APPLICATIONS DE LA STATIQUE
18. Équilibre d^nn »oli((le ue pouvant qne tonrner autour d'un axe fixe. — Nous savons que la somme algébrique des moments des forces par rapport à l'axe doit être nulle. Premier exemple. — Treuil ordinaire. Il se compose d'un
arbre ou cylindre horizontal AB ne pouvant ^ que tourner autour de son axe, et d'une roue
C, centrée sur l'arbre, auquel elle est fixée.
La première force p ou la puissance est appliquée tangentiellement à la roue; la résistance q est un poids suspendu à une corde enroulée sur l'arbre et que la force p doit faire monter. Les forces agissent ainsi dans des plans perpendiculaires à Taxe. Leurs bras de levier sont évidemment les rayons II, r de la roue et de l'arbre ; la condition d'équilibre est par suite
pn — qr ^1=1 0 ou -^ = ■
En A et B l'arbre est prolongé par des cylindres de petit rayon, nommés tourillons, dont nous verrons plus tard le but ; ils ont le même axe que l'arbre et reposent sur deux appuis.
La puissance fera monter le poids q poar pen qa'elle dépasse
or
- ; toutefois en pratique elle devra être un peu plus grande à
cause du frottement.
Second exemple. Balance romaine. — Un levier ou barre AOL
ne peut que tourner autour d'un A o a c i
point fixe 0. Il y est suspendu en //\ ^ ^ A un plateau, où Ton met l'objet à ^^'^^
peser, de poids q. Un poids mobile p peut se placer à volonté en tout point de la branche OL ; soit C la position où il fait équilibre au poids q, et B celle où il fait équilibre au plateau vide. Dans les deux cas, les moments des forces par rapport au point 0 sont égaux de part et d'autre ; il en est donc de même de l'accroissement de ces moments quand on passe du second cas au premier ; le moment du poids p est tantôt p x QB, tantôt p x OC, et son accroissement p x BC] de l'autre côté, le moment additionnel est q X OA, d'où résulte q x OA = ^ X BC. Marquons sur la
branche OL des divisions de longueur - -, en plaçant leur origine
en B, et soit n le nombre de divisions indiqué au point C ; on aura
onq = n; les divisions marquent ainsi les unités du poids q.
Troisiè}ne exemple. Balance ordinaire. — Le fléau de la balance est un levier tournant autour d'un point fixe C ; aux extrémités A, B sont suspendus deux plateaux dont les poids, quand ils sont vides, se composent en un seul, appliqué toujours au même point g du fléau ; le poids de celui-ci est appliqué à son centre de gravité // ; la somme p de ces poids est celui de la balance, appliqué sur la droite gcf en un point G nommé rentre de gravité de la balance, quoique ce ne soit pas celui d'un solide unique ; ce point G reste le même quelle que soit l'inclinaison du fléau. Voici les conditions que la balance doit remplir.
Quand elle est en équilibre et les plateaux vides, le point G se
place verticalement au-dessous du point de suspension C ; la droite AB doit alors être horizontale. Il faut donc qu'elle soit perpendiculaire à CG.
Si un poids q est placé dans le plateau suspendu en A, ce point
A vient en A' et G en G', de sorte qu'il y ait équilibre, ou que, par rapport à C, '^' les moments des forces p, q appliquées en G', A' soient égaux. Pour une même inclinaison, le moment de p diminue soit avec p soit avec la distance CG' ou CG et par conséquent, la force q produisant Téquilibre diminue également. Ainsi, pour rendre la balance sensible, on doit diminuer le poids p et prendre le point G très près du point de suspension.
Il convient que cette sensibilité ne soit pas altérée quand les deux plateaux sont en outre chargés de poids égaux p' ou que l'effet de ceux-ci soit détruit; comme ils se composent en un seul appliqué au milieu de AB, on obtiendra ce résultat en prenant ce milieu pour le point C de suspension ; les poids jï;' sont alors détruits par sa résistance. Si les plateaux sont suspendus au moyen d'anneaux leur point de suspension varie légèrement pendant que le fléau s'incline. Ainsi pour toute balance de précision on doit em- . ployer des couteaux pour ces suspensions et celle du fléau.
19. Remarques sur l'emploi du principe des vitesses virtuelles. — Ce principe admet une légère extension, avantageuse en pratique, bien qu'elle fût superflue pour les applications qui en ont été faites au chapitre P', et que pour cette raison nous l'ayons laissée de côté au numéro 8.
