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Un objet de poids p étant posé sur la plateforme est pesé au moyen d'un poids Q suspendu en F par un plateau au levier DF.

On admet qu'en enlevant les poids ^ et g la plateforme reste horizontale en équilibre de même que le levier DF.

Soit 9 le rapport : si le point E et par suite B descend

d'une petite quantité a, D et C descendent de pa, et puisque

:.r} = p, A' descend de a ; ainsi A et B descendent tous deux de «.

et il en est de même du poids p quelle que soit sa position sur la plateforme, celle-ci restant horizontale. Le travail px de ce poids est donc le même que s'il était suspendu directement en E, et par conséquent, le poids à placer dans le plateau pour lui faire équilibre est aussi le même.

On en peut dire autant de tous les objets placés sur la plateforme; ils seront ainsi pesés au moyen du poids Q comme s'ils étaient tous suspendus au poids E.

Troisième exemple : Équilibre de la vis, — L'appareil se compose d'une vis immobile dont Taxe OZ est vertical. L'écrou est mobile et supporte un poids p sur un plateau. La force f destinée à le faire monter agit suivant AL, direction horizontale perpendiculaire à un bras de levier AC ; celuici est horizontal, fixé à Técrou et rencontre en C l'axe OZ ; sa longueur est AC = r.

Si le point A éprouve un petit déplacement a, c'est dans la direction de l'hélice que ce point est forcé de décrire, et non dans celle de AL. Le travail de la force/' est /a cos /, i étant l'angle que fait a avec AL ou avec un plan horizontal. Ainsi a cos / est

un petit arc de la circonférence que décrit en tournant la projec-

tion horizontale du point A. S'il forme une fraction

circonférence on a

27rr

de cette

a cos î =

En même temps, h étant le pas de la vis, le poids p aura monté de . Les travaux des forces fet-p sont de signe contraire,

et doivent pour l'équilibre être égaux au signe près, d'où résulte

27rr h f h

n * n p 2xr

21. Héthode g^énérale de solution des questions de statique. — Il s'agit ici de principes communs à tous les cas, s'étendant en partie à l'état de mouvement, et dont nous ferons successivement l'application aux systèmes de solides, aux corps déformables, élastiques et fluides.

L'expression de système matériel désigne un assemblage quelconque de matière, pouvant contenir des corps de toute espèce, solides, élastiques, fluides ou même des portions de corps ; il suffit que toutes ses parties soient définies avec précision.

Les forces intérieures sont celles qui agissent sur un point du système et proviennent d'un corps appartenant aussi au système.

Les forces extérieures agissent sur un point du système, mais sont dues ou à un corps qui n'en fait pas partie ou à toute autre cause extérieure indéterminée.

Premier principe, — Pour établir les conditions cV équilibre ou les lois (lu mouvement d'un système matériel on peut remplacer tout corps en contact avec lui ou yénant son mouvement, par les forces extérieures quil exerce sur lui, — En effet, ces forces existent toujours au contact de deux corps, et proviennent de leur résistance à la pénétration et à la déformation. Quand on dit qu'on exerce sur un corps A une force extérieure sans mentionner sa cause, celle-ci est fréquemment le contact d'un corps B qui presse le premier et en cherchant l'effet de la force, on fait abstraction de l'existence du corps B, à laquelle la force du contact est ainsi substituée.

Ce qui précède reste même exact si la surface de contact est purement idéale ou sépare deux portions A et B d'un même corps ; seulement si l'on remplace B par des forces, celles-ci proviennent

de la eolmion qui lie toutes les parties d'un même corps et qui s'oppose à la séparation de A et B aussi bien qu'à leur rapprochement.

Nous nommerons forces des contacts celles que nous venons de définir. Il est clair qu'on doit y comprendre le frottement des surfaces, s'il existe. Il était exclu quand on regardait le contact comme un obstacle au mouvement ; mais si on le remplace par une force, il n'y a plus aucune raison pour ne pas lui attribuer sa valeur réelle.

Second principe. — Si un système matériel quelconque est en équilibre et en repos et qvûon remplace les obstacles à son mouvement par les forces de contact^ les forces extérieures qui agissent sur lui, y compris celles-là, satisfont les conditions d'équilibre d'un solide entièrement libre, — En effet, l'équilibre du système ne serait pas troublé si on pouvait le supposer solidifié, de façon à devenir un tout de forme invariable ou un solide théorique entièrement libre. Celui-ci ne serait plus alors animé que des forces extérieures, qui devraient par suite satisfaire les conditions d'équilibre d'un solide.

Quant à la solidification, si le système est un liquide, on peut le supposer congelé ; si c'est un assemblage de solides, on peut les supposer adhérents entre eux. Il en est ainsi quelque petits que soient les solides dont il se compose, et par suite, malgré les impossibilités pratiques de réaliser la solidification, on peut regarder le principe à démontrer comme vrai dans tous les cas.

