LIVRE VI
THÉORIE DES ANCIENS SATELLITES l»E JUPITER.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBI.hlMI
163. L'étude du mouvement des quai if anciens satellites de Jupiter constitue un problème nettement délini, mais d'une grande complexité, surtout au point de vue numérique, car il dépend d'un grand nombre de constantes qu'il est fort difficile de déterminer d'une façon précise.
Sans remonter aux n'^'^Set 6, nous pouvons en foruier les premières équations de la façon la plus simple et la plus rapide comme il suit.
Soit S le centre de gravité de la planète .lupiicr. dont la masse sera m : la lettre S désignera aussi la planète elle-même, sans cojifusion possible.
Soient dans les mêmes conditions S,. S^, S^, Sj les quatre satellites dont nous cherchons le mouveincnl. rangés par oidrc dt; distance croissante à S; /«,, ma, nij^ ni; leurs masses; soit aussi S,, le Soleil, de masse //iy, i^l généralement S^^ des corps ([uelconques de
masse m,
Appelons toujours /le coefficient d'attraction, /mm^V^, le potentiel d'attraction entre S et 'S,,^ fnipntqY ,„, le potentieFentre S^ elS^, les indices /?, q étant distincts quelconcpies, tant (ju'ils ne sont pas spécifiés. Si Xp^y-p^ Zp sontles coordoum'cs reclangulaii-(;s de S^, par x-apport à des axes de directions fixes (rorigiuc S, on a genéralemcnl.
4oo CHAPITRE XXVIII.
t étant le temps,
avec les équations analogues, relatives èi yp et Zp.
En raison de la petitesse de certaines masses ou de la grandeur de certaines distances, aussi bien que de la petitesse des dimensions de certains corps, nous pouvons alors réduire le problème envisagé au suivant :
J^e mouvement d'un satellite S^ (/^ = 'i 2, 3, 4) est celui d'un point matériel de masse égale à l'unité sous l'action d'une fonction de forces U^, égale à
d\,. c)V„ dV
/ ( m + inp ) ^> +2] /'"'/ yi><i + ^/' j^^ -+- yp jf^
''"'ai
l'indice q prenant les valeurs o, 1,2, 3, 4? sauf/>.
De plus, on néglige les dimensions des satellites S^ et du Soleil Sq, de sorte que, si Vpq désigne la distance S^S^, on a
et dans la seconde partie de U^, on réduit de même V^ à sa partie principale — > inverse de la distance SS^; par suite
\ip = f{m -t- m/,)V,,-f- > ^'"-z ( 7 —^ H^ )'
et les coordonnées x^^y^^ So du Soleil sont supposées parfaitement connues par ailleurs. Nous le répétons une fois pour toutes : p prend l'une des valeurs i, 2, 3, 4 et «y prend celles de ces valeurs qui sont différentes de /?, et en outre zéro.
Examinons de plus près la fonction \ y, qui figure dans U^. Assimilons Jupiter à un corps solide de révolution autour d'un axe S^, tant au point de vue de la forme qu'à celui de la distribution de la matière ; appelons alors G le moment d'inertie par rapport à S^, A celui par rapport à un axe quelconque S^ perpendiculaire à S^; soit de plus ^y, l'angle que fait le vecteur SS;,, de longueur/-^, avec le plan del'équateur de Jupiter, c'est-à-dire le plan des axes S^; nous savons d'après
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 40I
le n' 2 que l'on peut prendie
et cette expression est très généralement suffisante.
Toutefois, on peut craindre, en se bornant ainsi, de laisser de côté des termes d'influence quelque peu sensible, en raison de la randeur de l'aplatissement de Jupiter, que M. Sampson prend égal
Si l'on se reporte au n" 2, on voit alors que le terme suivant du développement de la fonction V^ est égal à
mrf, [8^ 4 ' 8 J'
la sommation s'étendant aux diverses molécules dm de S, dont la distance à S est p, et pour lesquelles o- est la projection de o sur SS^. Si l'on rapporte S à trois axes rectangulaires S^, Sr,, Sw, le plan S^Z, contenant SS^,, les coordonnées de dm seront ç, r,, "Ç et l'on
aura
p5 = ^2 -1- Tjî -4- ^2^ a = $cos p/,-f- ^sin P,,.
