U 2 ,SU
on 3 or
de sorte que la fonction R devient
donc, immédiatement,
. .-,. /i Sn' f , , , 2i3 , 281 A
sn' n \ 2» a^ J
11 ne reste plus qu'à tenir compte de SN', qui est déjà de l'ordre
il SU ., , • 1- 1 -, 1.
de — ; comme j^, est entièrement périodique, toutes les inégalités
résultantes seront elles-mêmes périodiques, et du même ordre (le grandeur. Observons alors que si A est une quantité périodique, les intégrales D-' (ASN'), D-'-(AS]N') peuvent être confondues, dans les hypothèses faites, avec SN'D^'A, S]N'D~-A : tout va donc se passer comme si l'on donnait simplement à N' l'accroissement SN' supposé constant. On aura des inégalités S/j, Se, Sy, SN, SN,, SN2, et en suivant toujours les mêmes principes que ci-dessus, on peut dire : les accroissements que l'on en déduira pour les coordonnées lunaires seront identiques à ceux pris par ces coordonnées quand on y remplace N' par N'-f- SN', en même temps que N, N,, Nj par N + 5'N, N,-f-S'N,, N^ + S'Nî; S'N, ... désignent encore ici
des constantes à déterminer par les relations telles que
ài> ^ dv ^ dv ^ ôv ^., dv ^., âv ^.,
dn dt (>y ' <^1N dh^ (A,
di> ^,„ dv .,,, dv ^,,, dv .,,-
Il est facile de calculer 5'N en comparant les termes constants des deux membres de cette égalité. La fonction R qui doit être utilisée ici correspond aux hypothèses
puisque l'on a
au oU
il en résulte
et parlant,
0 N = - — — nv o^ .
Finalement donc, on obtiendra l'effet des inégalités à longue période considérées en remplaçant N' par N'-f-5N' dans les expressions des coordonnées lunaires, et (si l'on néglige £, y, z ) en donnant à N l'accroissement
isn \ 'x^ ■>■' I
n un' 1 . ^ '>.\S , '^Si
isn n \ '>.^ i^
^ / v>.Gi ,\
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
Supposons que SN', o/i', os' proviennent d'un même terme de la fonction perturbatrice qui s'exerce sur la Terre, ce terme étant, suivant les notations du n** JoO,, de la forme
B \\i' x'"/" z'i'i s'j.'i-^ t"f'i si'f-' y",'/;' y!!/;- '.
D'après le n" 98, on a
is oN',
et en réduisant 8e' à sa partie principale,
lous pouvons donc écrire encore
im -{- 1 m* -4-
La principale inégalité à longue période SN' est égale à
r,89sin(i3N'— 8/"-+- 3r4°j
en appelant /' la longitude moyenne de Vénus : la formule précédente fait prévoir que l'inégalité BN correspondante en sera environ la huitième partie, au signe près. M. Brown la donne égale à
— o",234 sin (i3N'— 8/"-i- 3i3°,8); la période est de 289 ans.
153. Donnons maintenant quelques indications générales sur le calcul des inégalités lunaires provenant des termes que nous n'avons pas encore envisagés dans les fonctions P, Q, Q', S, S'. Ces quantités sont de la forme S Ae'^*^+P^"^, en désignant par A une constante, par a et ^ deux entiers quelconques, et par /" la longitude moyenne d'une planète perturbatrice P'. Supposons que l'on ait fixé celte planète, et aussi l'entier [j : nous écrirons alors
Ces termes produisent des inégalités généralement périodiques (jm-
nous caractériserons par le diviseur qu'y introduit l'intégration à la première ou à la deuxième puissance. Ce diviseur, qui peut être désigné précisément par la même lettre D qui sert de signe d'intégration, est de la forme k + pg -f- qh -[- rm -\- '^ ; > en appelant
A", /?, q, /• des entiers quelconques. Si ce diviseur est grand, les inégalités correspondantes seront en général négligeables ; mais s'il est petit, elles pourront prendre des valeurs sensibles, surtout celles qui dépendent du carré du diviseur. Il est d'ailleurs clair que les coefficients des inégalités diminuent quand les nombres Ar, />, q, r — a grandissent en valeur absolue, en raison des facteurs m, e, v^ e' qui s'y introduisent alors à des puissances plus élevées.
