Forces de eontaet. Équilibre d'un système de solides

Principe préliminaire. — Si deux systèmes de forces f7, V agissant sur un solide S sont absolument équivalents, ils produisent le même effet quand S fait partie d'un ensemble (E), lors même que le frottement existe dnns les contacts, — Les propriétés de Téquivalence sont les deux suivantes :

1° Si l'ensemble (E) est en équilibre quand les forces extérieures T et U agissent sur S, il en est de même quand ce sont les forces T et V.

2^ S'il n'est pas en équilibre dans le premier cas, il ne l'est pas non plus dans le second.

La seconde est une conséquence de la première, car si T et V produisaient l'équilibre, il devrait en être de même de T et U. Il suffit donc de démontrer la première.

Soit — U un système formé de forces égales et directement opposées à celles de U; de la sorte, le système composé de — U et V se ferait équilibre sur le solide S libre ; Téquilibre des corps (E) n'est donc pas troublé en joignant jces forces à celles qui

agissent sur S, de sorte qu'elles deviennent T, U, — U et V ; c'est démontré s'il n'y a pas de frottement, et cela reste exact s'il y en a. c'est-à-dire que les corps ne se mettront pas en mouvement, puisque le caractère des frottements est de s'opposer au mouvement dans quelque sens qu'il se produise.

D'autre part, comme on l'a vu au numéro 6 en parlant de la mesure numérique des forces, deux forces égales et directement opposées, dans toute question d'équilibre ou ;de mouvement, peuvent être remplacées par une force nulle, ou supprimées; il en est donc ainsi pour l'ensemble de U et de — U. Les forces agissant sur S se réduisent de la sorte à T et V sans que l'équilibre soit troublé, ce qu'il fallait démontrer.

Nature du misteme. — En laissant de côté pour le moment le cas oii il y aurait des fils, nous admettrons que tout obstacle au mouvement soit un contact entre deux solides du système ou entre l'un d'eux et un solide fixe.

Ce contact pourra d'ailleurs être de nature quelconque, avec ou sans adhésion, avec ou sans frottement, la forme des surfaces étant arbitraire, etc. En tout cas, chacun peut être remplacé par une force.

Soient maintenant A, A' deux points en contact, appartenant à deux solides S, S' ; nous dirons que le contcwt est unique pour l'un d'eux, par exemple pour S, s'il n'existe pour ce corps aucun autre obstacle au mouvement que le contact A.

Premier cas (Téquilibrè. — Nous désignerons ainsi celui où le contaH est unique j^our S. tandis que S' est fixe, et où il n'agit sur S qu'une seule force extérieure (appliquée en A,

Nous admettrons que pour chaque nature de contact on ait déterminé directement toutes les forces /' produisant ainsi l'équilibre; nous les nommerons f, f\ f\ etc., et en général les forces f.

Forces de contact admissibles. — Nous nommerons ainsi pour chaque contact toutes les forces qui pourraient lui être substituées,

c'est-à-dire toutes celles que le contact peut exercer dans un ensemble (E) de solides en équilibre.

Pour les trouver, soit h la force de contact inconnue agissant sur un solide S de Tenserable (E) de A' en A dans son contact avec S'. Soit aussi U le système formé par les forces extérieures agissant sur S, réunies aux forces provenant des contacts de ce solide autres que AA'.

D'après le numéro précédent, S serait en équilibre en le supposant libre et animé des forces extérieures agissant sur lui et de toutes celles de ses contacts. Cet ensemble se compose du système U et de la force h ; U est donc équivalent à une force — /e, appliquée en A, égale et opposée à h.

D'autre part, si Ton remplace par des forces seulement les contacts autres que A^ celui-ci deviendra unique, le solide S ne sera plus animé que des forces extérieures U, et l'équilibre subsistera si Ton remplace U par la force équivalente — A, en rendant en outre S' fixe s'il ne l'était pas déjà. A ce moment, le premier cas d'équilibre se trouve réalisé, et la force extérieure — h agissant seule sur S est nécessairement une des forces f. Par conséquent, les forces de contact h admmUdes agissant sur S sont à chaqtie point de contact les opposées des forces/] considérées comme connues. Toutes les opposées des forces f peuvent d'ailleurs exister comme forces de contact, car il en est évidemment ainsi dans le premier cas d'équilibre.

