ni^ m^ — m ' m

na-^B àe -x^ 2* 2» ii»

-m^+ -4- m^ ) + yM -^ "^^ + —

9 , 789 ni"- — ~ /

I tJJ 3 33 , ■)i3 , ^.SS- . m' m^ — m* — — : — m''

na'-^^ dy 2^ 2'' 2* ■>.'•>

1 ()ii I 2711 ^ i43o3 ., 1 287091

0^2 drt" ~ 273 ~~ 2". 3 '"' "~ 2 '.3 "^ 212.3 "' *

I JJi 3()q ^ 2i()q 72(>87

di\ 85 , 5 , 5

na^c^-j à^ i'> 2'' 2*

I dJ2 I 145 „ ()G5 .. 28061

a^Y^ dn 2.3 2', 3 2'. 3 2'2.3

I 1627 ,\ „ / looi

I dJ., 1 679 . 43 , 35

na^z'(- de 2 2' 2^

I r^J. 3q . 23 1 . 5607 — ; r^ — — I -^ m^-\ /«•' fj-

Soit alors D le déterminant

ài ()l àl

an ()i d-{

àh àjj Oh

an ôz t^y

ôi., ()]. di^

an di 0^ on a inversement

y^àn ^^J, dJ» dl-i dJ, dn dj.» ô] di di-i

ûY ~ ~J7 ~J^ ~ HT ^ ^ Jfy ^ ir d^l ~ dï 'â^ '

et l'on obtient avec une exactitude qui pourrait être facilement augmentée :

.an . . „ . 2841 , a^ -— = — j — 6 m^ -+- 1 2 /n" H :— m*

— -^ /n2 £2 ^ ir: ,„î y2 ii „i2 £'2 .4. . ,

-rr = ^ m* -+- if m3 H ^ m*

yJ.) '2^ 1* -î.'

na^- = —

na^-z-~ = —

369 , •>-'ir)9 ,

- — ni^ -\ m^ Y- H r-

— £'-h —£-72 tT*-

na-^ - — =

£ ryj.>

:hï'

Y ôi

2 2^ lr

y dJ] 2 2^ l'^

ôy 3q „ ■.> 5 [ 0873

En se servant maintenant des relations telles que

d/ii dni à ri an y dt On y Of 'dï ^ ~dn dî '^ 11 ôî '^ Iff dî'

on vérifie d'abord facilement que l'on a

on 1 dn On ■> On

el l'on trouve encore, sans que nos données nous permettent une plus grande approximation,

"ôTi

On, dJ,

ni-^-

l^inalement, les coefficients des équations (6) sont

M = — 3 — Cu»- -h I 2ni^ H /»'* -^ /»-£^H — — ni-y-

EQUATIONS DONT DÉPENDENT LES PERTURBATIONS DE LA THÉORIE SOLAIRE. AyÇ)

„, I 3fi() „ •>.(()() ,, 28 1)3)

I iGf) \ 85 , , 3o;)

ni-

Les valeurs numériques de ces coefficienls s'obtiennent sans peine quand on connaît celles des dérivées partielles par rapport à /?, s, v, des fonctions J, J,, J2, /^i, «o. Les développements numériques de ces fonctions par rapport à z- et V- sont faciles à trouver comme nous l'avons déjà dit, si l'on a résolu numériquement le problème de la théorie solaire; mais il restera la diflicullé qui provient des dérivations par rapport à n. Pour les effectuer, il faudi-a passer par l'intermédiaire de séries ordonnées suivant les puissances de m, qu'il sera nécessaire de pousser quelquefois assez loin, en raison de leur peu de convergence; ou bien encore, il faudra faire usage, comme M. Brown, de procédés spéciaux assez peu simples, sur lesquels nous n'insisterons pas, car ils ne paraissent aucunement indispensables, si du moins on ne rejette pas complètement la solution analytique. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point à la (in du Chapitre suivant.

Quoi qu'il en soit, voici ces valeurs, avec wnc approxiuiation ([ui

28o CHAPITRE XXIV.

sera presque toujours suffisante :

M = — 3 , c)-.i8 . M' =: — 3 , 07.3 , M" = — 3,017, Ml = — 3 , 073, M'i = — 3 , 098, M", = — 3 ,037, M.2 = — 3,017, M'^ = — 3,o37, M; = — 3,009;

P =o,3i, P' =4-o,JM, P"= — 0,30,

Q = — o,5i, Q' = — 0,07, Ql' =-f- 0,497.

148. Pour en terminer avec l'application directe des théories du Chapitre II, nous pouvons dès maintenant traiter le problème des accélérations séculaires, ou, plus généralement, rechercher l'influence sur le mouvement de la Lune de la variation séculaire de l'excentricité e' de l'orbite solaire. Appelons t'^^t la partie séculaire proprement dite de rang un de cette excentricité : il est clair que pour en tenir compte, sans toutefois dépasser le premier ordre par rapport au coefficient très petit s'^, il faudra augmenter la fonction de forces U

d'une fonction perturbatrice R égale à e'^t r-r- Celte fonction se compose d'nne partie séculaire et de termes mixtes de rang un, c'està-dire de ternies purement périodiques multipliés par t; les équations (5) ou (6) montrent que ces derniers termes ne produiront dans les éléments de la théorie solaire de la Lune que des inégalités analogues ou purement périodiques, contenant toutes le très petit facteur s'^, et que nous laisserons de côté pour l'instant. Mais nous allons rechercher spécialement l'effet de la partie séculaire de la

fonction R, soit £„ M ^rr 1 •

Adressons-nous aux équations canoniques (5) : elles nous montrent d'abord que ce terme est sans effet sur J, J,, J^, et par suite sur les quantités /7, e, y qui en dépendent. En second lieu, nous voyons que les longitudes N, N(, Nj prennent des accroissements oN, olN,, oN^, que l'on peut mettre sous la forme

