partie

dans ces conditions, la fonction U est indépendante deo, et l'on peut ajouter que les inégalités de 7,, as, fi ^7 q'^ii sont du premier ordre par rapport à U, sont des inégalités périodiques dont la période est très voisine du jour sidéral.

Convenons alors de négliger partout le carré de la très petite quantité 7, ainsi que les quantités de l'ordre de Ut: la suite justifiera amplement ces conventions. Les équations (5) et suivantes se sim-

pllfient et fleviennent, en remplaçant h par C/ :

'Il

Tt

(h Tft

dt

I ,m Cy'sin ; i)'\/

cot i d\}

-n—J Fr~= — i ;^ I-^ cosec i,

dt drs^

\-dï-^J''^'^='

sin p ô\}\

Ooi sin £ à'}^/' d^2 . i / . à\J cos (^ d{]\

dt •' Lj \ 0(.o sin c d'h / '

P = tJ ^1

(.0 = 3 + ^i Sin ^• -T- ^^cos c, ; (1/ = 0 — coséc 3(7i cos (• — 7^ sine), 9=j>4-cot£ (7,cosi^ — Tosinc);

et dans les expressions des dérivées -—, — -r , on pourra remplacer (o '■ (Jm o't' ^ '■

et <l par e et 9.

La quantité J est donc une constante; et par suite il en est de même de la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même, c'est-à-dire autour de son axe instantané; cette vitesse est en effet précisément égale à Jj puisque nous négligeons le carré de t.

Appelons maintenant «o la longueur définie par la relation

ainsi que nous l'avons fait dans la théorie de la Lune au n" 122; si a est aussi la constante définie au n" 132, de façon que l'on ait

la quantité c étant cidle que nous avons déterminée aux Cliapitres XXI et suivants, et si nous faisons

on a

1 ]'■ a* Mo-+- M

Si l'on fait de même

/(M'+ Mo 4- M) = n'2a'3,

en appelant M' et n' la masse et le moyen mouvement du Soleil, conformément à notre convention générale ; puis

et

~~ -1 j'- M'+MoH-M V

on aura

V' = — Gy»/i'c'3Y'''.

La fonction U est donc égale à

Soient / et b la longitude et la latitude de la Lune, rapportées à récliptiquc mobile x'y' : ce sont précisément les coordonnées que nous avons calculées au Livre précédent, ainsi que nous l'avons observé quand nous avons étudié l'influence du mouvement séculaire de l'écliptique. On a immédiatement

Y = cos b cos / sin ^ sin to — cos b sin / cos ij; sin w -t- sin b co% oj = cos r» sin b — sin to cos b sin ( l — J/),

et par suite, en n'écrivant pas un terme indépendant de io et '^,

v2 = - sin^ w[i — 3 sin- 6 — cos* 6 cos (2^ — -it]/)] — sin 210 sin 6 cosZ> sin(/ — 1\)).

Si de même l' est la longitude du Soleil par rapport aux axes Ox'y'.) la latitude étant entièrement négligeable, on aura plus simplement encore

y'2 = - sin2(o[i — cos (2 /' — 2 '!>)].

Désignons par N, N,, No les longitudes moyennes de la Lune, de son périgée et de son nœud, ainsi que nous l'avons déjà fait au Livre précédent, par N', N^ les longitudes moyennes du Soleil et de son

périgée. Toutes ces longitudes sont comptées à partir de Ox', et leurs mouvements sont respectivement n, «,, n^, n\ n\. En négligeant les inégalités secondaires extrêmement petites du mouvement de la Lune, la fonction p'(i — 3 sin- 6) est développable sous la forme Qo -}- S Pq cos Vo, en désignant par P^, Qo des constantes, par ^^, des arguments distincts non nuls, de la forme générale /) IS H-/?, N, 4-/>2 ^2 H--/-»' ^' -\- p\ ^",, la somme .v des entiers Pi P\-, Pli p'i p[ étant nulle. On voit sans peine que si l'argument Vo est à longue période, le coefficient Pq correspondant est extrêmement petit.

La fonction p-' cos^ b cos 2 / est développable de la même façon sous la forme SPo cos Vj, les arguments Vg étant semblables aux V'^, mais la somme s étant égale à deux. Si l'argument V"o est à longue période, le coefficient P2 est encore petit; toutefois, on pourrait craindre que cette petitesse fût insuffisante à compenser l'efifet de l'intégration lorsque l'argument Vo est égal à2Nj, puisque le mouvement de N 1 est extrêmement lent; mais nous avons déjà vu au n° lo4

que le coefficient Po a\ail alors pour partie principale — -^^nie'-^'-

(d'après les notations employées dans la théorie de la Lune), et par suite aucun effet sensible n'en peut résulter.

