I" 2IÎ

•L finalement

3 , 201 „ 236; , II 1749 , 4095991 — m^ m^ — — -^ ni* h-^ ni^ . „ „ ■ m

Numériquement, on trouve pour la correction de la première valeur approchée de Hq le nombre +0,00001 4o4, d'où

rto = — 0,01 o5532>., ^1= 1,148290-2, g'o= 1,071)8328.

On trouve ensuite analjtiquement

ij 139 „ >97' , 172»! I

ce, •, = — - — ni- /«■'

' )9 , a, 4 =— fw-i-....

puis, en faisant de même

on a

Pl. — 2 ■

Pl,0

13 23i , i'>il7 , 243240 ,

— - m H /II- H —^ ni^ H , ^ ., //t^

[^1,-2 = Kl, 2 =

i5 i3û „ 1765- , 5'20()33 , — m. -i r i>i~ H -ir^ "' -i , . ..„ '» ^

i333 FT32

io5 , 1289

Les résultats numériques correspondants sont

[Ai,o =[T;999*J28], f^j 2 = [T,27347J, 1-11,2 =[3,4315—], Î^i,-4 = [4,7i2 — ], Hi,4 =[5,34 — 1,

vi,u =[o,3o3454 — ], vi, -2 = [î,<)i4o7], vi,2 — [3,5o66— ], v,v-[4,86o],

Vl,4 =[^),''.8-],

METHODE GÉNÉRALE D"INTÉGRATI0N. FORME DE LA SOLUTION

Quant à la valeur de la consLanU; a, égale à «a Da, — «, Dc/^, ('"est

■x?'} , '-iy'îq , i3()83g = -i -h '^.ni — — — m- ni^ '■ m> — ...

11 est à peine utile de souligner la diderence qui se manifeste entre P'ensenible de ces résultats et ceux du numéro précédent : les séries sont ici bien moins convergentes, les coefficients sont beaucoup plus, grands.

127. Les formules (11) peuvent être avantageusement transformées, de façon à rendre plus direct le calcul de ^' et t/. Mettons A sous la forme Ao H- PRJ, et n'oublions pas que l'on a

\)b, Dbo

faisons aussi

61 — dx h-,

en désignant par |3 une constante, par a' et b' deux séries évidemmenl analogues à u et t», respectivement.

On a alors

el en intégrant par parties les termes qui contiennent J,

a---^D-i[a2Ao-+-- f).,\).] On peut alors écrire

D è = -^ I)-i f a, Ao -f- - />2 1),l) - ^ 1) 1 fa, Ao + - éi DJ W i ( a + I )b')J, a \ ?. /a \ a / 2 '

et ])ar suite, en appliquant encoie l'intégration par parties,

— D->/^a'Ao + i//Iï.iy

'''t» if«,Ao-+-,jè,Dj) + -aM.

Faisons encore

puis

M = -(XO->-f- YOi, N = i(— X0-1-4-V0);

et par suite,

DJ = XD^o-t- YDa',= 2(ç'M4- ulS),

aiAo+;-6iJ)J = r, M +-'/i^, a,Ao^- -6,DJ = c'a M + ^.N,

a' Ao -6'1)J = u'M + y'N.

Donc, finalement,

• |r/= '^D-i($; M + r/., N)-'^ l)-'(r. M + •/!', N) la ^

[ -+- (.'D-ie^M-i-uN)— »D-'f«'M H- p'N)-i- pifD-2(<^^^ï -^ «^i-

On trouve successivenienl

,„ 5/>/2-+- [I »i^-^~^^ni'^-\-. . . = [o,v,7oi53 — ],

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION

? = 3 -^ 0 m'^ — I ■->. ni^ ■

u'q = — •! ^ ini — ') /»,'^ + 1 1 /»' ^ —■ ni' — . . . = [o , -i-o 1 9() — ]

u = 4 'il H s-rr "^ ^: . . "'

■rrp

On a une plus grande précision dans le calcul de a'^^, a'j, a'^, . . . , en i-emarquant, d'après l'expression de a, que a' est solution de la première équation (10) où l'on prend X = o, Y = o, J = 2, soit

\y-n' — Sr/'r^ V. l'H.

Cl en appliquant la méthode des coefficients indéterminés par approximations successives.

