G = :, > 11 = 0, K = — "TT

de sorte que la force F soit dirigée vers le point O, avec une intensité

égale à ~ y' r- + c--, le radical \l v- -\- z- représentant le rayon vecteur

proprement dit OM : l'orbite est alors située dans un plan fixe passant par O, et le mouvement projeté sur le plan P est un mouvement képlérien. Partant de cette hypothèse comme base des approximations, nous allons faire

et nous regarderons R, Q, T comme définissant une force perturbatrice ; les équations précédentes deviennent ainsi

,, , ^dv dh d^r II'- /.2 d.'-z k-^z

^'^ ''-"'di' -dï = ^^ ^-7^ + F?^-^^' -dt^^ — -^'

Dans le problème qui nous occupe, nous choisirons k^ de façon que l'on ait, ainsi c|ue nous l'avons déjà fait précédemment, f{\-\-in)=zk-{i-'r-v-)i X étant une petite quantité de l'ordre des masses perturbatrices, dont nous pourrons disposer en temps voulu comme il conviendra. Nous choisirons aussi pour le plan fixe P un plan faisant avec celui de l'orbite osculatrice de M à l'origine du temps un très petit angle, de façon que la coordonnée z reste elle-' même très petite.

Si V est la fonction perturbatrice proprement dite qui définit le mouvement de M, la force F résulte de la fonction de forces

V et l'on a

u = ^;il±l' + y,

dr ov Oz

Développant {r- -[- z-) '' suivant les puissances de z-, et posant

on a donc

u = AM--^^)-t-w,

W = V-.x.^(l-if;)-..^(.H-x)(||^...)

3 A-2 3 2 âw ^ ()\y

2 r' dr (Jv

la fonction V étant exprimée à l'aide des coordonnées /', r, z et du temps. En vertu des hypothèses faites, nous voyons que nous pouvons regarder à bon droit Pv, Q, T comme dérivant d'une force perturbatrice.

104. La méthode de Laplace, que nous allons exposer en premier lieCi, peut être caractérisée par l'utilisation d'une équation spéciale pour déterminer d'abord la coordonnée /•.

Les équations (i) et (2) donnent

aW d^r

dr dt^

ri ri

dl^

par suite immédiatement

r — h 2 / ( — r— dr H — dv + -r- dz )

dr J \ dr dv dz /

rfî r dr^' dz"!-

dt^

dC-

2 "re-

faisant donc

( dr -A- ~

dr H- '^^ c/p dp

dz],

on peut écrire

I rf2C^.2) /-2

cl l'on obtient ainsi l'équalion cherchée; la quadrature W contient d'ailleurs une constante arbitraire.

Pour compléter les équations du problème, il suffit de prendre maintenant

^*^ ■ i dv h d'-z k'-z â\\

{ dï ~ 7^'' 'dï^ ^ "r^ ~ ~âz '

et Ton voit que l'intégration du système ainsi formé n'amènera que les six constantes arbitraires nécessaires, y compris celle qui figure dans W.

Soient n et a deux constantes liées par la relation n-a^ = A-; nous allons maintenant substituer à /• deux nouvelles varialdes s et ^'" telles que les expressions de r et de sa dérivée -r ou / ' soient les mêmes que dans Tin mouvement képlérien plan pour lequel «, /i, £, i> seraient respectivement le demi-grand axe, le moyen mouvement, l'excentricité et l'anomalie moyenne; plus généralement, il en sera de même par conséquent pour toute fonction de /• et de /•'. Nous ferons aussi

et les variables ^,, x-2 sont équivalentes à e, i,'. En j^articulier, on aura par exemple (n** 82)

logr = loga — (xi H- ^2 j — - (^) ■+• X?,) -i- XiXi 1 ^"^'i "^ ^l) -+- ~ (•^■"1^2+ ■•fia^H) -f-. . ..

Puisque ;• est fonction de z et g-, on a

, dr d^ ,)r di ~ ~6g 'di 'àè Ht'

mais, dans le mouvement képlérien considéré, on a simplement

, dr

NOUVELLES MÉTHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS, ETC. 5l

on a donc, d'après les hypothèses faites, la première relation

dr I ds; \ dr di

àg \dt ) dz dt

l'équation ( 'î) peut s'écrire

dr'

~dl

el par suite donne

ôr' dg àr' dt rdf^ dt (h dt ' r

appliquée au mouvement képlérien considéré, cette même équation

donnerait

àg r r'i " /• '

en appelant Pq la constante, indépendante comme on le sait de Xi et x-2i il laquelle se réduit alors la fonction P; on a donc la seconde relation

àr' I d:

(),■' dî

()i Tft

en réunissant Pq à la constante arbitraire qui figure déjà dans P, provenant de la quadrature W.

