BC A G AC + BG AB
de sorte que les forces p^ q, r sont proportionnelles chacune à la distaywe des points d'application des deux autres. Réciproquement de cette proportion on tirerait r = p -\- q.
Quand les composantes sont de sens contraire, il faut exclure
le cas où elles seraient égales ou formeraient un couple. La règle précédente donnerait une résultante nulle et serait inapplicable, et nous savons d'ailleurs que le couple n'est pas réductible à une force unique.
La résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles
fy fy fi etc., appliquées en A, A', A^ cji:^ ^ ' etc. , s'obtient par des compositions successives conformes aux règles précé- >^' dentés :
On cherchera d'abord la résultante ^ de f^f et son point d'application C sur AA', ensuite y résultante de cp et f'% et son point d'application C sur CA" ; puis cp" résultante de cp' et /"'" et son point d'application C" sur C'A'", et ainsi de suite jusqu'à la résultante totale R, dont le point *d'application G se nomme le centre des farces parallèles.
Théorème des momenis. — Pour remplacer cette méthode graphique ou ce tracé, par des formules équivalentes, on nomme r^wment d'une fqrce par rappmi à un plan le produit de la force par la distance de son point d'application au plan, cette distance étant considérée comme positive d'un côté du plan, négative de Tautre. En même temps on convient de regarder comme positives les forces agissant dans un sens déterminé, les autres étant négatives. Le théorème consiste en ce que le moment de lu résultante de plu-sieurs forces parallèles par rapport à un plan est In somme- algébrique de ceux des comj>osantes.
En prenant le plan pour celui des xy^ il est clair que les distances des points d'application au plan, avec leurs signes, seront leurs ordonnées z, ^, /', etc. Démontrons en premier lieu le théorème pour deux forces p, q de même sens, r étant leur résultante, et A, B, C les points d'application.
Considérons d'abord les forces comme positives ; soient ^^ ^ les ordonnées de A et B, ç celle de C, et y l'angle de la droite ACB avec OZ ; il est le même pour les droites AC et CB ; d'après le numéro 4 on aura donc
cosT= AC ' '''^^ BC ' ou
et en transportant chaque terme de cette égalité dans le membre où a est positif,
pz + qz' = (p + ^)C = rC,
c'est-à-dire le moment de r est la somme de ceux de p et q, ce qu'il fallait démontrer. Le résultat serait le même si les forces p. q, r étaient négatives, les moments changeant tous les trois de signe.
Si Ton change le sens de r et, par suite, son signe et celui de son moment, on aura pour trois forces en équilibre
mom. p + mon), q + niom. r ^ o
Si l'on change encore le sens de /y, qui devient ainsi la résultante des deux autres, l'égalité prend la forme
mom. q = mom. p -(- mom. r
le théorème est donc encore exact pour deux composantes de sens contraire.
Par conséquent, dans le cas ci-dessus d'un nombre quelconque de forces /*, /', f, etc., dont les résultantes successives sont V, v'> ?'? ^tc, on aura
mom. rf = mom. f -\- mom. f , mom. y' = mom. *p j- mom. f*\
mom. ç>" = mom. '^' + mom. f'\ etc.
ou
mom. ç' = mom. /*+ mom. f -|- mom. f\ mom. tf" = mom, f -\- etc.
et ainsi de suite jusqu'au moment de la résultante finale R qui sera la somme de tous les autres ; le théorème est par suite démontré.
D'après le signe attribué aux forces, il est clair que la résultante de deux forces est toujours égale à leur somme algébrique, et il est aisé d'étendre cette règle à la résultante finale R qui sera ainsi la somme algébrique /* + /^ -f- /^' -f etc.
Voici les formules qui expriment les résultats précédents : Dé-
signons par x^,y^, z^ les coordonnées du point G, centre des forces parallèles, et par x^ y, z celles du point d'application de f, ces lettres avec des accents correspondant de même à f^ f\ etc. Le théorème exprime que R^^ = /"^ -f- /^/ ~j- etc. = 2/>. Le même raisonnement s'appliquant aux autres coordonnées, on a
Ces formules déterminent entièrement la position du même point G qu'on avait trouvé d'abord par un tracé. La seule exception, que nous examinerons bientôt, est le cas où l'on aurait R = o.
Bemarques s^ur les résultats précédents.
P Le tracé ne dépendait pas des axes ; ainsi de quelque manière qu'on les choisisse, a;,, y,, z^ seront toujours les coordonnées d'un même point G.
2^ Si l'on change l'ordre de la composition des forces, ^, , y , , z^ restent identiquement les mêmes, et, par suite, le point G trouvé par le tracé ne change pas non plus. Par conséquent, on peut remplacer quelques-unes des forces par leur résultante prise à part, car en employant la méthode du tracé ou des compositions successives, cela revient à les commencer par celles de ces forces.