On peut retrouver ce qui précède d'une façon différente. Les formules (12) nous font voir que si l'on suppose M=:N=:o, de sorte Lque les quadratures se réduisent à des constantes arbitraires, les équations (5), privées de seconds membres, admettent les quatre solutions distinctes

P' r' • ?' r' • Ç'^ = P, r'.^=ti\ ^'. r::^ »'-H pp T. r,^ = p'-f- jïf/T,

dont les-lrois premières sont déjà connues.

Revenons alors aux équations [\) qui définissent la variation, et eu faisant

écrivons-les sous la forme

ail u~\ 2

de façon à j faire disparaître toute trace de la constante arbiU'aire n. En difïerentiant par rapport à /?, on a donc

d^ /dxx\ , d fdx\\ 3 ,^/t)Xi dji

dz'î \ dn / d'y \ On ) x \ On on

((~.\ \dn I ' ' dzi \ du j ■>- \ an On

et l'on voit par suite que les équations (5), privées de seconds membres, admettent la solution .r'= — i-j r'=— > ou plutôt

On • On

, n — n' ()xi , n — n' ôy,

a On a on

D'après la relation

/(Mo-f- M) = k(A« — n'fa^, on a

n — n' ()a i in — /i' d\(.

a an 3 3 k an'

k est une fonction de m, ou ;> de .sorte aiie

, ô]s. dk

On dm

et, par suite,

n — ?i da

a On

en faisant

^ 3 k uni

D'autre pari, Xç^ dépend de m et 0, et l'on a

d'ailleurs

, dxçj dxn , Oxq 0 0

{n — n )-—- =— ni -. H (// — ») -TTT T '•'

On dm rJO on

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. ifi

en modifiant légèrement la définition de t, que nous prenons ici égal à i(n — n')i, ce qui n'a aucun inconvénient. La solution envisagée est donc

X = \i x^ — ni—^-Dxo, y — \iyo — m ^-+-'^I^Jo,

ou bien

;' = k f 0 — /» T^ -+- •' ", fi = k f.Q — rn- h u T,

' (;//( uni

et sous cette forme, sa détermination analytique est immédiate; sa détermination numérique directe pourrait se faire aussi sans peine, en appliquant toujours la même méthode des coefficients indéterminés, par approximations successives, en parlant des équations (5) sans seconds membres.

Or ces valeurs de ^', r{ doivent être les mêmes combinaisons linéaires et homogènes de ^', , i^, ç'n ^'■, ^t y^i', , i\'^, r/3, r/^, puisque les équations (5) considérées forment un système linéaire homogène du quatrième ordre. D'après la nature des développements de ces solutions, on voit alors que l'on a nécessairement

.'=p(k'.lo-m^'J^)

ainsi qu'on peut le vérifier immédiatement.

On sait maintenant que la solution générale des équations (5) complètes peut se mettre sous la foruie

^'=c,t; +G,^; +C3Ç;, +Cv?;,

t/ = Cl r/, + G2 r/2 -+- C3 r/., -f- Cl r/,, ,

en déterminant les quantités C|, C2, C3, C4, suivant la méthode de la variation des constantes, par les équations

^', Dc,-f- i;j>c2-*- ^;, DG3+ f'i DCv = o,

r/i DC, ^- -r,;r)C.2+ rj^, DCs-i- r/^ DC4 = o,

D^'i DC,+ D$; DC2+ D$:, DC3+ Di\ DC; = M, D r/, DC, + D ïi'2 1 )C2 + D -r,; DC3 + Dy]'^ DC4 = — N.

Avant de résoudre ces équations, nous ferons l'observation suivante :

Si z'^, )'^ el ./•;, y': ï>oiil (letix soluiioiis distincles des éf[ualions ( 5) sans seconds membres, on a les lelalions

ï)^-a:'i — ' /n l».r', -i- \>x'i-+- Qj', = o, D2 :r) -4- ■> /;, I » .r'j -■- P x'j -+- Qy'j = o ,

W i), R désignanl trois l'om lioii> qu'il nj a pas lieu de spécifie)-. Eliminant P, Q, Il entre ('(s relui ions, on a

D*,/;' -r~ ■>,//( 1) .rj a") j-^- o

IVj,- ■>/» Hj-; j- o x'i

Y>'^yj — 'i-m\)}'j fj o a?;

ou bien aj)rès division \r,\v .r'- )' — x'i )'|,

Posons

ceci nous donne

cil (lfsi<;iiaiil par C,/ une constante.

