S ^^ '^^-^^ A-'8£2= ^^ SB
Ji^ s — p 5 -t- ji
Pour nous rendre vin compte plus exact des réalités du problème, supposons que les planètes M et M' soient respectivement Jupiter et Saturne, et donnons aux lettres leurs valeurs numériques, d'après Le Verrier (Annales de l'Observatoire de Paris, t. K).
Les unités sont l'unité astronomique de longueur déjà définie, la
masse du Soleil, et l'année julienne de 365,25 jours solaires moyens ;
l'époque est i85o,o. On a
loSo 35 12
n = V = io9'256",72, n' = v' = 43996", i3,
a = [o.-iGciSeg], a'= [0,9794961], a == [1,73674 1, ;.i'= [4,02137];
d'où
de plus
La valeur de a conduit d'abord aux résultats suivants, complétés
plus loin
hl = [7,9o586], h\ = [T,36o3o|, b\ = [1,80749],
1)62= fr,752i5], D6]f = [T,6i637l, 65 = [7,62291],
D^ bt={l, g i5çi/i], D^ôf = [T,97io;}J.
Mais'les coefficients D''b\ doivent être corrigés comme l'on sait,
pour tenir compte de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice ; pour l'action de Saturne sur Jupiter, ils deviennent :
6f=[â, 44460], 1)4- [T,o4644], D26|=[î,6833îi]; et pour l'action de Jupiter sur Saturne, ils sont :
4= [o,oo5i8— ], D62^ [0,35703], 1)2 6Y= [0,26889 — J.
On obtient alors pour les inégalités du mouvement de Jupiter calculées ci-dessus, et indépendantes de /' :
on = o",54 cos(/ — 7ÎT ; — o", 27 cosi / — m'),
ol = — ;",48i^H- 2",85sin(/ — tct) — 1", 87sin(/ — m),
OÔ = — o", 2697/ Sitl( 777 — Tîj') — 7", 06 C09( / ro)
0"0I COS(2/ — 2TO ) — o",09 cos(2Z TO — m),
S07TT = ()",3554^ — o",i697^ cos(Tn — rn') — 7'',o6 sin(/ — w)
— o", 01 sin(vi / — -XTJS ) — o", 09 si 11 ( 2/ — to — tjt ),
Sy = o", iio'it sinfO — 0' ) -H o", 16 cos(2/ — 2 0 ^ — o",3o cos(2/ — 6 — 0'),
Y oO = — o", 1686^ -I- o",3'ïo3/ cos(6 — 6') h- o", i6sin('2Z — 9,0)
— o", 3o si II ( '>, / — 6 — 0' j.
Et pour les autres inégalités déterminées précédemment, on a, en ne dépassant pas 5 pour la valeur absolue de .v,
on — — 6",42cos(/ — /') — 21", 95 cos2(/ — l' ) — 10", o5 co8 3(/ — /')
— 4", 82 cos 4 ( / — /') — 2", 37 cos 5 ( / — /'),
0/ = — 48", 54sin(/ — '') — 66", 99 si n 2(7 — /') — 24, 76 sin3(/ — /')
— 1 o", 44 sin 4 ( / — /' ) — 4", 7 r si n 5 ( / — /' ),
3o CHAPITRE XV.
