DX, =:-Z. DX,= — ^^Z
et, par suite, on a finalement
<9) z = ^D-^^.Z)-^D-HJ:^Z).
Telle est la formule générale qui donne s, et dont nous expliquerons l'usage un peu plus loin.
Indiquons sommairement la marche et les résultats des calculs que nous venons de décrire.
D'après les valeurs de po et de k rapportées au Chapitre précédent, on trouve d'abord sans peine, en nous bornant aux termes utiles,
S(, = I -tr- % m -~ - m^ — -^ w> -I- 4 /H* -4- -5- /«*■ -f- • --T = 1 , 1 7 8o4 4^7,
Oî = - m* -( — - m^ -\ — - m'* -\- -- m^ -^ . ..= •>., looqS l.
St = — /M*-f-... = f4,ioo|.
MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION
On il ensuite
SI
C'est là une première valeur 'approchée de rio, qui n'est exacte qu'à des termes près du sixième ]ordre par rapport à m. On en déduit, en n'écrivant d'abord que ce qui est nécessaire pour déterminer le coefficient exact de w" dans //„,
Ag = I -I- /n -1- . . . , «.-î = — /^m -h . . . , n-) = 8 -h .
il suffit en effet de prendre
Si
16 nr.,n-^
pour avoir la correction cherchée, soit -| — m", du dernier terme
de la valeur approchée trouvée ci-dessus pour n^.
11 vient donc exactement
d'où
h\ = \ -+- im -f-
et finalement
io3i
/io = I -+- /« H m2
io5 , 43 , 2567
2' '.Il 2 '3. 3
Numériquement, on vérifie sans peine que la correction de notr<' première valeur approchée n'atteint pas une demi-unité du huilième ordre décimal, et l'on a
Ao = I , 08 ■) 1 7 1 4 5 .
t6o CHAPITRE XX.
On trouve ensuite très rapidement
c,2 = -m ^mî -|w3 ^ ,n'>-... = [2,56801 - ,
Quant à la valeur de la constante c égale à ^2 DC» — ^, D(!^2, c'est
= [(),3 3f)o'5oi ].
126. Prenons maintenant les équations (5) et (7), et observons tout d'abord que leurs premiers membres s'annulent quand on j fait
x' = Wvo . y = Dr,, ;
ce lait, facile à vérifier directement, résulte de ce que les équations (4) de la variation et l'équation de Jacobi correspondante ne contiennent pas t explicitement et, par suite, ne cessent pas d'être vérifiées quand on remplace dans la solution x^^ y^ la variable t par T-I-To, '0 étant une constante quelconque; Xç^ et y^ deviennent alf)r,s
^'0 -t- lo iJ^o -+- -- l>'.r,, -h ... ;
substituant ces valeurs dans les équations, et annulant les coefficients de To dans les premiers membres, on tombe sur la proposition annoncée.
En conséquence, faisons
x' =: x"ï)x^), r' = — y'Dj-f),
METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION
■ (il
x" , y" étant deux nouvelles vai-iables conjuguées, comme x\ y' . En tenant compte de ce qui précède, les coefficients de ,r ", y'' dans les premiers membres des étpiations (5) et (7) ainsi transformées doi\ent être égaux, puisque ces premiers membres doivent s'annuler (juaud on V fail ,/== — ) " := I ; on obtient ainsi sans calcul
Dx^, D2 j?" -I- v> ( D-x^-T- m D x^^ ) D x" D^oD^y-- •^{^■'y,— nil)y,){yy"
|D^^Jo-2mD^ro + (;kp^-^m2)LV^
I)j:-o D/o 1) ( x" —y" ) -;- ( Dj-,, D^ .To — Dj^-o D^j,, + -'• ni D x^ D jo ) ( a;" + y" ) = J .
;De ces trois équations, nous allons conserver seulement la dernière let la combinaison des deux premières que l'on obtient en les multi- [)liant respectivement par Dj^y, ï^.i\^ v\ ajoiilant, soit
Dxo l-)/o D- ( x" + y ] + ( D7., D2 a-o -h D ^0 ï> Vo ) " ( x" + 7" )
-+- ( Djo D" a-o - I * ■'■« I '■' .>'o -4- •>. ni D .ro Djo ) D ( ^" —y" ) -f- [ DjKo.D-^ a^o -4- ] ) 370 IJ3 j^o + 2 ni ( Dj^o I^' -^-o — D a"o D^ j/-o ) ^-(kpi]-l- 3/?i2)Da;oDro] (^"-H j") = XDj-o— YDa.-o.
Faisons alor; >puis posons
I /D^ar,, J>-.ro
et observons qu'il en résulte
D^a7o ^ D^'Xo DXf, l>Ko
= 2l)Q+iQ2+5t(P — 7n)2.