Enfin, la fonction 2p^ sin b cos b sin / est encore développable sous la fomie SP, cosV), les arguments Y^ étant tels que la somme s soit égale à un. Le seul de ces arguments qui soit à longue période, avec un coefficient sensible, est N2; nous appellerons spécialement Q, son coefficient, lorsque cela sera nécessaii'e.

De la même façon, nous }>oserojis

p'3= Q;-i- V P;, cos V'o, ;i'»COS .îf = iPUos V'2;

en négligeant les perturbations périodiques du mouvement du Soleil, les arguments V',, V'^ sont ici de la forme p'W -i- p['N[, la somme des entiers p' el p[ étant nulle ou égale à deux. Les coefficients Q^, Py, P^ dépendent uniquement de l'excentricité de l'orbite solaire, et dans Q^, on devra tenir compte de la variation séculaire de celte excentricité; pour les P,', et P^, ce sera inutile. Enfin, remarquons que d'après les formules du mouvement képlérien, le coefficient Pj, qui correspond à V^ = 21N j, est exactement nul.

Finalement donc, on a

U=— ^sin2co[A■Qo+/c'Q^,+ />-i:PoCos^•o4-/c■i: l'i, cos V; — k S P, cos (\, — 2 6) — /,-' i: ?\ cos ( \'.— ■>. ■;)]

H =^sin2M S/t P, ros(Vi — <!')•

Pour le Soleil, on a avec une approximation suffisante, d'après la théorie du mouvement képlérien,

Q'o + S Pycos \'^y =.!-(- - e'2-H 3 e' cos (Ps' — N'i ),

S P; cosV; = (i— - e'A C0S2N'— ^ e'cos(N'-4- N',)-+- f^ e'cos(3N'— N'i);

prenons alors pour origine du temps l'époque i85o,o et pour unité de temps la durée de mille années tropiques ; on a

et par suile, en représentant un nombre par son logarithme décimal

placé entre crochets :

Q'^, = [0,00018] -4- [îjSïa — ] t,

S P'^, cos ^'',| = [2,702] cos (N' — N'i), i: Pô cos Vi = [î,9997] cos 2iN'+ [3,924 — ] cos (IS'-f- IN',)

-h[û.7r)() ]cos(3N'— N'i).

Pour la Lune, il faut faire de préférence des développements numériques. Partons des données suivantes, qui résultent des calculs exposés au Livre précédent, et des formules définitives de ]M. Brown:

p =i-^[5,38—]: [2,7304] cos(N — N,)4-[2,ooii]cos(N-f-^i, — 2N') 4-[3,9i64Jcos('2N — ■l'S') + [3,473] cn^(:>.\ -- >Ni) + [4,955] cos (3N -N, — ?.^')-i- ...,

/ = N -i-[T, 04044 ]sin(N — Ni) -4- [2 ,3470] sin(iN + ^^—■^\) + [2 , o6o3 ] sin (2 N — 2 N') -f- [ 3 , 57 1 5] sin (2 N — 2 A 1 ) + [ 3,5i 10 — ]sin(ÎS' — N 1) -1- [3,3ooi — ] sin(2 N — 2 >v ) -t- . . . ,

h = [2,()5i84jsiii(N — No)-f-[3,690o]sin(2N — Ni— N,)

— [3,6854 — I sin f \i — Nj) -H [3 ,48o5] sin (N -h- N,- 2N') -,-[4,985] sin {■i\ -;- N, — A.— 2N') -f-[4 ,907] siii (^l-^ >.— i\ } -f- [4,755] sin (3N — N2— 2\'j-h. . ..

On en déduira, en ne retenanl que les termes utiles, c'est-à-dire ceux qui donnent dans Tun au moins des angles 8 et s des inégalités qui dépas^nt o",ooG :

Qo= [''",99674],

1 Po cos Vo= [7,2107] cos \;\ — \i) -+- [2,498] cos (N + Ni— 2X )

-f-[2,43o] cos (%>i — 2N'),

X P2 cos \-2= [7,994'^] cos 2 \ -+- [2,446 — ] cos (X -h Ni)

-1- [7,277] cos (3 X — Ni) + [3,608] cosîX.-h [4,8G] cosaX',

^ Pi cos N'i = [2,9531] cos X-j-4-[2,948 — ] cos(2X — X2)-l-[3,4o] cos(2X' — X.).