Les équations (a) et (6) sont faciles à résoudre par rapport aux

inconnues -4- — n et -^^ • Si l'on appelle w l'anomalie vraie et u l'ano-

di dt ^ ^

malie excentrique qui correspondent à z et g^ les formules du n" 23 donnent, en faisant c = sino, et n'oubliant pas les relations simples entre u^ «r, /•,

doù

«2 "o sin w = — £ sui «, ^ ' r

= — a cos tv = — ( £ r

— cosa),

àr' na^ .

-— = — - sinocosu'.

âg r^ ^

dr di

- = 3-COSO SIIl M',

()r dr' dr

àr'

na'*z

par suite, il vient

d£ dt

dz àg

(h ~dt

= SMl «,

lia-

OU bien

dx\ P , .,

T— ; rtJFi = (e-'i«-ér/ — ixt),

i dt •incC'-

dxï P , ., , ,

i dt 2 na^

plutôt encore, appelons g^ une constante quelconque, et posons (6)

î] = 37 (e''"-»' — 2:2:2)1 -22= ^"^ (e-''"-^' — aa^i);

nous aurons

o?(:c-':ri) ^2? d{xx{) — z^V

' dt 2 na^ i dt

Les fonctions 5| et ijg se développent immédiatement suivant les puissances de ^j et X2; d'après le n" 82, et d'après les notations de ce numéro, si l'on fait

C h — ^ — ^CCp^^p^X'^ X'^ ,

on a par suite

Z,:= X [ I -)- .Ti — 3 j;9H .TT XiXv 37.1 H ; 37Ï 2 37 7 37 •> — -^-l + • • . I ,

Zi = 3^-1 I I 337i-|-:372 37^ 371372+ -37| — -37^ 2 3^i37|+ -37^4-... j]

et l'on doit observer avec soin qu'il n'y a pas dans — j par exemple, d'autre terme de la forme x^x^^'^^ que — 3^2-

Pour continuer la transformation des équations du problème, appelons /i, la valeur de /i dans le mouvement képlérien d'éléments a, /i, e, de sorte que

/i i — na^ cos ç ^ na^ s/ 1 — 4 ^i ^2 î la première équation (5) s'écrit

7 2-3 (^— iK ^' ^ ^ 1 'îl^ ^^^\

dg dt ôt dt /-^ 2 7* dr )

et donne aussi par suite

At = a-3

/ dr' A'

de sorte que, d'après la relation (b) et la définition de P,

h'si donc on pose

2 /il ■}. \hi^

on a simplement ajoutons que

I SCCQ

h= hi-i- /-s S;

(i -f- 2^1^2-1- 6 a^farl -1- 2037^ ar^

Mettons maintenant la longitude v sous la même forme que dans le mouvement képlérien déjà considéré, dont la longitude moyenne serait /; on a donc, en désignant toujours par w l'anomalie vraie qui correspond à s et o-^

et il faut déterminer la nouvelle inconnue /, qui remplace p; on a d'ailleurs (n° 82)

La seconde des équations (5) donne alors

dl àiiv — g) dg d{w — g^ dz h

et aussi

ôg dt

donc

ôg /-s

dl h — /* 1 ù{w — g) de

dt r-^ Og \ dt

d{w — g) dz Ji 'dt

c'est-à-dire, d'après ce qui précède,

dl ^ CP

en faisant encore

dr c)(w — fi) dr diw — g)'

Or, on a comme plus haut (n" 23)

= -rr cosca, -— =^ ( 1- sec^ca j sinn' = 1 — coscp -i — ; sccip 1 sin«,

ùw a^ d

Og r'- '' 0

et il en résulte sans peine

dr ()(w — g) àr d{w ~ f^) a"- , .

-T- ■ , = — [£(SCC9-M)-+- COS?/.(SfC® — l)],

c'est-à-dire

I Cû

on a d'ailleurs

et, d'après ce qui précède,

(Z — 'l-\- -{Xi-^X-î) + - [x'\-\- Xl) ->r X iXi-\- - {x] -\- Xl) -\- - {x'\ Xi-\- XiX%)-+-

D'après une observation faite plus haut, la partie de ecosm qui est indépendante de g se réduit au seul terme — 2X1X.2 ou — ^-sin-cc;

par suite, la partie Co de C qui est indépendante de g est exactement

égale à