Seconde forme du premier cas d'équilibre. — C'est celle où l'on suppose le contact A' unique pour S', S fixe, et une seule force f agissant sur S', appliquée en A' ; les forces de contact admissibles sont alors les opposées de tontes ces forces /'. Or, d'après le principe d'égalité de l'action et do la réaction, ces forces agissant de A sur A' sont en sens contraire les mêmes qui pouvaient agir de A' sur A, ou les forces f; par suite, les forces f sont les opposées des forces f

Second cas d' équilibre. — Désignons ainsi celui où le contact A A

est unique potér S et aussi pour S', S n'étant aninié que d'une seule force f appliquée en A, et 8' d'une seule f appliquée en A'j égale et opposée à f. Pour vérifier que l'équilibre existe, remarquons qu'il en est ainsi si Ton rend S fixe par des obstacles extérieurs, ce qui reproduit le premier cas d'équilibre sous la seconde forme. En raisonnant alors comme ci*dessus, nous verrons qu'on peut sans troubler l'équilibre remplacer les obstacles extérieurs de S par un système de forces U, et celui-ci par une force unique f appliquée en A ; la force de contact étant d'ailleurs à la fois égale et opposée à fet kf\ celles-ci le sont aussi entre elles, et le second cas d'équilibre se trouve ainsi réalisé.

Conditions â^ équilibre d'un ensemble (E) de solides, — Il faut et U suffit qu^on puisse trouver des forces de contact admissibles capables, pour chaque solide séparément^ de faire équilibre à ses forces extérieures comme s'il était libre.

Nous avons déjà vu que cette condition était nécessaire, l'équilibre devant exister séparément entre les forces extérieures agissant sur chaque solide et ses forces de contact, et celles-ci étant toutes comprises parmi les admissibles.

Réciproquement, en supposant les conditions satisfaites par des forces de contact admissibles h, h\ etc., celles qui agissent sur le solide S feraient par hypothèse équilibre au système de ses forces extérieures comjne s'il était libre, et d'après le numéro 13 ce système est équivalent à l'ensemble des forces égales et opposées à fe, h\ etc. , comprises par suite parmi les forces f. Il en est ainsi pour tous les solides, et comme il est indifférent pour l'équilibre de remplacer un système par un autre équivalent, nous n'avons plus à vérifier qu'un troisième cas d'équilibre dans leqtiel des forces f appliquées à tous les points de contact sont devenues les forces extérieures à la place des primitives.

De la sorte Jes forces sont disposées comme dans le premier et le second cas d'équilibre pour chaque point de contact, sauf que celui-ci n'est pas unique ; en effet, si S et S' font partie de l'en-

semble (E), /"et f agissant sur A et A' sont considérées comme opposées à une même force de contact et par suite sont égales et opposées entre elles.

1 ^ S'il n'y a pas de frottement, le principe des vitesses virtuelles est applicable.

Les déplacements des points de contact A, A' qui sont possibles dans le troisième cas d'équilibre le sont aussi dans le premier et le second, oti les contacts sont moins nombreux. Dans ceux-ci, puisqu'il y a équilibre, le travail de f seule, ou celui defetf réunies, est nul ou négatif ; il en est donc ainsi dans le troisième cas, et cela pour tous les contacts séparément, et par suite pour l'ensemble des forces f. La somme des travaux est la même pour les systèmes des forces extérieures primitives, qui étaient équivalents à ceux des forces f; ainsi pour tout déplacement de l'ensemble (E) la somme des travaux des forces extérieures est nulle ou négative, et par suite il y a équilibre.

n faut remarquer que souvent les forces de contact h, h\ etc.,

et par suite les forces f correspondantes peuvent être choisies

d'une infinité de manières, que même des points de contact peuvent

être infiniment rapprochés ; mais cela ne change rien au résultat,

qui concerne les forces extérieures seules et ne dépend pas de ce

choix.

2° Supposons qu'il y ait un frottement en certains points de

contact C, G\ G\ etc., et admettons pour chacun qu'il n'y ait pas de contact infiniment voisin. Isolons alors dans le voisinage de chacun une portion |P des solides S et S', ou de S seul si S' est fixe, de sorte qu'elle soit disjointe ou indépendante du reste des solides et ne contienne pas d'autre point de contact que C ou C, etc.