159. Nous allons aborder maintenant l'intégration des équations (6), en prenant d'abord celles qui déterminent 8 et e. Remplaçant

comme nous l'avons dit to et 'l par e et 8 dans les dérivées -r— » -77-,

dt

ch dt

= — / cos £ [/c Qo -+- A-'Q'i, + A- S Pq cos Vq + k' E P'„ cos ¥'„

— A- S P2Cos(V2-2 0) — A'S P', cos(V; — 2O)]

.cos 2 c ^ , „ ,-, . , ..dli

-+- j — ^ E a: Pi cos (Ni — 0) -+- (i — cos i) -r ;jicols,

= — y si 11 £ [ A- S P.2 sin ( V, — 2 0 ) -+- // :!: P'. siii ( V^ — 2 0 )]

— y cos £ S Â: P, cos ( Vi — 0 j — X, en se rappelant que -

. /A r^ dl ..... ^ (Hj

\— cos ( 0 — ;j ) -r- -h sin t sui (0 — .:J) -r-, dt dt

di

dJj

[J. = — sin (0 — ^) 7- -i- sin t cos (0 — .7)

Laissons de côté dans les équations précédentes tous les termes qui ont un caractère périodique, et faisons

yaQo+/^'Q;,) = s„-+-Si/,

en mettant en évidence la variation séculaire de Q[,, due elle-même à la variation séculaire de l'excentricité de l'orbite solaire. Il reste

-J- — — COS £ (So-H Si^; + (1 — cos i) -^ — [>. col £,

dt

On peut défînir le mouvement de l'écliptique par des formules

telles que

sin i i'in'^ = p = p'^ t -\- p' t'^ -\- p" t^ -^ . . . .

sin i cos "^ := q = q'^ t -t- q' f^ -^ q" t^ + . . . \

il est visible alors que les inconnues 0, s peuvent être développées elles-mêmes suivant les puissances du temps t. L'angle 9 n'aura d'ailleurs pas de partie constante, puisque l'axe Ox est dirigé vers l'équinoxe nioven de l'origine du temps; et le terme constant du développement de z sera égal, comme nous le verrons plus loin, à l'obliquité moyenne de l'écliptique à l'origine du temps, changée de signe, soit à — fo> C"!! faisant

d'après S. Newcomb, à qui nous empruntons les divei-ses données numériques fournies par l'observation. Elles sont, outre s^,,

So= 549o6",(),

et il en résulte, comme la suite le montrera,

Si = — <j"j366.

Faisons donc

0 = ht -t- h' t^ -\- h" P , \ = A« -!- k't -f- À"<2^

en écnv

anl

^\ dq . i ^ di ^ ■ a \ <fp „i ■ '^di

cos 0 -r- -\- -2 Sin- - cos .5 -p -1- sin 0 —. — 1-2 sin^ - sm .j -7-

dt 1 dt \ y dt 1 dt

■ ,. Wf(J ■ ^i cdi'] ,,rdp . „ i . r^ di' - sin 0 -p -H 2 sin^-cos^ -j- -f- cos 0 -7- -h 2 sin^ - sm .v — dt 2 dtj Idt 2 dt

on a d'abord immédiatement les relations

/.' = 2<7' — p° fi^

À" = 3q" — ip'^h'-^'xp'h)— - q^'(/i'^ — pOpO— qOq") ;

".jlO = po, ■x' — ■>./>' H- q^ h, ix" = 'ip"-\- ( q<>h'-h -iq' h) p'^ih^ — pOp^— q^q°).

11 vient ensuite, d'une façon évidente,

en même temps que

Il = Socos :o — [x^ col co,

XO IJ.0

■ih' — Si cos £o — ^^**^o sin ^o — p-cot s,, H — . ■■ > 3A" = ).oX»SoCOs Eo— ( X^Si -f- - X'Sj ] «in £o— !•«•" cot £„

XOui'+ - ;jL*>X' , . „ 2 ' / sin^ -■■

r , cot £|, I

X").» IJ.0 -. -H - (/D» q —gOp ).

