MO

An — T—

■no , I 7,0 , I '^r.

Ço -> Çy 5 Ço

c'est-à-dire

l48 CHAPITRE XIX.

Il en résulte immédiatement

Po,2 =

po.i =

lo J7

po,o = H- 17,467—],

P0,2 = L-* 1 i '5()(jJ , Xo,2 = I ^ 7 70806J,

pO,V= [5,360], .... 5-0,4 = f 5,3-26], ....

Là facilité des calculs nous a permis de porter un peu plus loin que précédemment l'approximation du coeflicient po,o, ainsi que celle de la constante k, en vue de la suite.

Les résultats obtenus se mettent aisément sous forme réelle. Appelons D l'argument N — N', conformément à l'usage, et marquons de l'indice o les parties des coordonnées rectangulaires X, Y, Z, ou polaires sin nr, v, .s, qui correspondent à la solution ici envisagée. On a

Xo= a 7 /?„j cos( N -4- /D), Yo= rt ^ /?oj sin( N +yD), Zo=o, (sin7TT)o =: ^ V j,^^ ^. cosyD, Pq = ^' + ^ ^ oy ^'"y'D, «0 = 0;

les séries qui représentent (sinTn)o et p„ — N sont écrites sous forme symétrique.

Numériquement, on a donc, en se bornant à l'approximation de la seconde pour la longitude, et à celle du dixième de seconde pour le sinus de la parallaxe,

Po = N -H- 2io6"!*in2 D + 9"siri /j D, (siiicT)o= 3422". 7 -+- 24''.6cosan -+- o",2cos4 D.

L'inégalité de la longitude de la Lune qui dépend de sitiaD est à pi'oprement parler ce qu'on appelle la variation; elle est considérable, et nous venons d'en déterminer la partie principale, qu'il faut encore augmenter, comme nous le verrons, de termes complémentaires beaucoup moindres. Mais souvent, on appelle aussi variation l'ensemble des éléments x^, y^i ... de la solution que nous venons d'étudier.

123. Avant d aller plus loin, il convient de nous arrêter un instant pour une étude plus attentive des avantages et inconvénients respectjifs que présentent les deux méthodes analytique et numérique qui se trouvent amorcées dans ce qui précède.

Les avantages de la solution purement analytique sont incontestables : elle est, suivant l'expresision même de Uelaunaj, « plus complète, plus satisfaisante pour l'esprit, que la recherche des inégalités sous forme numérique » ; et il ajoute encore : « Mais ce que l'on doit surtout considérer, c'est que les facteurs numériques, qui entrent dans les divers termes du coefficient de chaque inégalité déterminée sous forme analytique, sont tous des fractions ordinaires dont la valeur s'obtient, non pas avec approximation, mais rigoureusement. (Quelle que soit la méthode que l'on emploie pour obtenir les coefficients des diverses inégalités, on doit trouver une identité complète, absolue, entre les diverses déterminations de chacun de ces facteurs numériques, ... et s'il y a une difTérence entre les valeurs trouvées par divers savants pour l'un de ces termes, on est bien plus facilement tnis sur la voie de l'erreur qu'on doit rechercher, que si l'on n'avait pu comparer que les valeurs numériques et approchées du coefficient tout entier. »

Ces considérations devraient être approuvées sans aucune réserve si la solution analytique permettait de passer facilement et sûrement aux valeurs numériques des inégalités sans demander un surcroît énorme de travail. Malheureusement ce n'est pas le cas, et ceci tient au peu de convergence des séries ordonnées suivant les puissances de m que l'on rencontre pour représenter les coefficients des différentes inégalités. Ce grave inconvénient est surtout sensible dans les résultats de Delaunay, qui sont développés suivant les puissances du

rapport— égala , et que nous appellerons m'. INous pouvons

l50 CHAPITRE XIX.