Chaque portion P sera séparément en équilibre comme rentrant dans le second ou le premier cas, car les forces de contact admissibles en AA, et par suite les forces /ne dépendent que de la forme et de la nature des corps dans le voisinage de AA'

et soût ainsi les mêmes pour les portions que pour les solides complets.

D'autre part, en supprimant les portions, le reste des solides forme un ensemble sans frottement, que nous savons par suite être en équilibre. Celui-ci ne sera donc pas troublé si on lie de nouveau les portions au reste des solides, en rétablissant ainsi Tétat primitif.

Cette démonstration ne s'étend pas aux cas où les forces f seraient indéterminées, ou du moins à ceux où des points de contact seraient infiniment voisins. Alors toutefois le résultat peut être regardé comme encore exact. En général, en effet, en diminuant le nombre des points de contact de façon qu'ils deviennent isolés, on pourra de nouveau trouver des valeurs de h, h\ etc., satisfaisant les conditions d'équilibre, comme nous le verrons par des exemples. La démonstration qui précède sera par suite applicable^ et l'équilibre existant ne sera pas troublé si l'on rétablit les points de contact d'abord supprimés, c'est-à-dire de nouveaux obstacles.

Dans le cas où le contact est continu sur une surface finie, on désigne d'une façon générale par le mot de pression l'ensemble des petites forces de contact ; la somme des projections de ces forces sur un axe est la pression suivant cet axe. On la nomme pression normale si Taxe est normal à la surface, pression tangentieUe s'il lui est tangent.

Valeur des forces de contact quand il n'y a pas de frottement. — Nous les déduirons des forces /' en appliquant le principe des vitesses virtuelles au premier cas d'équilibre. Chaque force fdoit faire un angle droit ou obtus avec toutes les directions de déplacement possibles du point A, afin que son travail soit nul ou négatif.

1^ S'il y a adhésion entre S et un solide S', comme s'ils faisaient partie d'un même corps, les déplacements possibles sont nuls, les forces f quelconques, et pour l'ensemble des contacts entre S et S' il en résulte un système de forces complètement arbitraire agissant sur S.

2^ 8i4ppos(ms S simplement appuyé contre 8' ; pour qu'on déplacement de A en A" soit possible, il faut qu'il soit compatible avec un déplacement de S dans lequel aucun de ses points ne pénètre dans S', et cette pénétration d'ailleurs ne pourrait avoir lieu que dans le voisinage de A, ce point de contact étant unique.

On peut admettre que dans le déplacement de S tous ses points décrivent des droites égales et parallèles à AA", car s'il en était autrement ou si S éprouvait une rotation, ce ne pourrait être que d'un angle infiniment petit, et il est aisé de voir que pour les points infiniment voisins de A le déplacement ne serait altéré que d'un infiniment petit du second ordre.

Dans le cas où en AA' les surfaces de S, S' auraient des formes quelconques, pouvant présenter des angles ou des arêtes, on devrait déterminer de la sorte tous les déplacements possibles AA", et en déduire les forces f. puis les forces &, comme on l'a vu plus haut.

Nous mentionnons ces cas singuliers pour montrer comment le principe des vitesses virtuelles en fournit la solution ; mais il est superflu de les passer en revue et nous nous bornerons aux contacts ordinaires, en désignant ainsi ceux où l'une au moins des surfaces de S, S' a en A A' un plan tangent unique. Nous pouvons admettre ([ue ce soit celle de S', les forces f restant les mêmes quand on échange les deux surfaces.

Les déplacements AA" possibles sont alors évidemment tous ceux qui font avec la normale extérieure à S' un angle droit ou aigu. Par suite les forces f, pour faire avec tous un angle droit ou obtus ne peuvent être dirigées qu'en sens contraire de cette normale, et les forces de contact admissibles consistent e» une répulsion normes d'intensité (pielcmiqw entre A et A'.

3^ Si un point A est fixe^ le solide S pouvant tourner en tous sens autour de lui, tout déplacement de A est nul, et les forces f peuvent être quelconques, de même que la force de contact h.

4^ Si le solide ne j)eHt que tourner autour d'un axe fixe, on peut assimiler l'axe à deux points fixes.

5° Si le point A ne peut se mouvoir que swr une courbe ou u/ne surface donnée, on a vu au numéro 10 que la direction de la force /' devait pour l'équilibre être une normale quelconque à la courbe, ou une normale à la surface dans l'un ou l'autre sens, et il en est par suite de même de la force de contact.

