I.mp(xpyp—x'pyp) ;^; {^tnpXp^mpy'p — Zmpx'pZmpyp) = const

ou bien encore

(9) ^mp{-^pyp—x',,yp)

-+-^mpm^[{xp~Xg) iy'p — y'c,) — { op',—x'„ ) {jp — jr„ ) ] = co 11 st. ,

en étendant la dernière sommation à tous les indices p et q.

En regardant, comme au n** 94, les masses nip comme étant du même ordre de grandeur qu'un certain paramètre |jl, reprenons pour un instant les développements obtenus dans ce paragraphe pour les

éléments des planètes My,, et remplaçons t par partout où il ligure

en dehors des arguments tels que /y. D'après les propriétés reconnues de ces développements, ils procéderont maintenant suivant les puissances entières non né<j;atives de i' et de a, et en y faisant a = o, on obtiendra précisément leurs parties séculaires principales, telles que nous les avons définies au début de ce Chapitre.

Les coordonnées Xp^ y p et leurs dérivées x' . y' sont des fonctions des éléments, qui se développeront de même. Portons leurs valeurs dans l'équation précédente (9), et après l'avoir divisée par [x, faisons jA = o : le premier membre demeurera une constante. D'autre part, nous savons que l'on a généralement

en appelant Hp, cip, f\p,Jp les valeurs osculatrices du moyen mouvement, du demi-grand axe, de l'excentricité et de l'inclinaison (par rapport au plan Oxy) de la planète M^. L'intégrale (9) deviendra donc

"SLmpnpCiJ, cos /'p y/i — '1/,= const.,

les éléments étant réduits à leurs valeurs séculaires principales, et ceci aura lieu d'ailleurs quelle que soit la grandeur des excentricités et des inclinaisons.

Si l'on suppose maintenant que ces quantités sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs quatrièmes puissances et les produits de leurs carrés, il vient

Lnipfipaj, (i '^f>-~ 2 sin' -^ \ = const.;

et comme dans l'hypothèse ici faite les Up et Up sont des constantes, comme d'autre part les constantes arbitraires qui figurent dans les

expressions des r^p et dans celles des sin — sont entièrement distinctes,

on retrouve immédiatement les intégrales (6) et (8) du numéro précédent.

Supposons que le plan des a:y, sur lequel nous avons pris l'intégrale des aires (9), soit le plan du maximum des aires, c'est-à-dire soit perpendiculaire au vecteur des aires, constant en grandeur et direction. En projetant alors ce vecteur sur les deux axes O^, Oj', on aura les deux équations analogues à (9)

y:mp{fpz'^,—yf,zp)-^.. . = o, 2 rnpixpz'p—x',,Zp} +. . . = o,

les constantes des seconds membres étant nulles.

En raisonnant alors comme plus haut, il vient, d'après les expressions connues des quantités j'^ j^', — y'p^p, XpZp — x'^Zp^

Y.mpnpa\ sinjp sinO^^ y/i — yj^ ^^ "LmpHpaJj sin/;, cos0;, y/i — t)^, = o,

Ôj, étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de My, sur le plan des xy\

Laissant de côté les termes d'ordre supérieur par rapport aux

excentricités et inclinaisons, on a plus simplement

'Zmpnpaj,ûn~sinbp=o, I>mpHpaf,sin^ cos(ip= o,

et en comparant ces résultats aux équations (,3) du numéro précédent, on voit que le plan spécial considéré à l'occasion de ces formules n'est autre que le plan du maximum des aires.

il8. La théorie que nous venons d'esquisser montre comment on peut remplacer les termes séculaires principaux de la théorie des planètes par des termes périodiques, au moins quand on néglige les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons; inversement, en développant ces termes périodiques suivant les puissances du temps, c'est-à-dire en faisant par exemple

on retrouverait les termes séculaires principaux sous leur forme primitive.

