CO

On a ensuite

et parles dernières des équations (6) :

U> = e -)- 7oCOS(P — y'y-o ( — y.) M- O", 009 — <•",<)()<') COS 2^ — o",003 COS 2N',

■^ = 0 — cosécso [ïosin(p -^ j y.^t — //) — o",oo(i sin i\ — o",oo3 sin 2N'|, cp=: p-f-cot £o[7osin(p -i-yao/ — •/.) — o",oo(isin2\ — o",oo:i sin aN'j.

Pour compléter cet ensemble de formules, il convient encore de chercher à lixer la .position du [)lan de l'équaUeur terrestre, c'est-

à-dire du plan passant par O, perpendiculaire à l'axe instantané de rotation : c'est en effet à ce plan que se rapportent les observations. En appelant P' ce plan, déterniinons-le comme nous avons déterminé le plan P perpendiculaire au vecteur /t, en employant toutes les mêmes lettres accentuées H', e', v', a-',, o-.'. Les angles o), cp, '^ s'exprimeront à l'aide de ces nouvelles cpumtités comme à l'aide des anciennes, de sorte que l'on aura

e'-i- j'j sin i>' -\- n'., cos v' = i 4- ^i sin «^ -I- Sj cos c, 0' — coséc £'(^'1 cos p' — n'.^ sin p') = 0 — coséc £( Ji cos v — a, sin p), f'-f- cot£'(c7', cos v' — 7'^, sin c') = c -4- col t (ffi cos V — ^2 sin v).

Mais, la rotation de la Terre étant représentée par le vecteur j normal au plan P', on a ici

P = y ^'1 , ^ = y ^'-2 , et par suite

ce

remplaçant —■, j par i -f- ao, il vient

e' = £ — «o(w — £,), 0'= 0 — ao(J> — 0), p'= (' — ao(cp — (•);

donc, en raison de la petitesse de a^ et de celle des différences w — e, 'i — Ô, cp — r, écrites explicitemeut ci-dessus, on volt que l'on peut confondre absolument les angles e', 9', v' avec s, 0, 4^; et ceci justifie le choix que nous avons fait de la constante £0.

Le problème du mouvement de la Terre autour de son centre de gravité est ainsi complètement résolu, du moins si l'on se borne au point de vue analytique, le seul qui retienne ici notre attention. Si l'on voulait aller au delà, il serait nécessaire d'examiner dans quelle mesure les observations, en particulier celles de la variation des latitudes, justifient l'hypothèse fondamentale que nous avons faite en assimilant la Terre à un corps solide.

Contentons-nous de l'observation suivante à ce sujet. Supposons qu'à un instant donné la verticale d'un lieu terrestre ait pour cosinus directeurs, par rapport aux axes O^/iÇ, les quantités

«cos p cos x, cos p sin a, sin ,3.

L'axe instantané de rolation de la Terre a lui-même poiu' cosinus

directeurs 4» -.> i, en négligeant toujours o-^.

La latitude A du lieu considéré, c'est-à-dire l'angle de la verticale avec i'équateur, est donc déterminée par l'équation

sin K = sm 6 -4- ros i. ( '- cos a -- ^ sin a

c'est-à-dire que l'on a

A = 3 -f^ '-..(.» a + A sin X,

si du moins le point considéré n'est pas dans le voisinage de l'un des pôles.

Le méridien du lieu est parallèle à la verticale et à l'axe de rotation; les cosinus directeurs de la normale à ce méridien, menée dans le sens direct, sont donc proportionnels à

cos |3 sin a — -.sin 3, — cos [B cos a + -. sin 3, cos [i ( — . cosa — ^sinaj»

et par suite égaux à

sin a H- tang ^ ( ^ sin a — — . cos a j »

— cos a -f- lang p ( -. sin a — —■ cos « ) >

-. cos 'X — — . sin a,

ainsi que le montre un calcul simple.

Si nous envisageons alors un second lieu pour lequel la verticale sera définie au même instant par les angles analogues a', j3', la différence des longitudes pour ces deux lieux, c'est-à-dire l'angle de leurs méridiens, sera

a' — a -Mang [j' ( ^ sin v.' — -. cos a' | — I a 11 g 'i ( -. sin a — -. cos a \ .

Ces diverses réflexions justifient encore ce que nous avons dit précédemment au sujet de la signification de l'angle v.

460. La théorie que nous venons de développer et les données sur lesquelles elle s'appuie nous font connaître la position de l'éclip-

tique de l'époque t par rapport à l'écliptique de l'origine du temps (i85o,o), et celle de l'équateur de l'époque t par rapport à l'écliptique de la même époque. En raison des besoins astroaomiques, il est encore nécessaire de connaître les positions de l'écliptique et de l'équateur de l'époque t par rapport à l'écliptique et l'équateur d'une autre époque quelconque t^. Tel est le problème que nous devons encore résoudre.

Résumons d'abord les résultats acquis en changeant légèrement les notations, pour les rendre plus conformes aux usages.