Faisons SÇi dm = S T)* dm = \\ 2 O dm = R, S $2 !;2 f/,„ = v .^2 ^2 ^,„ = q^
et observons que
SC2r^2(/m = -P,
ainsi qu'on le voit en faisant tourner l'axe O^ d'un angle quelconque; le terme considéré du développement de \p se trouve sans peine égal à
Appelons a le rajon équatorial de Jupiter; nous ferons 3 C — A -, i5 P — 6Q + R
8 ma'>
et par suite, nous aurons
V, = 1 + ^4 0; - sin2?,) 4- J.;^ fi - 2sin^P,-^ ^iu^^,).
ANDOYER
4c>2 CHAPITRE XXVIII.
Si Jupiter était un ellipsoïde homogène de révolution, d'axe polaire c, les formules du n° 3 donneraient immédiatement
et en supposant
comme nous Tavons dit, on aurait J = 0,0887, ^ -^ 0,00267.
La comparaison de la théorie aux observations conduit à prendre
et en réduisant J' sensiblement dans le même rapport, on a, avec M. Sampson, dont nous adopterons toutes les données numériques,
Finalement, la fonction de forces L'„ qui définit le mouvement de S^ est
L'angle ^j, dépend des paramètres qui déterminent le mouvement de Jupiter sur lui-même : l'étude de ce mouvement doit donc nécessairement être jointe à celle du mouvement des satellites, puisqu'il dépend de leur action. On ne peut le supposer connu à l'avance, comme nous avons fait pour le mouvement du Soleil autour de Jupiter, sur lequel l'action des satellites et celle de la forme de Jupiter n'ont pas d'effet sensible.
La fonction de forces U qui définit le mouvement de Jupiter sur lui-même est la somme des potentiels frnniqW q{(/ = o, i, 2, 3, 4), et par suite, en supprimant les termes indépendants des variables qui fixent à chaque instant l'orientation de la planète, on a, avec une précision suffisante,
l'angle [Bq étant défini comme ci-dessus |j^,.
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 4o3
Il convient d'écrire dès maintenant les équations très simples dont dépend le mouvement de Jupiter.
Choisissons pour plan de référence Sxy le plan mojen de l'orbite de Jupiter à l'origine du temps, qui sera 1900 janvier 0,0 (temps moyen de Greenwich).
Reportons-nous alors au n° 137, et adoptons-en pour un instant loutes les notations. L'observation montre que les angles e, t, m sont ici tous petits, et par suite nous ferons usage des équations (4) dans lesquelles les variables sont
/', £1 = sin £ (.os 6, Ti = sin 7 sin '/,
V = 0 -I- a -f- y , £2 = î^i'i ê cos 6, 7.^ = sin 7 siu /.
Faisons
A = Y -h J', W] = sin w siiK^, , 0)2 = sinto cos'^ ;
il en résulte sans peine
fiii = £1 — Si fos p + T^ sin (^ -t-. . . , (u.^ = £j -:- ^i sin (' -4- 72 cos ('-+-...,
À = r sin V ( Cl 7] — £., 7., ) cos P ( £■ 7., -h £, 7, ) -l- . . . .
Par suite, la fonction U se présentant naturellement comme dépendante des seules quantités to,, Wo (X n'y figure pas en raison de l'hypothèse faite sur la constitution de Jupiter), on a pour calculer les dérivées partielles de U qui figurent dans les équations (/j), à des quantités près de l'ordre de Lia- au moins.
dU
dV
àV f)V
âiùi
dz-z ÛMo
La quantité /i est donc une constante Gy, et en confondant e,, £2 avec tùi, 102 à cause de l'extrême petitesse de t, on a simplement, à des termes négligeables près,
(toit I <^U (fiOi I dU
dt ~ G/ ôoii dt G y" dwi
Ces équations sont celles qui définissent le mouvement do Jiqùler sur lui-même.
En faisant
4o4 CHAPITRE XXVIII.
nous pouvons écrire encore
dt àixi-, dt ôix>i '
dans l'hypothèse déjà indiquée d'une figure ellipsoïdale homogèn(;
pour Jupiter, on aurait
3 aï— c2
nous prendrons, avec M. Sainpson, et d'après Laplace, K := o, 1 1 1 ; et aussi y = 8^4"5 2, avec le jour moyen comme unité de temps.
