OY, = OD
et se reportera surtout sur la latitude.
Prenons en même temps /■==!, [ii = o, de sorte que le diviseur D, égal à \ -{- tn — /i, soit petit, correspondant à la période i8,6 ans du mouvement du nœud. Il faut prendre simplement
si l'on veut avoir l'action directe de la planète P'.
L'inégalité correspondante de la latitude, due à l'action de Vénus, a pour valeur complète — o",24 sin (N — 0").
154. Pour achever l'étude des inégalités secondaires du mouvement de la Lune, il nous reste à tenir compte de la forme de la Terre, comme de celle de la Lune. Envisageons dabord l'influence de la forme de la Terre. D'après les n°' 4 et o, la fonction perturbatrice correspondante est
/(Mq+M) ** ^= in — ; —
2 Mu /■*
- 2A)(a X -+- ijl y -(- >
-2B)().'X -+- [Ji' Y-+-v
— 2C)(X"X+.ji"Y -t- >
en appelante, pi, v, . . . les cosinus directeurs, par rapport aux axes lixes en direction TX, TY, TZ, des axes principaux d'inertie Tç, T/j, TÇ, relatifs au centre de gravité de la Terre, et A, B, C les moments d'inertie correspondants.
En assimilant la Terre à un corps solide, de sorte que A, B, C sont des constantes, nous choisirons pour C la plus grande de ces trois ([uantités ; l'axe correspondant T^ peut alors être confondu sans inconvénient avec l'axe instantané de rotation de la Terre sur ellemême, ainsi que nous le verrons ultérieurement ; et par suite, le plan T^rj sera confondu avec celui de l'équateur.
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
Soit y, le nœud ascendant du plan TXY par rapport au plan T^rj ; nous nommerons w l'inclinaison correspondante, 'l l'angle y^TX, -3 l'angle Yi^^- ^^ plan TXY étant celui de l'écliplique moyenne pour i85osO, et l'axe TX étant dirigé vers l'équinoxe moyen correspondant, l'angle 'h n'est autre chose que la précession luni-solaire à l'époque ?, si du moins on néglige la nutation ; et dans les mêmes conditions, l'angle (o peut être considéré comme constant (sa très petite variation étant proportionnelle à t"^), égal à l'obliquité moyenne à l'origine du temps. On peut donc prendre <L =ft, avec /= 5o".37, L'et oj = 2^"2'^'32". Quant à l'angle cp, il varie très rapidement, de Soi" par jour.
En appelant toujours [j la constante/(MoH- M), faisons
= 2 Mo Al,
= 2l\IoAr,,
(le sorte que (cf. n° 2) PA-.
R = ^[r'-—3(l"\-~h ix" Y + v" Z )î]
-[(XX-+-,uY-+-vZ)2 — (X'X + [ji'Y-+-v'Z)ï].
On a d'abord
À" = sintosin i|i, tj." = sina)cos<^, v"=cosw,
|et par suite, en introduisant les coordonnées lunaires jc, >-, :; <t p,
X"X -H ;ji"Y -f-v'Z = ■? - sin w(a-e"^ >•}') — Ke-''N'+'i'')-t- - cosw ; la première partie de R devient ainsi
sin2to(:rze^*'^"+'T') — yze—'^^' • '!^M
m a aussi
X = cos'l'cosç -H coswsini^ sin 9, X' = — cosij^sinç -i- coscusint]>cosç, u = — sin 'l'cosï + cosiocos'^sino, ^x' ~ sioi|> sinç -+-coswcos'|icos 9, V = — siiiotsinç, ' v' = — sinwcosç,
et par suite
X' — X'2 = - [sin^ w -4- (i -I- cos^f,) )coS2'}]cos2^ -•- cosajsin2']/sinat.
,a'2 — ;ji'5 = - [sin^iM — (i -4- cos-to)cos.i'l^]iCos2cp — costosinatj/sin?. 9,
v' — v'2 = — sin^o) C0S2Ç,
X|JL — X'|Ji'= (i -^ cos-o))sin2'|cos2 9 -t- cosu)cos2'J;sin2»^,
Xv — X' v' = sinwcos wsiii'^cosa? — siao) c()sJ;sin29, [i.v — [jl'v' = sinwcos w cosi|;cos2 9 + sinco sin '1/sin 29.
On voit par là que tous les termes de la deuxième partie de K renferment le facteur e--'?", et par suite ont une période voisine d'un demi-jour, très courte par rapport au mois lunaire; ces termes seront fortement diminués par les intégrations auxquelles ils seront soumis, et comme en outre la quantité A-g est très petite par rapport à /j, on doit réduire R à sa première partie seule, soit
en faisant
|3, = p/:, /i— ^sin^wV ^2= ^(J/fisin2o), Jia = ^ ^A', sina w.
