OX
de» ()x
<)xjdx,„j ôXfi dtpdxnj dxjdx,,,
<)x i dx,,
ECe''»,
àXn
= lG'e'<"',
on constate que ces termes disparaissent, comme ci-dessus, quand il s'agissait de la somme Sa.
De là résulte que ù^Ap ne, peut pas contenir de termes séculaires de rang supérieur à un; plus généralement, en poursuivant le même mode de raisonnement, on verrait que ô"A^ ne saurait contenir de termes séculaires de rang supérieur à n — 2 ; et il en est de même
■lO CHAPITRE XIV. — EQUATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES.
pour une fonction quelconque des Ay,, comme on le vérifie sans peine. C'est le théorème de Poisson généralisé.
11 est possible de préciser davantage cette généralisation quand on fait des hypothèses complémentaires sur les équations (8), en appliquant toujours la même méthode; mais les calculs deviennent prolixes, et il vaut mieux recourir à d'autres procédés; nous nous bornerons donc à ce qui précède, d'autant plus que nous sommes ainsi en possession de tout ce qui est nécessaire pour la suite.
CALCUL EFFECTIF DES l'ERTURBATIONS DES ÉLÉMEiNTS. PERTURBATIONS DES COOK DON NÉES.
98. Le calcul des perturbalions du premier ordre est facile. Proposons-nous de déterminer les inégalités de cette nature qui sont dues à l'action de la planète M' sur la planète M. La fonction perturbatrice générale V qui détermine le mouvement de M doit être limitée à la partie //ri' R qui correspond à l'action de M'; nous mettrons cette
|)arli(! sous la forme •^ ,^^i ^n désignant par A un terme quelconque
du développement de Ry/aa' que nous avons appris à former.
D'après la formule (lo) du Chapitre XIII, A est lui-même de la
forme
et B est une fonction du rapport a, égal à — ou à — suivant que l'on
a a <^ a' ou a'^ a' ; nous emploierons toujours la caractéristique D pour marquer la dérivée d'une telle fonction par rapport à a, et <;omme précédemment, les formules écrites correspondront à l'hypothèse a <^a' ; pour obtenirles résultats relatifs à l'hypothèse contraire, il suffira de changer partout D en — D.
(jomme on a f ^^ > si nous posons
fJL = 4/ — , ?
les équations (4) du Chapitre précédent s'écrivent immédiatement,
l-l CHAPITRE XV.
en profilant de' tout ce qui a déjà été dit, sous la forme
-r-^ =— 6fJL'/«2S5A (ou \ " ^ = 4 |JL'nS5A
i dt
idt
d{il) idt
dii
^- TTït
■^i-J^ = ,a'n(i + -2 £,=.,-+-. . .)SA[— r.2— '[i^-iis—pi-^ /^2 » |-
=^ /i — 4 ;jl' n £ DA -+- y.' n 'Z A 1 1 -- p^ -i- /?•> -+- i\ -t- /-i
Tl
i dt
i-H. . .jXA| /-i — TiÏ2(* — /'1 + /02)];
les coefficients dont nous n'avons écrit que les premiers Icrnus sonl des séries entières par rapport à 0, £3.
Conservons alors, afin de ne pas surcharger les notations, les lettres ti, a, l, ... pour désigner les valeurs de première approximation que l'on adopte pour les éléments des diverses planètes, et soit / = V ^ -|- /o : /i, «, V, /q, ... sont des constantes ; on a
et la difierence /i — v, qui est de l'ordre des masses perturbatrices, scia appelée v". Soient de plus /i", /", s", ... de nouvelles constantes^ (le l'ordre des masses perturbatrices encore ; les inconnues /?,/,£,, ... peuvent se mettre sous la forme
n -+- ft" -H o/< -h 52 /t -4- . . . .
/ -I- ( Ai" -4- V« )<■+- /O -I- 0/ -f 02 /-+-... ,
£1 -I- e" -t- Ss, + §2 S 1 -+- . . . ,
en représentant par
leurs perturbations des divers ordres par rapport aux masses ; et pour
préciser, nous assujettirons les quantités
ô/i, o^/i. ..., 8/, S'^/, ...,oei, o'^Ei, ...
à ne contenir que des termes purement périodiques, ou séculaires, ou mixtes, sans aucun terme constant. Ajoutons que la valeur de l'élément a ou de son logarithme sera
ou bien
•}. , / /î-iJ -+- S/?. -I- 0- // -J- . . . \ , ^ ,, , .^ .
log« — :; log ( I H ) = loga + o(luga) + d*(loga)— . ..,
en désignant, comme nous l'avons déjà dit, par a la constante liée à n par la relation 7i- a^ =y(i -f- m).
