I :- "iwi H — w^ ) Q

Ik€; (^02 — I — -^ m — - mA z= (

àF

). ( /? — I — /n ) (y 1 Dyj + y., Dr/ i

-mî(y,gû-î — y,/>02)

dF \ à ôq ^ ' dp ) dz'

dF di- \ dV

bien entendu, dans les équations (A) et (A) tîgurenl des constantes inconnues, provenant des quadratures indiquées.

Telles sont les équations qui vont nous servir dorénavant; nous

appellerons (A) V équation de Laplace^ en raison du grand usage

tu'en a fait constamment l'auteur de la Mécanique Céleste; nous

ivons déjà rencontrée précédemment sous des formes équivalentes.

Ee n'est que dans quelques cas exceptionnels que nous la remplace-

ms par l'équation (A') qui nous sera généralement inutile.

Pour la détermination de la latitude, nous userons de l'équation (C)

it que son emploi sera plus simple que celui de (C).

La parallaxe p est obtenue directement; pour avoir enfin les

|;pressions de la longitude et d<; la latitude, nous partirons des for-

lules

sliX cil T = (i + pjr,, sha = (i -4- p )z,

li nous donneront

Les calculs et les développements en séries exiges pour l'applicam des équations (A), (A'), (B), (C), (C), (D), (E), (F), (G) sont

relativement simples et faciles; l'emploi direct de la parallaxe diminue sensiblement les calculs superflus, et un grand avantage résulte du fait qu'au second membre de l'équation (13) le coefficient

de I + 2 m -\ — m2 ne contient ])as de termes du second degré par

rapport aux inconnues : mais c'est l'expérience seule qui peut permettre de se rendre un compte exact de ces divers avantages.

Il est nécessaire de procéder par approximations successives pour la détermination des dilFérenls coefficients p„ t, ç,,^, 'r\„ic ou z-„^k qui correspondent à un monôme donné M,; ; il n'j a là aucun inconvénient au point de vue du calcul analytique, mais au point de vue du calcul numérique, c'est un grand désavantage, qui, à la vérité, se trouve notablement atténué si l'on prend comme premières valeurs approchées des inconnues celles qui résultent de leur détermination analytique préalable.

A.U surplus, pour être assuré d'éviter toute erreur, le mieux serait d'employer à la fois la présente méthode et celle du Chapitre précédent; et dans ce cas Tinconvénient que nous venons de signaler disparaîtrait entièrement, puisque l'on serait amené seulement à vérifier les valeurs numériques déjà obtenues directement.

133. Nous nous bornerons dans ce qui suit à donner les résultats analytiques dûment vérifiés, que l'on oi)lient en faisant usage des équations précédentes, et nous les accompagnerons seulement des quelques observations essentielles qui s'imposeront chemin faisant. Nous porterons comme précédemment l'approximation jusqu'aux quantités du cinquième ordre inclusivement par rapport aux paramétres m, £, V, e', a, en considérant toutefois ce dernier comme du second ordre, en raison de son extrême petitesse.

Nous donnerons aussi, d'après M.-Brovvn, les valeurs numériques des inégalités correspondantes des coordonnées polaires, en nous bornant à l'approximation de la demi-seconde d'arc pour la longitude et la latitude, et à celle du demi-dixième de seconde pour la parallaxe, ainsi que nous l'avons déjà fait.

De cette façon nous aurons fait comprendre suffisamment ce qu'est la théorie de la Lune, et la somme de travail qu'elle exige oour être amenée à son complet développement. En même temps, nous nous rendrons un compte exact des diverses difficultés que l'on peut

rencontrer, et nous serons assurés qu'il suffit d'au<i;uienter le degré d'approximation des calculs, sans rien changer aux méthodes, et sans être amené à de nouveaux effbrts démesurés, pour obtenir telle exactitude que l'on pourra désirer. Enfin, nous serons en possession d'un résultat concret, et c'est là une occasion trop rare dans l'étude générale de la Mécanique Céleste pour ne pas s'empresser de la saisir.

Nous allons déterminer dans ce Chapitre les inégalités qui ne dépendent que de l'excentricité t et de l'inclinaison ", c'est-à-dire celles qui correspondent aux monômes

M, =£ï, •'Mo — ^î ^-1)

'^I-.o= TîY-1-1»

iVl5.= Y?Y-i£T,

iMn=Yi> M 13= Yi^i- Mu= Yis i,

Miô=Y.s?,

l'iio = Y' ^1 - -I) Mn=- Yi-i, Mi8=Yi^^ iV'i9= Yi^i=-i> M2o= Yi^i^-i.

M2i = Yi^-n Mj.2= Yi-Î.

M2j= Yi^î^-i.

Mi5= Yi^i^-i.

M56= YÎ^'J •VI .5 7= Yl E-1,

M,8=Y?Y-n M39=YÏY iM

M(io = YÎY-i'-J'

M6i = YÏY-|.

iVIii.> = YîY'i^i;

M27=Yï, ^28= YÏ^l.

M29= YÏ'-i.

M3o=Yî^n M3.= Y?M-^-i,

M32 = Yî'^l.

lM3v = YÎ=î-i, M3.= YÎ^.^^,

M36=ïï£l,,

^^137= YiT-i.

M3s= YiY-i^i- M39= YiY-i^î.

^4 0= YiY-i^«'-i.

M4, = YiY-i^M lVl4î= YiY-i^'î'^-i;

^^(i3=Yf.

M,;i=yi'Y-i,

Mo5=yiy'i ;

et à leurs conjugués; les nioiionies M3, Mg, M37, M.,„, Mo,, marqués d'un astérisque sont conjugués d'eux-mêmes.

Dans cette détermination, la fonction F n'intervient en aucune façon.

Les bases du calcul sont les résultats obtenus aux deux Chapitres précédents relativement aux monômes Mo = i, M, etMio; transcrivons seulemeat ceux qui se Irouvent modifiés en raison du changement de k, de la nouvelle définition de ^ et p, et de la nouvelle notation adoptée pour le monôme y,. On a

ni' — -^— . nv ■1" .i

-1^0= I H T in^ -[ ni* -4- ... ;

les autres coefficients :;, a et les a-, ^ sont rem|)lacés par J,j /,, O'ia/- 13 i. M, rnis;. On trouve :

I io5

;2,2 = -4rn^-^ -r, '"'S

iO'>."i7 ., 45 257 , 171 185

»i- ■+- — - ni\ v>.3