Les perturbations dépendront finalement, si l'on veut, des nombres
Si Bj B3 . , , . ,
' ■■) ., ,? , ■ ; qui ont les valeurs suivantes: en appelant encore
n^al la constante ^, et en admettant avec Brovvn que l'on ait
/c, = ag[7,666J,
il vient
et par suite,
-P-, =o",0244, ^=o",oo38, -il- =o",o33i.
La partie do R qui dépend de ^1 ne donne pas d'autres inégalités importantes que celles qui proviennent de sa partie constante ; on
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
trouve aisément
. + (-6-|| »^'+^ m3y^,Y, -+-3o£Y^li — 36ei£iYiY-i-f- 67^7?, -+-... , d'où, par les formules (5) et (6),
o.\, = nt
En cherchant encore les inégalités qui ne dépassent le premier degré par rapport à e, y? m, on aura les compléments suivants :
;ftN)
45 fi2
Si / 3 9 45 . , >
[il / 3 9 fi ,\
■et, finalement,
en changeant e en e(i — | ^^), y en y(^i-\-lJL.^, on fera disparaître, comme il convient, les termes en £,,• £, de 2(fV), et ceux en v,, Y i de è(is).
Pour les inégalités qui dépendent de.[i2, bornons-nous à cell(■^ de degré zéro au plus par rapport à m, t, v. Faisons aussi
en nous contentant d'écrire les termes en e^"}', ceux en e~*"l' s'en déduisant immédiatement. Il faut prendre
(le coefficient de e^, 6- étant du second degré en m) ; par suite,
doù
'1,1, -r o(siiiTn) = — - èi6'.
Un terme de R mérite encore de retenir l'attention : c'est celui en ^ el^jC^'f'*'^'?'^, dont l'argument est 2 '| + a es', à période extrêmement longue ; il faut d'ailleurs tenir compte du mouvement réel de la longitude co' du périgée solaire pour estimer celte période. Mais, en allant jusqu'au troisième degré par rapport à m, c, y, le coefficient de ce terme est — -rnyty j ; les inégalités correspondantes contiendront donc en facteur ^my-t- ;',. ; et seront entièrement insensibles.
Envisageons enfin les inégalités qui dépendent de [i;,, et qui soni analogues à celles produites par le mouvement de l'écliptique.
Posons
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
el (iirigeons le cttlcul de façon à écrire tous les termes en c,, CiS, Civ, sans dépasser le premier ordre par rapport à m^ e, y : les termes f€n e '4' s'en déduiront immédiatement.
On prendra
o'i./s == YiO -4- 7i f)-' ( .m-\ m^
mTiO — î-iTi
-4- Y-i f* (— I -^ 7? "'') ^- T-i '^^ (|i "^) — 3 Si ï-t f^ '- 3£
î-iT tO,
et l'on en déduira d'abord
— =— 3ciYi9 — 3ciY. lO, n
01 j N ,1 = —, ri -'1 0 — -^ Cl Yi 0-' H- Cl Y-i 0 ( T "' ^~ "+" "V^
:»ui9
o£i =:^ -ciYiO— -ciY-iO,
-^c, Yi't ' -Cl Y-iO,
ov 1 = Cl 0 — - w— ^ ~-r^ m-' — — - m
//tCiO-'' H Cl M 0 r, l ., 0.
r>/ , = Cl 0 { —, -H O . /« ) --- C, 0-' ( —, -\ /« ) + -^ ""( M •) '"1 ^-1
0( tr; = ■ Cl Yl
3 yJ . 3 /- . 3
•in
en laissant de côté la parallaxe, dont les perturbations sont absolument négligeables.
Finalement, les seules inégalités de la longitude et de la latitude de la Lune, dues à la forme de la Terre, et atteignant la seconde,
sont
§p = -"^4siii(N — H + il;), ds=~ 8'',4sin(\ -^(j/);
il faut y joindre celles des longitudes du périgée et du nœud déjà signalées.
11 convient, ici encore, de tenir compte du mouvement de l'écliptique, ce qui donnera en réalité des inégalités du second ordre par rapport aux coefficients des actions secondaires. Donnons d'abord à l'orbite képlérienne du Soleil une inclinaison y"', dont on négligera le carré, et une longitude du nœud 2r'. Les expressions des coordonnées de la Lune prendront des accroissements SX, oY, 8Z, mais les coefficients des équations fondamentales (5) et (6) du Chapitre précédent ne changeront pas, puisqu'on néglige le carré de /'. On a évidemment
ôX =y'sin!^'Z, oY = — j'cosJj'Z,
o7. = — y sinSr'X -Hy' cos3'' Y, et par suite la fonction R prend l'accroissement
gR = iMl(X"X-i- [ji"Y-+-v"Z)(A"ôX -+- fA"8Y-f-v"ôZ),
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
égal encore à
(N— 5'. y 2 g— 'iN'-.^')
faisant
^j = - ^/liCOS-0).