La démonstration de ce numéro reste évidemment exacte si l'on admet que deux points du système puissent être réunis par un fil tendu qui y est attaché, en supposant le fil infiniment fin, inextensible et de poids négligeable. Il en est de même si dans l'intervalle il passe sur un anneau, et Ton peut en dire autant si
Tanneau est remplacé par une poulie dont le fil se détache suivant
les tangentes AA', BB' ; la poulie peut tourner
«ans frottement autour de son centre 0 ; quant A^
-au fil, il est comme adhérent à la poulie sur l'arc .»/ V»^ \g>
AB, et les cordons AA BB' doivent dans l'état
d'équilibre avoir la même tension, sans quoi la poulie tournerait.
Le principe des vitesses virtuelles joue un rôle dans les théories générales et en particulier dans celle du mouvement d'un système, et nous aurons plus tard à l'examiner de nouveau. Mais dans ce -chapitre nous nous occupons des méthodes les plus propres à résoudre les questions de statique, même pour des corps susceptibles de déformation, et il existe pour cela, comme nous le verrons, une méthode tout à fait générale, applicable également aux systèmes de solides.
Pour ces derniers, quand il n'y a pas de frottement, la méthode se démontre en partie par le principe des vitesses virtuelles, mais ensuite elle est fréquemment plus avantageuse à employer que le principe lui-même, la considération de tous les déplacements possibles d'un système étant en général compliquée.
Cette complication cesse dans certains cas, et le plus important auquel nous bornerons dans les exemples du numéro suivant l'application directe du principe des vitesses virtuelles est celui d'un système à liaisons complètes. On le nomme ainsi quand chacun de ses points est astreint à rester sur une courbe donnée,
et qu'en outre le déplacement de l'un d'eux étant connu, celui de tous les autres est entièrement déterminé.
Il en est évidemment ainsi, par exemple, si le système se réduit
à une roue ne pouvant que tourner autour de son axe immobile ;
si, en outre, elle communique forcément son mouvement à une série
d'autres solides, comme cela a lieu dans diverses machines, la
même propriété s'étend à leur ensemble.
Un système à liaisons complètes est en outre supposé normal
dans le sens attribué à ce terme au numéro 9, c'est-à-dire que si
un petit déplacement est possible, son opposé, dans lequel chaque point décrit le même espace en sens contraire, l'est également. Par suite, comme on l'a vu au numéro 9, il faut pour l'équilibre que la somme des travaux des forces soit nulle pour tout petit déplacement.
Cas le plus simple des systèmes à liaisons complètes. — Ce cas est celui où il n'agit que deux forces p, q, dirigées chacune suivant la tangente à la ligne que décrit son point d'application; si ex, (3 sont les déplacements de ces deux points, les travaux sont, au signe près />a, (/.S; leur somme devant être nulle, il faut pour l'équilibre qu'ils soient égaux et de signe contraire ; si l'un des déplacements a le sens de la force, l'autre doit donc avoir le sens opposé, ce qui est d'ailleurs évident. Il faut en outre qu'on ait
pOi =: yp, -?- = -^
Or, par suite de la nature du système, le rapport - des petits
déplacements des points d'application a une valeur bien connue, indépendante de leur grandeur absolue. C'est aussi le rapport de leurs vitesses simultanées i;', v quand le système est en mouvement. La condition d'équilibre peut donc s'écrire
et l'on exprime quelquefois ce résultat en disant que ce qu'on gagne en force on le perd en vitesse. De là provient l'expression de prinripe des vitesses virtuelles^ parce qu'il a d'abord été trouvé sous
cette forme.
Ce principe est applicable à d'autres cas. Toutefois, si le système n'était pas normal, il aurait l'inconvénient de fournir les conditions d'équilibre sous la forme d'inégalités. Nous allons voir comment on peut souvent ramener un système à pouvoir être considéré comme normal ou même à liaisons complètes, quand au premier abord il ne parait pas l'être.
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Réduction des déplaconents possibles d'un système, — Jusqu'ici les forces ont été supposées complètement arbitraires ; or, en pratique, sans qu'elles soient connues, puisqu'on cherche leurs conditions d'équilibre, elles sont presque toujours assujetties à certaines limitations, par suite desquelles on est assuré d'avance que certains modes de déplacement du système ne pourront se produire.
Par exemple, si l'on comprenait les poids et les plateaux d'une balance dans le système, on pourrait imaginer des forces détachant les poids des plateaux, mais celles dont on cherche l'équilibre ne peuvent le faire.
