AT

Mais [)our que ces opérations n'entraînent aucune difficulté, il est nécessaire qu'on ne fasse apparaître ainsi aucun diviseur nul, c'està-dire que les fonctions ^2 Zi, î^, Z, «-2 A, a^ A, B ne contiennent respectivement aucun terme des formes O"'''»*', M'„, B^'"y i M^,., 0"^<'£| M',,, 9on£, M^^,, M^,,. Or c'est ce qu'on peut réaliser de la façon suivante. Le coefficient de 0"'^»^, M^,, dans ^^L dépend évidemment de la constante encore inconnue /i„ , et par suite on peut faire disparaître ce terme en déterminant convenablement cette constante. 11 est clair que du même coup le cocffi(uent de Q'''"*'. , M^, dans la fonction conjuguée disparaîtra aussi.

De la même façon, on peut déterminer i,>„ de façon que les fonctions «2A et rtjA ne contiennent pas de tei'mes en 0~""S|M^,-, ou

De même encore, le coefficient de 1\\'„, dans \\ dépend de la constante encore inconnue J„. , et l'on peut annuler ce coefficient en déterminant convenablement celte constante.

Les pseudo-quadratures D^'^^^aZ"), D,^' (C|Z), ... peuvent être

respectivement accompagnées si l'on veut de termes tels que cy.e^^'oM;., cv,GMVr„., c£,9-^^M;,, c£.,e»%M:,,, cM;,, où c désigne une constante arbitraire; en effet de tels termes s'annulent quand on les soumet à l'opération Dq. Cependant on ne devra ajouter aucun terme cM'„, à D~'B, afin de ne pas altérer la forme générale adoptée pour la solution, b ne devant contenir aucune constante.

L'addition d'un terme de la forme ce, 9-»"M^. à D~' (aa A), et par suite du terme conjugué àD~'(a,A), est inutile, si l'on veut; mais on peut aussi disposer de la constante c de façon que le coefficient de £, M^, dans ^, ou dans une autre coordonnée, ait une expression donnée à l'avance. En fait, nous ferons en sorte que le coefficient complet de sinG dans le développement non symétrique de la longitude V ait pour valeur

tout comme s'il s'agissait d'un mouvement képlérien dans lequel £ serait l'excentricité : nous avons déjà réalisé cette condition pour les termes du premier degré en £.

De même l'addition d'un terme de la forme cy, Q-'^oM^, à D~' (C^^), et par suite du terme conjugué à D~'(!^,Z), n'est pas nécessaire; mais nous disposerons de la constante c de façon que le coefficient complet de sinH dans le développement non symétrique de la latitude 5 ait pour expression

tout comme s'il s'agissait encore d'un mouvement képlérien d'excentricité £, dans lequel y serait le double du sinus de la demi-inclinaison : cette condition est déjà réalisée pour les termes du premier degré en y.

On ne s'est pas occupé dans ce qui précède des difficultés qui

qui figure dans

la fonction J elle-même : il est clair en effet, d'après la forme de la solution, que la quantité soumise à cette quadrature ne saurait contenir aucun terme constant, de sorte qu'elle ne peut donner lieu à aucun terme séculaire. Observons seulement qu'elle introduira des diviseurs tels que

k -h {pi — p-\)g -'t- iqi— q-i)h + (ri— r 1)"',

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. 1 89

Cl qu'il conviendra de développer les inverses de ces diviseurs suivant les monômes M^^ qui figurent dans les expressions de g et A, les coefficients des développements étant les puissances négatives des (juantités

k -H (pi — /?-i)à'o-i-('7i— 'Z-O/'o-f- (''1— '--i)"*-

On arriverait exactement aux mêmes résultats en faisant usage des formules (12), où D est remplacé par Do, la quadrature D~'(rM + alN)

étant équivalente a - •

L'expérience démontre sans peine le succès des opérations que nous venons de décrire, et justifie par suite complètement la forme que nous avons adoptée pour la solution générale.

