LIVRE V
THEORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA TERRE ET DE LA LUNE AUTOUR DE LEURS CENTRES DE GRAVITÉ.
157. Soit généralement un corps céleste de centre de gravité O, et de niasse Mo, assimilé à un corps solide; soient de plus A, B, C ses moments d'inertie par rapport aux axes principaux Oç, Oti, Ow, relatifs au point O.
D'après le n° 6, la fonction de forces Y qui définit l'action d'un autre corps de centre de gravité S et de masse M sur le mouvement du corps O autour de son centre de gravité sera (en supprimant les termes manifestement indépendants des paramètres qui fixent la position du corps O)
où l'on désigne par /le coefficient d'attraction, par /• la distance OS, par a, [^, y les cosinus des angles que fait OS avec les axes O^, O/i, Os- Reportons-nous ensuite au n" 15. Soient 0:r, Oy, Os (Ji^'- ^) ^^^ axes rectangulaires de directions fixes, orientés comme Oi, Or,, O^ dans le sens direct; sur la sphère de centre O, soient G l'un des nœuds
de Ç71 sur xy^ et to l'inclinaison correspondante; si x(j = •!/, G^ = cp, les trois angles ce, •!;, a> fixent la position du corps O.
Considérons le vecteur A, moment résultant par rapport à O des quantités de mouvement des différents points du corps, et soit P le plan perpendiculaire à ce vecteur, coupant la sphère suivant un grand cercle P orienté dans le sens direct par rapport au vecteur h.
Soient H l'un des n<i iids de P sur xy^ z l'inclinaison correspon-
dante, et ^H = 0; soient de même K l'un des nœuds de En sur P,
0- l'inclinaison correspondante (c'est-à-dire de ;r, sur P) et Kç = y;
soit enfin HK = //.
Nous avons vu qvie l'on pouvait déterminer le mouvement du corps à l'aide des équations canoniques suivantes :
en faisant
^' = /( COS£, A- = h f'IlST,
11 — —-7 I H — sin-7 sin*/ -{ — >\n- ' cos-v — iJ,
•)Xi L A '■ \> J
et apjxlant U, dans cette dernière formule, la somme des différentes fonctions V qui correspondent aux corps S dont l'action sur O n'est pas insensible.
Si l'on désigne par/?, q^ s les projections de la rotation instantanée
du <)l\
fit ~ ôh '
dh ô\\
dt ~~ ~(hi'
fn <)\\
fit ~ <)o'
dff OU
dt ~ ' (m
df im dt ~ i)k '
dk ,)\\
dt ~ &f
du corps O sur les axes O;, Or,, O^, on a en outre
A/> = /( sin 7 sin/, Bq = /i sini co<y , Cs = hcos'7,
et ces quantités sont précisément les projections du vecteur A sur les mêmes axes.
Enfin, les angles o, ^, co, qui fixent la position du corps, résultent des formules trigonomélriques fournies par le triangle GïlK :
sin w sin ( cp — / ) = siii î sin «, sinto cos(o — / ) = cosE sin ^4- sin £ cos7 cos m, siniosin(<li — 0 ) = sin 7 sin u, sino) cos^tj/ — 0 ) = siu t eosa -;- cose sin 7 cos u, cos to = cos 'z COS7 — sin s sin 7 cos ;/.
Les équations (i) peuvent être transformées de diverses façons, présentant des avantages suivant les difierents cas.
1° Conservons h. £, 9, et faisons
i> = u -h y , ^1 = sin 7 sin /., 7j = sin 7 cos /. On trouve alors :
avec
dh dH
dt ~ ~dv'
dv ù\\ col ; d\\ cos 7 / d)\
dt dh h t)i A(i-i-cos7)\ ^ d'j\
di) cosécc OU
di ^ h IT'
di cosécj dW cot £ OW
Il ^ ~h W ir ~ih> *
f/7i C0S7 ()\\ 7iCOS7 d\\
dt ~ h 6'7.j "^ /t(i -t- cos 7) ÔV
dl-i COS7 ()\\ 7.2C0S7 d\\
dt ~ h (hi /((i-f cos 7) dv
H = -^^ (1 -+-ai7f -+- a2 75) — U,
ai
36o CHAPITRE XXVI.
2° Conservons A, et faisons
p = 6 + M-i-/, £i = sin £ sin ( «/ 4- y ), (7i = sincr sin /,
Ho = «in s C()s(« -r- ■/ ), a» = si 11 7 cosy.