D'après la nature des développements des dilTérentcs fonctions \,, /,,. il est d'ailleurs évident (pic l'on a

C,:, = Cf, = <'23— Gî... = o.

llevenons aux équation^ ([iii déterminent DCj,, DG^, ... et conit)inons-les toul d'ahord de lat'ou à rem[)lacer dans les deux dernières Dç',. Dr,,, . . . piii- D :'| . D'/,',, . . .; on en lire, par exemple.

D'r,, ltr,2 I »'/'., t »'//.,

j -N D'ri; D'r/, l)r/i

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. I 7

Appelons Me déterniimml A„ on A, dans lequel on remplace les »■ cléments de la première colonne par de> quantités quelconques a, a', A, b' : on peut écrire

-4-(;aiyï',-rt'ï'i)(7l',lVr,;,— r/;, D'r/,, + (AD'r/. - ^'''^'O (Çl- T>';':i -,';> ï>' ?'..»:

remplaçant chacun des seconds facteurs par sa valeur tirée des relations

Ço Dç; -?;» R'^;. - 0;^ K'v;. + ■'.;, ij'^. = o,

il vient simplement

A = C,v,(— al»';'. ^- b\)'r;.,-^ a'X-,— h'(;., ),

Ao - - G, , Cj V, A , r^ ca ?;. M -1- N r,;, ),

soit

<■! |)ai' suite

on a de même

DG, = ^ ( r, M + -V. N ;, I X ^3 = - p^ ( r. M + ■<: ^ K

En ol)ser\ant que l'on a géiKu'alement, en désignant par es une fonction quelconque,

D i(oT) ^ tD-iç — D-2ç,

on retond)e ainsi, comme il était nécessaire, sur les fornudes (la), avec en plus les relations

La première de ces égalités donne une nouvelle façon de calculer a; quant à la seconde, elle permet de déterminer la constante |îi dune manière entièrement indépendante des calculs relatifs à E', , ç'^,, Y,',, y/,. Si l'on pose en effet

fo = k' ?o — /"

ôni

on a immédiatement

- = (-Dfo — Ç'j Dp — ?/D//o-f- r/„ Du — ?/î-4- p2— •2(1-4- /h)(«?o— ^'^o)t c'esl-à-dire

l!28. Revenons aux équations générales (5) et (6). Les inconnues x', y, z sont nécessairement petites, et les paramètres e', a sont plus petits encore. Pour obtenir les parties principales de x, y, z, il suffît donc, d'après la nature des fonctions X, Y, Z, J, de supposer ces fonctions nulles. Dans ces conditions, la formule (9) donne d'abord

en désignant par C( et C2 deux constantes arbitraires conjuguées. Remplaçons ces constantes par deux autres réelles y et ."rJo, en posant

torinules où m représente une conslanle nuniéiiquc réelle qui sera fixée un peu plus loin. Nomm()n> de plus Ho l'argument li^Ti — Sfo, et faisons

puis

C| = coCj, ^i = — wco;

nous pourrons écrire

- = Yi"i + Y-i3-i;

z^ ot une série d<; la uiénie forme que C|,

de même

D'après la foruiule générale qui définit la latitude, la partie correspondante de celle-ci sera

METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION

avec

^1 = pû^l, ^ -I = ?o3- 1.

Les développements de a-, et t., sont pareils à ceux de z-i et ;i ; nous choisirons la constante co de façon que -7,0 = i. Sons loinie réelle, on a iininédiatement

s= ySji,A sin(Ho+AD).

On voit ainsi, en négligeant pour un instant /«, que l'on [)eul considérer grossièrement la Lune comme se mouvant dans une orbite dont l'inclinaison serait y (cette constante étant petite), l'argument de la latitude étant égal à Hq. Par suite, en supposant encore la longitude dans l'orbite égale à N, la longitude du nœud ascendant serait S? = N — Ho, et varierait proportionnellement au temps, avec un moyen mouvement égal à nh'^^ en faisant

pour ces raisons, nous appellerons v l'inclinaison, et /? /i„ le mouvement du nœud ascendant de l'orbite de la Lune. On trouve sans peine

i.oo M^QijiT) ;

le mouvement du nœud est donc rétrograde, et sa valeur, pour une année julienne, est — 69288 .