Il faut maintenant remplacer j par x /l'f et 2f' par -j^^, suivant les notations adoptées précédemment. Il en résultera généralement des perturbations périodiques et mixtes entièrement négligeables, mais il faut accorder une attention spéciale au terme purement séculaire de 8R (en négligeant le mouvement de y H-<|')j égal à
i X cos ( X -4- '^ ) [ f (xy^'i z'-)]o n' t ;
nous avons d'ailleurs déjà calculé la quantité Yf^{xy-\-iz-)\^ égale
Il en résulte, suivant les formules (3), des accélérations sécuaires nouvelles
-^■/.cos(v^.L)/m'/î, ô\,= iôN, SN, = — -SN,
([ui ne sont pas négligeables ; en prenant le siècle julien pour unité, on a en effet plus exactement
ôN = o",ao/',
oN, = o",(i f^, 5^2 = — u",i()r-.
li^
On observera que le coefficient x/i' cos(y -h -i) est précisément al à celui de variation séculaire de l'obliquité moyenne de l'écliptique, angle de l'équateur et de l'écliptique moyens mobiles.
On peut encore se demander avec Laplace si, en complétant la fonction R qui définit les perturl)ations du mouvement de la Lune dues à la forme et à la constitution de la Terre, on ne rencontrerait
pas quelque nouvelle inégalité à longue période susceptible de grandit- suffisamment pour devenir appréciable.
Reportons-nous aux n"* 2, 4, o : on voit bien vite que si l'on tient compte du terme appelé Uj (n" 2) dans le développement du potentiel d'attraction de la Terre et de la Lune, tout en négligeant la forme de la Lune elle-même, il faudra complétlfer la fonction R du numéro précédent par le terme
m = '^^ '^° ^ ,^ '* [ 5 s /n p3 cos3 ( TM , Tl)-3Swo3cos(tM, TlJJ,
en désignant par m un élément de la Terre, de masse m. et par c la distance TM.
Si Ç, Yj, s sont les cordonnées de M par rapport aux axes Tç, Tr,, T'C définis précédemment, on a donc
^^R = ^^^^°^^.f^^ ; 5 i: w [Ç(XX H- ,aY -f- vZ) + T,(X'X + 11' V -+- v'Z)
-i-r(X"X + |jL"v-^ v"Z)]-^
+ r,{xx 4- / Y -^ v'Z) -i- ^(r\ + ,/' Y -^ V'Z)] ; .
On peut enlever tous les termes qui dépendent de l'angle cp, acp
ou 3cp, leur très courte période les rendant insensibles; en posant
alors
on constate sans peine qu'il reste simplement
8R = ^ [3,-2^X"X -+- fjL" Y + v"Z) - 5 (À"X 4- '/Y + v"Z)3].
Le seul argument à très longue période que Ton puisse rencontrer dans le développement de cette expression est l'argument 3(N 4- '!/) — G — 2 II, dont la période diffère peu de celle de l'inégalité que nous avons déjà caractérisée par le nom de Laplace au n° 130. En n'écrivant que les termes en e"'^, la partie utile de ôR se réduit à
— sui^o) 0' .T^e-'i-^ + ■:" ;
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3
et comme on a
le ferme à considérer de ôR est
iSi &k . , , , vv .1 X
Il eu résulte en particulier
et l'on voit sans peine que cette inégalité reste tout à fait inappréciable, à moins de donner à — - des valeurs certainement inadmissibles : ' a*
le coefficient k serait nul en effet si la Terre était constituée symétriquement par rapport à l'équateur, et par suite, sa valeur résulte du 1res faible défaut de symétrie entre les deux hémisphères terrestres.
L'influence de la forme de la Lune sur son mouvement autour de la Terre est extrêmement petite. La fonction perturbatrice dont elle dépend est la même que ci-dessus, quand il s'agissait d'étudier l'action de la forme de la Terre, à la condition d'échanger M et Mo, et de regarder les quantités A, B, G, X, ix, v, ... comme se rapportant aux axes d'inertie principaux de la Lune relatifs à son centre de gravité L, soit L^, Lr,, Lw.