0^ / fi t cos ^,. , . „ „ cos . , , ,,
^ ;=-+-o,52 . (()/ — 3/ — Tn)-l-o, Q7 . (3/ — 4< — ro) e 8t;it ^ sin ' '^' sin
„ cos , cos
-1-1,79 . (4/ — 3/' — ?n)-i-3, 12 . (3/ — 2/ — nr) "•^ sin ^ ' sin ^
— i". i3 (xl—V— ro) - i6",47 (/'- th) sin sui
-(-i3f',35*^!'%9./'-/-ra) + 9/>.".32^°'(3/'— 2/ nr^ sin sin
-^ S', 07 ( -; /' — 3 / - m) -+- 3", 45 (5 /'— 4 / — Tîj). sin sin
Si l'on veut, conservant les mêmes notations, avoir les résultats analogues pour Saturne, il faut remplacer le facteur ja' par ix = [4,80929 ) , permuter les lettres accentuées et celles non accentuées, et changer le signe de D : on a ainsi d'abord
on' = — 9", 'l'i cos( /' — tu'; -i- (1", 'v>. cos( /' — ro ). 8/'= 109", 8/ -t- I r, 91 siii(/' — ro') — 20", 48 sin( /'— m ), Oc' = — o", 5741 ^ sin (ct' — rn) H- •-• )7", 4 2 cosi' V — m' )
-I- if)", Xo cos (91 /' — 2to' ) — 1 l",o6 COS( 9/' — TO — ro' ),
j' ôrïT'= r'.oi94^ — o",574i ^ cos( rrr' — m) -+- -rjj" , ^:>. sin(/'— m' ) -+- iG", 80 siiK V /' — '>.m' ) — I i", 06 sin (2/ — tït — m' ,>,
o-(' = o", 4i66< sin (0'— 6) -I- i",86 cos(2 /' — ^.O'j — o",g8 cos('?J'— 0 — 0'),
y' ôf)'= — o", 79i5< -I- o",4 i66< cos (6' — 0 )
-t- 1". 86 sin (9./'— -26') — o", 98 sin (9./'— 6 — 6\);
puis encore
on' = — ^ 9,3?.", 18 cos(/ —/')-+- 91", 84 cos9(/ — /' ) -+- io",oocos3(/ — /')
-I- 4", 80 cos 4 (/ — /' ) -+- 9", 3G cos 5 ( /—/'}.
ol' = 534'',87sin(/ — /'; -h 148', 47 sin ■2(/ — /'j -H 'i5",97 sin 3(/ — /') -f- 9,3", 91 sin4(/ — ^' ) -+- "»"7 9i sin 5 (/ — /' 1,
CALCUL EFFECTIF DES PERTURBATIONS DES][ÉLÉMENTS. 3l
Se' / „ „ cos . , , ,, ,, „ oos , ., ,, ,
,^ , =— I,l8 . O/ — 4/'— TJT )— > , M . (4/— {/— TTI)
s' Sci ] sin ' sm
- 3", 49 ''°' ( 3 ^ - •>. ^' - ra' ) - 4" , ■i'a ''.''' ( •>- ^- ^' - "ï' )
' ^ sin ^ sin
+ 4ob, 18 . (/ — T7i) + i4o,i5 . {■2.1 — l~m) sin ^ sin
- <)r,46 ''.°' (3/'- W - nr') - 3',",8i '':''(4/'-3/ - r^r') • sin ' sin
-iô',07 (5/'- 4/ — "t') — 6",9C) . (6/'— 5/ -7^'). ' '^ sin ^ '^'sin ^
Il est nécessaire d'accorder une attention spéciale aux inégalités à longue période. Si nous revenons à l'exemple précédent de Jupiter
;t Saturne, commençons par réduire le rapport - en fraction continue,
soit
la grandeur du quotient incomplet i4 nous montre que la réduite
)récédente, soit -j doit différer très peu de -,j et en effet on a
tSv' — 2v =: i4<J7 , 21 ; nous aurons donc des inégalités à longue ^période correspondant à l'argument 5/' — 2/; cette période est de 883 ans environ. Les termes de la fonction perturbatrice qui dépendent de cet argument sont au moins du troisième degré par ^rapport aux excentricités et aux inclinaisons : malgré cela, les inégalités correspondantes deviennent considérables, comme nous allons le voir.
La première réduite du développement de ~ est 2 : il en résul-
era seulement, la différence v — ^>v' étant 21 264", que les inégalités qui dépendent de l'argument / — 2/' seront augmentées, sans devenir rès grandes.
I>a troisième réduite est 1 it les inégalités correspondantes
seraient encore à très longue période : mais les termes qui dépendent de l'argument -2I' — 29/ sont, dans la fonction perturbatrice, du 43' degré au moins par rapport aux excentricités et aux
inclinaisons, ce qui les rend cotnplèlemeuL insensibles. Si cependant la différence 72V' — igy était suffisamment petite, ou bien encore si les excentricités et les inclinaisons avaient des valeurs plus considérables, les inégalités correspondantes pourraient devenir grandes : il est vrai, mais alors on devrait développer le sinus et le cosinus de j2/' — 29/ suivant les puissances du temps, et l'on obtiendrait en réalité des inégalités séculaires d'un type nouveau, entièrement négligeables pendant un espace de temps suffisamment grand.
