = /io, et supposons les quantités Wj, /i^, ... dépourvues de termes constants.
Désignons par L, H, . . . les parties des fonctions L, H. . . . qui sont indépendantes des longitudes moyennes /,/',..., soit, pour abréger, les parties séculaires de ces fonctions (les IN n'ont pas de parties séculaires); Lo, Ho, ... seront de même les parties constantes de Lo, Ho, ... et par suite, ce que deviennent L, H, . . ., quand on j remplace /i, A, . . . par tiq, /«o, • • •• Enfin, n'oublions pas que, d'après le théorème de Poisson, les iip n'ont pas de parties séculaires de rang /> — i .
Dans ces conditions, on a d'abord manifestement
dt - "«' •••' dt - ^0' •••'
puis, en reprenant le développement général de la fonction Xj, el observant que la dérivée -rf- ne contient pas de terme constant, on a. en ne conservant que les termes séculaires en <,
En prenant de même le développement général de Xo, et y conservant seulement les termes séculaires en i-, on a
^S3(/3) OLf, , ^ <^Lo „ ,., .^
Et ainsi de suite.
Si donc on i^éduit les inconnues /z, /, A, . . ., à leurs parties principales^ définies plus haul,
"0, /o+ !^Si(/i)-4-;j.5S»(/o) -f-. .., A^-H ;a.S,(/ji ) -f- ;JL-S2(A2 ) -+- . . .,
on voit que l'on a précisément
dn dh Tj dl -
les Ai sont des constantes «o; les h sont déterminés parle système d'équations différentielles
dh ri dix j.,
aux seules inconnues A, /i', ... ; enfin on obtient les / par de simples
quadratures
dl
puisque la fonction L des h est maintenant connue.
En résumé, pour déterminer les parties />/'f/îCi/Da/e5 des inconnues, il suffit de réduire les seconds membres des équations générales (5) du n" 94 à leurs parties séculaires.
116. Appliquons ce qui précède au système formé par les grosses planètes M,, Mo, M3, . . .. Pour représenter les éléments de la planète M^, de masse m^,, nous modifierons un peu les notations ordinaires : le moyen mouvement et le demi-grand axe seront des constantes rip et oty,, liées par la relalion n^pd^j, =/(i +'^ï/)); la longitude moyenne, l'excentricité, la longitude du périhélie, l'inclinaisoiTet la longitude du nœud ascendant seront Ipit^p, ^p,Jp, ^p', et nous ferons
Y„ = sin ^ «-'9;., y' = sin ^' e'9,-.
Soit alors f/n^ Spq la partie séculaire de la fonction perturbatrice qui définit l'action de M^ sur le mouvement de M^,; d'après le n" 91, on a Sp,f = S^^ (les indices />, pétant toujours distincts), et si l'on néglige les termes du quatrième degré par rapport aux excentricités
riO CHAPITRE XVIIl.
et aux inclinaisons, il vient simplement
sJapOq Spq = ibp,,-^ 2( ipt'p -1- H^£,/ — Tpï^ " Y? Y7-+- T/'ïv -+- ï/'ï?) */>'7
en appelant "ibpq^ '^^'pqj "^^pqt "^s coefficients de Laplace h\, h'\, h\^
qui correspondent à celui des rapports — ou — qui est inférieur à
l'unité.
Par suite, les équations (4) du n° 93 donnent d'abord pour déterminer les éléments e^, s' , y^, v^^, ... les équations
i ai ripap ^m^ v/a„a„
— i ai rip ap ^^ ^^ ^
qui forment quatre systèmes nettement séparés, conjugués deui à deux, comme le sont nécessairement e^, £^, d'une part, y^, y„ d'autre part.
Observons tout de suite qu'en multipliant les équations telles que (i) et (i') par rrip iip a^ z'p, — rrip iip ci^, Zp^ respectivement, et ajoutant, on a l'intégrale
( 3 ) 2. "'/' ^p '^p ^p '■'p = con st. ;
et de même les équations (2) et (2') admettent l'intégrale
( 4 ) V nip rip af, ^p Yp = const.
Pour intégrer les équations (i) par exemple, cherchons une solution
de la forme
£1= Cl C'A'/, t^—C2 e'S-t, ...,
en appelant C^, C,, . . ., «, des constantes; il suffit de vérifier les relations
Le nombre g doit par suite être racine de l'équation que Ton obtient en égalant à zéro le déterminant F(^^) de ces équations linéaires; une fois ce choix fait, ces équations fournissent les rapports des constantes C,, G,, . . . dont une seule peut être prise arbitrairement en général. Comme l'équation F(^'-) = o est d'un degré égal à l'ordre A" du système (i), on a ainsi, en prenant successivement pour g les k racines supposées distinctes de cette équation, k solutions particulières dont la réunion formera la solution générale des équations (i), dépendant de k constantes arbitraires.