Soient Eq, yo 1 écliptique et l'équinoxe moyen de l'origine du temps; E, v, A l'écliptique, l'équinoxe et l'équateur de l'époque t,

l'équinoxe (de printemps) étant par définition le na>ud ascendant de

l'écliptique sur l'équateur (fig- c\.

N étant l'un des nœuds de E sur Eo, nous avons fait yo^ = -^^ ^t

l'inclinaison correspondante est /; ces quantités sont définies par

les valeurs de

/) = sintsin^, </ = siii / ros ^7.

L'arc ylN, que nous nommerons maintenant w, est égal à ce que nous avons appelé ci-dessus ?j — 0, et par suite, on a

to — 2; = — 0 = /(/ + /< '/2 + //" /3 + I' ,

en remplaçant — AG par P.

L'obliquité de l'écliptique, que nous nommerons s, est égale à ce ce que nous avons appelé — £, et par suite,

en remplaçant — As par (^.

Quand on fait abstraction de la nalation, c'est-à-dire des termes

|)ériodiques P et Q, l'équatour et l'équinoxe deviennent moyens au lieu de vrais, et il en est de même de l'obliquité : P est la nutation en longitude, Q la nutation en obliquité.

Laissant de coté dans ce qui suit la nutation, nous nous occuperons uniquement des mouvements de l'équateur et de l'équinoxe moyens, c'est-à-dire des momemenls de précession.

Considérons le mouvement de l'écliptique; pour le définir, envisageons le trièdre Oyyz, trirectangle, orienté dans le sens dii^ect, z étant le pôle de E; il suffit de connaître la rotation instantanée de ce

triédre. Or cette rotation est la résultante des trois rotations -r-' -t'

at lit

— —r-i portées respectivement [)ar les axes 0«o? ON, Or, en appelant vo le pôle de E^.

Les projections de la rotation cherchée sur Oy, Oy, Oz sont donc respectivement

di . . . (/S" cos M —r — sin w Mn ; — — > (/( (Il

di . . dJ^

dt ' dl

dio . dJj

dl dl

c'est-à-dire précisément les quantités désignées ci-dessus par A, p., v. De la même façon, pour définir le mouvement de l'équateur, il suffit de connaître la rotation instantanée du trièdre Oy^Z, trirectangle, orienté dans le sens direct, Z étant le pôle de A. Or on passe de OvJ^^ à 0^'YZ en faisant tourner le premier de ces trièdres de l'angle — z autour de y 5 par suite les projections de la rotation de OyYZ sur les axes O", OY, OZ sont respectivement

iji oos £ — V «in £ , [j. sin £ -t- V (O- ; ,

c'est-à-dire o, n, — /«, d'après les notations déjà employées.

Ces données suffisent pour résoudre à l'aide de développements en série le problème de la variation des cooi'données d'un point iixe S de la sphère céleste, que l'on rapporte par sa longitude / et sa latitude h à l'écliptique et à l'équinoxe moyen mobiles, ou i)ien par son ascension

38o CHAPITRE XXVI.

droite a el sa déclinaison o à l'équateur et à l'éqiiinoxe moyens mobiles. Si en effet x, y, :;, ou bien X, Y, Z, sont les coordonnées rectangulaires du point S par rapport aux axes Oyyz ou bien OyYZ, on a, en écrivant cpie la vitesse absolue de ce point est nulle,

—, ^ 'X z V K = (J , — ; N A -^ /Il \ = O ,

cl( ' - ' dt

dy . <l\

dt dt

dz , r/Z

dt -^ ' (Il '

et l'on lii'c immédiatement de ces formules

dl , /' , -, ff^ . -. .

dt " ^ ' " dt » t

db .... dZ

—- = u cfis / — A siii /, —- = /i cos a.

dt ' ' ^//

Dérivant ensuite ces expressions par rapport au temps, on aura les coefficients des développements en série cherchés.

Les coefficients — v, m, /?, rapportés à l'année, sont les précessions annuelles en longitude, ascension droite et déclinaison.

Si l'on fait

À = 5 cos 0, ;j. = 5 siii 0 ,

on a plus simplement

-7- = — V -4- s taiii; /v ros ( / — 0), dl ' "

— =5sin( /— 0); dl \ n

et si l'on conserve le même mode de notation,

sOeosOn=),", s = ).' cos 0» -4- u' siii 0»,

50 sin 0» = [jlO, 50 0'= — X' siii Qo + u' cos 0» ,

/ = À" cos 0» -+- [jl" sin 0" -+- - s" 0'2 ,

c'est-à-dire

snO" = )." si,, 00 4- ijt.V'os ()0— 5'0',

i=:i7i",4' — ()".8o /-+-<)", 57/2 0 = i73"29',1o"-f- SaSC)'! ,-+-56" Z^.

Mais,^si l'on doit éviter les développements en séries, il faut déterminer, comme nous l'avons dit, la position relative des deux écliptiques ou bien des deux équatours moyens des deux époques t et f, quelconques.

