V -f- 5 V av'A
et par suite
o(t7) ^ 8(7/'j (P — ■>.)A |j.'v [iv' S'/ -+- s'v'
OU encore, d'après la valeur de on :
64/i o{il )
si P ::=: 2, On a douc exactement
si maintenant les inégalités considérées sont à longue période, ceth même relation a encore lieu quel que soit P, mais seulement d'une
façon approchée, car le rapport , ..est évidemment fort petit dans
ce cas; plus exactement, puisqu'on raison de la petitesse du divisent 5v + 5'v', la partie la plus importante de o{il) est de beaucoup celle qui dépend du carré de ce diviseur, on a sensiblement
/i o{il ) V
et par siiiie, d'une façon très approchée,
ol
100. La détermination théorique des perturbations d'ordre supé-
CALCUL EFFECTIF DES PERTURBATIONS DES ELEMENTS. oj
rieur ne saurait offrir aucune difiiculté; pratiquement, c'est une opération complexe et délicate, même en se bornant aux termes en iKmibre limité qui peuvent acquérir une influence sensible ; elle ne peut (■Ire entreprise que systématiquement, et nous devons nous borner à juelques indications sommaii^es relativement au calcul des perturbations du second ordre; si l'on voulait aller encore au delà, à part quelques termes faciles à mettre en évidence en s'inspirant de ce qui . va suivre, les difficultés d'ordre pratique deviendraient rapidement
Kurmontables, et il n'y a pas lieu de s'y arrêter davanta<ie, 3'après les équations (i), un terme quelconque des dérivées t-t ,
'J{if) dti dt^ . ^ , ^
^ n, -.--ri T-r t ... se présente sous la lorme
i dt ^ idt idt ^ ■
A = ;jl' nk B X-' X'^' s''' -J!,'zP\ ^f y',, y'^"^ y';-; y'.f ^^ ,
l'exposant k étant i, sauf dans l'expression de -r-r-i où il. est 2, et B étant une fonction du rapport a.
Si donc on fait A/z = /i" H- o/i , A/ ==(;?'* -f- v") /^ +/" + 0/, As, = £^ + oe,, ..., la partie du second ordre de A sera évidemment
if// 1 '*■ .^\ A«. / 1 a ,-\ A«' • , .,,
,.,..,, As, A:. , Ay;,"!
d'après la façon dont ;a.', «, a dépendent de n et n \ la caractéristique D s'applique d'ailleurs seulement à la fonction B de a, et nous rappelons qu'on suppose implicitement a<[ a\ le s'v^ne, de D devant (Hre changé dans le cas contraire. Il n'y a plus (pi'à développer les (liflérents termes de ces expressions, et à les intégrer comme précédemment, pour avoir les perturbations du second ordre; en particulier, pour obtenir 5-(f7), il faudra faire la double intégration des
Il 1 - • - d(o^n) Icrnies de la dérivée —V-; — ^• idt
Dans ces calculs, il faudra porter l'attention principalement sur les irrines séculaires et sur les termes susceptibles de croître par l'intéi:r;ition.
( )n voit bien maintenant pounjuoi il est non seulement convenable, mais encore avantageux, que les expressions de A(f/), A(/7') ne
contiennent aucun terme en t ; car de cette façon on évite dans l'expression (3) l'introduction de nombreux termes séculaires et mixtes.
On voit aussi que pour tenir compte des parties constantes de A/i, A/, Asi, . . ., il suffira de remplacer dans les expressions analytiques de on, ô/, 0£j, ... les quantités n, /, Sj, . . . par n-h/i", l+l*^, £i4- e',', . . . ainsi qu'il est évident a priori^ et il sera par suite convenable que les constantes «", /«, e^, . . . soient en fait aussi petites que possible, ainsi que nous l'avons déjà dit. De ces observations, il résulte que nous pouvons, dans ce qui suit, faire abstraction de ces constantes, en même temps cpie supposer les accroissements A/, A/' réduits à leurs parties périodiques.
11 ne faut pas oublier d'ailleurs que An, par exemple, se compose des perturbations de M dues à l'action de toutes les autres planètes, et non seulement à celle de M', de sorte que, parmi les perturbations du second ordre, il s'en trouvera qui dépendent de trois arguments tels que /, /', /" : c'est ainsi que le moyen mouvement sidéral annuel d'Uranus étant 1 5424', 8, si /, /', /" représentent respectivement les longitudes moyennes de Jupiter, Saturne, Uranus, l'argument 6/' — 2 / — 3 Z" devra être considéré particulièrement comme étant à très longue période, puisque le coefficient du temps y est seulement — 8i i".