130. Si nous avons pu éviter rintroduction des termes à caractère séculaire, il est d'autres difficultés qui tiennent à la nature même du problème, et qu'il est impossible de faire disparaître.

Les formules (9) et (11), entendues comme nous venons de l'expliquer, renferment des quadratures, et de plus la fonction J ellemême dépend d'une quadrature, qui ne fournit d'ailleurs que des termes admettant /u-'s' ou /«•"'a en facteur, comme le montrent la forme de la fonction F et celle de l'équation (3).

Supposons alors en premier lieu que l'on étudie la partie de la solution relative à l'un des monômes, soit M„, dont dépend la latitude. Il résulte de ce qui précède que, pour obtenir cette solution, on devra elFectuer des divisions par les diflerentes quantités

/. prenant toutes les valeurs paires ou impaires, suivant le cas, et la différence </, — ^/, étant impaire.

Ces quantités sont les r/i\i.s<'a/-s (•(incspondant au monôme M„.

Si l'on développe D„,a suivanl les |)uissanccs de m, on a

avec .

Si ron a D"^ ^ o, le diviseur D„,/s est Uni par rapport à la petite quantité //i, et ne. donne lieu à aucune difficulté.

Mais si l'on a D,^/, = o, le diviseur D„.^ est petit, de l'ordre de /// au moins; par suite la division par D,,./; grandit le dividende, quelquefois dans une très large mesure, de sorte que, ])our obtenir une appi'oximation donnée, il es! nécessaire de calculer ce dividende, soit analvtiquement, soit numériqueuient, avec une approximation supérieure, quelquefois de beaucoup supérieure : c'est la difficulté que nous voulions signaler.

L'inlluence de ce grandi ssement de certains dividendes se fera surtout sentir sur les inégalités qui dépendent de B^M„, et qui, d'après la condition D"^. = o, ont une période voisine du mois sjnodique. Ce sont les inégalités qui dépendent des arguments de la forme

7>(G— Dj - >q{H — D)-r(y± II,

j). ({. r étant des entiers quelconques (non tous nuls); et ce fait généial a déjà été constaté précédemment sur les inégalités du premier degré par rapport à '' qui dépendent de II — 2D.

Si l'on a aussi D,';; ==:o, le diviseur \)n.h devient de l'ordre de thau moins, et la dif/iculté ne fait qu'augmenter; les inégalités correspondantes dépendent des aiguments

y,(G— G'— h) >y( II — G'— D): : II.

Si enfin, on a en outre l),^,/,~"0, le diviseur D„ /^ est de l'ordre de /;*■■', et la difficulté grandit encore; les inégalités correspondantes dépendent des angles

,y.(, 11 ,(,'- al) I [I:

elles contiennent donc cerlaineuienl en facteur le |)roduil très petit e-vs'', ce qui les rend heureusement négligeables.

En réalité, d'ailleurs, la difliculté n'est augmentée (pi'au point de vue analytique, et non au poini de vue numérique. En effet, le plus petit des diviseurs qui correspondent aux derniers arguments, soit a(^o + /'o) — 4(' + /«), est égal en valeur absolue à o,oo98<S(j. Il est facile d'en trouver de plus petits et qui ne sont cependant que du second ordre par raj)port à m, en observant que

go — I — ni = — o,()<)9:>,G(), ■> ( //„ — 1 — m ) = o . 0086 '\ ) :

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION

les lu'iiuinenls

donneront donc lieu 0,008645, 0,000621, . .

(G — G' — D ir- II.

+ 2II — 3(J' - iDi

respeclivemenl aux diviseurs 0,009 266, . Les inéi;alilés qui dépendent des angles

oui ainsi un diviseur extrêmement petit, mais elles contiennent certainement le facteur eve'^a, ce qui les rend insensibles; leur exisleuce possible a été signalée pour la première fois par Laplace.