Marquant de Tindice i lous les éléments qui se rapportent à l'époque i» , sans qu'il soit nécessaire de les spécifier, soit I l'un des nœuds de E sur E,, et enappelanty l'inclinaison corres])ondante, faisons yl = a-, y, I = a-, ifig. cl). Le mouvement du trièdre Oyj'5 résulte

des trois rotations -p-, -{-■> — ^ autour des trois axes O:;,, OT, Oz^

dt rit fit

dt dt dt

et par suite on a

c'est-à-dire

dj . . uh,

K — cos -j ~ — sin a sin / — r-

dt •' dl

dj . . d'^\

a = Sin 7 -r 4- cos 7 sin / -7-

cl t <lt

dn .^7,

V = — -7- -t- cos / —j- 1 dl •' dt

-J- = X cos '! -\- \± sin 7 = 5 cos (7 — 0 ) , dt '

sin / -P =— À sin 7 -+- [xcos 7 =— s sin(c7— 0).

■' dt ^

Ces trois équations différentielles sont propres à dclcrniiucr les trois inconnues a-, t,,/, en obser\ant (pie pour <= /,, on ay = o, et par suite a = cr, = 8,, et appelant, comme nous en avons convenu, 0, ce que devient 0 pour / = /,. De plus on voit que pour ^ = /,, on a encore

cl si l'on remarque alors que les quantités jzTT^ ' t — t^ ^ ' ''*'"^'

que o^-t-T), nécessairement symétriques par rapport à ^ ai <,, on pourra clairement écrire les développements qui suivent, en continuant à ne pas dépasser le troisième dej^ré par rapport à t el tf :

a, [i, Y étant trois coefficients à déterminer (le développement de cr +.3-, ne peut être porté plus loin, comme on le voit immédiatement d'après les données acquises).

L'identification donne sans peine

Û = — -^ î-.î'V(v"-i-0')= o",io,

par suite, finalement :

-T- ( — HCxji" — -JV'/i ) (/ — /, j-^ 3"( / — /i )-,

-f- ( I I l",l) -+- t>",'Ï6fi)(f /i )2 + o",io {t — /if,

/= I 471", il — (i",So ii-h n", ".7 /l)(i — /i)

L'angle t — t, est la précession généiale entre les époques ti ei t.

Définissons maintenant de la même façon la position relative des équateurs moyens A et A, des deux époques f et ^,, en employant les mêmes lettres S, S,, J, au lieu de o-, o-,, j. On aura cette fois les équations

— — = m -\- cos J —J — f (ft at

di . ^

dt '

sin J — ;— = n cos S,

dt '

et l'on pourra poser

avec

n /ir' ru" fv

de sorte que finalement

- — -1 = (4Co7i",o9-i- '279", 44 tx-^(î\i'itX){t — tx)

-t- (i39",72 -^ o", 12 /i) (^ — /i)2+ 36", 32 (7 — tiY,

J = (200)1", 12 — 85", 29 /i — o",37 r]){t — tx)

+ (— 4->.", 05 — &", 37 ti)(t — t^ )2— 4 1", 80 (/ — /,)».

En rappelant la valeur de l'obliquité movcnne

nous sommes ainsi en possession de toutes les formules nécessaires pour déterminer les effets de la préeession.

Toutefois on peut se proposer de déterminer encore la position de l'équateur A de l'époque t par ra|)port à l'écliptique E, del'époque /, {fig. e); si I est le no'ud ascendant de E, sur A, et que l'on appelle 6

l'arc Iv,, y l'arc ly, rj l'angle I, il est clair que ces quantités seront déterminées parles mêmes équations que S, S|, J, à la condition de remplacer S par — y, S, par — 'l, J par — r,, de sorte que l'on a

f/y d'il

sin r, ~ = ti cos / ; ' dt ^'

de plus pour t^=tf, on aura -L = y = o, et r, = £, , en désignant

comtne toujours par £, ce que devient s pour l =z ti-

Les arcs --!; cl y sont respectivement la. précessio7i luni-solaire et

\a précessio?i planétaire entre les époques ^, et ;.

Faisons alors

m = «il -;- iti\ ( I — ti) -\- /)i\ ( I — h)"^ ,

puis

(carie terme en l — /, manque visiblement dans le développement de r, ); on aura les relations

/"sin £| = «1 , vy sin ;i = n\ , ^y" sin £i = /t'j — fr^ cos £i /l'/ij ,

/i = — /n 1 -i- y cos £ 1 , 2 A' = — in\ + .»./' cos : , ,

3 //'=-- /y/", -i- 3/" cos ^i — fr^' sin 3, , 2 r/ — kHi , 3 -r]" = /i n'i -f- A ' /î 1 ,

et finalement

-h(— io7",i3 — i",48/,)(^ — /ij"— i",53(7 — /,)%

+ (- 23;", 99 - i",57 /,)(/- ^)'— i",GG (l - t,f,

161. Supposons actuellement que le corps de centre de gravité O dont on veut étudier le mouvement de rotation soit la Lune.