On a encore

I ii

et par suite

— m '- m- — /fi^ rr^r- f^ '

Ti.2 = -ru m- --^ /;i' -— r- m* — . . . = l 'i 5?. )72 — J

Finalemenl, en prenanl avec Jirown v = 0,08977432, la parlic correspondante de la latitudo s sera, avecla même approximation que j)récédemment,

i85i7" sin Ho— (iiS" sin ( Hy— i 1) 1 + 94" siii ( Hy-f- 2D) •;"sin (Ho— 4 D ) -F- i"sin (Ho -f^ .jD).

De la même façon, les formides ( 1 1) ou (12 ) conduisent à prendre

;' = Cl >', -h €2?'^,, t/ = G, r/i -i C, 7/^,,

en désignant encore par C,, Co deux nouvelles constantes arbitraiics conjuguées. Remplaçons-les par deux autres, réelles, z et 'j:,,, en posant

Ci = — C-'vn. C..,=: ("?»,

l'ormules où w désigne une constante numérique fixée plus loin. Soit de plus (îu l'argument i,'iiD — 'j„, et faisons

puis

eji mettant u., pour l'a,,/, ^J'', '■' de nu'nic dans les cas analogues, ^ous pourrons écrire

î = =1 çi^ =- 1 ? Il ''^i = - 1 ''i 1 -I- '— 1 'fi—\ ; ^,, Y,, sont de même foruic (juc u,, v,, et l'on a

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. ijij

D'après les formules générales qui définissent la parallaxe et la longitude, on a sans peine pour les parties correspondantes de ces coordonnées

avec

pi = — ( pi) Ço ) ;i — I pâ -^0 ' r, 1 , X , = — ( py^ Tjo )?!-+-( p5 ;o ) -^ I :

o| est la quantité conjuguée de s,, A( est la conjuguée changée de signe de A|- Nous choisirons la constante (o de façon que Ton ail /|,o = 2.

Sous forme réelle, on obtient encore immédiatement, aprè-> avoir fait /?, = q, -+- Tj , , 7 , = ; I — r, , , . . . ,

X'= " "y (/?i,A cos( N ' Go— A-D) -f- />.,,/,• fiOS{ \ —Go — AI»;),

Y'rr. — V (/j, /. sin (N Go-f- A D I -'-/y ,,/, siii ( N — G„— Âl> )"■),

puis

(sin TTs)' = - Elp,./,- cos (Go •- AD),

t>'= sï/,./tsiii (Gu-t- A I) I.

Gomme précédemment alors, on peut, dans une approximation grossière, considérer la Lune comme se mouvant dans une orbite képlérienne dont l'excentricité serait la petite constante £, l'anomalie moyenne étant Go. Par suite, la longitude du périgée serait '-5:=N — Gj,, et varierait proportionnellement au temps, avec un moyen mouvement égal à /<^"o, en faisant

aussi appellerons-nous e l'excentricité, et/?A^, le mouvement du périgée de l'orbite de la Lune.

On trouve

3 177 16 Kl , 8 )•;■.()) 3()-)5'!i

en = — m- -\ — — ni^ '- II) • m' — -- ///" : . . . = o,(»oS ^-•■^. )i :

le mouvement du périgée est donc direct, plus de deux fois plus grand en valeur absolue que ci.'lui du uo-ud ; sa valrur j)our nue année

julienne est

l8u CHAPITRE XX.

Nous avons vu précédemment combien peu convergente était la série qui définit g\^ de sorte que la solution numérique s'impose pour en déterminer exactement la valeur. La môme observation s'applique à presque tous les résultats suivants, qui complètent les

éléments de la solution ici envisagée.

On a

et par suite

;:.o = — !-+- — "'--+- r^ nr'' -\---iit>-^.. .= [i ,997).>J — J,

^ "J 1^9 o i>497 , ii272J , r- , 1

?i,2 = — rn--h -T^/n^ -^ -7-^, iti'-h. . . = [i/\Mj>.\,

rj,,2 = — - /H — la ^^' — -T^nrX ^" 2'".i^ w'---. = L',6'177— ],

T] 2 = —in^--\ —- m^ ^ r—rr; /"'-!-•••= I {,■'042 ,

io5 , 1289 , - -,

d'où

i5 127 , 13961 '>''^7'^97 . I- ro 0 1

pi 2= — m H f m^+ „ ., w3+ ,, .,, /y/'-f-.. .= i,2()393],

Pi.v = ^ w*-^.. . = [4,210],

METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION. iSl

^ /M • -f- . . . = I 4 , I ob ] ,

Finalement, en prenant avec Brown £ = 0,05490006, les parties correspondantes de la longitude et de la parallaxe seront, toujours avec la même approximation,

v' z= 22648" sin Go — 460S" ?in (Go — 2 D) -i- 175" sin (Gû+ 2D) — 35"sin(Go— 4D) + i"sin(Go-r-4D),