Memo/rque sur les trois cas précédents, — Fréquemment ces cas sont réalisés, non par un contact unique^ mais par une liaison plus complexe. Pour fixer le point A, par exemple, on peut y supposer un anneau traversant un anneau fixe ou une sphère creuse dans laquelle est emboîtée une sphère fixe^ etc. De même dans le cas où le point A reste sur une courbe, ce peut être un anneau entourant une tige fixe ; la rotation autour d'un axe s'obtient par un collier embrassant un arbre, etc.

Dans tous ces cas, l'ensemble des déplacements possibles, dont dépendent les conditions d'équilibre, reste le même en supposant l'articulation, les anneaux, le collier, etc., infiniment petits; les forces de contact multiples qui s'y produisent ont alors des points d'application infiniment voisins du point 'A et peuvent être assimilées à une force de contact unique agissant sur ce point. Celle-ci peut donc toujours remplacer la liaison, quelle que soit sa nature.

En outre si Ton réduit, comme on l'a vu au numéro 19, l'ensemble des déplacements à ceux qui sont admissibles, on peut être amené à considérer les liaisons ci-dessus comme absolues, tandis que matériellement elles restent incomplètes.

Cas où les points -4, A de Sj S' seraient réunis par un fil tendu, — Ce cas rentre dans celui d'un contact, sauf que A, A' sont à distance et que la direction de la force de contact, ou de la tension du fil, est connue d'avance. Le premier cas d'équilibre est celui où A' est fixe. Il n'y a pas de frottement et le principe des vitesses virtuelles est applicable. En considérant les déplacements possibles de A on voit aisément que la force Y produisant Téqui- Ubre est dirigée suivant le prolongement du fil.

On démontrerait comme précédemment le second cas d'équi-

libre, f eif étant égales et dirigées suivant les deux prolongements du fil, et quant à la démonstration des conditions générales d'équilibre d'un système de solides, il n'y aurait rien à y changer. Nous avons d'abord exclus ce cas pour ne pas en augmenter la complication.

Emploi pratique des conditions d'équilibre. — On remplacera par des lettres inconnues chaque force de contact, ou ses projections si sa direction est indéterminée, et Ton écrira pour chaque solide séparément ses conditions d'équilibre comme s'il était libre.

Il faut remarquer que si l'un d'eux a un point fixe on peut lui laisser le rôle de liaison au lieu de le remplacer par une force de contact, à moins que celle-ci soit elle-même l'inconnue de la question. Il en est de même pour un axe fixe.

En outre, s'il y a plusieurs solides A, B, C, etc., on peut employer les conditions d'équilibre de l'ensemble de A et B supposé solidifié, auquel 'cas les forces des contacts mutuels de A et B disparaissent comme forces intérieures. Les conditions d'équilibre de A seul et de A et B réunis, et celles de A seul et de B seul, forment en général deux systèmes d'équations iéquivalents. On peut de même supposer le système de A, B et C solidifié, etc.

23. Exemplef» d^équilibre d'un solide sans frottement. Cas oik sa forme et sa position sont données.

— Premier exemple. — Condition d'équilibre d'un solide animé de

forces quelconques et ne pouvant que tourner autour d'une droite fixe 01 située dans un plan P ; on le suppose appuyé contre le plan en divers points A, B, C, etc., tous placés d'un même côté de 01.

Soit '^ la somme des moments des forces par rapport à 01, en

ne comptant que ceux qui sont positifs ou tendent à faire tourner

dans le sens de la flèche, c'est-à-dire à appuyer le solide. Soit \j!

la somme numérique des moments qui tendent à le faire tourner

dans l'autre sens. Les forces normales qu'exerce le plan aux points A, B, C, etc., ont toutes cette tendance inverse; soit a la somme numérique de leurs moments. Le corps ne pouvant que tourner autour d'un axe, il suffit pour l'équilibre qu'on ait fx — ix — p" = o. Cette relation est impossible si fx < ,a ; si tx > yî le plan pourra exercer des forces dont le moment total soit / = ix — fx', et il y aura équilibre. C'est d'ailleurs évident en remarquant que si le corps tournait en se détachant du plan les forces tendraient à l'y ramener. La condition d'équilibre est donc qzie la sofnme des moments des forces tendant à appuyer le corps contre le plan dépasse la somme de ceux des forces qui tendent à le renverser. L'emploi de ce principe est fréquent.