Les équations que nous conservons deviennent, après division par DjîoD.Ko,
l)V/-h ■f.Ql)a'-r-2PDb
•2DQ -f- 2Q2-4-2P2+k0iJ-r W2)«'=-' (^-f^ -^]
D6-+-2pa' =
•>JJa-oD7o'
ANDOYEH
l62 CHAPITRE XX.
eu remplaçant dans la preiiiièrc T) h par sa valeur tirée de la seconde, on a encore
-+- (v> DQ -+- 2 Q- " ■■• 1*- -+- k p ;■ + m^ ) a' I / \ Y \ P.I
Faisons maintenant
el observons c|ue de sorte que
posons encore
(f'=a]\, S' = ■,|'2 Oi. |,() kpjj. „ii
(sans qu'aucune confusion soil à craindre avec la quantité a déjà définie), et aussi
H =— .,.1'H./— -- K2J; nous obtenons enfin les deux écpiations (lo) pour déterminer les deux inconnues a el b, d'où résulteront
ou plutôt, en faisant
METHODE GENERALE D INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION
Kià
hir.
Il ^ U sont des fondions réelles, coniiiu; i*, II, S , tandis que c, V sont purement imaginaires, comme Q.
La solution générale des équations (lo ) est maintenant immédiate, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent. En effet, la })reinière de ces équations est entièrement semblable à l'équation ((3); privée de second membre, elle admet deux solutions particidières conjuguées de la forme
en désignant par g^ une constante à (h'teiniiuer, par a, une série périodique analogue à S,
et par a^ la série conjuguée. Le calcul «If i',, et des coefficients a,/. >*e fera tout comme précédemment, eu observant les quelques changements de notation nécessaires; on choisira a, ,o égal à l'unité.
Finalement, en appelant a hi constante r/^ Da, — «, D«2. on aura. toujours de la même façon,
[Telles sont les formules générales d'inlé'gration pour déterminer a et />, c'est-à-dire x, j-; jointes à la formide ('()). elles contiennent, si l'on veut, toute la théorie de la Lune.
En prenant
a = Ux, /y — />, — |)-i(— •,>. I'l!(7,),
fcette quadrature n'étant accompagnée d'aucune constante, on (Obtiendra une solution x\^ r\ (ou ;', , y/^ ) des équations (5) et (7) privées de seconds membres ; ^, , ;', , tj', sont de la même forme que (l^. ^On a aussi une seconde solution analogue «25 ^2, ;,, ^l'j, dans laquelle ^«25 ç'2 soiit les conjuguées de r/,, ç', , tandis que 60, Y)', sont les conju- Iguées changées de signe de 6,, r,', .
Effectuons les calculs que nous venons d'indiquer. On a d'abord, [en faisant u = Iuk¥, et représentant de même les autres fonctions
l64 CHAPITRE XX.
analogues,
"fc= ^o,/c+ fi'f,i\,k, <'A.= TQo,fc-l- A'^„,i,
el, par suite,
iq ., 53 2^3 '"^ + 2^3^
On a ensuite facilement
Q =. i D log rc^— p.) = ^ - 1) f -^ ^- A
K = aï— (^2 ^ ^ = -! H . |- - + . . .
U = al{, V = (•!{;
formant donc préalablement- et -> ainsi que les puissances successives de ce rapport, il vient
(') Ces valeurs numériques sont celles qui résullenl des nombres déjà donnés, mais rectifiées, s'il y a lieu, d'après les résultais que fournirait un degré légèrement supérieur d'approximaliof! ; il en est de même pour d'autres cas analogues dans ce Chapitre.
METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION
( PR )o = I -^ m -^ —^ m'>-h . . . = 1 ,0809940,
( PR)2 = m- — ^- /n-^ — - m'' H- . ., =[ à,o5337 — 1,
(PR); = -^m^-^...^[4,'>1(il,
(RM,
=0.0001 lOD
(R2)i= ^mi-^... = [4,029],
— ■-- /ni-t-. . . = I — [6,63| — j.
— mV + ... = [6,333],
•>65 , Vi= — —m*
l66 CHAPITRE XX.
el enfin
Cl I o '''-55 , .80 -00/j /
bj = I -H 2 m m^-h' — —/»*-+- iç^ m-' -h -r- ni'^ -h . . . — J . 13884 -394?
D'après ces expressions des coefficients S;., on a pour première valeur approchée de «0
el tout se passe comme au numéro précédent, quand il s'agit d'inlt!j;rer la première équation (10) privée de second membre.
Conservant les mêmes notations, sauf les quelques changements nécessaires, on a d'abord
b / = — - m* H — ni ■' ': p- /?i« H- ) 7 1 /» . . . = I 1 , 3 1 2 420 ) ,
A = 2 /« ni"^ 4- 1 1 /» ' -L. . . . = [ î , 20208 1] ,
H = 2 w m- — — — /ii^ — fw — . . . = I , I722d3 ,
Sq- 225 . 3045 , I ><)4'^9 1747533 — — ^ — ni^ ni* -, — ^ m' —^ — ni'^ — . . .
(/est là une première valeur approchée de /«o? qui n'est exacte ([u'à (les termes près du sixième ordre par rapport à /?i; pour trouver le coefficient exact de ni'^ dans n^, il suffit de prendre
^ I Si )o625
16 n^in-!, 2'<'
et l'on obtient exactement
225 , 3645 , i5oî>c) 1646 333
METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION
i' r, = I -+- ■). ni m^
22 j , 3 103 , i3qq73 . 4611 Si»)