(sin wj' = 186", 6 cos Go -H 34", 5 cos (Go — 2 D) -i-2",8 cos (Go -H 2]) j + o",5 cos (Go— 4 D).

Les inégalités de la longitude de la Lune qui dépendent de sin Go et sin(Go — 2D) sont connues respectivement sous le nom adéquation du centre et à'évection ; nous venons d'en déterminer les parties principales, qu'il faut encore augmenter de termes complémentaires beaucoup moindres; de plus il convient de joindre au terme en sin G,, ceux en sin2Go, sinSGo, ... pour avoir la véritable équation du centre.

129. Après avoir déterminé complètement, comme nous venons àe le faire, les inégalités du mouvement de la Lune qui sont du premier degré par rapport à l'excentricité et à l'inclinaison, il est clair que nous pouvons poursuivre la solution générale du problème j)ar approximations successives ordonnées suivant les puissances entières et positives des quatre paramètres s, v, e', a. En admettant cette forme de solution, nous pouvons en eiïet, prenant tout d'abord les parties de X, Y , J qui sont du premier degré en t' et a, déterminer par les formules (11) ou (12) les iuégalités de môme fe^rme dans .r et r : il ny en a pas dans 2. On pourra calculer alors les parties de X, Y. Z, J, qui sont de deuxième degré par rapport à l'ensemble des paramètres, et ea déduire par les formules (()), (t 1) ou ((2) les iné-

l8^ CHAPITRE XX.

galités correspondantes de x, r, z\ ceci nous permetlia ensuite de déterminer les parties du troisième degré de X, Y, Z, J, et les inégalités de même forme ; et ainsi de suite.

Désignons par s', comme nous l'avons déjà dit, l'excentricité de l'orbite solaire, et par cp' la longitude du périgée, (jui est aussi constante; soit alors G' ;= ^s — es' l'anomalie moyenne, et faisons

Les fonctions de p' et X' cpii figurent dans F se représentent comme des séries entières ordonnées suivant les puissances de e,, î'j, d'après le n" 83, et l'on a efi'ectivemenl

p'3.= i-4-3£;-f-3£:.r 9^? 6;', î' , ^-9£'2, + — sV'-t- — ^,— i

^'■'i +-7::i'-'--'^^V'^' i-r-3();',5ç'2^ :,Si',£'-', \---i\

I e|-:^£ ,,OE, £,-f- ,,r -j,^ i^i^- r'j-; , ,|, ,

0 if-'- = 1 -t- ;£,-£ ,-+- 3/,3,- — !()£,£ 1+ Ç-; ,---, ,

p . e U =r^ , — .2£, -;- I0£ , -r- - £,- — ïj £, £. , -h — ^ £ >', -MO£',-£' ,^i;(i.', ï'^, + •;.,G£'-'j-i-...,

,., . , ,., lO ,.,

METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION

p'-i g -VA' — I 3 î'j 1- I •; £' 1 - :-- ....

p'^e''''-' — 1 -+- iSs'j — 3£li — . . . . p's g- .i/.' = i -I- s', -H () £' , -H . . . ,

p'ô gi/.' — ( 4 ,j j'i f r' I -+- . . . .

p'» = 1 ^- jî'i -H »E I — ■'.')£'i î' I -i- . . . ,

is ;

Comme conséquence de ce fait el de ce qui a été dit plus haut, ainsi que de la forme des inégalités du premier degré par rapport à s et y, nous pouvons conclure que la solution générale de notre problème sera donnée par des séries ordonnées suivant les puissances positives entières des quantités s,, e. i, y,^ y^j, e', , £^,, et a, les coetficients de ces séries étant eux-mêmes des fonctions de d el de m (aussi?', ^",r, ...).