La fonction H prend la même expression que dans le cas précédent, et l'on a
dh dt dv d~t
ôv
iM
COS l
)h //(n-cosc)\" àzi ' àii / /j(i + cosc7)\ O^i
dix cos^e dll OH Zicos: (>^II Ej cos t / t^II
dt h ài^ '' Oh /i([+cos£) ()v /i(n-cosc7)\ ' t^7i
<7£2 COS^S ^>H ^^H £-2 COS £ JH
«// ~ 7r^ Zh7 ~ '' Ja ' /< ( I -H c(
ç(7j COS 7 (^I 7, COS 7 / JH . <^ . ^ \
dt ~ h à7^ "^ A(i+cos7) V"J7 "^" ''^ ,777 ~ '' '^/
^7î COS 7 ^;il 7-2 COS 7 / 0\\ Ô\\ ()\\
\ dt h (ht ' A(i-h ces 7) \ (^ 'Oii '' c/£2
(ni\
£ ,m Cl C0S7 / <>H ^ '^\
3" En conservant les variables A, p, 7,, 3-2 du cas pi'écédent et par suite l'expression de H, faisons encore
On a
£1 = sin £ sin 0, £.2= sin £ cos 0.
dh à\i
dt Oi>
f^ - ^ co^s / OJl OH
dt à/l Â(l -h COS £ j \ ' rj*£i '^Oî^J /j(l -t- cos 7) \'' J7i
dt\ cf)s £ OH £iCOS£ OH
dt h Oi.2 /«(i-i-cose) dv
dto COS £ OH £2COS£ '^11
dt h Oii /î(i-f-cos£) Oi> '
dix C0S7 (^11 7i COS 7 OH
dt h O'Ji, /i(i-4-cos7) Ov
d^i COS 7 OH 72 COS 7 (^il
j of< h O-Tf /*(l-i-C0S7) (^P
158. Le cas du mouvement de la Terre, qui fait l'objet de ce Chapitre, est caractérisé par l'extrême petitesse de l'angle a-, tandis que
THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA TERRE. Sfil
l'angle s reste fini, égal en valeur absolue à 23», 5 environ, si du moins le plan fixe Oxy est celui de l'écliptique à une certaine date. Il convient alors de faire usage des équations (2), où nous allons mettre en évidence la fonction de forces U, qui ne dépend manifestement pas de h, de sorte qu'elles deviennent
^^' ^' , '' (^ ^-^ , ^ -•>; cotE(^U cns7 / ,m d\]\
f/0 coséc s d\} TTt ^ ~li ~ôl'
di coscc ; ôD cot i ô\}
di ^ h JÔ" '^ nr Ih^ '
«r/s, h cos 7 ^ cos 7 â\j cj, cos o ôV
dt G " h ôn-i /t(i -)- cos j) ôv ^
d-Ji h cos rs cos a «^U a.^ ces n d\}
dt G A t^Ti A(i-i-coscy) «^p
De plus
/^^X^'' ^^^B^-' *==^cos7;
et, en négligeant le carré de cr,
1 w = c 4- j cos a 4- . . . = c -4- Il sin t» -H T2 cos i' -f- . . . ,
< «p = M -t- y — j sin M cot î +. . . = p -h cot s (^i cos v — 7o sia f ) -f-. . . ,
( <]; = 0 -I- T sin a coséc ;-+-.. . =0 — coséc s (tr, cos i' — o-, sin p)-i-. . . .
La fonction U se présente naturellement comme dépendante des angles cp, -i^, w; les dérivées partielles de U qui figui^ent dans les équations (5) se calculeront donc par les formules
dV . âU ( ù\} . d\j
-— = sill t" -— -)- cos V I col l -. COSeC l -rr-
— — = cos V SU! t' ( cot c -; COSCC Z -77-
ars., dio \ ô'St d'I^
les termes non écrits, indiqués par des points, étant de l'ordre de t.
11 est iiifiuinieiil plus avantageux, el plus conforme à la naUire même de la question, de rapporter directement le mouvement de la Terre au plan de l'écliptique mobile, el non à celui de l'écliptique fixe d'une certaine date. Supposons donc que Oa^y soit l'écliptique à l'origine du temps, l'axe Oa; étani dirigé vers l'équinoxe moyen correspondant ; l'écliptique x'y' de l'époque t est définie par la longitude 3 d'un de ses nœuds N sur xy, et par l'inclinaison correspondante / ; de plus, on peut choisir l'axe Ox' de telle façon que l'arc x'^ soit égal à xN ou 2r ( /ig\ b).
