l/Lf^-^A-P + ^l>')^sD->A, \-i ci£, ^ j \ + m

U ( \ \ , ) =, ( A' M, + p M', + 7 M", ) iW^ D-2 A

8. = (1 .Z^ ^ AQ .^,,qA!!!1-,D-ia, $c'(N — N,) = (A!\L-4-y>M; - v^Vi/z'-D-^A

D-iA.

On doit remarquer encore les deux relations

ôiix ^ à/ii ^ à/ii ^

on, = -ç— on -\ r- 03 H r— oy

()n 0- fh(

()n., ^ an-, ^ <)n-2 ^

on-, = -r- o/t 4- -r— 0£ 4 c— oy,

<)n ôi yy

((iii relient entre eux les accroisseinenls eones ondanls o/*,, o/*., 0//,

a88 CHAPITRE XXV.

c, 5y, quels qu'ils soient. On a d'ailleurs

Oni 3 , 7.01

— — = ■ m- — — - m^ — . . . = — o , o IJ ,

an 2* 2*

ôiii / 3 , 627

> — .„> , ... m' — •.•)— — o,o'i.oni,

— •■-•' 3 m- — ^ /«■ — ...)= — 0,02 j/iv,

On -i.'

dn) I „ „ c)3

.. , , ..„ . m* — ... = -4- o-oolnv.

De la même façon, on a toujours

Suivant nos conventions ordinaires, toutes les quadratures indi- (juées seront effectuées sans addition de constantes superflues.

La quantité A' doit être regardée en général comme le produit d'une constante par e"^, en désignant par (o un argument connu, indépendant des arguments lunaires, linéaire par rapport au temps, el dans lequel le coefficient de t sera s{^n — /i), s pouvant d'ailleurs être nul. Dans ces conditions, le terme A sera généralement périodique, et l'on aura

k -{-pg -^qli-^ s {Ix -+■ pg -^ q II -{- sy

Lf; terme A deviendra exceptionnellement constant si Ion a

k = p =^ q ^ s = o, et alors

ÔCfN)

Oci

'^Ti

1> lÂ,

ôl

où N -

LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE

mais les (orinules se rédiiiseiil à

(yM+,/l'-<,'0)-^D-iA,

ci5t(N-N,), Y,$/(N -N,),

On peut renconti'cr des ternies constants ;i'-a-A d'une autre nature, en supposant que les nouibres / , pg^ qh, s ont une somme nulle, sans être séparément tous nuls : ceci se présentera si l'ari^ument connu tu se trouve en fait lié à N — JN', G, H par une relation convenable. Nous supposerons alors expressément que rargument

est non seulement constant, mais nul : or, il existe nécessairement, à c(')lc du terme considéré, un autre terme qui en est le conjugué de (orme, et qui, par suite, en vertu de l'hypothèse particidière faite, lui est égal; pour ces deux termes, les nombres /, />, q sont respectivement égaux et de signes contraires, de sorte que, grâce à la concomitance de ces deux termes, tout se passe de la même façon que pour les Icrmes (constants ordinaires.

Supposons maintenant que II conlienne un terme t(!l cpic

A étant de la même forme que j)récédemment, périodique ou excej)tionnellement constant. Il faut alors, dans les formules générales, remplacer A par An't, et, par suite, en faisant sortir le temps hors des signes d'intégration.

^ D-' A |»a r //' M ) ' A -f- i/n \)-^ A , I 1)-2A par /i'/\) - A -- •2t///D-;'A.

Si A est constant, cette transformation paraît sans valeur, mais nous sera cependant utile.

Une fois obtenues les variations des ('■léments /?, ^, ... cpii corres-

■J.<jO CHAPITRE XXV.

pondent à la fonction R, on peut, ou bien en rester là, en se bornant à remplacer formellement /?, N, ... par n-{-on, N + oX, ... dans les expressions des coordonnées de la Lune fournies par la théorie solaire; ou bien on peut développer le calcul, et chercher les inégalités mêmes de ces coordonnées. En appelant t^, s, td la longitude, la latitude et la parallaxe, nous avons fait pi-écédemmcnt

sinrTT = — 0, a '

en désignant par b le rayon équatorial terrestre; pour avoir les expressions explicites des coordonnées en fonction des anciens éléments, il faudra donc en premier lieu augmenter A de o(/N), et p de

■>. on (i -h />i)' ou -:

3 „ >. m H — Mi-

en second lieu, si B est un terme quelconque de a, g-, p de la forme

B' étant fonction de m et de a (ainsi que de £j, £^,), on devra l'augmenter de

L /' '1 2—1 Ti r— 1 j

en faisant ici

, on ■>. (i-\-mY an

()/>i j ,') Oy.

Mais il sera préférable encore d'opérer de la façon suivante : partageons les inégalités o/?, BN, ... en deux parties, de telle façon que o« = ôo/« -f- 5^/1, ôIS = OoN-f-ô,N, ...; on appliquera la première méthode à S^/i, ô^N, ... et la seconde à o, /i, 8< N, .... On remplacera donc formellement /?, N, . . . par /î-|-Oo«, N-f-^olN, •••, dans les expressions des coordonnées de la Lune fournies par la théorie solaire, et on leur ajoutera les inégalités explicites dues àô,n, o,N, . . . . Il conviendra, en procédant ainsi, de prendre pour 8o/?, OqN, r>f^i^ ^o^^^n ^oY, O0N2 les parties constantes et purement séculaires, augmentées des termes à très longue période, de oaj, ôIS, ....

LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 29I

Enfin, un changement de variables très simple et suffisamment évident devra encore être appliqué aux éléments n, N, . . . pour ramener à la valeur n le coefficient de t dans N, et pour faire disparaître, S'il y a lieu, les termes constants ou proportionnels à ^ dans 8c, de même que les termes proportionnels à s, ou à ci< dans 8c encore, et les termes proportionnels à yi o^i <i ",'1^ dans os : de cette façon, la partie non périodique de v^ les termes qui dépendent du simple argument G dans c, et ceux qui dépendent du simple argument H dans 5, auront, ainsi qu'il convient, la même forme que dans un mouvement képiérien d'éléments /ï, N, e, G, y, TI. de signification bien connue.

En particulier^ revenons sur le cas de A constant, et les formules (3). En changeant n en /i-|-o«, avec

(5) on = n '"^ ^JjM^p'P-^q'q)\,

on voit que l'on fera disparaître l'inégalité oN, proportionnelle au temps; mais en même temps, tenant compte de cette modification, on aura

/li^ r ,/l P ,, à/if ,\ ,/^, ^ <^'^l /^^

et l'on observera que les facteurs M' — M -i- ^-Jii M, M" — M + ^ M, 1 an On

sont respectivement égaux à

<)/it di O/ii à-[\

/à/i-, <)î On, t)'f