THÉORIE DE LA LUNE
120. L'étude du mouvement de la Lune autour de la Terre est l'un des principaux problèmes de la Mécanique Céleste, et doit prendre place immédiatement après la théorie des grosses planètes.
Nous avons vu au Chapitre I, n" 5, que le mouvement relatif de la Lune par rapport à la Terre était celui d'un point matériel de masse égale à l'unité, sous l'action d'une certaine fonction de forces dont nous avons donné l'expression générale. Laissons d'abord de côté dans cette fonction les termes qui proviennent de la forme de la Terre et de celle de la Lune, ainsi que ceux qui sont dus à la présence des grosses planètes. Désignons alors par S, T, L les centres de gravité du Soleil, de la Terre et de la Lune; par M', Mq, M les masses respectives de ces trois astres; par G le centre de gravité du système Terre-Lune; par /• la distance TL, rayon vecteur de la Lune; par /' la distance GS; enfin par H l'angle des vecteurs TL et GS. La fonction de forces considérée se réduit à
fl cos» H -
''- cos* il
^cosHJ
-— cos'* Il — V 8
cos^ H -i — — cosH
GÉNÉRALITÉS. ÉTUDE DE LA VARIATION. l35
en posant encore
P'=i — v.v, ^"=1 — 3v + 3vî, 3'"= I — 4v-+-6v2— iv^ ...
Mo -+- M
Supposons maintenant que le mouvement de S par rapport au point G soit un mouvement képlcrien de moyen mouvement n', de demi-grand axer»', de longitude moyenne IN' = n't H- l'^, etsupposon.s de plus que l'on ait y M' = n- a'^.
L'étude du mouvement défini par la fonction de forces U ainsi comprise est un problème bien déterminé et délimité : c'est la théorie solaire du mouvement de la Lune. Pour avoir la théorie complète de ce mouvement, il sera nécessaire de tenir compte ensuite de la vraie valeur de /M', des perturbations qu'il faut ajouter au mouvement supposé de S pour représenter son mouvement réel, de l'action de.*^ planètes, et enfin de la forme de la Terre comme de celle de la Lune.
121. On a proposé bien des mélliodes pour résoudre le problème que nous venons de définir : les difficultés proviennent de la grandeur des inégalités du mouvement. Pour éviter des développements en série presque impraticables, il faut renoncer à prendre le mouvement képlérien comme base des approximations; il faut aussi abandonner l'usage direct de l'ensemble des coordonnées polaires, mais profiter de la simplicité de l'emploi des coordonnées rectangulaires, surtout pour le développement de la fonction U. Pour obtenir une bonne solution, il faut encore éviter les inconvénients d'une théorie purement analytique, aussi bien que ceux d'une théorie purement numérique, en se donnant la possibilité de calculer directement les valeurs numériques de certains coefficients représentés analytiquement par des séries trop peu convergentes. Tels sont les principes qui nous guideront dans la théorie que nous allons exposer, dont une partie importante est empruntée aux travaux si remarquables de G.-W. HiU et de M. E.-W. Brown.
Soient TX, ÏY, TZ trois axes rectangulaires menés par la Terre T parallèlement à des directions fixes : les coordonnées de la Lune, c'est-à-dire du point L, par rapport à ces axes seront X, \, Z.
Si GX', G\', GZ' sont des axes parallèles aux précédents, mais (l'origine G, nous supposerons que le mouvement du Soleil S s'effectue dans le plan GX'Y', sa longitude étant comptée à partir de GX'.
l36 CHAPITRE XIX.