Envisageons spécialement l'effet des termes séculaires de As,, Ac.j, . . . sur les perturbations du second ordre. Si nous représentons ces termes par -/], it^ rjo it^ . . ., l'expression (3) devient, en ne tenant compte pour l'écriture que de Tj, iY,
7^1 A -fil
et si l'on a d'a])ord 5 = .?' = o, il en résulte pour l'élément correspondant il, ou £j, ou £o, . . . (ce cas ne peut se présenter pour /«), la perturbation séculaire de rang deux
Dans le cas contraire, on a un terme mixte et un terme périodique, savoir
P\ t^r^y [ il I
OU bien
/>! Ar,, r it 1 "I
suivant que l'on doit exécuter une intégration simple ou double; mais dans l'un ou l'autre de ces cas, on voit que pour obtenir la partie mixte il suffit de remplacer dans les expressions analytiques de ô/î, 5/, ... les quantités Si, So, • • • P^r Si H-r,i it^ £2 + 'fri^t^ ....
(}uand on prend dans l'expression (3) les parties de Aaï, S.ii\ . . . qui dépendent de l'argument A~^ )/"^', on obtiendi^a un terme constant ' qui produira une inégalité séculaire de rang un dans les éléments î7, £1, Eo? • • • dans ii, ces diverses inégalités séculaires devront disparaître, d'après le théorème de Poisson.
Supposons encore que l'on prenne dans (3) les parties de A/«, A/i', . . . qui dépendent d'un argument à longue période; dans ce cas, on pourra le plus souvent se borner à la considération des inégalités de A (il), A (il'), qui sont de l)eaucoup les plus importantes, et si le petit diviseur qui correspond à cet argument est négligeable par rapport au diviseur 5V-|-5'v', tout se passe évidemment comme si dans les expressions de un, 3/, . . ., on augmentait simplement les arguments //, ii de leurs perturbations du premier ordre à longue période : mais ce n'est là qu'une approximation, qui n'est pas toujours suffisante.
Dans l'exemj)Ie traité précédemment des perturbations dues à l'action mutuelle de Jupiter et de Saturne, nous avons pris pour v et v', ainsi qu'on doit toujours le faire, les moyens mouvements sidéraux des deux planètes, tels qu'ils résultent des observations. Nous avons fait de plus n = v, n' = v', c'est-à-dire v" = v'** = o; il faudra donc commencer par tenir compte des constantes n'^, n'^, choisies de telle façon que A/, A/', n'aient pas de termes en t, et par suite, en néglii^cant les actions très petites dues aux autres planètes, ainsi qu'aux excentricités et aux inclinaisons, prendre en nombres ronds /i°= 7", 5, Ai'o = — 1 10". En réalité, il aurait mieux valu commencer par déterminer directement les parties principales des inégalités séculaires de i.nig un de / et de /' dues à l'action des diverses planètes, en appliquant les formules simples rapportées au numéro précédent; prenant ' alors les différences v", v'*' égales et de signes contraires aux coefficients <1<' t dans ces inégalités, et faisant le calcul des coefficients de Laplace
avec les valeurs n, n ou a, a correspondantes, l'influence des nouvelles constantes /i'', n'^ rencontrées par la suite serait devenue insensible.
Il serait encore bien préférable de pouvoir éviter l'emploi de la constante v**, tout en rendant insensible l'influence de «", car de cette façon on pourrait confondre exactement ai avec v. Pour répondre à ce desideratum, il suffit d'employer l'artifice suivant, qui présente en même temps plusieurs autres avantages. Assujettissons les éléments variables a et/?, aussi bien que les constantes désignées par ces mêmes lettres au n" 98, à vérifier non plus la relation n-a'*^f(i-\-m). mais une relation voisine n-a^=k'^, telle que l'on ait
la constante x étant choisie provisoirement d'une façon arl^itraire, de l'ordre des forces perturbatrices : cette façon de faire est légitime à
la condition évidente d'augmenter la fonction perturbatrice V de-^-
Rien ne sera changé alors aux calculs précédents, sauf que le facteur ul' devra être multiplié par i + x, et que la fonction 2 A devra être
augmentée de ; — ; -? p. ayant ici sa nouvelle valeur.