Comme dans ce cas les angles o-, e, o) sont fort petits, nous ferons usage des équations (3) du n" Jo7, dans lesquelles les variables sont

h, . El = sinesin(M -f- )^), a^ = sina sin j(^,

p = 0-4-M-f-y, £2= sin £COs(a -H X,)) (T2 = sina cosj(^,

toutes les notations précédentes étant généralement conservées, sauf exception spécifiée.

En désignant ici par a, et ao les rapports très petits, eux aussi,

-^-,-^,ona

i(j \ I — ai I — «2 /

et par suite les équations du problème deviennent, en mettant U en évidence.

dh (m d\] dU

dt dv ozi oi2

dv h h

dt G C(i-+- cosa) \ I — ai i — a2

cose / dU d\Ji\ cosa / 0\] dV

d'ex h /j £g

dt G G(i + cosa) \ I — a, 1 — «2

cos^E d\} £iOos£ d\} sjcosa / d\} d\}\

( I ) / 1 1 ( (Tj f- ao — 1

^ '^ ' h dz-2 /i{i-t-cosE) (Jv /t( I -h cosa) \ da, d<Sz J

dii h h £, / a) ., a?

dt G G( I -+- cosa) \ I — a

COS^E d\] £2COS£ ô\J £,cosa / <^U d\}

-I — — 1 — - ( aj — ■ -t- a2 —

h de, /i(n-cos£) dv /t(i -4- cosa) \ da, ôvi

</a| «2 Acosa cosa dU ajcosa ( dli dXi d\}\

dt I — «2 G h daj /t (1 -+-cosa) \ df 'de, d£2/

(^aj a, /icosa cosa dU gacosa (d\i dU dU\

~dt ^ I — ai G '^'^ a" dai /i(i -i-cosa) \ de ^dei * de^/

ANDOYER 35

Les composâmes de la rotation instantanée sur les axes O^, Orj, OC

sont toujours

h II hco^rs

La fonction de forces U se présente naturellement comme une fonction des angles tp, t{/, w, et nous ferons

(p-4-tli = À, sin wsinci = W|, sinwoosy = (»2.

Le triangle GHK (n" 157) donne, comme nous l'avons déjà vu, les relations

si 11 w si n (cp — y^) = sin 3sin ?/,

sin wcos (9 — y) = cos ssin^ -+- sin icosicosu ; et par suite

sin to sin o =: a, cos £ -l- sin : ( sin «cos/ -f- cost cos us,\n y }, sin w cosç = ajcose -\- sin i ( — sin 11 sin/ 1- cosa cosucosy) ;

(.>,,o)a sont donc développables suivant les puissances de £|, £2, a-,, i^, et en négligeant le troisième ordre par rapport à ces variables, on a simplement

f,) j = £ , -H <Jt -4- . . . , (02 = £0 -!- aj -H . . . .

Dans un triangle quelconque d'angles A, B, G et de côtés a, />, c.

on a aussi

. B . C , sin — sin —

sm = sin« -

donc

. A sin —

^ sin -sin - . À — (' . 1 'X sin — sm II :

cos —

la différence À — «• est dévelo[)[)able comme <-),, fOo, et en négligeant les quantités du quatrième ordre,

Pour calculer les dérivées piirlielles qui figurent dans les ('quations

THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA LUNE. if^J

précédenles ( i). on a donc ♦'xactcmciit

')V dV

el à des termes près du s(Xond ordre,

à\J à\J } àV) àl] OU I (HJ

Mais, comme au Chapitre préeédeiit, il coiivienl de rapporter direcluent le mouvement de la Lune sur elle-même au plan de l'écliptique mobile, x'y' , l'axe Or' étant elioisi comme nous l'avons fait dans le cas de la Terie : si xy est réclip(iqu(; à l'origine du temps, Ox étant dirigé vers l'équinoxe moyen correspondant, et si \ est l'un des nœuds de x'y' sur xy^ on a x^ = x'^ = B, et l'inclinaison de x'y' sur xy est /.

Nous poserons aussi, coiume nous l'avons déjà fait,

/> = sin i siiiS', Y = siii /cos2r.

Les quantités que nous avons appelées X et jjl au ( Jiapiti(; prccé- <lent peuvent s'écrire, en négligeant le carré de /,

sin 0 -7- ^ cosO -/ , dt dt

dp . dq

oos 0 —' suit) -.-

dt dt '

en tenant compte du changement de signilication de 1 angle c, et continuant à négliger i-, on voit alors immédiatement que l'on peut regarder c, 0, s, C3, -i, o), A comme se rapportant à l'écliptique ViM>- \n\ç. x y\ et conserver les équations (i) et les siii\iiiil(s, à la seule <;ondition d'augmenter

<U' i l . dp dq

la valeur «le , de la fiuaiililc lain; - CosO, siii ') — i-

dl ^ ■->- \ dt dt

du 1 / ,. dp dq

dt -m: \ dt dt

di . ..dp dq

V — SMl(i-4 COsO-ri-

dl dt dt

Négligeant encore des quantités d'ortlre supérieur, ceci revient à donner aux expressions de -7-? ~i -7^ les accroissements respectifs