Nous nommerons déplacements exclus ceux qui sont ainsi considérés comme impossibles, tandis que les autres seront les déplacements admissibles. La condition nécessaire et suffisante de l'équilibre sera alors que la sotmne des travaux des forces soit négative ofi nulle pour tous les déplacements admissibles, c'est-àdire la même que si les déplacements exclus étaient rendus impossibles par les liaisons.
En eifet, cette condition est nécessaire ; d'autre part, si elle est satisfaite, elle le sera aussi pour les déplacements virtuels exclus, car s'il en était autrement il n'y aurait pas équilibre, et en remplaçant, comme au numéro 8, les forces par l'action unique d'un poids, celui-ci descendrait. Or cela ne peut arriver que si la somme des travaux des forces est positive ; comme il n'en est ainsi pour aucun des déplacements admissibles, celui qui se produirait serait l'un de ceux que l'on a exclus ou supposés impossibles.
La somme des travaux des forces est donc nulle ou négative pour tous les déplacements sans exception, et la condition énoncée ci-dessus est suffisante pour l'équilibre.
Un système n'est pas normal s'il contient des solides simplement appuyés l'un contre l'autre et pouvant se séparer, puisque dans le déplacement opposé, ils devraient se pénétrer. Il en est de même si un fil est tendu entre deux points du système; ceux-ci peuvent se rapprocher et le fil se détendre, mais ils ne
peuvent s'éloigner. Or dans beaucoup de cas la remarque précédente ramène le système à être normal.
Par exemple, en cherchant, comme au numéro précédent, les^ conditions d'équilibre d'un treuil, on suppose l'arbre assujetti à tourner autour de son axe, bien qu'il soit fréquemment disposé de manière à pouvoir être soulevé ou enlevé de ses appuis. On peut n'avoir aucun égard à cette circonstance, parce qu'en général les deux forces dont on cherche la condition d'équilibre ne peuvent produire ce soulèvement. Le système devient ainsi normal et à Maisons complètes.
Appliquons encore ce qui précède à un treM'd à engrenaffes, La puissance y; agit sur une manivelle de rayon r, dans le sens où se déplace son point d'application en tournant ; la résistance q est un poids, suspendu à une corde, et que le treuil doit faire monter. L'appareil est en réalité susceptible de déplacements anormaux ; la manivelle fait mouvoir des roues dentées dont les dents sont simplement appuyées et peuvent se séparer; le poids pourrait se soulever et la corde se détendre, mais la nature des forces qui agissent ne permet pas ces mouvements ; de la sortie, le système devient normal.
En outre, il n'est pas possible que le poids se balance ou que la corde cesse d'être verticale ; par suite de cette nouvelle exclusion, le système se trouve à liaisons complètes. Il rentre dans le cas simple examiné plus haut, parce que les forces jj, q agissent suivant les lignes décrites par leurs points d'application ; v et v' étant les vitesses simultanées de l'extrémité de la manivelle et du
poids y, est le rapport des espaces que ces points parcourent
pendant un tour de la manivelle ; ceux-là sont 2nr pour la manivelle et une certaine hauteur h pour le poids. La condition d'équilibre est ainsi
La même réduction à un système à liaisons complètes se présente dans les applications du numéro suivant, sans qu'il soit nécessaire de l'indiquer en détail pour chacune.
Le résultat est toujours imparfait en ce sens qu'on néglige le frottement ; toutefois, en certains cas, celui-ci n'existe pas ou n'a pas d'influence sensible. Par exemple, au numéro précédent, nous avons admis que le fléau d'une balance était v c
suspendu par un couteau C ; celui-ci repose alors '^r---^^!!yi---n sur la gouttière formée par deux plans inclinés AI, BL Mais le contact I ne peut être celui d'un tranchant parfait : il a une certaine largeur et peut s'assimiler à la surface d'un cylindre de très petit rayon 01, qui tourne autour c
de son axe en glissant sur l'appui ; on le nomme ^.,...,1^0/^ rouleau defrirtioti, ^
Malgré* cette circonstance, on peut regarder le solide comme tournant autour d'un axe fixe ; c'est évident s'il n'y a pas de frottement; si ce dernier existe, on en tiendra compte en le considérant comme une force extérieure inconnue f, agissant sur le solide au point de contact I ; en effet, peu importe qu'elle soit due au contact ou à toute autre cause. De la sorte, le principe des vitesses virtuelles ne cesse pas d'être applicable. Or si le fléau s'incline, le point I décrit un espace imperceptible en comparaison des déplacements des points d'application des autres forces ; ainsi par rapport au travail de ces forces, celui du frottement, tout en étant inconnu, est négligeable et n'influence pas l'équilibre.