On peut remarquer que les forces exercées par le plan en A, B, etc., restent indéterminées s'il y a plus d'un point de contact.

Second exemple.- — Équilibre d'un corps pesant posé sur un plan horizontal. — Quel que soit le nombre des points d'appui, en les joignant deux à deux on formera un réseau de lignes droites, limité par un contour polygonal convexe P ; la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est que le point G', projection du centre de gravité O sur le plan, soit intérieur à P. On peut le vérifier par le principe ci-dessus en remarquant que si G' est extérieur, Tune au moins des droites formant le contour de P est telle que le polygone soit en entier d'un côté de la droite et G' de l'autre. Le poids du corps, qui est la seule force extérieure, le ferait alors tourner autour de cette droite si elle était fixe, et par conséquent l'équilibre est impossible. Si au contraire G' est intérieur, le poids s'oppose au renversement du corps tournant autour d'un côté quelconque de P, et d'ailleurs le mouvement ne pourrait se produire que sous cette forme.

En employant les forces de contact, on voit qu'elles sont verticales et que le point d'application de leur résultante est intérieur

à P ; celle-là ne poarra donc faire équilibre an poids si Gr' est extérieur ; elle le pourra si G' est intérieur à P, car il est alors aussi intérieur à Fun au moins des triangles formés par les pœnts d'appui associés trois à trois, par exemple à ABC ; en ce cas le poids

appliqué en 6, ou ce qui revient au même, en G\ peut se décomposer en deux forces pap^X^/ \ ^ rallèles appliquées en A, et en D sur le côté ^ BC ; la seconde se décompose encore en deux

autres, appliquées en B et G. Leur sens étant celui de la pesanteur on pourra attribuer aux points A, B, C des forces de contact égales et opposées aux précédentes.

S'il y a plus de trois points d'appui les forces de contact sont indéterminées, et comme nous l'avons remarqué au numéro précédent, on voit qu'il est possible de satisfaire les conditions d'équilibre d'une façon déterminée en réduisant ces appuis à trois. On produirait même matériellement cette diminution en altérant infiniment peu les dimensions du corps, et c'est de là que provient Tindétermination quand on considère le solide comme rigoureusement indéformable. Il n'y aurait en général en ce cas que trois points réellement en contact, et ce serait par suite d'un ballottement imperceptible que d'autres pourraient les remplacer.

Dans les corps naturels, au contraire, des flexions insensibles peuvent multiplier les points d'appui, et en ces points eux-mêmes il s'en produit nécessairement, de sorte que tout contact a une étendzce finie, quoiqu'on puisse, quand elle est très petite, l'assimiler, comme nous l'avons fait, à un point unique. Sans cela, en eflfet, une force de contact de grandeur finie s'exercerait sur une surface infiniment petite, et son rapport à la surface, ou la pression rapportée à Vunité de surface serait infiniment grande; or aucun corps n'y pourrait résister sans subir une légère dépression.

Les résultats des deux exemples précédents restent les mêmes s'il y a des frottements aux contacts du plan.

Troisième exemple. — Un cylindre pesant AB que nous figurons

par une simple droite est articalé en A de façon à ne poavoir qae tourner dans an plan vertical ; en B il repose par sa surface convexe sur un appui. On demande les pressions sur les deux appuis.

Nous chercherons les forces égales et opposées à celles-là, ou celles qui remplacent le contact ; en B c'est une force R perpendiculaire à la surface convexe du cylindre, c'est-à-dire à la droite AB; en A c'est une force indéterminée que nous remplacerons par s^ projections X, Y, X quand elle est positive étant dirigée de A vers B, et Y à angle droit comme dans la figure. En outre, le poids p du cylindre est appliqué en G au milieu de AB ; on donne la longueur AB = /, et son inclinaison / sur l'horizon.

Le corps doit être regardé comme entièrement libre et les forces étant dans un même plan, les trois conditions d'équilibre ont été indiquées au numéro 13. Nous choisirons A pour centre des moments, parce qu'ainsi ceux des forces X, Y seront nuls; le bras

de levier est évidemment l pour R et -^ / cos ^ pour p et il en résulte pour la condition relative aux moments

H/ — - p/ cos î = 0, R — - -p cos t

En annulant les sommes des projections des forces sur les directions de X et Y, on trouve en outre

X — p sin i = 0, Y + R — V ^'^^ i = o

d'où résulte

X = w sin î, Y = R = -^p cos i

Ces trois forces sont positives. En changeant leur sens, on a les pressions sur les appuis A et B.