I , . .dpi. ■ \dq

- (£, Sint^ -f- EîCOSC) —, 1 (£1 COSP — SiSini') —f-y

a ^ ' dt 1^ ' dt

dp . dq

dt dt

dp dq

— sinp^ cosf^'

dt . dt

On peut réduire les développements de p et q à leurs premiers termes que nous avons appelés p'^t ei q° t\ posant alors

/>o= tocos&o, 5^0 = — ^osinS'o,

les quantités précédentes sont

- £iiosin(p — â'o) -+- - £2foCOS(P X^o), •

ïocos(f — â-o), — ïosin((^ — STo).

La fonction U provient de l'action de la Terre T; désignons toujours sa masse par Mo, tandis que M sera celle de la Lune; par /• la distance TO ; par a, [i, y les cosinus directeurs de TO par rapport aux axes O^tjJ^; nous prendrons U sous la forme équivalente à celle donnée précédemment

U = !ZJÎ!£ [(C- A )a'-f- (G -B)B2]

Soient Z et 6 la longitude et la latitude de la Lune par rapport aux axes menés par T parallèlement à Ox'y z \ on a

Cf. = cos6 cos/(cos«p cos(j> — sin <f>sintJ;cos w) •4- co^b sin /(cos? sirnl^ -+- sin cocos (J/cosa)) -1- sin b sincp sino),

i'X l'expression de ^ s'en déduit en augmentant cp de -• Négligeant a)%

a = cosbcos(l — X)-t- w,sin6 Wisinw cos6 sin(/ — ). -H ç),

2aî= cos»6-hcos2 6cos(-2/— -il) -^ 4 wi.sin6cos6cos( /— l)

— wf (i — 3sin2 6) — u>jcos2 6cos(2/ — -iX) — w,w2Cos*6sin (^l — 2),), '232 = cos^b — cos»6cos(2/ — ■?.l) -f- 4w2sin6 cos6sin(Z — X)

— (o2(i — 3 sin*6)-l- to| cos^ô cos (9,/ — 2X) — w, wicos^èsin (2/ — 2X).

Donc, en laissant de côté les termes indépendants de X, oj,, toj,

U = ■ ° [(ai — 5'..2)cos2 6cos(2/ — 2X) + 4aia)isinicos6 cos (/ — X)

+ ^0L2iOiSinb cosb sin(/ — X) — (a,(of-i-a2a)|)(i — 3 310" 6)

— (ajWj — ajtoiî) cos^ bco?>(7.l — 2X)

— (zi -f- a2) wi ojicos^ bs\n(il — iX)J.

Désignons comme au Chapitre précédent par N, N,, Nj, N', N', les longitudes moyennes de la Lune, de son périgée et de son nœud, du Soleil et de son périgée; toutes ces longitudes sont comptées dans le plan de l'écliptique mobile à partir de Ox', et leurs mouvements respectifs sont n, /z,, «2, /'', n[.

Posons

, 3 Mo ail a

2 Mo -+- M a' /• ' '

les constantes a et «o étant définies comme précédemment : ce nombre k est voisin de -» égal à i,486.

Faisons encore, toujours avec les mêmes notations,

p'(i-- 3sin26; = Qo4- X Pocos Vo,

p^C0S*6<-0S2/ =S PjC0sV2,

2p^sinfecos6sin / = SPi cosVi ; nous aurons

U = -î-Cn2/f[(ai-aî)2PjCOs(V2— 2X) — 2a,w,£Pisin(Vi— X)

-t-2a2W.2SP,cos(Vi — X) — (a,oj|H-a2w2)(Qo+SPoCosVo;

— (ai 10^ — a2w2)SPjCos(Va— 2X)

— (ai -+- a,) wi W2 î:Posin(V2— 2Xj].

Sgo CHAPITRE XXVII.

Si l'on Iranscrit alors les équations ( i ) en tenant compte des additions dues au mouvement de l'écliptique, et négligeant tous les termes du troisième ordre par rapport à l'ensemble des petites quantités oj, cr, /fl, a,, a^i on obtiendra, en substituant \^ <o,, (Oo à p, £,, £0, et faisant h = Cy :

dt

= /j2A[(ai — ai)SP2sin(V.— 2À)

-f- j (ai — a,)w,-4-aia| | SP, cos( V, — X) -4- J (a^ — ai)(02-l-a, cr., j i:P,sin(V, — À)],

d\ . 1 . . , ^ c X . ' • / - ex — = / -f- - W| «(,sin(À — ~'o)H W2'ocos(/. — «<o}

-y^i(wi — cr,)-!- -y72(w-2— 7,),

df>>i

dt

dixi-,

~dt

-h aow,^ P,cos( V2 — aX)

— j aaw, -t- (a, —«2)^1 j S P. siii(V2 — 'iX) ],

-^ = yaiCTiH r-[a,2:P,sin(V| — X)H-a|(o,(Qo-+-i:PoCOsVo)

'-+-a,to,SP.,cos(V2— 'iX) -l-i ait02+(a, — a,)^2| ^ P2 siu ( V, - 2X) ].