Supposons A <^ B < C, et définissons comme précédemment la position relative des deux systèmes d'axes L^yi'Ç, L.ri .3, ces derniers étant parallèles aux axes fondamentaux TXYZ : y, désignant le ncfiud ascendant de Lxy sur Lçr|, (o est l'inclinaison correspondante, . et l'on a
En faisant encore ici
35o CHAPITRE XXV.
on a l'expression complète
— (are''!^"+'M?)— j^e-J(>"'+'>-2?)) zsin w -h sinî-(;re''(-'<'+'T')— 7e-'(^"+'^>)
Les lois du mouvement de la Lune sur elle-même nous apprennent, ainsi que nous le verrons plus tard, que les positions moyennes de la droite Lv, et de la ligne du nœud ascendant de l'orbite de la Lune sur le plan l^xy sont coïncidantes, de sorte qu'on a, avec une approximation suffisante,
IN -(- 'i = H ;
de plus, la longitude moyenne de l'axe L^ est constamment égale à celle du rayon vecteur LT, c'est-à-dire qu'on a. dans les mêmes conditions,
enfin, l'angle oj peut être pris constant, égal à i^'S-ï.
Cherchons seulement l'influence de R sur les moyens mouvements du périgée et du nœud lunaires, c'est-à-dire les inégalités des longitudes N, et INa produites parla partie constante de R. En nous bornant aux termes principaux, et tenant compte de ce que nous venons de dire, ainsi que de la petitesse de w, on aura
-^ 5 3 [( — 5^1 £-1 — TiT-i) (e»'"''+'^-?»-h e-î'(^"'+'^-?))
— sin w (yi «'(J^-^'M?^ h- y j e-'^-i-'V2?))].
Nous rencontrons ici les termes constants spéciaux signalés au n° 149 ; et d'après les formules (6), on trouve en tout
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 35 1
Les valeurs assez incertaines de â, , A-a donnent à M. Brown SNi== o",o3^ 8N2 = — o', i4?.
loo. La Lune produit sur le mouvement de la Terre, ou plutôt sur le mouvement du Soleil vu de la Terre, des perturbations qu'il est bien facile de déterminer.
En premier lieu, les coordonnées X', Y', Z', qui se rapportent au centre de gravité G du système Terre-Lune, prennent des accroissements ôX', ôY', ôZ', quand c'est la Terre elle-même qui devient l'origine ; et l'on a évidemment
5X' = vX, oY' = vY, ÔZ' = vZ,
M en se rappelant que v = ^r^ rr • H en résulte pour les perturbations
des coordonnées polaires /•', v\ s\
or Ci i ,
— T =v — , - (xer }• 1
-ye''),
o( iv') = V — - (xe-^-' — ye^-'),
les termes principaux de ces inégalités sont
• 4 = 6", 5 cos(I\ — iN'),
Sp' =6^5 sin(N — N'), os' = o", 58sinH.
Kn second lieu, nous avons dit au n° 4 que la fonction perturbatrice qui définit le mouvement du point G devait être augmentée, en raison de la constitution du système Terre-1-iune, d'un terme complémentaire
<>^ =f- m ., „ * nrl -cos^H —
Seul
ÔV =: rt'2rt'2
Mo M
(MoH-M)2
eu attribuant à l'orbite du Soleil une inclinaison y" (que l'on supposera nulle après le calcul), une longitude du nœud 2?, et faisant comme précédemment
l'^n ne retenant que les parties les plus importantes, constantes ou à longue période, et posant
., Mo M
^' °'"(iVlo+Mp' .
on a simplement
et les formules générales les plus simples du Livre 111 nous donnent les inégalités corres|)ondantes
oç' = -p.n'i ■= ()",o8/,
01 / sui:j ) = - /'v — sin iS., = — o .ojisni iN2,
^ . V -i., 3 II „
o( / co-.CT ) = -P"' — cns \.. = — o .oaeos >2. \ Il .
156. Nous axons déjà signalé la difliculté qui provient des dérivations par rapport à n, lorsqu'on veut eilectuer numériquement les calculs décrits dans ce Chapitre et le précédent. Nous allons indiquer sommairement, pour terminer, un procédé relativement simple, dont l'application permettrait de calculer exactement les valeurs numériques des dérivées des coordonnées lunaires par rapport à w, surtout si l'on en possède déjà des valeurs approchées.
