xo-^x')(yo+y) — z- = ^o7o ( H- — ) ( H

posons alors

? Tî

2?o= Xi

de sorte que

il vient

9 = (pÔ^o)^'—ipnrio)-n',

<]^ = — (Po^o)Ç'+(pS^o)r;;

kp ==kpo[(i+?)-^— 'V-— /.-r^-

Tenant compte maintenant de la définition primitive de X, Y, Z, J, et de la correction qu'il faut lui apporter en raison du changement de D en Dq dans les équations (5), (6), (7), on trouvera sans peine

àF àF

M = DgÇ'— D2$'+.i(m-m)rDoTi'— Dr/) — 6^ —0-'^

ax dy

-4-(kpgfo)K-H(kpiJ7io)K', - N = Dgr/— D^r/-^ 2(1 -Hm)(Do?'— D?') + 0 ~ — 6-' ^

^-(kp^,o)K + (kp3^o)K^

Z = Dgz — D^z+^ + A-pgK",

J = '2(Tio-4- D^o)(Dor- l^n — '^(îo-f- DtjoXDoï)'— Dtî')

-H (//-t- T)p'){q'— Dçr'j -(- (D^)»— - m'^p'q'

— - m^{p"^ 0* + ^'2 0-2;— ni'^z-^

en faisant

K = 3ç*— 4<p'-i-5çi— 6?3h-.

| ( ,^! 4 y 2 ) ( ( 4 cp -^ I O <p- 'JIO Cp' -h . . . )

K'= i|i( — 3ç + 6ç- — io(p^-f- i5cç.* — . ..)

-+- 7'\'{'\'--^ x2)(i — 5?+ i5cp2 — . . .)

K"= y{ — 39 + 0^2 — io<p3-4-i5ipV — , )

-+- /,('}- -i- /.-)< I — 5 cp M-T 5 f 2 . . . )

J' = cp* cp-*-!- G* cp^-h. . .

+ -(^'+ //)(' — 3=^-^692— iocp:* + ...)

On a ensuite

A = UMh- VN + FRJ,

et l'on pourra vérifier que

DJ ='2(vM + f<N).

Pour le calcul des coordonnées polaires, on a d'abord

p'= po(— ? -i- J'); puis, en vertu des relations

x=./^=e2),„liLl:^t,

^ l-4-cp

thci' = 3(a"^) ^ = /.[(n-?)-— '^^l -,

MÉTHODE GÉNÉRALE D'INTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION. 19Î

on a encore

Voici les développements des quelques fonctions nécessaires pour appliquer les formules précédentes, et qui n'ont pas encore été donnés :

Po'io^ (^"''+:ir3'"'"^ p'«''j(0-— 6--)

= [3,77676] (Oî- 0-2) + [5,83i] (0*— 6-4) -h. . .;

1 « 3 „ 33.T , / „ iq , 40 A,„,

196 CHAP. XX. — MÉTHODE GÉNÉRALE D'JNTÉGRATION. FORME DE LA SOLUTION

Ajoutons encore qu'au lieu de déterminer z et a par la formule (9) et la première des formules (i 1), ou bien d'appliquer les formules (12), il sera bien souvent tout aussi avantageux, tant au point de vue numérique qu'au point de vue analytique, d'intégrer par approximations successives les deux équations

. I)-rt — S'a = A ;

ces approximations sont en effet très faciles, et peuvent être rendues très convergentes par quelques précautions bien simples, qu'il sérail superflu de détailler ici.

NOUVELLE MÉTHODE PRATIQUE POUR LE CALCUL DES INÉGALITÉS DU MOUVEMENT DE LA LUNE. DÉTEIlMINATION DES INÉGALITÉS DÉPEN- DANTES DE LEXCENTHICITÉ ET DE L'INCLINAISON.

132. La méthode développée au Ghapilrc précédent est enlièielent satisfaisante au point de vue théorique; il n'en est pas de même ratiquement. Comme nous l'avons déjà dit, et comme on le voit iaintenant, elle exige de nombreux développements en série extrêlement pénibles ; et elle conduit à des calculs fort complexes, en irtie superflus. Ces inconvénients sont surtout sensibles quand on lerche les développements analytiques des inégalités, ainsi que nous

ferons dorénavant d'une façon exclusive. Nous allons donc exposer

le nouvelle méthode pratique qui se montre tout à fait propre aux dculs analytiques.

Pour plus de commodité ultérieure, modifions tout d'abord la valeur

k que nous prendrons maintenant égale à