De plus,

/)=y(i-^a,)a,, q\=j{i-^cL.^rs,,^ s^jcos^.

162. L'observation nous apprend que l'angle X a très exactement le même mouvement que la longitude moyenne N, puisque la Lune tourne toujours vers la Terre le même hémisphèie, à des variations [)ériodiques près. On doit d'ailleurs supposer ici que cdlj; longitude N est affectée du terme en f-, qui correspond à son accélération séculaire, et dont le coefficient est extrêmement petit.

Si donc nous posons X = N + ./', x étant une quantité périodique

THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA LUNE. îgi

à très faible variation, les deux premières équations (2) deviennent

dN dx \ . ^ I

y= -^ -+- -^ — 7 W| foSin(N — .jo-+-ar) — -o)w'oCOs(N — &o-t- o^)

— -yjiCoj, — a,)— -yj..(w.— 7,,), cl^x d^?i i d .

-+■ «■V([(X| — a.) i: P. si II (V.^— -iN — 2x)^. ..].

Mettons en évidence dans le développement de p^cos-/> cos2 / le terme Q2 C0S2N, qui correspond à l'hypothèse V^ = 2N; d'après le Chapitre précédent, on a Qj == 0,988. En excluant dorénavant ce terme de la somme SPjCos V^, et faisant

/î=-2(x, — a,jA-Q,=:2,93(a, — a,), de sorte que

nous pourrons écrire

df^ ■}•' dl^

La fonction sin2^ est périodique, et d'après cette équation même, en raison de la petitesse de x, a>, o-, l'o? ne saurait avoir qu'une partie constante extrêmement petite; il faut en conclure, puisque x ne varie qu'entre des limites très étroites, que sa partie constante diffère extrêmement peu d'un multiple de - 1 que nous pouvons prendre nul : ce qui revient à dire que l'axe O^ sera très sensiblement dans le prolongement de la direction moyenne du vecteur TO qui va de la Terre à la Lune. Dans ces conditions, nous pouvons encore, l'angle x étant très petit, remplacer sin2J7 par 2:r, et supprimer a: dans le second membre de l'équation précédente, qui devient

( 3 ) -7— 4-/'' n-^x = — - H 7- ftoi j'o sin ( N - - Jjo) -+- w. f'n cos ( 1\ — &o )

at'' al- :>. dt

,yai(w, — J|) -fy5r..(o),— cr.,)]

+ n2/.[( a,— a,)SP.,sin(V2— 2N)

-^ |(a, — a,)toi+a,a, J^SP,cos(V,- N)

+ '(ao— a,)(o,-f-a,7, ; )L\\ sinfV,-N)l.

C'est une équation linéaire en x^ dont il est facile d'obtenir la solution générale; l'intégrale do l'équation sans second membre est

d'abord

^ = F si n (//i ^ -l-/o ),

en désignant par F et/o deux constantes arbitraires. Pour que cette solution soit réellement périodique, il faut que la quantité f'^ soit positive, ce qui exige «) ^ y-i-, ou A <^ B : des deux axes O^, Or|, c'est donc à celui qui est dirigé suivant TO que correspond le plus petit moment d'inertie. Pour compléter cette solution, supposons le second membre de l'équation (3) mis sous la forme /i^/rSSsinV, le mouvement de l'argument connu V étant mn. Il est clair que pour obtenir la valeur complète de x^ on devra prendre

et par suite, il faut s'arrêter aux arguments V pour lesquels le coefficient S est grand ou bien le rapport m petit. iNous y reviendrons un peu plus loin : mais nous pouvons répéter dès maintenant que la quantité x est très petite, et qu'il en est de même par suite de la constante F, que les observations ne permettent pas de déterminer. Il ne faut pas oublier d'ailleurs que l'observation terrestre d'un angle à la surface de la Lune le réduit dans le rapport, inférieur à — 5 du rayon linéaire de la Lune à sa distance de la Terre.

En raison de la petitesse de J7, on peut sans inconvénient prendre y = n dans les dernières équations (2), et y remplacera par N. On obtient ainsi, pour déterminer w,, (02, <t,, (73,

— j- «0)9-1- n{\ -\- ao)^^ = foCos(N — S*oi,

— — ^ -f- nwi — ti{i -f- ai'ta, = — i,, sin (N — S'y),

-j- -I- n/ca., (Qy — Q.^Mij.^-t- na-i^-j <4) / = nA-[a2SP,co^(Vi— !\)- a,(02SPoC.>sVo+a2W2SP2Cos(V2— 2N)

— } a.wi +(«1 — a,)ffi| SP.,sin(V.— 2N)],

— ^ — iikoLx (Qo-+- Q')''^! — n^\ ^\

I = nA-[a, 2Pisin(Vi — N)-t-a, WiSPoCOsVo + aiW, SP2ros(V2— 2N)

H- I a, W2 + (a2— ai)a2 ' 2P2 sin (V2— 'iN)].

THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA LUNE. Sgî

Il est facile d'intégrer ces équations par approximations successives. Si nous laissons d'abord de côté les seconds membres, nous avons des équations linéaires homogènes pour lesquelles nous pouvons chercher des solutions de la forme

Wj = Fi sin(///Y +/n), ^i = (>i sin(/«jf -h/o),

coo=:F.cos(//?/-h/o), ::.. = G.>cos( f/it+/o),

en prenant pour y,, une constante arbitraire et déterminant f ainsi que les rapports des coefficienls F,, Fa, G|, G2 par les relations

/F,-F, + (i + a,)G, = o, /F, — Fi + (i + a,)G, = o, /G,-^ ^a,(Q„- Q,)F,+ a, G, = o, /G, + Xai (Qo 4- Q.>) F, + a, G, = o ;

rappelons d'ailleurs que l'on a Qo = 0,9925. On en déduit l'équation enf-

/*-/'[' + «1 «2 + ^'^1 ( » + ^d ( Qo ^- Qi) -4- A-a, ( I -+- ai) ( Qo - Q-,) 1

+ aia,[i^A:(i-^a,)(Qo4-Q,)][i + A-(i-ha,)(Qo-Q-.)] = o,

qui admet une racine voisine de l'unité

/^= I -t- Aa,(Q«+ Q,) -+- /fa,(Qo- Q.) + . . . , et une autre, de l'ordre «i a^,

/"2^ ai a,[i-+-Â(Qo + Q.)][i + /^-(Qo-Q. )]...;

dans ces expressions, nous avons négligé les puissances supérieures des très petites quantités a, et a^. Pour que la solution considérée soit d'ailleurs réellement périodique, il faut que le produit a, «a soll positif, c'est-à-dire que G soit le plus grand ou le plus petit des Irois moments principaux A, B, G.

Numériquement, on a d'une façon suflîsammenl exacte

/'2 = i^2,94at-i-..., /' = i + i,47a.-)-.--, /"î=a,a.,(3,92H-...), /" = v/a7r,(i ,98 + . . .).

Si l'on nomme encore F' et F\ J^^ el J"^ quatre constantes arbitraires, on trouve ainsi pour la solution des équations (4) privées d(!

seconds membres, en négligeant oci et oca,

w,= ¥' s\n( /' nt -^ fa) -{- F" s'inif" nt -^ fl),

oj.,= F'cos(/'/î^-+-/o) — 2i/^F''cos(/"/i<-f-/;),

ai= -+-F"sin(/"/î<-f-/o),

a.,= a i/flp"cos(/" ///+/;).

De même que F, les constantes F' et F" paraissent très petites, et l'observation ne permet pas de déterminer leurs valeurs.

Pour achever l'intéi^ration, supposons en premier lievi que les approximations successives donnent pour les seconds membres des deux dernières équations (4) des développements de la forme /i/.SS, cos\ , /iÂ']SS2sin V, les arguments distincts V étant connus, ainsi que leurs coefficients. En appelant mn le mouvement de V, faisons

si l'on néglige la quantité koc^ÇQo — Q2), et que l'on remplace

/.a,(Qo-4-Q,)

par 3a,, on voit sans peine qvie l'on devra prendre, pour compléter la solution précédente, à des quantités insensibles près :

w, = ^ ^ [ — m Si -I- ( m^-t- a, /n^ — y..) Sj ] sin V,

W2= 7 ,, [ — (/«"-+- «im^ — 4 ^'i) Si -+- /n S2 ] cos V,

Ti = 7 \î[*^"^^ — ' — 3ai ) m Si-l- a2(//i* — i)S2JsinV,

"^ ^^J\ f~ «iC"*'- 4)St- m (m2- ij 82] cos V;

l'attention devra donc se porter surtout >ui' les arguments V pour lesquels les coefficients S,, So sont notables, en même; temps que leur mouvement m/i est voisin de n ou bien très petit.

Les termes principaux du développement l'P,cos Vj sont

0,08977 c-'s Nj— 0,08875 cos (v, N — N2), et nous allons d'abord nous borner à leur considération. Il en résulte,

THÉORIE DU MOUVEMENT DE ROTATION DE LA LUNE. SgS

jX)Ur V = N— ISo,

Si = o,ooio'2 a.2, 82 = — o,i7852ai;

prenons alors, avec F. Ilajn, a^ = 7 ai ; comme on a ici

il vient

et par suite

0),.= - 33,08 "' sin(N — N,),

i — 3b > ai

M3 = ~ 32,95 -^p — cos (N — Nj),

I — io) a,

îî = 4-0,26/, -i^— cos (N — N, ),

1 — 365 ai

el ces résultats seraient très peu changés si l'on ado[)tait une aiilr(r

\al('iir pour le rapport —

Supposons que les valeurs complètes de Wj, (O2 soient les précédentes, augmentées de 8(0, Swo, en désignant ainsi des accroissements périodiques fort petits, qui ne contiennent aucun teime sensibh; dépendant encore de l'argument N — J^^l «n aura

w, sin (^ — X,; -h «2 cos (N — N-2)= sin wcos (X ~ «l' — ^' -H ^t)

I — 363 ai

l<;s lermes non é( rlts étant périodiques, très petits.