Faisons tourner les axesTX, T Y dans leur plan autour du point T, d'un angle égal à la longitude moyenne JN' du Soleil, et appelons X^, Yo les coordonnées de L par rapport à leurs nouvelles positions mobiles TXq, TY,,; la fonction U étant exprimée maintenant à l'aide de Xo, Yp, Z, de N' et des coordonnées du Soleil par rapport à GX', GY', la théorie élémentaire du mouvement relatif donne immédiatement les équations
—7— -f- 2 /? -7- « - Yo = jv- 5
dXL d\}
Désignons para une longueur constante qui sera précisée ultérieurement, et faisons
iZ
Xo-^a'„
de sorte que
X= -{xe^^' -^ye-i^^'),
Y= -.(xei^
•V,. r, az
Appelons N = /i/-|- /q un argument qui représentera la longitude moyenne de la Lune, comptée dans le plan TXY à partir de TX; n et /q sont deux constantes arbitraires. Faisons
et employons la caractéristique D comme signe de dérivation par rapport à la variable t.
Les équations précédentes se transforment immédiatement en
( /i — n Y a- oy
D'v — 2mDv-H m* v-l- -. 7— ; — r — =0,
•^ -^ -^ (n — n fa^ ôx
(« — n Ya^ dz
Envisageons maintenant la fonction U, et posons d'abord
/•(Mo+ M) = k(n — n'y-a^,
<!<' sorte que la détej'ininalion de k est équivalente à celle de a. Faisons encore
et en appelant t^' la longitude du Soleil, dont le mouvement s'effectue, comme nous l'avons dit, dans le plan GX'Y', soit
On a
- cos H = - cosp H sinp = - (xe—^ -i- y e'^ ).
11 en résulte sans peine que l'on peut écrire U
avec
V =^—{ p'-'* -\)(xy -^ ■>. Z^ ) -f- ""^ (' p't e-2A' I ) ,^.2 ^ 1^ ( p':i g2>,' . I
nn. ,r *>î , . .. -
p m- -— ; 0 ''(.r'>e "■^'- + yS <?»'- ) I 2 )() • -^
l38 CHAPITRE XIX.
Les fonctions de p' et V qui figurent dans F s'expriment facilement à l'aide de N', comme l'on sait : nous j reviendrons en temps utile. Comme on a
àp I , âp i ^9 -,
les équations du mouvement deviennent finalement
3 dF
D^x -h 2mDx H — m^(x -{- y) — kp-^^ -l- 2 —
•2 -^ ' ôy
dF
I T>^y — zm Dy -\- - /n-{x -+-jk) — kp^^y 4- 2 ^ = o,
àF
(2) D^z — nr^z — iip^z —=o.
^ az
En les multipliant respectivement par Dy, Dx, — 2D:;, ajoutant et intégrant, on en tire, en représentant généralement par D~'/'rinté-
graleJ/^/x,
(3) DarDj' — (Dz)^-^ - m" ( .r -+- 7 )2 -4- m'-z^-f- 2k p
en effet, on a
dF
2r 2 mu I j^^-^.^
(^F^ (^F^ dF ^ ^^^ <JF
-— Da7-H t-Dk-Hx- Dz = DF— —
d.r ày az dz
en appelant — la dérivée par rapport à x de la fonction F écrite
ci-dessus, et considérée comme dépendante de x, j^, 2 et de t ; comme d'ailleurs t n'y figure que par l'intermédiaire de p' et X' qui sont fonctions de N', on a
dF dF ^,.^,„ àF
dx d{iH') ' ' d{iN')
(jette équation (3) est V intégrale de Jacobi, que nous avons déjà rencontrée au n" 75; bien entendu, la quadrature qui y figure comporte une constante qu'il est inutile de mettre en évidence, et il en sera de même dans tous les cas semblables.
La constante a sera choisie très voisine de la distance moyenne de la Terre à la Lune; si la Lune décrivait autour de la Terre un cercle
GÉNÉRALITÉS. ÉTUDE DE LA VARIATION. l39
de rayon a dans le plan TXY, avec la longitude N, ce qui n'esl qu'une très grossière approximation, on aurait simplement
'n faisant
a; = 0, ^ = 0~'. z—o, 6 = e'-iN-N')=eT.
