I -+- m c'est-à-dire en négligeant le carré de m

n*a'* = /(i ■+- m -h m'), ainsi qu'il était évident dès l'abord.

On passe de la longitude dans l'orbite p à la longitude proprement dite X (sans confusion possible sur le sens actuel de cette lettre) par la formule

tang(X — 0) = cosy tang(p — 0);

ou plutôt on se sert de la réduction à Vécliptique p égale à A — r, et pour laquelle la formule ci-dessus donne le développement en série bien connu

p =— tangî-sin'2(f — 0) -+- - tang*^ sin4(t'— 0) — . . ., de sorte que

tp=-i(yfÀ2 y|)-2)+...,

€n n'écrivant que les termes du plus bas degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

De la même façon, la latitude [5 résulte de la formule

sin ^ = sin /sin(t' — 6), d'où

i^ =Y,X — Y2^-'-+- 2(eiY2— £jYl)-i-2(.£iyiXî— E2Y2)-2)+

Il est facile d'introduire dans ces formules les valeurs complètes de A, £i, £2, Yi, y2 de façon à mettre en évidence les perturbations; notons seulement que la partie principale du coefficient total de À dans l'expression de i[3 devient alors

Tt+TÎ-^!^'(Ti-T',)4,

et ceci montre comment l'on doit choisir la constante y° si l'on veut encore que cette quantité reste égalé à y,, comme s'il n'j avait pas de perturbations.

102. Pratiquement, on opère généralement de la façon suivante pour calculer les coordonnées d'une planète M. Posons

a = ao-t-Aa, £ = Eo-f-Ae, j — jo-^^j,

(7q, tQ,jQ étant des constanles égales aux valeurs moyennes de a, e, / à l'époque choisie comme origine du temps; posons aussi

l = l(,-i-M, Tn = rrro-HATO, 0=:Oo-i-AO,

en désignant cette fois par /p, ^07 ^0 les valeurs moyennes de /, ra, Q à l'époque t, de sorte que les perturbations M, Ato, A8 sont, contrairement à Art, A:, Ay, privées de termes séculaires.

On détermine d'abord la longitude dans l'orbite sous la forme

p = /o-H Co-f-^Ap,

en désignant par C„ l'équation du centre qui correspond à l'excentricité constante Sq et à l'anomalie moyenne Iq — ^0 • "ne table fournit Cq en fonction de l^ — tjSq] d'autres tables, convenablement disposées, permettent de calculer la perturbation Ac.

De la même façon, et avec des tables analogues, on détermine le logarithme du rayon vecteur sous la forme

logr = logao-+- Ro-H Alog/-,

;n appelant Rq le développement képlérien de log- qui correspond

l'excentricité £„ et à l'anomalie moyenne Iq — tf^y. Appelons maintenant p„ et ^0 la réduction à l'écliptique et la lati- ^tude cjui correspondent à l'inclinaison j'q et à l'argument de la latitude p — 60 i ces quantités sont encore fournies directement par deux ibles spéciales en fonction de c — 9o. On a enfin pour la réduction à l'écliptique et pour la latitude vraies des formules telles que

p = po + Ap, {i = %-i-M^,

t les perturbations Ap, A|^ se trouvent dans des tables appropriées. En procédant ainsi, on voit que l'on englobe déjà dans p,, et f>o l'effet des perturbations de la longitude v sur la réduction à l'écliptique et la latitude; malgré l'atténuation produite par les petits facteurs de l'ordre de j'^ et de j respectivement dans p et !3, cet effet

eut être très sensible encore, surtout dans [j, en raison de la grandeur de certains termes de At^. La perturbation résiduelle A[ii est de l'ordre de grandeur de Ay et siny'AO, quantités toujours très petites

en fait ; la perturbation Ap est elle-même de l'ordre de ces quantités |

multipliées par siny, et peut être ordinairement réduite à quelques \

termes mixtes provenant des perturbations séculaires do l'incli- |

naisony. j

Ajoutons enfin que les tables du mouvement des planètes sont i

disposées de façon à fournir les coordonnées rapportées à l'écliptique j

et à l'équinoxe moyens de la date t elle-même, ce qui est bien facile, i

d'après les formules générales de la précession. j

NOUVELLES MÉTHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS DU MOUVEMENT DES PLANÈTES.

103. En réalité, puisque c'est la détermination des perlurbalions des coordonnées qui est le véritable but à atteindre dans le problème du mouvement des planètes, les meilleures solutions seront celles qui fourniront le plus directement ces perturbations, et la méthode de la variation des constantes doit par suite être souvent écartée; on arrive à la même conclusion, en constatant que le calcul des inégalités des ordres supérieurs présente dans cette méthode de grandes diflicultés en raison du trop grand nombre de variables, superflues en fait, qu'entraîne la considération de l'orbite instantanée.

Partant de ces principes, nous allons exposer deux méthodes nouvelles, plus naturelles et plus simples, aussi bien du point de vue théorique que du point de vue pratique : ce sont, avec les modifications assez profondes qui nous ont paru nécessaires, la méthode de Laplace et celle de Hansen. Tandis que Le Verrier s'est servi exclusivement de la méthode de la variation des constantes, Newcomb a fait usage de celle de Laplace pour les nouvelles théories de Mercure, A énus, la Terre, Mars, Uranus et Neptune, et Hill a construit sa éorie de Jupiter et de Saturne avec la méthode de Hansen. Reprenons les équations du mouvement, indépendamment de tout ce qui précède, sous la forme la plus simple qui convient maintenant. H^oit un point M, de masse égale à l'unité, en mouvement par rapport IBdes axes fixes Ox^ O/, 0^3, sous l'action d'une force F, dont les HBmposantes dépendent de la position de M et du temps t. Soient P un Ynan/ixe passant par O, et M, la projection du point M sur ce plan; nous définirons la position du point M par trois coordonnées qui seront : i" la distance OM,, ou rayon vecteur accourci, /•; 2** la longide V du point M, dans le plan P, comptée comme d'habitude

d'abord dans le plan xOy, à partir de Ox jusqu'à la direction du nœud ascendant de P sur ce plan, puis dans le plan I^; 3" la cote z du point M au-dessus du plan P, soit le vecteur M^M.

Soient, d'antre part, G, H, K les projections de la force F sur OM,, sur la perpendiculaire à OMj dans le plan P, et sur la normale au plan P. En désignant par /i une variable auxiliaire, les équations du mouvement sont

, „ dv dh -- c?2/- /i2 f/25

dt dt ' dt^ /' ' di- '

d'après les expressions bien connues des composantes de l'accélération.

Supposons que l'on ait, en désignant par k- une constante,