Cherchons maintenant les partictdarilés qui se présentent lorsqu'on étudie la partie de la solution relative à un monôme M„ dont dépendent le rajon vecteur et la longitude. On peut en premier lieu répéter tout ce que nous venons de dire, à de trèslégers changements prés, sur la première formule (11), en laissant d'abord de côté les difficultés qui pourraient provenir de la quadrature qui figure dans la fonction .1. On a les diviseurs

cpii ne diffèrent pas en réalité des précédents dans leur ensemble, puisqu'ici la différence r/^ — (/, est paire et non plus impaire.

Si l'un de ces diviseurs est petit, son influence se fera surtout sentir sur les inégalités du rayon vecteur et de la longitude qui dépendent de 0''i\J,j, c'est-à-dire des arguments

jj{G—D) iqiU — l)) /•G'drG,

et dont la période est encore Noisine du mois sjnodi([ue. Ce fait général a déjà été constaté sur iévection.

Les diviseurs D,ik deviennent de Tordre de ni- ou /;?■' respectivement pour les arguments

/y, G — G'— D) ^.ryf H— G — I)

et donnent lieu aux mêmes remarques (pie ci-dessus; les inégalités ([ui correspondent au plus petit diviseur aiialyti([ue. (;'est-à-dire de l'ordre de /?«% contiennent e-'-î"' en facteur; celles de Laplace contiennent y'^e'-'^a.

En second lieu, la (piadralure de la seconde formule (i i) et celle

qui figure dans J conduisent aux diviseurs

D„,yt = A- -i- (Pi—P-i)oo -^{q\ — q~\)fto -i- C'-) — r.^\)rn,

qui sont encore les mêmes que les précédents, dans leur ensemble. Mais il faut observer en outre que, dans le cas où M„ dépend de e' ou de a, ces diviseurs interviennent au carré dans l'expression des inégalités correspondantes de la parallaxe et de la longitude, puisque la fonctioji B dépend elle-même de J. Les difficultés provenant de la petitesse de V),i,k seraient donc alors considérablement augmentées, si la présence déjà signalée du facteur m'^ dans la quadrature de J ne venait pas détruire au moins partiellement cet cfl'ct.

Les inégalités qui correspondent aux petits diviseurs D^ a seront surtout sensibles dans la coordonnée r, et dans la longitude, puisque la fonction b n'intervient dans ç et dans la parallaxe que multipliée [)ar m-] elles dépendront des arguments

dont la période est longue, et quelquefois très longue par rapport au mois sjnodique. Les diviseurs ])//,/i, qui sont de l'ordre de m- ou />r' respectivement, proviennent des arguments

y,(G — G'— D)+ ,>.7(;il — G'— D), ><7(G^- U — 9.G'— xD),

et donnent lieu aux mêmes remarques que ci-dessus. Les inégalités qui correspondent au plus petit diviseur analytique contiennent s- y*- * en facteur; celles de Laplace contiennent îv-s'^a.

Observons enfin que, pour un môme monôme AL*, on a ou bien un seul petit diviseur correspondant à une inégalité à longue période, ou bien deux petits diviseurs, dont un seul peut être très petit, correspondant à des inégalités dont la période est voisine du mois. De même, dans le cas de la latitude, pour un monôme donné, ou bien il n'y a aucun petit diviseur, ou bien il y en a deux, dont un seul peut être très petit. L'évidence de ces résultats résulte de ce que l'indice/»' peut prendre toutes les valeurs |)aires, ou toutes les valeurs impaires, suivant le cas.

131. il nous reste à indiquer d'une façon plus précise le mode de calcul des fonctions A, M, N, J, Z, qui figurent dans les formules (9), (ii)et(i:>.).

METHODE GÉNÉRALE D"INTÉGRATI0N, FORME DE LA SOLUTION

Nous observerons d'abord que l'on a