Dans le cas particulier où l'on aurait /c = /7 = <jr = /• = ^ = o, il
faudrait, comme on sait, remplacer D "' par
Nous allons examiner en détail quelques cas seulement parmi les plus simples, en nous bornant bien entendu aux parties principales des quantités mises en évidence.
Supposons d'abord k = p = q = o. Les formules générales donnent alors
un = Se = Sy = o.
uis
-+- (— 3o m* -+- 90 m« ) ( e', P, - 1 + eLi P, +1 ) /665 , 4837 A , , ^ , ^,
— 1 1 I m'' ( e', P;.i -4- t'i Pr+i )
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 335
+ (^'«'--^'^*)(^'iQr+i+e',Q;,)-H...].
Dans le cas particulier où l'on suppose /• = ^ =: o, on aurait toujours
ort = Se = Sy = o, yjuis
nt\{— 4/«2+8m3— i8m4 4-4om»)Po
■^- —2- ^^'* ( ^1 Q-1 + ^-1 Q i) — |i "^'* ( ^-1 Qi ■+- ^'i Qm) :
N, = nt r/3m2-6m^+ -îi^ ;,iv\p^^^Z^ „^5 + IJ^ "t*)(Qo-f-Q'o)
-h8im'»(£'iP-i-FE.'iPi)
oN, = /»«r('— 3/n*-f-6m3— ^mA Po
■ Mais il convient de faire disparaître SN, en donnant à n un accroissement égal et de signe contraire au coefficient de t dans 5N, soit
8/1 = /if(4m2— 8/n3)Po-i-...],
et dans ces conditions, les valeui"s ci-dessus de oN, et SlNj doivelil être augmentées de nt ( — 3//?''Po + . . .), ni (3m'' Pq-t . . .), de sorte
que les coefficients de nt.m'Y^Q y deviennent respectivement -^T' et — -^- Les formules (5) et (6) conduisent directement à ces résultats.
En négligeant s', et appelant (û"')o la partie constante de 8a', on peut appliquer ces formules au calcul des perturbations du mouyement du périgée et du nœud lunaires, en faisant d'abord, pour tenir compte de a et de l'action indirecte des planètes,
d'où
^'0= -[{'■— 3(o«')o], Qo= Qo= g[a (oa')„],
0 A, == «M u. ^ — j ( o« )o —z /»" -^ tn^ — m* ) ,
oN., — /j/ a — \i tu )u\\ /n* -)- -— m^ -+- -^ m* ) ;
les résultats n'atteignent pas une seconde par an.
Si l'on veut avoir maintenant les mêmes perturbations dues à l'action d'une planète P", on devra prendre, suivant les notations du n° 150, et d'après le 91, en négligeant les excentricités, et tenant compte de l'inclinaison /",
d'où
en n'oubliant pas que ces formules conviennent au cas d'une planète inférieure, le signe de D devant être changé dans le cas contraire. Les résultats, sensibles pour Vénus et Jupiter, n'atteignent pas trois secondes par an.
Faisons maintenant l'hypothèse k=^(j=^o, p =z \ ^ el retenons seulement les termes qui contiennent le diviseur D à la puissance — 2, et qui sont de moindre degré par rapportas, y, s', en regardant
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
^'r+à comme de degré — h par rapport à z' . On a simplement
8(tN)= i)-2 Um-^-f- 1 •>./«''— -^/«M ^^ ^1
W^ )Q,M2ei£--l r "^^Q^+s^l^'^ -+-•■
Faisons l'application de cette torinule à la détermination de la partie principale d'une inégalité de la longitude lunaire, de très longue |)ériode, découverte par Hansen : c'est celle qui dépend de l'argument 16 iN' — iS/'-hG, en désignani p;ir T la longitude moyenne de Vénus ; sa période est de 2^3 ans.