Sin- £/> 2 '' ï ^ '

Eft'ectuant les calculs d'a])rès les données indiquées, il vient donc

X = — 468" , 37 — I " , 75 / — 3" , (9 /-, [ji = •'')3",4i — 7'>")^9 ' ■+- '»") M /',

^— £ = 23"27'Ji",C)8 — 4GS",37 / — o",88<5-t- i",H3 <^ — 6 = 5oi\ j" . 3o / -(- 1 1 I " . 1 3 /2 ^- (," ^10 t^.

Il est facile maintenant d'achever l'intégration des équations qui déterminent H et î. Comptons les longitudes N, N,, No, ... toujours dans l'écliptique mobile, mais à partir du point x", tel (jue l'arc x' x" soit égal à la valeur de 0 que nous venons d'obtenir, et par suite à partir de l'équinoxe moyen de la date i, ainsi que nous le verrons dans un instant. Ceci revient à remplacer N, PS , , Nj, ... par j\T | 0^ ]\T| | 9^ N^ l fj^ • nijiis nous conserverons les lettres n, /i,, «21 ••• pour désigner les mouvements des nouvelles longitudes, et nous appellerons aussi généralement rrif,, /n,, mj, m^, m'^ les mouvements des arguments V,,, Vi, Va, V,',, V,,. On aura alors, en se bornant à une première approximation plus que suffisante, les expressions suivantes pour compléter les valeurs déjà obtenues pour — 0 et — £ :

AO

= cos £«2

l'„sin\

|>;^sinV;,— ^-P. sin V,— ^^ P:,sinV'^

cos 2 £0 V /'^ 1) • \r

— ^ 7 ^i— l'isin V|,

Sin £„ Jm^ /»i

-A£ = sin£oy //ip,cosN',-t- -4- P'. -'os V, ) - cos eoY ^ P, co-, V,

Toutefois, quand il s'agit de l'argument V( ^No, pour lequel le coeflicient P( a la valeur spéciale Q,, on devra tenir compte, pour plus de précision, de la variation séculaire de l'angle s; ceci revient, comme on le voit sans peine, en négligeant des ternies insensibles, à augmenter — A 0 de

et — As de

^"' ( * ~^ ,;„'ï ) ^os '0— Qi sin .\.2,

r/o/sin co — Qi cos \.; n,

On a, avec les unités choisies,

y = [6,36195], « = [4,9'ji4'i5], «1 = [2,85i4 j, Ho = [9, , J2836 — J, n' = [3,79817],

et l'observation donne 9", 210 pour le coefficient — — Q,cos£o de cosNj dans — Aï. U en résulte, en secondes d'arc,

et par suite, d'après la valeur de So,

yVv'= [î,'iii'^], .

d'où la valeur indiquée plus haut pour S,.

FinalemenI donc, on obtiendra, à quelques divergences insignifiantes près dans le dernier chiffre, les valeurs généralement adoptées d'après Nevvcomb :

— Aô = -4- o",o68 siii (\ — Nj) -+- o",oi 5 sin (N ~ Ni — ■>. N')-l-o",oo6 sin('?.N — 2N')

- o", 1*28 sin (\' — N'i) — o",2o4 sin 2 N -1- o",oi i sin (N + Ni)

— o",026 sin (3 N — ^l) -+- o",'>.09 sin .>, N2 — i", 272 sin 2N' -r- o",02i sin (N'-H \'i) — o'^o^o sin (3 N' — \',)

— f 1 7" , 2V/J -4- o",i74 ^)sin>'2 — o",()34 sin (2 N — \.2) -+- o" , o 1 2 sin (2 \ ' — ^ 2 ) ,

— Ac = -+- o" , 089 cos '2 ^ — o" , oo5 cos ( N -t- N 1 ) -t- o" , o 1 1 cos ( 3 N — N 1 )

— o" , 090 cos 2. ^ 2 + o" , j 5 1 cos 2 \ ' — o" , 009 cos ( ^ ' -H N'j ) -i- o" ,022 cos ( J N ' — ^ 1 ) -t- f 9" ; '^ I o -4- o" , 009 / ) cos Sj,

-+- o",oi8cos(2 N — \-2) — o",oo7 cos ('2N' — Nj).

THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA TERRE. S-j'i

Observons encore que des valeurs trouvées ci-dessus pour j'k et y A:', et en supposant

= iooooo, —

Mo-f-M ' a 34 19", 596

on tire immédiatement

2C L-, '"M 3^^^- Mo-^M "^^'J" 82,74'

mais il suffira de changer légèrement les données du calcul pour altérer ces résultats d'une façon assez sensible.