(lès maintenant nous en rendre compte en considérant par exemple le coefficient Xq 2 déterminé ci-dessus; développé suivant les puissances de m, c'est

^ '" ^ .0 '" "^ 3^ ""^ IFT^ "' "-■ '

développé suivant les puissances de m', il devient

et l'on voit jusqu'à quel point cette seconde série est moins satisfaisante que la première au point de vue de la convergence pratique. Et si la première suffisamment prolongée paraît pouvoir être utilement employée, il ne faudrait pas croire qu'il en sera toujours de même: nous en rencontrerons beaucoup d'autres qui, même en employant/// au lieu de //i', auraient besoin d'être poussées très loin pour fournir l'approximation que l'on recherche; encore serait-on obligé de compter sur la régularité de leur allure pour obtenir leur valeur en partant des termes écrits et ajoutant un reste probable, et c'est là une hypothèse aléatoire, bien souvent démentie par la réalité des faiis. Il est superflu d'ajouter que les calculs deviennent extrêmement pénible^ quand on est obligé d'aller très loin dans les développements.

Contentons-nous d'un exemple pour justifier ces assertions. L'important coefficient g'^ que nous allons rencontrer bientôt a pour développement

, 3 . 225 ,„ 4"7i /, 265493 ,. 12822681 go = -, "^^ -h —^ m'^-+- ^^—!- m'* -1 -i^ m'» -\ ^r—r, — m'''

= -— m^-\ f mA -) m* -1 m^ -\ m'

et pour valeur numérique 0,00867 aS'j.

Ces deux séries, dont la première est celle de Delaunay dûment corrigée, donnent respectivement, en faisant la somme de leurs termes,

•29-2 3ii

3io

io5

On voit leur insuffisance; et si l'emploi de m est sans aucun doute un peu plus avantageux, on ne lui trouve plus la très grande supériorité que semblait promettre l'exemple de la variation.

Il est d'ailleurs facile d'expliquer cette supériorité dans ce cas particulier. En examinant les formules' du numéro pi'écédent, on voit sans peine que leur convergence est limitée surtout par ce fait qu'on développe en séries ordonnées suivant les puissances de tn des fractions rationnelles dont les dénominateurs sont 3 — 2m,-{ m^,

i5 — 2m-\- -m-, ...; par suite, la convergence cessera dès que le

module de m atteindra le module de celle des racines de ces trinômes qui a le plus petit module, c'est-à-dire en fait le module commun des racines imaginaires du premier d'entre eux, soit y/6 ; comme la valeuide m est -^ » à peu prés, la convergence des séries />„ y doit être très marquée. Si au lieu de m on emploie m\ le facteur 3 — 2m -\ — m-

3 — Sin' -h — m'^ devient -^ , et la convergence cesse dès que l'on a

\ni\ =

bien que la valeur de m', — environ, soit inférieure à celle de m, la

convergence sera donc bien moins satisfaisante, le rapport fn' i/ -x

étant 1res supérieur a — •

La conclusion qu'il faut tirer des constatations que nous venons de faire s'impose. On peut, et l'on doit même, conserver la solution analytique, à cause de son intérêt propre au point de vue théorique, et aussi à cause de son utilité dans certains cas; mais il est vain de vouloir la poursuivre trop loin, jusqu'à pouvoir en tirer les valeurs numériques des inégalités du mouvement de la Lune avec l'approximation nécessaire.

Pour atteindre ce but, qui est le véritable objet pratique de la théorie de la Lune, il faut calculer directement ces valeurs numériques, non pas cependant comme Hansen, qui dès le début met pour chacun des paramètres un nombre, mais seulement en supprimant les développements en séries suivant les puissances delà quantité /n, dont on utilisera la valeur très exactement connue. 11 restera bien que les coefficients des inégalités se [)résenteront comme des séries ordonnées suivant les puissances des autres paramètres a, e', et ceux que nous allons définir bientôt comme équivalents à l'excentricité et l'inclinaison d'une orbite képlérienne ; mais la convergence de ces séries est assurée, et aucun inconvénient ne peut résulter de leur usage; bien au contraire, car les valeurs de ces paramètres ne sont connues à l'avance qu'avec une précision inférieure, et il importe de savoir déterminer l'inlluence des changements qu'on peut être amené à leur faire subir.

La théorie de M. Brown est une solution numérique édifiée conformément aux principes que nous venons d'(';tablir; elle permet aussi bien la solution analytique.

Toutefois, elle a le désavaulage, sensibh; surtout au point de vue analytique, d'exiger plusieurs développements en série que leur longueur renil pénibles, et de combiire à des calculs d'une grande complexité et en j)artie superllus. ^ous allons lout d'abord, dans le Chapitre suivant, en présenter l'ex[)osition, a\('( des modifications de peu d'importance.