On peut déduire de cette transformation des termes séculaires en termes périodiques, nombre de conclusions intéressantes sur la stabilité du système solaire, et sur son état passé et futur : nous n'y insisterons pas, car elles ne sont pas à l'abri de toute objection.

On peut se demander si elles subsisteraient quand on va plus avant

lans les approximations. En premier lieu, en se bornant toujours à la considération des termes séculaires principaux, il faut tenir compte

les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons : il ?st possible alors de montrer, en prenant pour point de départ la

)remière approximation obtenue ci-dessus, et en se servant des théorèmes généraux du Chapitre II , que la forme périodique subsiste mcore, au moins formellement, par rapport à l'ensemble des argu-

lents g'at-i-'^-x cJéjà introduits, mais à la condition de modifier îonvenablement les quantités g,^.

I En second lieu, on peut ensuite faire voir, en suivant toujours les

lêmes principes, qu'il est possible de faire disparaître complètement

;s termes séculaires de la solution générale du mouvement des plaiètes, en la mettant sous forme purement périodique, dépendant des longitudes moy^^nnes et des arguments ,i,'a/ + ^>a encore modifiés.

l3o CHAPITRE XVIII.

Malheureusement, ces résultais sont purement formels, et dénués dt valeur pratique.

Cependant, ils peuvent s'appliquer à d'autres problèmes analogues, et en constituer alors la véritable solution, aussi bien au point de vu»pratique qu'au point de vue théorique, en raison des circonstance particulières qui s'offrent alors. C'est ce qui arrive notamment pour la théorie du mouvement de la Lune et pour celle des satellites df Jupiter, que nous exposerons ultérieurement toutes deux avec \('> détails nécessaires. Aussi, nous bornerons-nous à ce qui précède relativement à la théorie des grosses planètes.

119. La solution générale du mouvement des planètes, telle que nous l'avons développée dans les Chapitres précédents, présente encore des difficultés, en raison des petits diviseurs qui afl'ectenl les inégalités à longue période, ainsi que nous l'avons vu au numéro 95. De tels petits diviseurs peuvent compenser, au moins partiellement, la petitesse des masses perturbatrices, et pour avoir une approximation satisfaisante, il peut devenir nécessaire d'envisager des termes d'ordre supérieur par rapport à ces masses, et de degré assez élevé par rappori aux excentricités et aux inclinaisons. A la vérité, la longueur de leur période permettrait de regarder ces termes comme des constantes s'il ne s'agissait que de représenter le mouvement pendant un court espace de temps; mais il n'en saurait être de même, dès que la prévision du mouvement dc"it être étendue à plus longue échéance, et il importe alors de les considérer de plus près. Comme pour les termes séculaires principaux, nous allons montrer, en suivant encore H. Poincaré, qu'il est possible de définir chaque ensemble de termes à longue période d'influence prépondérante par un système d'équations différentielles simples, que l'on pourra ensuite chercher à intégrer sous une forme nouvelle, mettant en évidence les propriétés véritables de la solution.

Reportons-nous encore aux n*" 91 et 9o ; soit 6 un argument de la forme si + s'I' -\-..., et 9o = sl^ -}-s'l\^ -{-. ... : à Ô ou Gq corres- [)ond le diviseur d, égal à 5/Iq + s'n\ -f- . . . (en convenant encore ici de prendre Vo = n^, v'o= n\, ...). Nous regarderons d'ailleurs comme clant les mêmes deux diviseurs dont le rapport est indépendant des quantités n„, /i'^, . . . regardées comme des paramètres quelconques; et par suite, tous les arguments de même diviseur d seront les mul-

THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX INÉGALITÉS SECULAIRES. l3l

tiples de 0 ou Oq, et ces mulliples seulement, si l'on suppose les entiers s, s' , . . ., premiers entre eux dans leur ensemble.

