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1)1 ,n "^ d'i di)'
Ce que nous venons de dir<; suffit pour faire voir que le calcul de l'ensemble des inégalités secondaires du mouvement de la Lune dues aux diverses fonctions perturbatriees R, est un travail considérable et particulièrement minutieux, si l'on veut obtenir une grande précision, comme l'a fait M. Browu, d'une façon définitive. Le nombre des inégalités qui sont sensibles au centième de seconde d'arc près
est considérable, mais 1res peu d'entre elles alteignenl ou dépassent une seconde.
rSous nous bornerons nécessairement, dans ce qui suit, à un exposé des méthodes. générales à suivre pour déterminer les dilFérenles fonctions R et leur effet, et à quelques indications sur le calcul approché des inégalités les plus importantes.
loO. ÎSous allons examiner successivement les effets des diverses actions secondaires énumérées au n" 120, et étudier tout d'abord 1 action des planètes. Celle-ci s'exerce de deux façons : en premier lieu, la fonction de forces qui définit le mouvement de la Lune, et que nous avons déterminée au n° o, contient une partie proportionnelle à la masse de chaque planète (ou système planétaire), et de cette partie résulte ce qu'on appelle V action directe de cette planète; en second lieu, nous devons tenir compte des perturbations qu'il faut ajouter au mouvement purement képlérien attribué au Soleil S pour représenter son mouvement réel, et puisque ces perturbations sont dues aux planètes, on obtient ainsi ce qu'on appelle Vaclion indirecte^ el comme réfléchie par la Terre, des planètes.
A ces actions nous joindrons encore celle produite par le rétablissement de la véritable valeur de la constante /M'. Cette dernière action est facile à définir. Comuie on a très sensiblement
il faut, dans la fonction Udun"120. reiuplacer /M' non plus par n'-a'^, mais par /i'-a'-' (i -f- tji), en faisant
.M' )3oooo
en chiffres ronds.
Ceci revient donc à introduire la fonction perlurljatrice
fi , .. 3 , ,. ,-, 3 , ,., -,1
- ( xy -H ■.>. c')o ■■ -, x-o -e--' -f- - )-p -e-'-
Sans en chercher l'effet pour l'instaul, envisageons l'action indirecte des planètes. Elle résulte, si l'on veut, de la variation séculaire e'gf de l'excentricité de l'orbite solaire, de la variation séculaire o^t du périgée solaire, des perturbations périodiques ôc' et o/*' de la longitude v' et du rayon vecteur /■', enfin de la latitude s' du Soleil au-
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 298
dessus du plan GX'Y', qui est celui de l'écliplique moyenne à une certaine date origine, par exemple i85o, o, l'axe GX' étant dirigé vers l'équinoxe mojen correspondant.
Nous avons déjà vu quelle était l'influence de la variation séculaire de l'excentricité ; mais nous allons la reprendre dans l'étude générale
actuelle. La f(»nction perturbatrice correspondante est z'^t -tt-,^ et de
même celle qui correspond à l'action du mouvement du périgée
solaire est <^'^^t i^;-,- Réunissons-les ensemble en faisant
rt's' /l '
et soit, pour abréger l'écriture, T l'opération
on aura K = ti'-(('-.ii't
On a d'ailleurs, d'après la théorie du mouvement de la Terre,
l*our déterminer de même l'action des perturbations périodiques or' et ov' du rayon vecteur et de la longitude du Soleil, il faut évidemment prendre une fonction perturbatrice égale à
8U. , oU . , r^—. 6r -h ^r-, c^ '
soit, en introduisant plutôt la perturbation ou chi logarithme du rayon vecteur, égale a — 7 >
R = «'2 a- — -{xy ^ ■>. 3») p'» — ^ x-- o'-' e-^-'-' — ^^ y"^ p'-* e"-''-' ou'
Envisageons maintenant l'effet de la latitude 5' du Soleil. A cet effet, imaginons tout d'abord que l'orbite du Soleil ne soit plus tout
entière dans le plan GX'V'connne nous l'avons supposé jusqu'ici. En noninianl X',\ .,Z les trois coordonnées rectangulaires du Soleil, il faut, dans la fonction U du n" 120, faire aclnelleuient
Il = -1;(\X -H YY -^ZZ),
ou bien, en introduisant la latitude s\ et en négligeant son carré.
cos H = — , ( XX'-t- YY') + - s'.
Si alors on supposait que l'orbite du Soleil fût encore képlérienne, mais avec une inclinaison f et une longitude du nœud 2f', telles que (le carré dey' étant toujours négligé)
Y, = -y e'^->-~>;, r-i=ry
un simple changement de coordonnées nous ferait connaître ce que deviennent les coordonnées de la Lune fournies par la théorie solaire ordinaire. 11 est évident en particulier cjue la parallaxe ne change pas, tandis que la longitude <' et la latitude s prennent les accroissements
ou = — y la n g s cos(i' — St'j, 05 = /'sin(p — ?j');
de sorte que l'on a aussi
dl = — lli T ( y'i 0 e>^ + Y^ , 6-1 <;->>), 5(7 = y'i Oe>— YL,e~'e->^
Mais la latitude s' ne correspond |)as en réalité à l'hypothèse précédente : elle provient du déplacement séculaire de l'écliptique moyenne, et en outre de très petites perturbations périodiques, ùs\ fournies comme ou' et ov' par la théorie du mouvement de la Terre. Si y est la longitude du nœud de réclij)ti(|ue moyenne mobile par rapport au plan fixe GX'Y' défini plus haut, et si fc désigne l'inclinaison correspondante, on a donc
et la fonction perturbatrice qui définit l'action de cette latitude sera, d'après ce qui précède,
Z oU , , r cosH . ,
H = -s' —, rr- = — 3 n '^ a" p ^ zis h- . . . ,
/• o(cosH) «
soit
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
R ^ rt'2<
- xzp'^e-^-' — - yjo'SgV i is 2 ' 2-^ ' '
On peut d'ailleurs prendre /, sous la forme x/i';, avec
et Ton a
l'unité étant toujours l'année julienne.
Si l'on fait encore
15' = n't{y.i e'-' — x^j g-"'') -t- t os'.
Examinons enfin l'action directe des planètes. Soit une planète !'" de masse M"; en nous reportant aux n"* 120 et 121, appelons A, X", \", Z", la longueur du vecteur GP", et ses projections sur les axes TX, TY, TZ ; nommons de plus H" l'angle des vecteurs TL et GP". D'après le n** 5, la fonction perturbatrice qui définit l'action de la planète P" sur la Lune sera
en faisant
et 1 on a
«.=/M-S{iC-H-:!),
R.,=fM"y ^ /-' cos3H"— -cosir'Y
/•AcOsH'^rr \\ \\" -r /:/: .
En employant une écriture symbolique de signification évidente, on vérifie facilement que Wn\ a
les dérivations s'appliquent à -j et il en sera de même dans ce qui suit. Ceci s'obtient d'ailleurs immédiatement, en partant de la définition directe de la fonction R, que l'on peut prendre égale à
•^ \ Mo LP" ^ M TP Faisons
\ + ,:v = p, x"+tY"=P',