.MCTIIODE GÉNÉKAI.E D'INTÉGR4TI0N. FORME DE LA SOLUTION. INÉGALITÉS DU PRKMIEIl DEGKK PAR RAPPORT A L'EXCIÎNTRI- (ilÉ ET L'INCLINAISON.

124. Revenons aux équations i^énérales (i) et (2) du Chapitre précédent. Quand on néglige F, c'est-à-dire les paramètres e' et a, elles admettent comme solution parliciilière la variation .-r := Tq, y =^0 3 = 0.

Faisons donc

en, développant les fonctions kp'c, kp\>', kp'^, suivant les puissances entières de x\ y\ z et conservant dans les premiers membres tous les termes qui sont du premier degré par rapport à ces inconnues ou leurs dérivées, et ceux-là seulement, ces équations deviennent

i \y-x' -^ >.m \)r' -;- / - k ■:;]-(-- /»"0 .r' -h | - kpj^a^g-f- - m- j jk = X, / W^y ^■im 1»/+ (^^kc,; r--^//r2 jj+ / 2kpi^ jg 4- ^ m^ W'= Y,

(6) D2s-(kpj;^/»2)^ = Z;

de même, l'équation (3) de Jacol)! devient

l)j„D.r'-f- \)Xç^\)y' — kpil^-,,— -^ /H2(.r„-h Ko; x'

kpii^r,, — - in''-(Xf^-+-ya)

ou, plus simplement, d'aprr> \v^ r<'l;ili(»ns (4) (pii définissent la variation,

(7) D7„I>a;'-^ D.f^ Dj' — (D^j-,, — >.ni D/,,) /•' — (W-Xq-^ •>,//» Dj;o)y=J.

l^i CHAPITRE XX.

Nous n'avons pas besoin actuellement de connaître davantage les fonctions X, Y, Z, J; il nous suffit de savoir que, ^ et j- étant remplacés dans F par leurs valeurs Xq-{-x\ Jo-hy'i ces fonctions se présentent, d'après leur définition même, comme des séries entières par rapport aux inconnues x'^y', ^, et aux paramètres e', a, et que tous les termes de ces séries qui ne contiennent pas e' ou a en facteur sont du second degré au moins par rapport à x', y', z] toutefois, la fonction J renferme encore une constante inconnue, en raison de l'intégrale qui figure dans l'équation de Jacobi.

L'équation (6) est propre à déterminer z; les équations (5) et {'j ), qui se réduisent nécessairement à deux distinctes, serviront à déterminer x' et y' ; en fait, on a DJ = X Dy^ -f- Y Dx,,-

125. Etudions d'abord l'équation (6), de beaucoup la plus simple. Si l'on y regarde la fonction Z comme connue, c'est une équation diflférentielle linéaire du second ordre par rapport à z, et pour en obtenir la solution générale, il faut connaître en premier lieu celle de l'équation sans second membre

( H ) \)'iz Sz = o,

en faisan I

S : . k ^;; nfi.

D'après la nature de la fonction S, qui est une fonction périodi(jue de l'angle aD, à la période i-, et d'après les propriétés générales des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques, l'éqnation (8) admet deux solutions particulières conjuguées de la forme

en désignant par A„ une constante à déterminer, par c,, une série périodique analogue à S, mais non réelle, de la forme

r, = i: r, /, 0^ ( />• pair),

et par Co la série conjuguée

(■■2= y: C^^/, fil' ir,,,/, = r,. /,,!.

Comme d'ailleurs ces deux solutions se i cdinjaieni, à Ô et 0""' pour /?? = o, on doit chercher pour /i„ unr \alcui voisine de l'unité.

METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION

;i condition de supposer en même temps que les rapports — — {k y^ o)

s annulent avec m. [.e coefficient c, o est d'ailleurs arbitraire, et pour simplifier,, nous le choisirons égal à l'unité.

Pour déterminer h^ et les c,^, employons la méthode des coefficients indéterminés, en substituant ^i à :; dans l'équation (8) et annulant les coefficients des diverses puissances de 0 dans le premier

membre. Posons

et aussi

/</,= '( ho-+- k)'^— So,

de sorte que

«0= H — So,

n-ic

k-^ \}kK

on obtient ainsi les équations

qui sont propres à déterminer successivem*nit les diverses inconnues par approximations successives.