Désignons par (N), (H), (L), ... les parties des fonctions N, H, L, . . . qui dépendent de l'argument 6 et de ses multiples, et soient i]N)o, (H)o, (L)o,... les valeurs de (N), (H), (L), ..., quand on V fait n = /?o, à = h^, /=;=/„,.... Appelons classe d'un terme quelronque de perturbation la somme de son rang (c'est-à-dire son degré

par rapport à t), et de son degré par rapport à -^j c'est-à-dire l'exposant entier, positif ou nul, avec lequel ligure d dans le dénominateur de ce terme. Convenons encore d'effectuer toutes les quadratures sans addition de constantes superflues, de sorte que «,, /ii, /,,..., /ij, h^, /.,... n'ont pas de termes constants; en d'autres termes, «o? ^oj ^oo» • • • sont les valeurs moyennes des inconnues /î, /, /i, . . . pour / = o.

Si l'on se reporte aux équations (6) du n" 94, on voit que ht contient des termes de classe nulle et des termes de classe i, ceux-ci

égaux à / [Hq -f- (H)o I è/^, en donnant à H^ le même sens que ci-dessus, au n° 115; de même, n, contient, outre des termes de classe nulle, des ternies de classe i, égaux à / (N),, dl; enfin, /, contient des termes des classes o, i , 2, ces derniers étant simplement

Observons maintenant que l'intégration d'un terme quelconque, constant, périodique, séculaire ou mixte, ne peut augmenter sa classe de plus d'une unité, et qu'elle l'augmente en effet d'une unité si ce terme est constant ou séculaire, et aussi s'il est périodique ou mixte, mais dépendant de l'argument 0^ ou de ses multiples : on voit alors tout de suite que les termes de classe maxima seront de classe.^ dans /ia et /<2, de classe 4 dans /^ ; et généralement, de classe 2/? — 1 dans np et hp^ de classe 2p dans Ip. Désignons ces termes de classe tnaxima, pour chaque ordre, par (hp), {fip), (Ip), ... et cherchons à s déterminer. On a d'abord, comme nous l'avons déjà dit,

puis évidemment, d'après le développement général de la fonc-

l32 CHAPITRE XVin.

lion Xj,

dt '■'"■

de même ensuite.

dt ~ âlo '"^ âl', ^'^-

Si donc on appelle (h), (n), (/),... les éléments A, n, /,•.-, réduits à leurs parties d'ordre zéro augmentées de leurs perturbations de classe maxima dans chaque ordre, soit

( A) = //o + [x( /il j + fx2 ( Aj )-+-... , («)=: «0+ [x(rt,)H-[aS(n2)+. .., (l) =/o ^-|^(/i) +[^2(;2)^...,

et si l'on désigne par (H/*, (N)", ... les fonctions (H), (N), . . ,, dans lesquelles on remplace les /?, A, . . . par /?„, /i„, ... et les /, . . . par ( /), on voit que les nouvelles inconnues (/?), (/),... sont déterminées séparément par le système d'équations diircrontielles

et que l'on obtient ensuite les (h) par les quadratures

Il serait d'ailleurs facile de substituer aux /î, fi\ . . . d'autres variables équivalentes v, v', ... fonctions des premières; les premières équations ().) garderaient la même forme, et dans les secondes, on

THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX INÉGALITÉS SÉCULAIRES. l33

aurait simplement, en appelant v„, v'„, ... ce que deviennent v, v',.-pour A» = «0, /z '=:/?'„,... .

<)no driQ

puisque, si le produit de deux ou plusieurs perturbations des n, n\... est d'ordre />, sa classe est certainement inférieure à 2p — i.

Tout ce que nous venons de dire s'étend de soi-même au cas où on considérerait a la fois plusieurs diviseurs distincts d, d', . . ., en nombre inférieur à celui des quantités 1,1,.... Il faudrait simplement regarder comme équivalents tous les diviseurs liés à d, d',..., par une relation linéaire et homogène indépendante de n^, n'^,..., et appeler (N), (H), (L), . . . les parties des fonctions N, H, L, . . . qui dépendent des arguments 9 correspondant à tous ces diviseurs.