Dans ces conditions, si H' est l'un des nœuds du plan P sur x' y\ nous appellerons z l'inclinaison correspondante, et nous ferons ^'H' = 9', H'K = w', t/= a -\- y ; il faut déterminer directement les nouvelles variables v' , H' , s', qui doivent être substituées à r, B, s.
Imaginons pour un instant que les quantités / el B soient constanles,
Fis. b.
de sorte que les axes Ox'y' soient fixes. Il est clair alors, puisque l'on fait simplement un changement de coordonnées, que les équations (5) subsistent entièrement, en remplaçant c, Q, e par p', f)', s', el supposant la f<)nclion U exprimée à l'aide de ces nouvelles variables {h, T,, 0-2 ne sont aucunement modifiées).
Il est facile maintenant de tenir conqjte de la variabilité de i et ."^7;
il suffit évidemment d'ajouter aux valeurs des dérivées^-? —r-i -^?
J dt dt dl
telles que les donnent les nouvelles équations (5), les compléments
qui sont dus à celle variabililé, soit
t>p' di ()v' dJj ôi dt ()?j dt '
el les expressions analogues relatives à 0', e'. Or, le triangle NHH', dont les éléments sont
NH = 0 — Ht, MI' =.0—^7, nH'=<' — p', H'=£', 11 = 7: — £, N = t,
donne, en y faisant varier r , H\ i avec i et 2»,
sin i' dv' = — sin (0' — S') di -f- siii j cos (0' — S'j l'A^, sin e' c/(0' — 2i) = cos £'sin(0' — XT) /•// — [sin s' cos t h- cos E'sin t'cos (0'— 2r)J d?S, di' = — cos (0' — 27j di — sin i sin (0' — Jj) dJj,
Supprimons alors les accents qui affectent r', H' e', c'est-à-dire supposons que leséléments du mouvement t^, Q, c (et de même m, w, o, 'i, qui en résultent) se rapportent réellement à l'éclipticjue mobile de l'époque ^ x'y' : les é{|uati()iis (5) et celles cjui les accompagnent subsisteront ciilièi-ement à la simple condition d'augmenter
la valeur de -r- de la quantité u. cosécs,
la valeur de — de la quantité ( i — cos i) — [j.coh
la valeur de -^ de la quantité — ),,
en posant
r- di ....,, ,. d?i /. = cos (0 — :j) -, — (- sui i sin (0 — :j ) -f- 1 dl dt
. , ^ r- ^di . . , ,, r- ■ dlj
[j. —-— Sin (0 — Sr )-7- -H sin i cos (0 — .■?) -— •
La fonction U se compose ici de deux parties V, V, provenant respectivement de l'action de la Lune S et du Soleil S' ; d'une façon
générafe, nous désignerons par les mêmes lettres les éléments semblables qui correspondent à ces deux astres, en accentuant ceux relatifs au Soleil, et il suffira de raisonner sur V par exemple.
Envisageons spécialement la partie de V qui dépend de la diflerence B — ^A, et observons que Ton peut échanger A avec B, à la
condition d'augmenter en même temps y, c, es de -• Le coefficient •^— est sensiblement égal à /^^ ts îï> si l'on appelle n le moyen
mouvement de S; d'autre part, il est clair que si y désigne la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même, on a sensiblement aussi h = Cy. Il résulte de ces observations, de la forme des cosinus a et |3 sans qu'il soit nécessaire de les calculer explicytement, et de linspection des équations (5) et suivantes, que les inégalités des éléments du mouvement -^r-:> e, 0, e, 5, o, d», w, qui sont du premier
ordre par rapport à la fonction V et qui contiennent le facteur B — A, sont nécessairement des inégalités périodiques dont la période est très voisine d'un demi-jour sidéral, et dont le coefficient est
de 1 ordre de grandeur de -rr tt zr- -^ — ; il en est de même pour
les inégalités analogues de t,, <J2, p, 7, avec cette seule différence que leur période est voisine du jour sidéral ou de son tiers. Le rap-
l)ort — ;;; — cst extrêmement petit, et il en est de même de -rr r^ rr-;
i C i ' yî M -t- Mo
toutes ces inégalités sont donc entièrement insensibles, et comme on peut certainement négliger le carré de — -.; — > nous voyons finalement
que 1 on peut sans aucun inconvénient réduire V à sa première