En conséquence, nous emploierons, en même temps que x^ y, un autre couple de variables équivalentes, />, q^ telles que
set nous ferons aussi
Les coordonnées rectilignes s'expriment immédiatement à l'aide de p elrj sou« la forme
X =: - ( pe'^ -+- q e-'^), Y =:= — . ( o e'^ — q e-'^).
Si l'on désigne par r la longitude de la Lune comptée à partir de TX dans le plan TXY, et par s sa latitude, et que l'on fasse
on a encore
p = - e^' cil (T. Q = - e"^' ch a, P P
^=:-cliXcha, ïi = -sliXcha, ^=:-sh(7,
eu représeutaut par ch et sh le cosinus et le sinus hyperboliques. Nous ferons tout particulièrement usage de la parallaxe p, égale
à (pq — Z-) - ou encore à (ç- — r,- — z'-) ' : en réalité, la parallaxe ^horizontale équatoriale de la Lune, soit ra, est déQnie par la relation
sin TU = — p, a
en désignant par b le, rayon équatorial terrestre; mais tant qu'il n'y a pas de confusion à craindre, on peut donner sans inconvénient à p le nom de [)arallaxe.
La longitude r (ou X) et la latitude s (ou a-) ne jouent aucun rôle essentiel dans la théorie : nous joindrons cependant leurs valeurs à
l4o CHAPITRE XIX.
celles des antres coordonnées, afin de nous conformer aux; usages astronomiques.
11 est bon d'observer une fois pour toutes, dès maintenant, que les coordonnées x et^, de même que p et ^, sont des quantités respectivement conjuguées; ^, p sont des quantités réelles, et X, y,, 2, u sont purement imaginaires.
122, En prenant pour unité de temps l'année julienne, on a d'après Hill et Brown, pour l'époque i85o,o,
d'où
De plus, si l'on fait
/(Mô-4-M) = /iîa3,
et si l'on appelle e' l'excentricité de l'orbite solaire, on a
La constante a étant très voisine de a,,, il en résulte que le
nombre aB' vaut -; — ^ à très peu près. ' 400 ' ^
On voit tout de suite, d'après ces données, que la fonction F est
toujours fort petite par rapport à la première partie de j—^ — ^ >
puisqtie celle-ci reste évidemment voisine de l'unité, tandis que les différents termes de F' sont au moins de l'ordre de z ni"^ ou de a.m^. Nous pouvons donc commencer Fétude du problème en négligeant la fonction F. On pourrait même penser que la petitesse assez marquée de m^ permettrait de négliger tout d abord les termes qui contiennent ce facteur dans les équations ( 1) et (2), de sorte que l'on retomberait en réalité sur un mouvement képlérien comme première approximation; mais la suite montrera suffisamment qu'il n'en est rien.
Prenons donc les équations (i) et (aj en j laissant de côté les termes qui dépendent de F, et cberchons d'abord la solution iCoj y^^ 3o» de ces équations qui ne dépend d'aucune nouvelle constante arbi-
GÉNÉRALITÉS. ÉTUDE DE LA VARIATION. l4l
traire. On a évidemment z^ = o, et Xq, yo vérifient les équations
\ D2a7o-+-2/n Dxo-\ — m-(To-\-yo) — kp^ ^o — o, (4) 3
I D2j'o — 2m DJ'o-^--/n-(^o-^-ro) — kp2jo= o,
avec
po = (a:'oro) ^
En mettant plutôt en évidence p^ et ^o? et observant que D9 =: 9, on peut encore écrire, en introduisant pour la commodité du raisonnement une quantité m égale en réalité à m,
{ 4 bis )
l DVo-)-2(i -+- m) D/Jo -t- ( i-i-.im-l--/?iM/îo — kp3/'o = — 7/w»g'(,G-î,
avec
Po=(/'og'o) ^
Si l'on néglige m-, et si l'on prend k = i + 2 m H — m-, ces équations admettent la solution /;„ = q^ = i.