Dans les formules précédentes, figurent des constantes superflues dont le rôle peut être entendu dans plusieurs sens différents, et dont on peut par suite disposer de diverses façons. Si l'on veut obtenir une solution analytique ne dépendant que des constantes arbitraires v, /q» £,, So? Ym Y27 el des autres semblables, on déterminera les constantes auxiliaires v", /i", /", e", t\, ... de façon à vérifier certaines conditions (jue l'on pourra s'imposer arbitrairement. Mais avant d'entrer dans plus de détails à ce sujet, il importe de préciser quelques définitions.
Si. dans une fonction X composée d'une partie constante, de termes séculaires, et aussi de termes périodiques et mixtes par rapport à, certains arguments, on supprime tous les termes périodiques et mixtes, on obtient, par définition, la valeur moyenne (X) de cette fonction à l'époque / : en particulier, la partie constante de X en est la valeur moyenne à l'origine du temps, pour laquelle on peut d'ailleurs choisir une époque donnée quelconque. Cette définition esl légitime, car il en résulte que la valeur moyenne (X) est indépendante de l'origine du temps ; et en eiïet, si l'on change t en t — <„, les termes constants et séculaires d'une part, les termes périodiques et mixtes d'autre part, se changent en termes de la même catégorie. Mais il faul observer avec soin que si Y, Z, ... sont analogues à X, et si l'on
a X =:y(Y, Z, ...), la valeur moyenne (\) n'est pas égale en j;énérai à /'[(Y), (Z), ... I ; si l'on pose en effet
K=/[(Y),(Z), ...|, y=\^(Y), z^-L~rL), ..., on a
et l'on voit que si y, :,.. . ne contiennent que des termes périodiques ou mixtes, il n'en est pas de même en général de j-. ...,j':?, .... En particulier, dans les problèmes qui nous occupent, on peut dire que l'on n'aura (X) = F que si l'on néglige les perturbations du second ordre.
Revenons maintenant aux questions posées ci-dessus. Le choix le plus simple au point de vue des calculs sera celui qui consiste à faire «•' = /<' = £"=...==:(), de façon que les constantes /?, /o, 3i. • • • soient précisément les \aleurs moyennes pour ^ = o des inconnues /i, /, £|. . . . ; en outre on prendra la quantité v" égale et de signe contraire à la partie séculaire de rang un de la somme o/ -f- o-/-|- . . .. afin que la valeur moyenne à l'origine du temps de la vitesse de la longitude / soit v, c'est-à-dire la vitesse même de l'argument /. Ce résultat ne pourra être obtenu que par approximations successives, et il en sera de même dans tous les cas analogues.
Mais on peut faire d'autres choix, dans le même oïdic (ridées. comme nous le verrons ultérieurement.
On peut aussi regarder les quantités v, n, /„, Sj, ... comme des constantes purement numériques; et alors /?'•, /". ôJ, ... sont les constantes d'intégration ; il y a intérêt évident à ce que ces constantes soient en fait aussi petites que possible, et aussi à ce que la partie séculaire de rang un de l'expression complète de la longitude l soit aussi voisine que possible de v^ : ces conditions seront réalisées par un choix convenable des constantes primitives v, n, /o, Si, ....
Dans tous les cas, la détermination effective des constantes qui resteront dans les formules, comme aussi celle des masses des diverses planètes, ne pourra résulter que de la comparaison de la théorie aux observations les plus précises.
Ces généralités dites, les équations (i) permettent d'écrire immédiatement les parties de 8/i, o/, . . ., qui proviennent de l'action de la
})Ian(H(' M'. On a :
sa A
on ,'\7^ siitX
,V^ sn^ k. ,^7 n DA D M- / :; r-r-i — 4 !■«■ 7 r-7
■^ .^(5V -f- s V )* ' jLdS^t-\-S'l
— I ■•* -+- /^i -+- Pi -+- r\ -1- /•:
ei£2(yOi-+-/^2 — '^'"i — ^^''i)
!(8si)
' ^mi S'^ -h S' V
' - X ,"V nX . , , ,
<le plus, la partie de o(loga) qui provient de même de l'action de M'
est --
Ces formules supposent que les deux nombres s et 5' ne sont pas nuls simultanément; dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il s'agit d'un terme séculaire A de la fonction perturbatrice, il est clair que l'on
doit mettre partout iKnt au lieu de j-,^ et l'on obtient ainsi les
inégalités séculaires du premier ordre des divers éléments.