Bemarque sur ce qui précède. — Les lois générales de l'équilibre des corps flexibles, élastiques ou fluides s'obtiennent en les décomposant en très petites parties, auxquelles on applique le principe ci-dessus. Par conséquent, dans toutes les questions de statique on n'a jamais à employer que les sommes des projections ou des moments des forces extérieures. C'est un résultat essentiel, car les forces de contact semblent souvent appliquées à un nombre infini de points.

Troisihne principe, — Égalité de V action et de la réaction. — Ce principe s'exprime d'ordinaire en disant que si un corps exerce une force sur un autre, celui-ci en exerce sur le premier une égale et directement opposée. Par exemple, en poussant un objet avec la main on la sent repoussée par la pression de l'objet. Toutefois, dans ce cas et dans d'autres analogues, il n'agit pas une force unique mais une réunion d'un grand nombre de petites forces, le contact ayant une étendue finie. Voici le principe sous une forme plus précise.

Soient A, B deux systèmes matériels agissant l'un sur l'autre, que nous supposons en équilibre et en repos : Si i, ilf, N^ P, Q^ R sont les sommes de projections et de m<mients correspondant aux forces exercées par A sur J5, et L, M\ etc., letirs analogues pour hs forces exercées par B sur A, ces nouvelles sommes sont égales aux premières en signe contraire.

Il suffit de le vérifier pour une des sommes, par exemple pour P. Soit P" la somme analogue pour les forces extérieures qui agissent sur A sans provenir de B ; soit de même F" la somme analogue pour les forces extérieures agissant sur B sans provenir de A.

Pour toutes les forces extérieures à A cette somme sera P' -f- P", et en considérant A comme solidifié, on doit avoir P' + P" = <>- Pour l'équilibre de B on trouve de même P -f- F" = o. Pour le système de A et B réunis, leurs actions mutuelles deviennent des forces intérieures et ne doivent plus être comptées, d'où résulte F -f- F" = 0. Les relations précédentes donnent P + F -f- P" + F" = 0 ; on en conclut P + F = o, P' = — P, ce qu'il fallait vérifier. Ce résultat revient à dire que les forces exercées par A sur B et par B sur A se feraient équilibre si elles agissaient à la fois sur un même solide.

Si deux corps se touchent en un point isolé chacun d'eux exerce sur l'autre en ce point une force unique ; ces deux forces appliquées à un même corps devraient se faire équilibre ; elles sont donc égales et directement opposées. De même, si en prenant pour

A et B des particules imperceptibles on admettait que Faction mutuelle fût réduite à une force unique agissant de A sur B et une autre agissant de B sur A, elles devraient être égales et directement opposées ; mais pour ce qui suivra, il est inutile de chercher si ce cas simple existe.

La loi d'égalité de l'action et de la réaction est expérimentale, car on pourrait bien concevoir a priori deux particules A, B s'attirant à distance avec des forces inégales ; on doit donc se demander comment cette loi peut être le résultat d'une démonstration.

Cela provient de ce qu'elle était implicitement contenue dans divers principes considérés comme évidents.

Par exemple, une tige rigide

AB peut être regardée comme ^ a c r

formée de deux parties AC, BC, séparées en C par un plan idéal ; soient fia force exercée par AC sur CB suivant la droite AB, et f celle qu'exerce CB sur CA ; si l'on fait agir des forces f\ f suivant les prolongements AL, BL', les portions AC, CB seront séparément en équilibre en admettant qu'il en soit ainsi pour une tige tirée en sens contraire par des forces égales. Par suite, la tige entière AB serait en équilibre. Or ce serait impossible si /* et /^ différaient. Le cas simple d'équilibre d'une tige serait donc inexact si l'action et la réaction n'étaient pas égales en C. Il le serait également si les extrémités de la tige étaient formées par les particules A, B ci-dessus, s'attirant inégalement.

Sans le principe d'égalité de l'action et de la réaction de semblables anomalies se produiraient dans les cas d'équilibre les plus évidents. Nous verrons plus tard que ce principe subsiste dans l'état de mouvement.

Nature des questions de statique. — Les questions se classent,

d'après la nature du système en équilibre, suivant qu'il se compose d'un ou plusieurs corps considérés comme des solides théoriques, ou qu'il contient des corps déformables ; en outre, ceux-ci peuvent l'être par flexibilité, par élasticité ou par rupture.

L'équilibre des fluides sera examiné dans un autre chapitre. Il en est de même de principes généraux relatifs aux corps élastiques, qu'il convient de réunir à certaines propriétés de leur mouvement.

Les questions concernant les solides se classent également suivant qu'il y en a ou non plusieurs, suivant qu'on tient compte ou non du frottement et aussi suivant la nature des inconnues, car tantôt on cherche la position de certains corps, tantôt c'est leur forme, et dans d'autres cas, l'une et l'autre sont données et la question concerne les forces.

La variété des problèmes de statique est donc très grande, et les applications qu'on trouvera plus loin indiqueront autant que possible la marche à suivre dans les différents cas.