Ces réflexions s'appliquent à tous les cas semblables : en particulier, elles montrent qu'il n'y aura jamais lieu de prendre en considération plus d'un argument à vraiment longue période, quand on envisage seulement l'action mutuelle de deux planètes : mais il pourra se présenter plusieurs arguments à période assez longue, dont il faudra tenir compte avec beaucoup de soin. C'est ainsi que dans le cas de Jupiter et Saturne, outre l'argument / — 2 /' déjà signalé, il conviendra de s'attacher aux arguments 3/' — /, 7/' — 3/, . . . qui résultent de la combinaison linéaire de / — 2 /' et 5 /' — 2 /.
Il est d'ailleurs sous-entendu, par la nature même de la question, que la longueur d'une période doit être appréciée par rapport aux durées de révolution des planètes envisagées.
Déterminons effectivement les parties principales des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, c'est-à-dire des inégalités qui dépendent de l'argument 5/' — ^2/; en laissant de côté les termes qui contiennent les inclinaisons, beaucoup plus petits que ceux qui ne contiennent que les excentricités, on doit prendre, d'après le n"91,
SA = >-2X'sa»oef-4- J',£2£;-H l'^e.s'i^-V l'as?) +■ • -,
les termes qui manquent étant les conjugués de ceux qui sont écrits, et l'on a
îj5z^^o.i-,.^£!)4.
■'^'' «"„+!^D2+£!Ui
La valeur de a donne
•^2 = [-ijOy^S;], hl = [i, 03945], bf = ['i,3209.3J, bè = [5,01259],
Dè|=[î,43i79], D^|= [T,o.2 585], DZ>| = [1,00778], Diî= [5,78i8j],
D2^,|= [T, 93253], D2 6f= [T, 84020], D''Z>|= [7,71372], D^ bl = [1 ,56^i3],
D-*&| = [o,5ii4o], D36|=: [0,49911], D3èJ- = [0,44784], D3è3 = [o,365Go],
Di6| = [1,19706], Di<^|= [1,22327], D''6|= [1,22344], 1J^(^| = [1,1 9493],
sorte que
l'0= [0,53620-], Pi ='[1.23482], P,= [1,45339-], P3= [1,19034],
DPo= [1,32877-], DPi= [1,95225], DP, = [2,08008— ], DP3= [1,70257]. En posant
0) 1 = 5 /' — 2 / 3 TO, (Uo = 5 r — 2 / 2 T7I TTj',
11)3= 5/' — -il — m — 2r3', Wi = 5 Z' — 2/ — 3w',
WÊÊÊ
<5n^^aemiit sans peine pour Jupiter
(in = — o", 99 cos wi -H 5", 74 cos C02 — 1 1",02 cosw3-f- 6", 98 cos «4,
0/ = — i3G",o sin(«Ji-4- 791", 3 sin CO2 — i52'|",5 sia W3 + 9G8", 9 sinwi,
^^ } If -1/. CX)S ,,, „,cos ,, „^cos
^ [= — I9,J(' • ^1+74,84 . 0)2—71,85 . C03; î ons \ sia sm sin
et pour Saturne
on' = 2", 46 coswi — i4",27 cosoJaH- 27", 40COSOJ3 — 17", 3G cos a»;,
01'= 335", G irinoji — 1953", o sin «2-4- 3762", 6 sin C03 — 2391", 3 sinco;,
•î^' ) „ ,.,. ces .„ cos „ „„cos
/ ■^ ' I* = 79 ,GG . w-, — 3oj ,90 . W3+ 290 ,6j . Wi. î om \ '-^ ' SU! '-'sin ^ ' sin *
Ces résultats rendent suffisamment manifeste l'influence des petits viseurs. Ils permettront encore de vérifier l'observation suivante. Si un terme A de la forme indiquée précédemment est commun aux <liMix fonctions perturbatrices qui déterminent l'action de M sur M'
ANUOYER 3
(Il
et celle de M' sur M, les formules (2) montrent que les parties principales des inégalités correspondantes 0/?, 0/?', oîo, ^£'2' ^Ts» ^t'î ^on\ dans des rapports simples qu'il est supei^llu de préciser davantage. Il n'en est pas de même pour les parties principales de 0/ et de ol ; si u désigne le coefficient analogue à tx', mais relatif à l'action de M sur M', et si P est le degré total de A par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, on a, en confondant encore n avec v, n' avec v' :
o{il') ■-
( sv -h s'V y-
y DA
SV -r s'V
v'DA