Faisons pour un instant, en raisonnant comme nous avons déjà fait au n" 127.
on a
li = ^ -^ ^^i-r^y^-^y z\ , -~^- i^'j y' '■'"—}']?''■:' ) ■■■■ I I ^
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3)3
et les coordonnées Xi, y,, Zi sont déterminées par les équations du n" 121 modifiées comme il convient, soit
d-x'r ,dx\ ,. d\j
dti dti àfx
an -r- -^n\y, + i
dtj dti ()x\ '
d-iz\ à\J^
dt\ ôz\ ~
I.a solution de ces équations dépend des six constantes arbitraires n, e, y, /«, cpo, STo? introduites ]>récédemment. Soit \k Tune quel-
, ,. . ()xx , dvx , ()zx
concfue de ces constantes, et taisons — — =^,, -r^ = r,, -r— =-3.;
en differenliant jiar rapport à u. les équations ci-dessus, on aura
dKr', ,dx\ , , , ir-\] . à'-\] , a^u
dl\ dl, ' ■■ • dx.ùy, '-^ ' <)y\ ' <)y\dz
d-^y\ ,dy\ „ , , (i'-U , d'^[5 , <r-\5
drj dtt -^ ' ' a.rf -^ ' a^if;»/, 'r;j7,(^Zi
d-^ z\ , d'^ u , i)-^u ■ , in u
--riïï;7-rr--^iT;:T='^-
dt\ ' (i,r,(^^, -^ ' (^fiàz-i ' ^s'î
Mais .r,, y,, 5, se présentent comme des fonctions j)ériodiques des arguments N, G, H, dont les coefficients dépendent de //, e, y; et de même les coefficients n, n — n^, n — «2 de t dans N, G, H dépendent de 7i, s, y. Si donc on considère dorénavant x^, rn ~\ [comme fonctions des variables N, G, II, /i, c, y? ainsi que nous l'avons toujours fait dans ce Chapitre et le précédent, on a par exemple, en prenant pour ;ji. la constante n,
, àx,
'^ \ — 1 an
Vdx^ dxs f ^\ __ ^1 / t)/;a\ 1
En portant ces valeurs dans les équations ci dessus, leurs premiers membres] prennent la forme P-^-P'^ en désignant par P et P' des fonctions périodiques, de sorte que l'on a séparément P = o, P'= o; le fait que P' est nul est d'ailleurs facile à vérifier directement, puisqu'il résulte de ces mêmes équations en supposant que u. soit j)ris successivement égal à /„, ou cpo, ou 2»o.
Les quantités ~, ^5 ~ vérifient donc les équations précé- 1 ()n <Jn an
ANnOYIÎK
dentés, quand on les y met ù la place de x\,y\, z\, à la condition d'augmenter les premiers membres respectivement de
'{é;^'')[j(Tà
fir,
V dn) d{i\\)y dnj\
dt.
d{i\ dz.
[dZj âzi / dni\ dzi / ^/ijX
Revenons alors à nos notations ordinaires, et soit
n — n d , , Il — n' ô , , , n — n' d ,
a an
a dn
TT/ U , /«2 ^ „ 3 m* , „
\"^ti^
àrif an
dn\
dn-i O/i
àx
dx
<hi ^"'<^T-
àt-,
ôz
dz
remarquons de plus que
Hx^
dny
oy-
dx dy dx dz
dy dz
kp'a"'
= k p*' ( xy 4- ■:>. z^) H- m
3 ni-
dy^
rut
d'-V dz'-
'k.rj(xv -{- 1Z^)
= kp^^
- kp*a?z
dx dz
dy dz
Nous voyons alors que a:', j'', z' vérifient les équations linéaires
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 35
suivantes :
à^F \ 3]s.o^xz-^2 - — r- -4- 2DX'h- 2mX'= o,
v^ V —i-mliy -\- X \ - k p" y^ -\ h 2 -— -
3 k p''yz 4- •> T— 7- ) - ■^. D Y' - -2 /« V == o,
D2^' ^x-'l ;ikp5yc —
+ k' 1 - kp^a?5
ôxàz f;2F
+ «' ( — kp'^(a:^/ 4- 22*) — ///2— -— I -t- 2 07'= o.
Les développements des coeflicients de ces équations peuvent être facilement obtenus, sans qu'il soit utile d'insister sur ce point, et par suite on aura aisément les développements correspondants des inconnues :z:', jk', z' , en appliquant toujours la même méthode d'approximations successives qui nous a servi pour le calcul des coordonnées lunaires. Et si Ton demeure au point de vue analytique, nous voyons encore que l'usage de ces équations pourra fournir des vérifications efficaces pour le calcul des coefficients des coordonnées ; et l'on en peut dire autant des équations analogues relatives aux autres paramètres £, V, /fl? '^0 STo- Bappelons seulement que, siy est une fonction de m et a, on a
n — ni 0 , „ i)f 2 \-^ m 1. àf
a du •' ' dm 3 3 „ V <ia
en prenant toujours