Or l'observation nous apprend non seulement (pic Li dilTércuce 1 — N reste extrêmement petite, mais qu'il en est de- mciiic de la différence 'h — ^2, en prenant pour le point (i, délini au n" 157, le nœud descendant du grand cercle çr, par rapport à xy ou plutôt .x'/'; l'inclinaison 0) reste donc toujours voisine d'une valeur moyenne to» telle que

sino.o = -n,o,5j— 1^;

j)renant encore avec V. Hajn

on en déduit

ai = 0,000626, a, = 0,000470,

w, = — 5536"sin(N — N.2), 0)2 = — 55 14" ces (N — Nj),

ai = Œj = 44"cos(N — N,).

Les quantités a,, «2 étant positives, C est le plus grand des trois moments d'inertie principaux de la Lune.

En examinant les équations (4), on voit que le seul argument V dont il soit nécessaire de tenir compte encore est l'argument N, — N^, pour lequel /?i = 0,01 247.

En prenant les termes (l'exaclitude du dernier chiffre n'étant pas absolue)

EPi cos Vi =...-4- 0,00246 cos(iS -^ Ni— N2)-t- 0,00744 cos{N — Ni -h N,)-t-...,

SPoCos Vo =...-+- 0,1624 cos (N — Ni) -4-. . . ,

2P2 ces Vj ==... — 0,0279 cos (N -+- Ni) -H o, 1892 cos (3N — Ni) -+-... ,

et se servant des valeurs déjà trouvées pour u),, 0^2, '1, o-o, on trouve, relativement à rargiiment N, — N2,

Si = 0.01283 a2 = 0,00962 ai , 8-2 = — 0,00641 «1 ;

€t, par suite, les compléments suivants pour les valeurs des inconnues

oji = + 146" sin ( N'i — Ns), (02 = -t- 71" cos (Ni — Nj), cîi = -1- 145" sin ( Ni — Ni), aj = -h 69" cos(Ni — N2).

Il nous reste encore à tenir compte des seconds membres des deux premières équations (4) : on verra sans peine qu'il en résulte les seuls nouveaux compléments peut-être sensibles

w, = — - • sin (N — :îo), "J2 = — ô cos (N — .^u ) ;

3 /ta, 3 «ai

mais le coefficient -— ^ ne dépasse pas (>", et par suite ces termes ne 3 «ai * ^ ^

sauraient avoir aucune influence sur les observations, de sorte que

nous pouvons encore les négliger.

Revenons maintenant à l'équation (3), pour calculer effectivement

la valeur de x. Faisons d'abord V :::= jN — Ps 1 , d'où m = 0,9910. En

prenant les termes

£ P2 cos V2 = . . . — 0,0279 cos (N + Ni) -+- o, 1892 cos (3N — Ni)-+-. . . ,

on a S = 0,2171 (a, — a^), et par suite le terme correspondant de x est

— ii"sin(N — N,).

Faisons encore V=]N' — N'j, d'où m — 0,0748; en prenant les termes

SP,cosV2 = ... — o,oo344cos('2N-h N'— N'j)

-H o,oo3o4 cos(2N — N'-+- ?s", )-+-.. .,

on a S r= — 0,00648 (a, — a^), et le terme correspondant de x est

-HOo"sin(N'— N'j).

Un autre argument V^ à longue période serait alN, — 2N2; mais le coefficient S correspondant, provenant soit de la somme i]Posin(V2 — 2N), soit des produits tels que oj,SP,cos(V, — N), t02SP,sin(V| -IN), est extrêmement petit, et difficile à calculer exactement; d'autre part, comme on a pour cet argument />i- = 0,000622,

tandis quey-= 0,001 834 ( i ^ )' onvoit que l'incertitude qui règne

en réalité sur la valeur du rapport — ne permet d'obtenir aucun résultat digne de la moindre confiance. Ori vérifiera encore qu'il n'y a pas lieu de considérer d'autres arguments V, ni de tenir compte du mouvement de l'écliptique; et il faut ajouter, d'une façon générale, (pie tous les coefficients que nous avons déterminés, sauf ceux qui se rapportent à l'argument N — No, sont très notablement modifiés

quand on vient à changer la valeur adoptée pour — •

Rassemblant les divers résultats obtenus, sans qu'il j ait lieu de chercher une plus grande exactitude, nous avons l'ensemble de formules suivantes pour déterminer effectivement le mouvement de la Lune sur elle-même, rapporté à Técliptique mobile, ou en d'autres termes la libralion physi'iiie (on réelle) de la Lune :