En prenant k =^ o, on a d'abord //„ = o. et comme évidemment

So = 1 -f- 2 /n -f- - m'^ -i- . . . , il vient, pour première valeiii- approchée de /«y.

A?(, — I -1- //; -i- - //li | . .

lien résulte que tous les nk{k y^ o) sont finis par rapport à a«, sauf /i 2, qui est égal à — \m — 3 m- ... ; et ce fait diminue notablement la convergence des approximations, ce qui est un grave inconvénient, au point de vue numérique surtout. Pour j remédier, il convient de déterminer tout d'abord /z,,, isolément. A cet effet, remarquons que l'on peut écrire, en excluant So de l'ensemble des Sy, et n'oubliant pas que S/ = S/, les équations précédentes sous la forme

/io= i^ S/c,,^,

= — ■- Sy' ^•i,y+y'

comme nous l'avons déjii dit. on a fait ici c, „ =r i

l56 CHAPITRE XX.

Il en résulte

dans les termes de cette formule pour lesquels riudiee y+y n'est pas" nul, remplaçons encore ''\Jj^j- piir sa valeur

et continuons de même. On aura finalement

rio —

^•d Hjnj.^j'rij

ij+j'^j" ...

la somme y -hy H-y -hy -f-. • • étant nulle, sans qu'aucune des sommes précédentes j -\- j' -, ./~f~y +/ ? ••• ^6 soit; et le nombre des facteurs du dénominateur de chaque terme étant moindre d'une unité que celui des facteurs du numérateur.

En développant la formule précédente au delà de ce qui est nécessaire, on a sans peine

avec

n->in li^nii-:. /ig/i-.

n^nf,nc, n-^n^<,ii ,; "'iXi "'■!'>' \

•+->.SiS4

i II I

nr,/l7 /l-^/l-; nrill^iH; /lon-^/l 4

" \ n^n ; Ile, Il » n -,11 ,; /^2 " \i'\ n^n -ifi.-:,/

\n, «6 ii-;n , Il H; Ile, n iii ; n c, >'■, 'tf.

ll..^.lll--^ tliU^^tt^

■, n l II . ., Il 5 n - . 1 I

rt l'-i'iu

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. 1^7

Dans cette formule, nous n'avons négligé que les produits SySy-S^v... qui sont au moins du seizième ordi'e par rapport à m; et par suite, en raison de la présence du facteur /i 2 dans les dénominateurs, on peut dire que cette valeur de S' est exacte jusqu'aux termes du onzième ordre inclus par rapport à m.

Des approximations successives sont encore nécessaires pour résoudre l'équation

-\n.. Il ,/

OÙ nous regarderons Rq comme l'inconnue principale; mais on peut les rendre extrêmement convergentes en procédant de la façon suivante.

On a

et, par suite,

n.2,-\- n 2= 8 -+- -iUq, a-, ri--., = (4 + «0)2 — i6(rto-4- Sq);

l'équation précédente s'écrit donc

8«g + 9.;?o(8So— 8^S|)-^ 8S?.+ «.>//., S '— nj} = o,

et en faisant

il vient

/?„=:— A -4-v/H''— 2 G, ou mieux

'*" ~ ~ A^ B B~^ÏÏ3~2'P~8B7 '"'

comme on le voit en développant le radical, et remplaçant la différence B — A par — 17- •

La seule quantité inconnue C étant fort petite, on obtient ainsi une formule très propre au calcid analytique ou numérique. Connaissant /?<,, on en tirera /lo par la formule

//i5= So-+- «0,

et les équations

rt/^Ci,/ = 2S,Ci,y (i ■+-] — k, ik ^ o)

l58 CHAPITRE XX.

fourniront très rapidement les cofficients c« a par approximations suc- (tessives.

Il est bien facile maintenant d'inlégrer complètement l'équation (6); faisons, suivant la méthode de Lagrange, ou de la variation des constantes,

avec la condition

Ç,DX,-+-C2DX2= o;

on a aussi, pour déterminer X| etXa,

D^iDX,-<-DC2Ï>X2=Z; d'ailleurs les relations

donnent

c'est-à-dire

en désignant par c une constante.

On tire alors des équations ci-dessus