3® Si tous les points d'application sont dans un même plan, en le prenant pour celui des xy, il suffira de déterminer x,, y,\ les moments signifieront alors les produits des forces par la distance des points d'application, non à un plan, mais à une droite OX ou OY.
De même si tous les points d'application étaient sur une même droite OX il suffirait de connaître x,.
Cas où R = 0, Conditions d'équilibre, — Quand R est nul, les forces sont en équilibre ou se réduisent à un couple, La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est qus les sommes des Duyments par rapport à deux plans rectangulaires parallèles aux forces soient séparément nulles.
En eflfet, nous poavons admettre qu'on n'a pas f = o\ soit alors R' la résultante des autres forces /*', f", etc., et X, Y, Z les coordonnées de son point d'application G', celui de f étant A; on aura ainsi
R'X = fx + fx" + etc., R' + /•= R = 0,
de sorte que R' ou — /' n'est pas nulle.
Prenons maintenant l'axe des z parallèle aux forces ; les sommes S, S' de leurs moments par rapport aux plans des xz et des yz seront
S -= fx + fx + etc. = fx + R'X = fix — X), S' = f {y — Y)
Le système est réduit à deux forces R', f égales et de sens contraire, et celles-ci formeront un couple, à moins que leurs points d'application G', A soient placés sur une même parallèle aux forces ou à OZ, auquel cas les forces seront directement opposées et se détruiront. Les conditions pour qu'il en soit ainsi sont donc X = .r, Y = y, ou ce qui revient au même S = o, S' = o. C'est ce qu'il fallait démontrer, S et S' étant les sommes des moments par rapport aux plans rectangulaires des xz et des yz.
17. Centres de gravité. — La pesanteur est une force générale qui anime tous les corps placés à la surface de la terre. Elle agit sur toutes les parties dans lesquelles on peut supposer un corps partagé et se compose ainsi d'un ensemble de forces, nommées les poids de ces parties, et dirigées suivant la verticale ; on peut les considérer comme parallèles pour un corps de dimensions ordinaires, en négligeant les variations de la pesanteur dues à l'altitude et à la latitude.
En supposant que le corps soit un solide, ces forces ont une résultante dont le point d'application se nomme le centre de gravité du corps.
Supposons d'abord le solide partagé en plusieurs parties, de poids ^,^',jî", etc., pour chacune desquelles le centre de gravité
soit déjà connu ; désignons les cordonnées de ce centre par x, y, z pour la première partie, par ^', ^, ^ pour la seconde et ainsi de suite. Soient aussi x,^y,^ z^ celles du centre de gravité G du corps total et P son poids.
Nous avons vu au numéro précédent que le centre des forces parallèles n'est pas changé si l'on remplace une portion des forces par leur résultante prise à part et, par conséquent, nous l'obtiendrons en composant les résultantes partielles correspondant à chaque partie du corps, ou les poids i>,|>', etc. En remplaçant dans les formules générales les lettres f^ f^ etc., par ju, p\ etc., nous aurons ainsi
D I ' I " I • V^ -\~ V'^' H- etc. pi/ + etc.
P = P + P +P +elc., x,= '^p , v,= ^^— p—
pz + etc.
formules qui déterminent le point G, et on le trouverait également en composant successivement les forces ;?, /)', etc., par la méthode du tracé.
Si l'on ne connaît pas le centre de gravité des diverses parties on peut encore employer les mêmes formules, en supposant les parties assez petites pour qu'il soif indifférent de prendre pour le centre de gravité de chacune d'elled un point quelconque qui lui soit intérieur. Voici ce que cela signifie : Admettons que pour chaque partie Terreur commise sur la valeur de x, .^, etc., c'est-à-dire la quantité dont elle peut varier suivant le point intérieur qu'on choisit, soit au plus de a : l'erreur commise sur la somme jjx -j- p'x' -f etc., sera au plus />jc + p'y. + etc., et il en résulte pour celle de x^
pa + p'a + p"a + etc.
p-rP' + f+ etc.
OU X ; la même remarque s'applique à y, et z, .
On aura donc les coordonnées du point G avec une exactitude
indéfinie en prenant les parties du corps très petites, car il est clair que a décroit ainsi sans limite.
La position du centre de gravité par rapport au solide reste la même si Von déplace celui-ci d'une manière quelconque. En effet, supposons qu'on déplace en même temps les axes comme s^ils étaient liés au solide. Les coordonnées rr, y, z^ af, ^, etc., resteront les mêmes ; on en peut dire autant de jp, p', p\ etc., et par suite, des valeurs de x^, y^^ z^ qui déterminent la position de 6 par rapport au corps.
De là résulte une règle pratique pour la trouver : si l'on suspend de deux manières le corps à un point fixe, le centre de gravité se plaçant chaque fois sur la verticale de ce point, sera déterminé par l'intersection de deux droites intérieures au corps.