On a d'ailleurs
- = H- £iX-t- £jX-l-+- 2£TX2-^ '2£-;À-2-+-. . .,
et comme nous le savons, cette expression ne contient aucun terme indépendant de X autre que le premier, i .
Les parties principales des inégalités du premier ordre qui proviennent de cette fonction perturbatrice supplémentaire pour le mouvement de M se calculent immédiatement et sont :
— -3y.(£,), u SjX-l) — (ix(£7X2-t-£2X—ij -H. . .^
8(l7) = ixnit— -(£,X — EjX-l) 4-0.7.(£2X2— £2)-2) -4-. . ,^ Ô£l=^>^-'-+->'.£2X-2-4-..., g£2= -X-+--/.-iX2-h....
Si donc on veut prendre n = v, c'est-à-dire v» = o, et cependant faire disparaître la partie principale de l'inégalité séculaire de la Ion-
uiliide /, de façon que la constante n^ devienne extrêmement petite,
il suffira, d'après le n'* 99, de choisir
± ■/. = (Ji'(— n- 2D) 65;
ou plutôt, la constante x sera égale à la somme de tous les termes analogues provenant de l'action des diverses planètes; dans ces conditions, le demi-grand axe a qui sert à calculer les coefficients de Laplace sera déterminé par la formvile
de sorte que si l'on appelle «0 celui qui résulterait de la relation on a, avec une exactitude suffisante en général,
a = ao \ i— - ) = cto
la sommation étant étendue aux diverses planètes M'.
Eu supposant que l'on procède de cette façon, cherchons les expressions définitives des parties principales des inégalités périodiques du premier ordre du mouvement de M qui proviennent de l'action de la planète M', et qui ne dépendent que de A, ej, £2) complétant d'abord d'une façon immédiate les résultats du numéro prétçédent, par l'addition des deux termes
aux valeurs de — et 0 (il) respectivement, il vient maintenant
4o CHAPITRE XV.
o{il) = [ji'(£,X — e2X-'j(— H-4R-)^o
■ = 4a'(£.X - ,,l-^)ly\+ix'{^\\'^ - EiX-2) (l - d) 4,
On a donc encore l'avantage d'une simplicité beaucoup plus grande dans ces expressions; en particulier les termes en AetA"* ont disparu
des valeurs de ■ — ? ot,, oso.
\0\ . Connaissant à un instant donné les perturbations des éléments el par suite les éléments eux-mêmes d'une planète M, les coordonnées héliocentriques de cette planète s'en déduisent immédiatement. Mais, le plus souvent, on trouve avantage à calculer directement ces coordonnées sans passer par les valeurs des éléments osculateurs; pour obtenir les formules correspondantes, il suffira de porter ces valeurs dans les expressions képlériennes des coordonnées.
Donnons d'abord quelques indications sur les développements analytiques auxquels on est ainsi conduit.
D'après le n" 82, on a
logr= loga — (eiX-t-eaX-i) — ~ (e'^I^-^ sV-'-) -^ si^^
+ y (sîX3,^X-3)-(efe,X-E,eiX-i) -+-...;
les perturbations de log/- et de îi> en résultent immédiatement. Remplaçant comme ci-dessus //, t,, . . . par fV-f- A(//), £,+ A e,, . . .
log /•, /r, par log z' + o (log/) + . . ., iV + ^(à') 4- . . ., sans qu'il soit nùcessairc d'insister une fois de plus sur le sens précis des notations, on a pour les perturbations du premier ordre en particulier
8(log/-) = - ^ ^ - A(tY) [-{1,1 - £,À-') - 3(Ef X-''- zll-^) +. . .]
4 X As, /'- I — 3 £, ). -+- Ej X-i — :^ £| X2 + 3 £i £, -H ^ si >-2 -4- . . . ")
-I- )-> Aï, (,— 14-£iX — 3soX-J-+- ^£?X2+3£i£2— -^£^X-2^..
0(«V) = A(f7)[H- •2(£iX-+-£2X-')-+- 5(87X2-1- £2 ) -2) +- . . . J
-+- X A£i(-2 + àïiX -I- l3 EjX" 2£i£2-+- e^X-^-)-. . .)
le retour à la forme réelle est immédiat.