-Ù/lEf^t^l -Oniô^r-1 -0/12^0^ '

en faisant

<) /8U\ . ô /aux . ô /8U

ÉQUATIONS DONT DÉPENDENT LES PERTURBATIONS DE LA THÉORIE SOLAIRE. ïSl

Or, d'après la formule (i4) du n" H (4°), on a non seulement

dK dJ,

àK dl.>

mais aussi

11 s'ensuit que l'on peut écrire

O/li =

ârit

l'emploi des parenthèses indiquant que «, /i) , Ji-2 sont regardés comme fonctions de J, J,, J^, s'.

Si alors on revient aux expi^essions primitives de «,, n^ à l'aide de «, £, y, e', et que l'on marque sans parenthèses leurs dérivées partielles par rapport à s', on a évidemment

dn-i

dfii

an-,

i)n à] dn di \ d^ d7 '^ âTi 17

àn\ à] âni (JJi

à n, ai lï 5?

dn> àJi àîl 1?

dn dit àh 17^

dn\ dit dJT 17'

dn-i di , lit 17'

Il vient donc finalement

dn di dn di^ dn dit

^ dl dï' ~ JJT 1? ~ dîl II'''

dn\ dn\ di dn, di i dn^ di-i 17 ~ ~di dl'' dîT 17 ~dh IP'

dn-i d/it di dn-, di^ dnt di ,

17 ~ ~dï It "~ 1Ï7 17 ~~ ir, 17'

et ces formules résolvent complètement le problème : les coefficients -jr^ ' ' • sont connus par ce qui précède, et le calcul analytique

ou numérique des diverses dérivées par rapport à s' ne présente aucune difficulté.

On trouve en particulier, avec les données des deux paragraphes

■iSi CHAPITRE XXIV.

précédents :

\ 2-' 2' / \ oJ 2'

Ôrtj () ^ 7')3 ., o/?2 9 ., io>

En prenant le siècle julien pour unité de temps et faisant

M. lîrown donne

xNous pouvons encore envisager d'un point de vue absolument différent le problèuie général proposé au coininencement de ce paragraphe. D'après les considérations développées an n° 11 (5°), il est permis, pour tenir compte de la variation z\^t de l'excentricité s , de remplacer simplement ^ par £ -}-e^^ dans les expressions des coordonnées de la Lune telles que les d(<nne la théorie solaire, à la condition de modifier en même temps les éléments de cette théorie de la façon suivante.

Le paramélrc (l('',signé par ci! <à la fin du n" 1 1 (5") est ici s'; le coefficient n de t dans l'arguuienl IN en est indépendant; la quantité Jg. est déterminée, à sa partie constante près, par la relation

cUi SU /8U (1 iiillciiis <ciic |);iiiie constante, égale à

(Il (h ()i

est nulle pour la méuie raison que J„, J., Jy ; on voit donc que .\, est une fonction purement périodique.

ÉQUATIONS DONT DÉPENDENT LES PERTURBATIONS DE LA THÉORIE SOLAIRE. 'Jl83

Prenons pour éléments du mouvement de la Lune les quantités J, Ji, J2, N, N,, N2; les J.^ du passage ici rappelé sont ou nuls ou indépendants de s'; et par suite on voit que pour déterminer les variations des éléments J, Jj, . . ., No, il suffit de remplacer dans les équations (5), R par e^Jj-. -Mais il est essentiel d'observer qu'en même temps, il faudra regarder /i, /?,, n>, £, y, comme des fonctions de J, Ji, Jo et de e', cette dernière (juantité étant remplacée par sa nouvelle valeur s.' -^ z'^t.

La fonction R actuelle est alors entièrement périodique ou mixte, et ne donne pour les éléments du mouvement que des inégalités de même nature, absolument négligeables. Par suite, nous voyons d'abord que les éléments J, J,, i., ne subissent aucune variation : c'est le théorème de Newcomb.

Si maintenant nous revenons aux éléments /?, s, v et à /i, , n.,-, et que nous appelions z'^^ton^ . . . , i^t ùn.2 leurs accroissements, on aura, en reprenant les notations employées ci-dessus,

On,

et finalement, les longitudes N, N,, INo prendront les accroissements

■j/iz[^i', ô\i = - 0/^1 ;^, <-, OiN.j = - ô/to i'o ^2

Ces derniers résultats sont identiques à ce.ux que nous avons obtenus par la première méthode, puisque ce sont les seules inégalités en t- qui figureront dans les coordonnées.

Les autres résultats relatifs aux variations périodiques ou mixtes de rang un (\c>^ clciiunls sont difFérenls, puisque \cs coordonnées sont exprimées de façons ditVérentes (hius les deux cas. Ou a d'ailleurs aussi

àz di

(h ai-,

JJ (h'

JJ, ',)ï

~ ÔT, Je'

(h( fU

,h; ôi-.

et il. n'eu résulte aucun eflét appréciable.