Il nous reste à intégrer les équations (6) qui donnent c, C) , (72.

Considérons d'abord celle dont dépend r : on voit immédiatement ([ue la partie périodique de v sera précisément égale à — A 9 cos Eo ; laissons-la de côté un instant, en même temps que les parties périodiques de 9 et e, et posons alors

V = -, (i — cosi) -r = vo-f- v^ -h V /2,

at dt

m = tj sin £ — V cos s = /«•> -H m' i H- m" t^ ;

il viendra

-7- = 7 -t- m, cil -^ '

et par suite, la valeur complète de v sera, en désignant par To une constante arbitraire,

(^ = Py 4- ( y 4- /?tO ) ^ M ^2 ^0 . COS So j

sans qu'il soit utile d'aller plus loin.

Une grande précision n'est pas nécessaire ici dans le calcul de m, en raison de la grandeur dey par rapport à m»; mais cette quantité nous sera utile plus loin, en même temps que )., ;^, v, et aussi

n = \x cos i -+- V sin s = — sin : cos e (So-h Si ^ = «"+ "'^ + «V^; aussi allons-nous donner dès maintenant les valeurs exactes de

On a

— IM cos £0 — ^ sin £0, « = — M sin i^-^ \ cos £0.

avec

M = v» -4- ( v' -I- ),» a» ) / -H ( v"-f- Xo ix'-h - >,' ,a« — ^- X'» À« v» j /% \ = tj."-i- ([ji'— A" v») / -4- / u"— À» v'— - X' V"— -î- XoX» jj.'') 'S

OU bien encore

n= - So sin 9. £0+ ( - Si sin 2=0-+- ^-"^So ces -AEo J /

+ (x'Si-f- -^ X'S„jcos2£o — À»>>**Sosin2£o ;

numériquement

V = — )()?. 1 v, ■>o — >'.i", 27 / — o",>.6 r^ , /?i =: 4*><>7i ,09 -i- ^'•79' 5 i '1 / -!- o", 12 /-, /? = v.ooh', r> — i^ >",^9 / — o",37/2.

Comme nous le dirons plus bas, on poiii le^artler Fangle c comme étant le temps sidéral, c'est-à-dire l'angle horaire de l'équinoxe vrai, pour le point de la Terre dont la verticale estpai-allèle à Oç ; le temps sidéral ne varie donc pas exactement d'une façon proportionnelle à la durée, mais est afTeclé d'une très petite ace chriiiion séculaire, et

de petites inégalités périodiques. Le jour sidéral, égal à ■ , ' ~ (pour

l'époque origine) est un peu plus court que le temj^s —^ de la révolution de la Terre sur elle-même, de o%oo8 environ.

Les équations qui déterminent G^ et o-^ peuvent être regardées comme des équations linéaires, non homogènes. La solution des équations sans seconds membres est de la forme

^i — S V^^-î ^i" {'//> — J \ '■'•1 ^2 ' K 72 = cr'o v''3Ct cos {/fi — j v''»! M f),

o"o, '/o désignant deux constantes arbitraires.

Mais les coeflicients a,, oco peuvent être pris égaux entre eux, et

leur valeur commune a,, ou ^ est alors égale à ^ . , d'après ce

A " ioî, ) '

qui précède; remplaçant ans>i s-,', par — ^j on a donc j)lus simplement

7, = (To sin (/.,! — y a,;, 0 , ^2 = ^0 '-"o» ( '/j> — ./' =<'> 0.

et cette solution a pour période (dite eulérienne) 3o3,5 jours sidé-

raiix; quant à la coûstante Tq, elle est certainement très petite, notablement inférieure à o",5 en valeur absolue.

Pour compléter cette solution, il suifii, en tenant compte de la petitesse de a^, ainsi que de la rapidité du mouvement de l'angle j7, de prendre les expressions approchées

I / . <)[j ces i> àV \

Acr, = — -:- sin i>- : -p ,

Lj- \ àoi SI 11 E wb I

en réduisant L à sa ])arli(' piiiicipalc

^sin^io i— % -i-X-cos(2N - m^) -<- A-'cos (2% — ai}/)) ;

il \ ient ainsi

As. \ So . siii / , . „ £0 sin \

A72 ( ] eus \ 2 COS P

,, . ■ , £» sin ) -,

— k sin £0 cos2 w (, 2 .\ )