Toutefois, les quadratures qu'exige l'application des formules (()), (i i) ou (12) feraient bien vite apparaître la variable t en dehors des signes périodiques, c'est-à-dire donneraient des termes séculaires et mixtes, si l'on procédait exactement comme nous l'avons indiqué. Pour éviter ces termes, il suffira d'introduire une modification bien simple. Remplaçons les coefficients ^'0 et h^ par deux autres o- et A, et en même temps les arguments G,, et Ho par G = gD — es,,, H = hY) — !^,), de sorte que maintenant

•Jt

1 giH 7,

Supposons alors g- et /i développés eux-mêmes suivant les puissances positives entières de s-, y", s'^, a^, leurs parties principales, c'eslà-dire indépendantes de ces paramètres, étant précisément ^>o et A, ,. Supposons de même la partie constante de la fonction J, soit (J ), développée suivant les puissances de e-, Y", e'-, a^, sans terme indépendant de ces quantités. Nous allons faire voir dans ce qui suit qu'il sera possible de déterminer les coefficients des séries qui représentent^-, h, .1 de façon à éviter l'apparition de ~ en dehors des signes périodiques: et finalement, aucun terme à caractère séculaire ne figurera plus dans les expressions des coordonnées.

Mais il est nécessaire de préciser davantage.

Etant bien entendu que dorénavant les 'arguments G,, et Ho sont partout remplacés par G et H, et que s,, s,, ■',, y, ont leurs défini-

l84 CHAPITRE XX.

lions nouvelles, désignons généralement par M^^ les differcnls monômes de la forme

les exposants étant des entiers non négatifs; si, en particulier, ces exposants sont tous nuls, M^ devient M^ = i .

Distinguons aussi spécialement parmi les monômes M„ ceux qui se réduisent à des constantes et pour lesquels l'exposant de a est pair, soit les M^j', de la forme (e, £, )/' (y, y, )'f{t\ ^^ )''y.-\

Nous supposons les différentes inconnues J7, y, z, />, y, ç, r,. o, X, 7 développables sous la forme

de plus o-, h, (J) sont aussi des inconnues développables sous la forme plus particulière

ff = y.g,,M',,, h = SA,, m;,, (J ) = sj„,m;,,.

Il est clair d'abord que si l'on prend M„ = Mo, les coefficients x,,, j'„, ... sont précisément les éléments de la variation, déterminés précédemment avec cette notation même; «■„ et ho sont aussi les coefficients mêmes calculés ci-dessus, et l'on a Jo =0.

Si l'on prend M^ égal à £| ou s,, les coefficients ç„, r|„, ... sont précisément les fonctions ^) ou ^i , r, , ou r| ,,..., du n" 128, et l'on a z,i=z <7„ = o; si l'on prend M;, égal à y, ou v,, ::„, a-,^ sont les fonctions z, ou j,, 7, ou a- , du même numéro, et l'on a x„ =yn :=... = o. En d'autres termes, avec ces hypothèses, nous embrassons l'ensemble des inégalités que nous avons étudiées jusqu'à présent, savoir celles f[ui sont du premier degré par rapport à l'excen- Iricité et l'inclinaison, et en outre la variation.

Il suffit de porter un instant l'attention sur la façon dont est composée la fonction U, et de ne pas perdre de vue diverses observations déjà faites, pour se convaincre des propriétés générales suivantes des développements de nos diverses inconnues; nous laissons d'ailleurs de côté X el y, qui ne sont autres que 8/? et 0 ' q.

Dans les monômes M„ qui figurent dans p^ q, ç, r,, p, À, la somme qi -\~q t est paire; dans ceux qui figurent dans r, or, celte somme est au contraire impaire.

Les coefficients p„, q,,^ ..., g,;, (7,^ sont développables suivant les

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. 1 85

puissances positives ou non de 0 sous la forme

les p„jf,r/n,/(^. ■ .étant de simples fonctions de /)i (et aussi ^' , [3 "^[3'",...) dont nous aurons à chercher soit les développements analytiques suivant les puissances de m, soit les valeurs numériques.

Les coefficients ^ „ , /<„,, 3„, sont analogues aux /?„,/,, ....

Dans les développements des fonctions/?,^, Çn, ..., les indices A' seront tous de la même parité que l'exposant 5 de a dans le monôme M«.