On aperçoit alors sans peine le fait suivant : si l'on veut obtenir les expressions de o(log/') et o(t r) jusqu'aux termes inclus qui sont du troisième degré, par exemple, par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, il est nécessaire d'avoir les valeurs de A/i, A(i7), Asi, Aso, avec la même approximation; et pour atteindre ce résultat, il faudra prendre dans la fonction perturbatrice non seulement tous les termes jusqu'au troisième degré, mais encore les termes du quatrième degré qui dépendent de £( ou to] et cela en raison de l'abaissement de degré déjà signalé qui se produit quand on passe d'un terme de la fonction perturbatrice au terme correspondant de Asi ou Aso. C'est là un assez grave défaut de la méthode de la variation des constantes, car en réalilé, comme nous le verrons bientôt, le développement de la fonction perturbatrice jusqu'aux termes du troisième degré, par exemple, est nécessaire et suffisant pour fournir les perturbations des coordonnées r et i' jusqu'au même degré.
L'effet des constantes /i'>, /**, e", £°, sur ô(log /*) et o(iV), est en évidence. Cherchons maintenant celui des perturbations dues à l'action de la planète M' et déterminées au n" 99. Comme 8Z doit être réduit à sa partie périodique, on a d'abord pour l'effet des perturbations séculaires de Sj, £27 6n portant l'approximation jusqu'au
second degré par rapport aux excentricités,
-t-3(ElX'--=U-2)6f
1 il
0(jV) = [Jl'/i/4— 2(£l>^ ~ SoX-l) 6f ■+- 2(£i A 4- £^-2) bl
Tenant compte maintenant des perturbations périodiques indépendantes de a', sans dépasser le premier degré par rapport aux excentricités, on a pour compléter les expressions précédentes
8(logr) = iJi'(-i-+-2D)4-t-I^'(^iX + e2X-»)(^g-- ^D^j b^ H- .jt'(E', X + £;X-i) (^ +îD + -^j b-\, 8(if.)=fjL'(E,X-z,X-')(^-|| + 302^4
+ pi'( £', X s; X-i ) ( ^ - 2 D - 3 D^) 4-
Si l'on use de l'artifice indiqué à la fin du numéro précédent, on vérifie sans peine qu'il faut simplement ajouter — x à la valeur précédente de logr; ce fait serait d'ailleurs facile à justifier a priori^ en observant que le mouvement que l'on obtient en tenant compte de la constante quelconque x, mais en négligeant l'action de la planète M', doit nécessairement être lui-même un mouvement képlérien.
Prenant, comme nous l'avons dit,
pour la partie de x qui provient de l'action de M', on voit que finalement la partie constante principale de o (log /•) disparaît, ce qui constitue un nouvel avantage de cette façon de procéder.
On détermine souvent la constante e^ (et par suite sa conjuguée s") de façon que le coefficient total de a dans l'expression de iv reste égal à 2 £j, comme s'il n'y avait pas de perturbations; il faut alors prendre
OU plutôt, on a de cette façoA la partie de s" qui provient de l'action (le M'; le coefficient total de À dans l'expression de log /• devient
ors
tout cela, bien entendu, en négligeant les termes d'ordre et de degré supérieurs.
Si enfin nous cherchons les inégalités de logr et de iv qui dépendent de )/, mais sont de degré zéro par rapport aux excentricités, on trouve sans peine, avec les notations du n° 99,
On voit que ces expressions contiennent le facteur |îi-, tandis que les perturbations correspondantes des éléments renferment seulement le- facteur ^ : et il en sera de même d'une façon générale povir toxites les inégalités qui dépendent de X'. Cette observation nous permet de vérifier le fait suivant, évident a priori : supposons la planète M' très rapprochée du Soleil, c'est-à-dire le rapport — = a, très petit; la partie complémentaire de la fonction perturbatrice (dont tous les
termes dépendent de X) sera de l'ordre de a -, et d'après la valeur de p.', on voit que certains des coefficients B^ seront de l'ordre de a"^,
<i'est-à-dire très grands; mais le rapport [3 est lui-même de l'ordre
de—) c'est-à-dire de l'ordre de a-' : les inégalités des éléments sont n °
i donc grandes, de l'ordre de a ^, mais celles des coordonnées sont,
au contraire, très petites, de l'ordre de a.
Ilpi l'on fait tendre a vers zéro, on voit encore que b'o tendant
vers a^, le mouvement sera purement képlérien à la condition de prendre