Cherchons seulement la partie principale de cette inégalité provenant de l'action directe de Vénus : suivant les notations du n° 150, nous devons considérer les termes G suivants :
-^BsX}'À"-'-e", -4-BoXî«a"-"'j' 1 - I^:>.!^'a' '^ et d'aprt's jr n** 91. ou a sans peine :
Bc-
D-^-)bi,,
ANf«ovi:n
Tenant alors compte des formules
puis faisant, pour abréger l'écriture,
4 M' V « et introduisant les opérateurs
\ ria r. loi'i 837 . „ IX. „.,^ l'^ii
Ai„=D-î+D — , A;(i= D'-i - 29D-I- — ^ , A' ,. = D»-H 3j D h — ,
An-D»-f-D- ii^, A',,= D2-3iD+ '4^, a; - = D^-t- 37D + i^ ,
A,8 = D2+D-i^, A',,= D2-33D+ i^, Aj^ = D^--+- 3qD + ^ , 4 4 ' 4
nous pourrons écrire, l'entier ^ étant — 18,
Pir, = /A,o(B,Y-î + B,£r^)Xi«X"-'G+/An(B3+>,B3)À {--A •'->-£:., il, -H/A,8(B4-4--?.B6+5B7)X}«X"-i8£lV
Pn = /AnB,,X}'À"-n£l,+/A,»(-BoH-2B;;Al«X"-'«£l,, P18 = /A.sBvXJs-/'-'^
Qu= 7yA;„(BiYiî + B2£::2i)x{»x"-i«-+-^/A;,(B34-6B5)xrx"--i'£:,c:,
+ Î-/A', s ( B^ + 6 Be + 26 B7) X} 8 X"-i8 £1^, ,
Qi7 = ^/A'„B,Xî^X"-»^^-, + ^/A',8(B,4-6B:)XrX"-iSE:,,
Q.8= ^/A',8B,Xî«X"->«;
Q',6= ^/Aïe(B,Ylî+B2£lî)Xl<'X"-i6+i/A';,(B3-2B5)XîU" •^£L,£':, ^ J-.Ai8(B4-2B,)Xî«X"-i'>£l»,,
Q'i7= ^/A';,B5Xî^X"-n£l, + l/A';8(Be-2B0XrX"-iSE:.,,
Q'i»= ^/A';8B,xi«x"-'«.
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 339
En mettant ces expressions dans la formule générale qui donne o(fN), et y faisant r=\6^ on aura l'inégalité cherchée. Sa valeur complète est d'après Brown, en tenant compte des termes négligés, de l'action indirecte, et même des termes du second ordre par rapport aux masses perturbatrices,
§N = i4'Vi7sin(i6\'— 18/'"^ GH-i5r,o);
sa partie de beaucoup la plus importante provient du terme B,y i^*. Supposons encore /i=2, p = — 2, q=zo. L'inégalité principale résultante sera, en désignant par D le diviseur,
Se,= E.,O^D--|" (-^
rn^-^m^
ni^)Qr
On peut appliquer ceci au calcul de l'inégalité provenant du terme de R qui dépend de l'argument 2 N' — -2/", en désignant par /" la longitude moyenne de Jupiter : l'argument 2 N — 2 G — 2 /" a en effet une période assez longue de 17,4 ans. Il faut alors évidemment, si l'on se borne toujours à l'action directe et aux parties principales, prendre
d'où
l'inégalité de la longitude, de même forme que §£,, a pour valeur
complète
i", i4sin(-2N — G — 2r-M8o'>,3),
et a une période voisine du mois lunaire.
Cette inégalité et la précédente sont les seules dont le coefficient dépasse une seconde.
Faisons enfin l'hypothèse /r = i , /> = o, ^ = — i . L'inégalité prin-
)4o - CHAPITRE XXV.
cipale résultante sera, en désignant toujours par D le diviseui-,