Avant d'examiner les cas particuliers qui pourraient se présenter, démontrons que l'équation F [g) = o ne peut avoir que des racines réelles. Supposons en effet ^ imaginaire de la forme fj — icf., la quantité a n'étant pas nulle, et soit
une solution correspondante. Si C, , G!,, . . . sont les constantes conjuguées de Cl, Go, . . . les équations (i') admettront la solution conjuguée
ît d'après la formule (3), on aura
gîa< "Z nipTipapCpCp^^ const.
Les produits dp G' étant nécessairement positifs ou nuls, mais non tous nuls, cette relation est impossible, si du moins les moyens mouvements iip sont tous de même signe, c'est-à-dire si les planètes M^, tournent toutes dans le même sens, par rapport à un plan peu incliné sur leurs orbites : ce qui est le cas de la nature.
Si l'équation F(o) =o admet une racine multiple g d'ordre h, on peut penser, d'après la théorie générale des équations diff'érentielles homogènes simultanées à coefficients constants, que la solution correspondant à cette racine sera de la forme
Cl, C., . . . désignant cette fois des polynômes convenablement choisis, du degré h — i au plus en i, et dépendant de h arbitraires. En réalité, ces polynômes se réduisent à des constantes : en effet, soient Cj, C,2 . . . leurs conjugués; puisque la racine g est réelle, les équations (i') admettent la solution
et d'après (3), on a
^ mpripaJyCpCp = consl. ;
or celte relation ne peut évidemment subsister, avec la même hypothèse que ci-dessus sur le signe des rip, que si les Cp se réduisent à des constantes.
La solution particulière qui correspond à In racine g est donc toujours de la même forme purement périodique, mais parmi les constantes Ci, C,, . . ., on peut en choisir h arbitrairement : en d'autres termes, les mineurs du déterminant F(^) sont tous nuls jusqu'à l'ordre // — i au plus.
Ces différentes propositions résultent encore des considérations suivantes : faisons
Dp= ap \/?HpnpCp,
de sorte que les équations aux inconnues C,, deviennent
' ,/ ,-^. V«;>«7/ ^ {apa,,y^s/npn,,
Le déterminant de ces équations, qui est toujours F(^'^), apparaît alors comme un déterminant ^jk/^î^'^/'^^mc à coefficients réels (puisque les Up sont tous de même signe), du type bien connu
An
et l'on sait par l'algèbre que l'équation F" (g) = o a toutes ses racines réelles, une racine multiple d'ordre h annulant tous les mineurs de F( "•) jusqu'à l'ordre h — i inclus.
Désignons généralement par »•«, ^p, ... les /,■ racines supposées
distinctes de l'équation F (^) = o; et soient c^a? c^p, .. . des nombres réels choisis une fois pour toutes, vérifiant les équations (5), où l'on remplace g" par g-^^, «p, ... : ces nombres sont déterminés par ces équations mêmes à un facteur près. En appelant p^ et A^ deux constantes arbitraires réelles, nous pouvons écrire la solution générale des équations (i) et (i') sous la forme
ou bien
L'équation (3), appliquée aux deux solutions particulières
donne, sous la condition on^ 'ilt,
/^ nipnpalCpy,Cp[^== o,
luisque les racines "•«, g^ sont supposées distinctes. 11 résulte immédiatement de cette relation et des formules précédentes
7, ntp npaf,Cpxir\p cosTSp = ip^cos{ga,t + Xg)^^ nipUpalCpx,
2, m/)npa],Cpxr,p sinnr/, = — 2 pa sin(^a' + '^'a)^ nipnpaf,cf,x,
ces deux équations sont propres à déterminer les constantes paj^-a brsqu'on se donne les valeurs des rip, vsp pour l'époque t. En éliminant t entre ces deux équations, on a l'intégrale
7, mpmqnpnr,af,alcpgiCffOL'rtp-T\tfCOs(rjjp — m,f)= 4pa| ^ rnpnpalcpx\ ,
pq \ p /
sommation du premier membre étant appliquée à tous les arranlements deux à deux des indices />, q.
lli\ CHAPITRE XVIII.
En revenant aux valeurs de '/\p cos m^, 7]^ sin nj^, il vient encore
''"'/'= ^^ pap6(C;>aC;,p COi{( g-c— ff^)t -f- Aa — À^],
la sommation étant appliquée à tous les arrangements deux à deux des indices a, !3; et aussi
/, Pat.V-'asin(,J^a^ + ^a)
tangra» = .
y Pa.Cpy.cos(fia.t ~h Xa) a
La première de ces formules montre que l'excentricité r\p ne saurait dépasser la limite
^2^ I PaC/;a I; a.
quant à la seconde, elle offre un résultat intéressant dans le cas où l'un des coefficients p^ Cp^ est supérieur en valeur absolue à la somme des valeurs absolues de tous les autres. On peut écrire en effet
2^ Pp'^/>psin[(.^a— ^p)^-^>^a— Àp]
paC;,a-H^ ppC;,pcos[(^a— j?p)«-f-Àa— Xp]
l'indice [j étant différent de a; si donc on a
le dénominateur du second membre ne peut s'annuler, et par suite l'angle rjjp -\- g^ ^ | ),^ reste constamment compris entre — -et +-» ou bien entre — et 3—? par exemple; en d'autres termes, la longitudecr^
a une valeur moyenne égale à — (iTa^ + ^'^a)) ou bien t: — (é^a^ + ^^a)» c'est-à-dire encore un moyen mouvement égal à — g^g^.