Pour compléter ces données numériques et celles déjà indiquées, nous transcrirons encore dès maintenant les suivantes :
niQ = 1047,35 m, rui = 4497 X io-«w, rn>= 2536 X 10-^ m, m-i— 7988 X lo-^m, w?4= 4504 X lo-^ni.
De plus, les moyens mouvements sidéraux de S^, S,, Sa, S3, S/,, tels que l'observation les fait connaître, sont, en prenant d'une façon définitive le jour moyen comme unité de temps :
n'o = 0°, 0830912, n? = 2o3", 488954 208, /j« = 1010,374723445, /i» = 50", 3 17(108063, ni — 21", 571 071 4o3.
Il faut ajouter enfin que 1(î rayon équatorial a de Jupiter valant i8",92'j à la distance moyenne de Jupiter au Soleil qui correspond au moyen mouvement /«", on a exactement
a^{nlf = f(tn ^ m,) x (l8",927)^
de sorte que, si l'on fait plutôt
n' rt ' = fni , on a
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 4o5
164. Nous appliquerons la méthode générale de la variation des constantes à l'étude du mouvement des satellites S^^. Nous regarderons donc le mouvement de S , et aussi celui de Sq, comme un mouvement képlérien dont les éléments seront les suivants, en modifiant quelque peu les notations générales qui nous ont servi antérieurement au Livre III.
Le demi-grand axe de l'orbite sera a^,, et nous lui adjoindrons un moyen mouvement équivalent Hj,, qui lui sera lié par la relation
y.p étant une constante très petite, que nous nous réservons de définir; en appelant a" la longueur constante liée elle-même au moyen mouvement sidéral observé «° rapporté ci-dessus par la fornude
nous ferons
de sorte que
e désignant toujours la base des logarithmes hyperboliques. La longitude moyenne de S^, sera /^,. Appelons N^, l'argument
,yp — II/, t -r- tpi
Hp étant le mouvement sidéral observé, l^ étant une constante; nous lerons
. en désignant toujours par i l'imaginaire y/ - i • Nous poserons aussi
La quantité o-^, ne doit contenir aucune partie constante ou simplement proportionnelle au temps.
Si l'excentricité de l'orbite est <?,, et la longitude du périjove rn^, on fera
Si de même j p et 9^ sont l'inclinaison de l'orbite et la longitude du nœud ascendant sur le plan fixe, on aura
y»= sin — e
==siiT^'e'ft,..
Ces notations s'appliquent pourp=: o, i, 2, 3, 4 ^ d'après le clioix du plan de référence, yo et y^ sont des quantités extrêmement petites. Relativement à l'équateur de Jupiter, nous ferons de même
Y = sin — e 'Y,
sia — e'V, ■1
'h - 'Il
de sorte que les équations qui définissent le mouvement de cet équateur deviennent immédiatement, en faisant
il =: T,
et se bornant au même degré d'approximation que précédemment,
en prenant ici
(I bis) \ -^-^ > •'. ./-sin^a,, = > /— -1 i— — i siii* ti,,.
Quant aux équations qui déterminent les éléments du mouvement de S^, ce seront les équations (4) du n" 93. Faisons, en changeant la notation \ p du numéro précédent et négligeant sin^ p^.
•i. rip af,
{■ibis)
2 fp /. ij,
J'(i -f- y.;,) rip a'' a
siu^iî,
ir-'„
(m -t- mp) y a^
de sorte que la fonction perturbatrice du mouvement de Sy, sera 2npa- Vp. Laissons de côté les termes du troisième degré par rapport
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 407
«ux exceniricités et aux inclinaisons; en tenant compte du fait bien connu que les fonctions V^,, comme V d'ailleurs, ne contiennent que des termes de degré pair par rapport à l'ensemble des inclinaisons, nous aurons
Vi)
dyp d\j, ôWp OVp . >)\p
"^ " àYp~ '^' " ^ "^ ' '' ''' ^ ~ ' '' '" ^ '
dx ~ 0'!p ''''' àlp'^ ^''''' Os,, ^"'i' ôi,,'
Le problème que nous avons à résoudre dépend des 26 équations (i) et (2), dont les seconds membres renferment les fonctions V et V^ définies par les formules (i bis) et (2 bis).