Il est manifeste alors que, si l'on conserve la valeur ci-dessus dek, la solution que nous cherchons peut être ordonnée suivant les puissances de m'^, le coefficient de nt''^^ étant un polynôme homogène de degré h par rapport à 9^ et 0"-, de sorte que, par exemple,
-+- ni'^ip'^^^^^ -r- p% 0 -î -(- /?'g6) Ofi ^ p'/'^ 0-6)
et, en modifiant convenablement la valeur de k, que l'on prendra sous la forme
on peut déterminer les coefficients k''', k^^^ . . . , de façon que l'on ait, pour sim[)lifier, /)g* = p'^f'' —
C'est cette solution que nous adopterons tout d'abord.
l42 CHAPITRE XIX.
Nous avons ainsi à déterminer les coefficients p\-'^\ les indices y et h étant des entiers pairs qui vérifient les conditions suivantes : j n'est pas nul, h est positif, la différence h — |y| est un multiple non négatif de 4- Bien entendu, d'après ce qui a déjà été dit, dans le développement analogue de ^q, on a ^'^' =jo'^'.
S'il y avait lieu de supposer l'indice y nul, il faudrait prendre
Le calcul se fait de la façon la plus simple, ainsi que Fa montré Hill, en combinant comme nous allons le dire les équations (4), écrites sous la forme
et l'équation (3) de Jacobi, qui devient ici
D.roD^o+ -m^xo^o-l- 7 "î'H^'o -+" Jo) -+" akpo = Co, 1 4
en désignant par Cq une constante.
Multipliant ces équations respectivement par ro, ^n, J , et ajoutant, on a d'abord
^oL)^^o-l-a^oD2;'o-+- Da7oD/o-+-2w(jKoD-2^o— ^oDjo)-+- - m^ar^jKo
+ ?"*''(^G-t-J'o)=Co;
multipliant aussi les deux premières par y^, — .Tq, et ajoutant, il vient encore
^0 D^aro— a?oD2jo+ •2m(joD.2^o-+-^oD./o) + , m"^{yl — xl) = o.
Nous avons ainsi éliminé k et po, et formé deux relations dont les premiers membres sont homogènes et du second degré par rapport aux inconnues x^,, x„, ou leurs dérivées, les seconds membres étant des constantes. Substiluons-j les développements des inconnues, et égalons à zéro les coefficients d'un même monôme m'^^J (j ^ o), dans les premiers membres. En supposant
GÉNÉRALITÉS, ÉTUDE DE LA VARIATION. l/\3
et faisant
'^ W, J") = J W -i" -^ ^--^-'im), on aura
les sommations étant étendues à toutes les valeurs acceptables pour les indices y et h' .
Parmi les termes qui dépendent des produits pj^'^ q^p^ isolons ceux qui correspondent aux hypothèses j" = A' = o et y' =y , h' = /i ; et appelons P'/'S yQ/\ les premiers membres ainsi réduits des équations précédentes. Elles deviennent, en remplaçant p'J" et q^f^ par Cj ^r,j etç^ —r^j ,
2 /yî -f- 1 -+- 4 m -f- 5 mM Ç^-^' -+- 27 ( I -r- 2 m ) rj^'') -t- Pj.^> = o, 4 ( I + m ) Ç*-^^ H- 27 ri^/»' + qf^ ^- o. et l'on en tire immédiatement
2(7'' — I — im A m'
Ah)
2 ( I -f- m ) P^'»' — ( yî -+- 14- 4 m -4- - mî j Q^' 2y ( y * — I — 2 m H — m' I
Ces formules sont évidemment propres à faire connaître successivement les coefficients inconnus parles calculs les plus faciles. Appliquons-les aux cas les plus simples :
i" y = 2, h == 1 : on a simplement P^*' = |, Q^'^ = — - -, d'où