S'il en était de même pour une seconde planète My, et pour le même indice a, la différence cr^, — rn^ aurait pour valeur moyenne zéro ou 7T : il y aurait libration pour cet argument.
Ajoutons enfin que la formule (3) nous donne l'intégrale
ipni,al-i\l— const.,
et d'après la valeur de t)^,, la constante du second membre est égale à
Tout ce que nous venons de dire peut être répété, avec les changements nécessaires de notations, sur les équations (2) et (2') et les variables y^, y' Les équations (5) deviennent
rij, aj, \Jt
■p 'ty
fm,, h',,
tipU^p sj apa,,
et par suite sont vérifiées pour
c'est la seule particularité qui soit à signaler; disons encore que l'intégrale (6) devient ici
niptipa-p sin-
,.lP
consl.
Il est aisé de justifier a priori la présence d'une racine nulle pour l'équation F(,;') = o. Imaginons que l'on change le plan fondamental auquel sont rapportées les orbites, et que le nouveau plan soit défini par rapport à l'ancien à l'aide de son inclinaison y *> et de la longitude de son nœud ascendant B" ; prenons de plus ce nœud ascendant pour origine des nouvelles longitudes. Les quantités y ;,, 8^,, y^,, y^ seront remplacées par y^, 0",, y^, y^V\ et la considération du trièdre formé par les deux plans fondamentaux et celui de l'orbite de My, conduit immédiatement aux relations suivai\tes, en négligeant toujours les quantités d'ordre supérieur par rapport aux diverses inclinaisons,
siny'^sinG^j = siny'/, sin(0;, — Oo),
sinyj* cosO^^= — sinyo-f- %'n\jp cos(9/,— 6»),
c'est-à-dire
126 CHAPITRE XVm.
Mais les quantités y^, y'^" doivent nécessairement avoir la même forme que y^,, yj, ; il faut donc, de toute évidence, que l'une des exponentielles e'-' se réduise à une constante, c'est-à-dire que Tune des quantités g soit nulle.
Supposons que la valeur commune des constantes Ci, G., (^3, . . . qui correspondent à la racine nulle de l'équation F(^^) ^= o, soit de la forme pe'^-, p et A étant des quantités réelles; si l'on détermine le nouveau plan fondamental de façon que
p = sin ^, Oo — — X,
on voit que les quantités y° y^" ne contiendront plus aucun terme constant. Par suite encore, le plan fondamental primitif sera ce plan spécial, si, d'après les équations analogues à (a), on a, à un instant quelconque, et par suite toujours,
(j3) ^ W/, /j/,a^j sin — cos6;, = o, ^^ nipripap sin — sinO;; = o.
Il est inutile d'écrire explicitement les équations qui déterminent finalement les longitudes moyennes Ip. On constate immédiatement, en se bornant toujours aux termes d'ordre inférieur par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, que la valeur de Ip se compose d'un argument linéaire par rapport au temps, et de termes du second degré par rapport aux excentricités, ou bien par rapport aux inclinaisons (sans que ces deux sortes d'éléments puissent se mélanger), dépendant des sinus des différences mutuelles des arguments ^a^+^>a relatifs aux excentricités, ou bien aux inclinaisons, l'intégration amenant d'ailleurs les diviseurs tels que g^ — g^.
117. On peut retrouver directement quelques-uns des résultats que nous venons d'obtenir, et même sous une forme plus générale, en appliquant simplement le théorème des moments des quantités de mouvement au système formé par le Soleil O et les planètes M^, réduits à des points matériels.
Soient Xp, jp, Zp les coordonnées de M^, par rapport à des axes d'origine O; X^^,Y/,,Z^ les coordonnées du même point par rapport à des axes parallèles aux précédents, ayant pour origine le centre de gravité G du système considéré; de plus, par rapport à ces derniers
THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX INÉGALITÉS SÉCULAIRES. l'J
axes, X, Y, Z seront les coordonnées du Soleil, dont la masse est Tunité, de sorte que
. Xp-= x,,-+-X, ..., X(i-+-I.m,)) -h I,mpôCp= o, ...,
l'indice p prenant toutes les valeurs possibles dans les sommations. Le système étant soustrait à toute action extérieure, le théorème des aires a lieu par rapport à un plan quelconque passant par G, et pour ce point considéré comme centre des aires. En choisissant GXY pour ce plan, et marquant par un accent les dérivées par rapport au temps, on a donc
XY'— X'Y -f- Sm/,(X;,Y;,— X;,Y/,) = const., c'est-à-dire, d'après les relations précédentes,