Rappelons encore que les coordonnées s'expriment de la façon suivante. On a d'abord
log /•/, = l(.g a,, — ( i,, \,, -^ i',X,,' ) — -/4 ^ -^ ''/> ^/'') -^ ^P ^P
puis, si Cp est la longitude dans l'orbite,
ivp = ilp -+■ 1 ( t,, Xp — £p A/,' ) + - *' -l '>^l — ^/i-' ''v^* )
enfin, la latitude bp résulte le plus simplement de la formule
sin hi, = siny'/^ sin {v,, — 0^, ),
sans qu'il y ait avantage à la développer analjtiquement.
11 faut calculer maintenant les fonctions V et V^,, sans dépasser le troisième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, si nous devons continuer à négliger les termes de ce degré dans les seconds membres des équations (i) et (2).
4o8 CHAPITRE XXVIII.
Dans ces conditions, il suffit de prendre d'abord
siii 3^= sin b,j — sin oj sin {v,/ — ^), c'est-à-dire
isin p,,= (Y^ Y) e'V,, (y'^y') g-^v,,,
d'où
sin2p^= 2(y - Y./) (ï'- T^) - (Y - Y'/ )'«"■"''— (y'- y'^)'^""'"''-
Par suite, comme on a
il vient
-(y'-Yv)MV-^'/V + 7£7V)]-
En nous servant de même des développements des fonctions -^>
f— j ' ( ^' ) ' '■*' iious avons immédiatement pour la première partie de la fonction V^, soit V^,^,
pp
— ^> ^Y — Y//) (y '- yV) <' • + ^ 'P '^'P -^ ^ ''p ^'7> ' ) -+- 3 ( Y - Y/' )^ ( >^/; + 7 '/^ >^/; — ^'/>/^ )
-+- 3 ( y' - Yp ? ( >7^' - ^/^ ^T»' + 7 ^'p ^y ) I
Mj
— •io (y — Y/')(y'— Y'/^)( '+ 5 S/, X/, + 5 £^ X-»)
+ lo (y'- yV)'(V^'+ ^p'^'p' -+- 9 £'/,>^;^') I ;
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 409
il faut observer en outre que l'opération
équivaut simplement à une multiplication par 4, i2 ou 20, suivant qu'elle est appliquée à la première, la seconde ou la troisième partie de cette expression : la première est celle qui contient Xp en facteur, la seconde celle qui contient J, la troisième celle qui contient J'.
Posons maintenant
et
la fonction V comprend encore la somme des parties a^,^Rpç,
ou V;,^.
Les forjnules du n" 91 vont nous permettre d'écrire le développement de ^ pq. Sans qu'il soit nécessaire de multiplier les indices,
puisque la présence du facteur ]kpq suffira pour éviter toute ambi-
i 1 guïté, désignons par h'^^ b'^, ... les coefficients de Laplace qui correspondent à la valeur -^ ou — de la variable a, suivant que l'on
a ap<^aq ou aq<i^ap\ et soit ici D la caractéristique de dérivation par rapport à loga^,, de sorte que cette caractéristique équivaut à celle désignée précédemment de la même façon, multipliée par du i, suivant que l'on a a^<; a^, ou aq<1 a p.
Convenons alors, comme au n" 90, afin de tenir compte du second
terme de R^^, de diminuer les coefficients 2D'^6^, et D*6'y de la
Dans ces conditions, on a, d'une façon entièrementexplicite, quoique partiellement abrégée, en désignant par v un entier quelconque, et
4lO CHAPITRE XXVIII.
entendant que le symbole D s'applique exclusivement aux b" :
^'ph.'
^q fui
-fl^q'-p Iq I I
'/'>/' ( + is'+Giî- '^A- + ^ — asH)- - 5D~ — " D-+-SD2+ Z I)2 ! D
+ ^l t'n X/, f- i^' — ^s-'- — v.i- — 4 + P.S^ D t - 51) -I- 3 0 + .vD» -H 7 D' - - I )
^ ' ' \ ib v>. X 4 ■•*
-r-'f/'r/Xy (H- — -: -f- -f- H-
EQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME
4ll
(-1-85^— 2.SÎ-+- -5— 1 — 4.v2 1) ' \)^.o.s\r-^ ' D2+ J)-A 84 X I