Rien n'est plus simple que de ramener les résultats précédents à la forme réelle. Les termes A sont conjugués deux à deux, et par
suite, l'expression de — > en premier lieu, se présente comme une
somme il Ce'"* de termes conjugués deux à deux, les coefficients C étant réels, contenant le facteur
et les arguments (o étant
al ■-{- s' l' -^ (Pi — Pi)'^ -+- (p\ — p'\ )m' -{-{i\ — ri)0 -+- (r, — r', )6'; on a donc sous forme trigonométrique symétrique (n" 78)
De même, ù (il) est une somme analogue SCe"** -h /^ S C'e'*^'. A" et s' étant nuls dans w' ; mais le résultat est purement imaginaire, de sorte que l'on a encore le développement trigonométrique réel
symétrique
S/ = SC siiito -I- /X C cosw'.
L'expression de s, (8 £2) est aussi une somme analogue
mais complexe, et l'expression de £2(S£]) en est la conjuguée. Si l'on prend les valeurs des inconnues e et rn sous la forme
£-1- 8e -+- ô^s -f-. . . . ru -t- 8cj -+- 0"^7iT H-. . . .
ou bien celles de e costu et e sincj sous la forme
£ COSTJJ -4- Ô(£ COSnï) -t- 02(£ COSTTj) -|- . . . , S sin 73 + 8 ( £ sill TO J H- ^- ( = si 11 777)-+-.. .
les constantes e et rs correspondant aux constantes e, et e-, par les relations 2 e, = ze~'^, 2£2= £<?'^, op a immédiatement pour les parties de ô£, £ orn, ^(ecosnj), ô(£sinTO), qui proviennent de l'action de la planète M', les développements trigonométriques réels non symétriques
^i = - (I. C cosw — «XC'sin w' ), £ ÔT5T = -( EC sinw -i- /SC cosw'), ô( i cosnT ) = - [ S G cos( w -H Tn) — <SC' sin (a)'-4- ni)|. 8(£sin7n)= -[SCsin(to-+-iTT)H- fS C cos( w'-i- nr)].
On peut répéter la même chose sur les éléments y, &, ycosO, ysinO, en partant du développement de yi(oy2)-
99. Il n'j a aucune difficulté dans ce qui précède : pour en montrer une application simple, cherchons les perturbations indépendantes de a', en ne dépassant pas le premier degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
En raison de l'abaissement de degré qui se produit quand on passe dun terme A de la fonction perturbatrice au terme correspondant (le os, (lu 0Î2. oy, ou oya. il faut prendre, en profitant des résultats
CALCUL EFFECTIF DES PERTURBATIONS DES ELEMENTS. i.-
du n"91.
i ( y I X2 -f- y I À-2 ) 6 ? ^ ( Yi y', X2 ^ Y2 ï 2 X~- ) '>ï ;
contorménieiil à une observation faite à la fin du n" 90, les
nombres \)^h'\ qui figurent ici n'ont pas besoin d'être corrigés en raison de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice ; el
c'est ce que rend encore évident la présence du facteur ^ D dans
lous les coefficients symboliques de h\.
Il vient alors pour les perturbations séculaires :
Oc2 = ]i! nit\tib'\ — s'j b\) ,
SY2= ^t'«tV(Y2 — Y2)&)»
et pour les perturbations périodiques, en confondant encore n avec v :
^ |jL'(H,X-i-£a-i)(— 3-+-6D)65+ \i:{t\\ -+- £;X~')(9 - <>D)6«,
o(jV)=:,u'(£,a-c2X-1)('— ^ + Dh- \\'>'\bl -f- [jiï £', X - £', X-i ) ( 6 -+- 2 D — 4 Dî ) 6f ,
On voit que les termes qui dépendent des inclinaisons disparaissent
(juand on fait l'hypothèse y, =: y'j, y2=y2 '• c'est un tait général, car si les plans des orbites osculatrices de deux planètes sont confondus à un certain instant, ils le seront toujours, du moins tant que l'on ne tiendra compte que de leurs actions mutuelles.
Cherchons encore l'expression générale des inégalités de degré zéro par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, qui dépendent de X'. Elles correspondent à
SA = SàO/-
X (2s ^- i — dW C2X-* (— 5.5 + ^ - 1>)1 6.?-
l'indice s prenant toutes les valeurs entières non nulles.
Confondant toujours n avec v, n' avec v', et faisant pour abréger
il en résulte immédiatement
2* hD -j.s -h D