Quatrième exemple. — Un solide ayant deux points fixes 0, 0',

et étant animé de forces quelconques en équilibre, on demande les pressions sur les points d'appui.

Le solide en réalité ne peut que tourner autour de Taxe 00', et ce qu'on demande est l'ensemble des pressions supportées par l'axe; mais pour que la question soit bien déterminée, il faut assimiler ainsi l'axe à deux points d'appui.

Prenons 0 pour origine et plaçons OZ sur 00'. On donne 00' = fe et de plus les sommes de projections et de moments des forces, qui seront L, M, N, P, Q ; la dernière R est nulle, puisque c'est la condition d'équilibre.

On peut regarder le solide comme libre, en lui supposant appliquées, outre les forces précédentes, les réactions f, f des points 0, 0' ; ces forces prises en sens contraire seront les pressions cherchées. Soient X, Y, Z les projections de la force /*sur les axes et X', Y', Z' celles de f ; ce sont les inconnues à déterminer. D'après le numéro 14, les moments d'une force par rapport à OX, OY, OZ sont

yl — zY, zX — .rZ, xY — ij\

Ceux de la force f sont nuls ; pour ceux de f on doit remplacer X, Y, Z par X', Y', Z', et x, y, z parles coordonnées du point O'ou par 0, 0, h ; ces moments sont ainsi — AY', AX' et o. Les sommes L, M, etc , augmentées des projections ou moments de f. f\ doivent être nulles pour l'équilibre, d'où

P — /iY' = 0, 0 + /iX' = 0

La dernière relation serait identique. On en tire les valeurs de X, Y, X, Y', Z + Z' ; ^Z et Z' ne se trouvent pas séparément, parce que ces composantes agissant suivant la même droite se confondent en une force unique.

On peut déduire de ces formules une règle pratique pour déterminer les pressions ; mais nous allons la trouver par une autre méthode qui sera un exemple de l'emploi des couples.

Supposons d'abord toutes les forces perpendiculaires à Taxe. Par chacune d'elles, telle que AL, menons un plan perpendiculaire à l'axe qu'il coupe en A' ; nous pourrons sans erreur transporter la force AL sur l'axe, a^ /^ c'est-à-dire la remplacer par une force A'L' égale et parallèle.

En effet, nous savons que ce serait exact en y joignant le couple de déplacement formé par AL et une force opposée à A'L' ; en transformant de même toutes les forces, elles seraient [remplacées par les forces telles que AL', dont le moment est nul, et par le système S des couples, dont le moment total par rapport à OZ est par suite aussi nul, comme celui des forces AL. Pour ce système S, les sommes de projections sont nulles, et il en est de même des sommes des moments par rapport à OX, OY, les plans des couples étant parallèles à celui des rr^. L'ensemble de ces couples resterait donc en équilibre si les points fixes 0, 0' n'existaient pas, et par conséquent n'exerce sur eux aucune pression; celle-ci, comme nous l'avons dit provient donc uniquement des forces telles que A'L' ; or ces forces étant appliquées à l'axe se décomposent chacune en deux autres parallèles, appliquées en 0,0', et leur ensemble forme les pressions cherchées.

Dans le cas général, les forces données étant quelconques, on remplacera chacune d'elles par ses composantes perpendiculaire et parallèle à Taxe; la seconde ayant un moment nul, l'ensemble des composantes perpendiculaires à l'axe sera en équilibre et on trouvera comme ci-dessus les pressions qui en résultent.

Quant aux composantes parallèles à l'axe, on déterminera séparément comme il suit les pressions dues à chacune : Soit AL l'une d'elles, à la distance AA' de Taxe. On c'- — peut la transporter parallèlement en l'appliquant en A' le long de l'axe, pourvu qu'on lui joigne son a

couple de déplacement ; celui-ci dont le moment est o l > b

AL X AA' peut être remplacé par tout autre couple

sîtaé dans le même plan, ayant le même sens et un moment égal ; nous pouvons le supposer formé des forces OB, OB', perpendiculaires à l'axe, égales et de sens contraire, pourvu qu'on ait