Si M,j désigne le monôme conjugué de M„, obtenu par léchange de z, et £,, y, et y,,, e\ et si,, on a

— 'fin-L-i

(l-n.k = Pn-K-,

P-it./.= ■■'II,-!,-,

'^-n./,= — ^ri.-/i-

Dans le cas particulier d'un monôme M',, qui est son propre conjugué, on aura donc (et il en sera de même pour tous les monômes M„ constants)

Pu", le— fln\-k^ \ii\k= \n\~h'

Sous forme réelle, en faisant

^\ii\k — ''^in',-ki

ï "■"'-' (iV'^"-'»-.

on obtient aisément les développements

X =: rt V ( ;,,^j,, /. C(,S ( \ -f- V,,,/, I,

Y = ai:C„/)„,/,.siii (\ 4- V„.a), Z = aSC/i Zii,k sin \n,k,

V = N -+• i:C„X„,AsinV„t, s = 2C„T„,AS'n^'/(,t,

pour les coordonnées rectilignes et polaires.

Les sommations sont étendues à tous les indices ii, k possibles

l86 CHAPITRE XX.

dans chaque cas: et par suite les quatre derniers développements se trouvent écrits sous forme symétrique.

On a aussi

-1' /yX-'/ /z'\-''

et l'on a des développements analogues pour »•' et //', en appelant //^', n/i' [es mouvements des arguments N — G, N — H.

Revenant maintenant aux équations (i), (2), (3), observons ce qui arrive quand on y substitue les valeurs supposées des inconnues et que l'on effectue les différentiations indiquées.

Pour un terme de x, par exemple, égal à x,i,h^''^hi- soit K, on a

DK = K[/. -f- (pi— p~\^M 4- [qi — q-\)h 4- (/'i— /•,;/«].

Martpions delà caractéristique D,, l'opération qui consiste à prendre ]a dérivée par rapport à ~ d'un terme tel que K, dans lequel on remplacerait G par Go, H par H.j, de sorte que

DoK= K[ A- -4-(/7, — />»^,),A'o-f- (71— 7,)/io-f- (/'i— /•-!)/«].

Les difïerences DK — D^K se présentent ainsi, d'après les valeurs de g ei II, comme développables suivant les produits du monôme M„ par les différents monômes M^, (Mo exclu).

Convenons alors de remplacer partout D par Do dans les équations (5), (()), (7); les fonctions X, Y, Z, .1 se trouveront modifiées, puisqu'il faudra tenir compte pour les former des différences telles que DK — DoK; mais, d'après ce que nous venons de dire, rien ne saurait cependant être changé à la méthode d'approximations successives indiquée précédemment : en effet, la partie de la fonction X par exemple qui correspond à un monôme donné pourra toujours être calculée dès que l'on connaîtra les parties des inconnues qui corrcs- |)0ndent aux différents monômes de degré inférieur, aux exceptions près qui vont être mises en évidence, et ne présentent aucun inconvénient.

L'opération D„ est une pseudcj-dérivation, qui jouit des mêmes propriétés que la dérivation ordinaire D; elle est d'ailleurs équivalente à D quand on ra|)j)lique aux fondions '^|, ^j^ '''n ^i^ q"i

METHODE GENERALE D INTEGRATION. FORME DE LA SOLUTION. 167

ii<.;ur('nl dans les toniiules générales (g) et (ii)- H en résulte d'une façon évidente, qu'après la modification que nous venons de faire suijir à X, Y, Z, J, il faut remplacer dans ces formules aussi D~' par Dq', en entendant [)ar D~^ l'opération inverse de Do : c'est une pseudo-intégration, qui, appliquée par exemple au terme K considéré ci -dessus, et supposé non constant, le reproduit divisé par

A -^(pi ~p-\ ) A'o -+- < 7 1 — 7- 1 » ho-T- ^ i\-~r I I m .

En réalilé, les quantités soumises à cette pseudo-intégration dans les formules (9) et (11) sont de l'une des cinq formes Q^-^o+^M^, 0^'o+^M„, O^o^o+AM^^ 8o%+*M,,, G*M„, suivant qu'il s'agit des pseudoquadratures D-'(r, Z), D;'(r,Z), D;'(«,A), D;'(«, A), D;'B; k désigne ici un entier quelconque, et il faut observer que le facteur éventuel 9'+"'''' ou O"*""" se trouve ultérieurement détruit, puisque les quatre premières de ces intégrales sont à multiplier ensuite par Ci 5 'Ço. <(i ou r/o.