Nous verrons au chapitre V les méthodes propres à trouver le centre de gravité d'un corps quelconque, ces méthodes servant à la fois à plusieurs questions analogues. Dans ce qui suit, nous nous bornerons à des règles simples qui permettent de le trouver souvent sans employer le calcul intégral.
Cas où le corps est homogène. — Les poids des parties sont alors proportionnels à leurs volumes v, v', v\ etc., et il est indifférent, dans la formule
px + p'x -f- etc.
P + P + etc.
et ses analogues, de remplacer^;, p', etc., par v, xf^ etc.
Le centre de gravité d'une surface signifie celui d'une couche homogène, d'épaisseur uniforme infiniment petite, figurée par la surface. Celui d'une ligne la suppose de même assimilée à un fil homogène infiniment mince et de section constante. Les volumes Vy v\ etc., deviennent dans ces deux cas de petites portions de surface ou de ligne.
Première règle. — S'il existe dans le solide un plan de symétrie
le centre de gravité G doit s'y trouver y car, par suite de la symétrie, les centres de gravité G', G" des deux parties sont à égale distance de part et d'antre de ce plan, et des poids égaux leur étant appliqués, le centre G est au milieu de G' G".
S'il y a plusieurs plans de symétrie, il est sur chacun d'eux ; pour un cercle ou une sphère, il est donc au centre. Pour une droite, il est au milieu, et on peut assimiler à une droite toute aire plane comprise entre deux droites parallèles infiniment voisines.
Seconde règle. — Si un solide est décmnposable en parties dont les centres de gravité soient tous sur un même plan ou sur une même droite^ le centre G s'y trouve aussi, comme on le voit en composant entre eux ceux des parties.
£n particulier, si des poids égaux sont appliqués à des points équidistants sur une même droite, le centre de gravité G est au milieu de l'intervalle du premier et du dernier, comme on le vérifie en composant séparément entre eux ceux qui sont à égale distance des extrêmes.
Les règles qui précèdent sont applicables aux cas suivants :
Parallélogramme, — En le partageant en bandes minces par des parallèles à une base et assimilant ces bandes à des droites, on voit que le centre de gravité est sur toute droite joignant les milieux de deux côtés opposés. Il est donc au centre de figure.
Triangle, — Des parallèles à une base le partagent en bandes aj ant leurs milieux sur la médiane correspondante. Le centre G est donc sur chaque médiane, et l'on sait que l'intersection des médianes se trouve sur chacune aux deux tiers à partir du sommet.
Polygone, — Son centre de gravité se détermine en composant ceux des triangles dans lesquels on peut le partager. Il faut remarquer que si deux polygones sont semblables les lignes employées pour déterminer le centre de chacun forment des figures
semblables et par suite, les centres de gravité des deux polygones s'y trouvent dans des positions homologues.
Volume prisnKUique ou cylindnque, droit ou 6blU£ue, compris entre dsux bases parallHes de forme quelconque, — Des plans équidistants parallèles aux bases interceptent des tranches minces, égales entre elles, assimilables à des surfaces et ayant leurs centres de gravité sur la droite G'G" qui joint ceux des bases, car ces points ont ainsi des positions identiques dans chaque section. En outre, on peut supposer les centres de gravité des tranches placés au milieu de leur épaisseur. Ils sont de la sorte équidistants, et des poids égaux leur étant appliqués, le centre de gravité G est au milieu de G' G".
Zone sphérique, — Ce cas est semblable au précédent ; si G', G" sont les centres des bases, des plans équidistants parallèles à ceux des bases interceptent des zones minces de même hauteur et de surfaces équivalentes, ayant leurs centres de gravité sur G'G"; ils peuvent être supposés équidistants, et des poids égaux leur étant appliqués, le point G est au milieu de G' G".
Volume d'une pyramide à base quelconque — Le centre de gravité G est sur la droite joignant le sommet S au centre de gravité G' de la base, aux trois quarts à partir du sommet.
En effet, des plans parallèles à la base partagent le corps en tranches minces, semblables entre elles et ayant leurs centres de gravité sur SG', car de la sorte ils ont sur chaque section des positions homologues. Il reste à démontrer que G s'y trouve aux trois quarts, et il suffit évidemment de faire cette vérification pour un des tétraèdres de sommet S dans lesquels le solide peut être décomposé.
Pour cela menons un plan par l'arête SA et le milieu B de
J'arète opposée ; en prenant BG' = BA,
BG" = -- BS, G' sera le centre de gravité de la base. G" celui de la face opposée au
sommet A, et G doit être à la fois sur SG' et AG" ; il résulte alors des triangles semblables BAS, BG'G" qu'on a
GG' G'G" BG' 1 , i i ,
