OB X 00' ■= AL X AA

En faisant cette transformation pour toutes les forces données, on en aura d'autres agissant soit suivant l'axe, soit aux points 0 ou 0'.

24. Équilibre d'un solide en négligeaul; le frottement. Cas oAi l'on demande sa position. — Premier

exemple. — Équilibre d'un solide pesant dont trois

points A, B, C reposent constamment sur la surface

intérieure d'une sphère creuse.

Nous devons supposer le solide entièrement libre,

en remplaçant la sphère par les forces normales du contact, exercées en A, B, C et dirigées vers le centre 0. La question serait fort compliquée si nous devions, suivant la méthode générale, employer les six équations d'équilibre. Mais il convient, pour toute question de statique, d'examiner si elle ne se réduit pas à l'équilibre d'un point ; or c'est ici le cas. Les trois forces concourant en 0 s'y composent en une seule R dirigée vers ce point, à l'intérieur du trièdre OABC ; quelle que soit du reste cette force R, la surface l'exercera si cela peut assurer l'équilibre, c'est-à-dire si elle peut détruire le poids du solide appliqué à son centre de gravité G, ou s'il est possible qu'elle soit dirigée suivant GO ou OG et que cette droite soit verticale. Il faut donc pour qu'il existe une position d'équilibre que le point G soit intérieur au trièdre OABC, ou au trièdre opposé par le sommet à celui-là ; s'il en est ainsi, les positions d'équilibre seront celles où la droite OG est verticale. Il est clair que si le point G est dans le trièdre opposé l'équilibre est en général instable.

Sero^id exemple. — Position d'équilibre d'un cylindre pesant,

appuyé d'une part en A sur la surface intérieure d'un hémisphère creux, d'autre part en B sur la circonférence horizontale ou l'arête qui limite cet hémisphère.

Représentons le cylindre par une ^.

simple droite ABC de longueur 21: son \ c

poids jp est appliqué au centre de gra- fCo"/^ Jp/^ vite G, au milieu de sa longueur. On s^^^-^'^'^l J peut regarder le cylindre comme un so- ^^>n,..J^ Ude libre, en joignant au poids p la

force Q du contact en A, perpendiculaire à la surface sphérique ou dirigée vers son centre 0, et la force R du contact en B, perpendiculaire à la surface latérale du cylindre ou à AB. Soit r le rayon de la sphère.

Nous prendrons pour inconnue l'angle OBA = 9, toujours aigu, inclinaison de la tige sur l'horizon ; mais on doit remarquer que la situation attribuée à la tige serait impossible pour certaines valeurs de 6, si sa longueur était moindre que AB. Dans le triangle DAB, rectangle en A, on a AB = 2 r cos 6 ; il faut donc que 2 r cos 6 < 21; ainsi pour qu'il y ait équilibre, ô doit satisfaire les conditions mécaniques et, en outre, la condition géométrique

cos 6 < — ,

Prenons A pour origine ou centre des moments, AX étant sur AC et AY sur AD. L'angle LGA de la verticale et de la tige est

—v: — e ; l'angle OAB = OBA = ô et on a vu que AB = 2 r cos 0.

On en conclut aisément les conditions d'équilibre ou la nullité des sommes des projections des forces sur AX, AY et de leurs moments par rapport à A ; il n'y en a pas d'autres, les forces étant dans un même plan. On trouve ainsi

Q cos 6 — p sin 6 = 0, Q sin 6 + R — p cos 6 = o,

R X 5 r cos 6 - p X / cos 6 = o

Pour l'équilibre, il faut et il suffit que des valeurs positives de

Q, R, jointes à qd angle aign Q satisfassent ces trois équations,

outre la condition cos 0 < — . Or la première et la troisième

sont équivalentes à

Q = p tang 6, R = p

il suffit donc que 0 soit aigu pour que Q, R soient positives. Substituant leurs valeurs dans la seconde équation, elle devient

sin" b pi ^cos 6 2 r

— p cos 6 — 0

bréger

cos 6 ■— »c,

elle se réduit à

4 X* — par — 2 = 0

La discussion d'un problème consiste à chercher quelles conditions doivent remplir les données pour qu'il y ait une ou plusieurs solutions. Dans le cas actuel, af et af' étant les racines de l'équation, la plus grande, af est positive, et af' négative, puisque le troisième terme — 2 est négatif. On ne peut donc supposer que cos 0 = x\ et cette valeur ne sera une solution que si a/ < 1 et

af <C — ou af <^ p. Cela revient à dire que 1 et p doivent être

non compris entre af et af\ ou que le premier membre 4 a;' — ox — 2 de l'équation doit être positif quand on y substitue soit ip = 1 , soit X = p ; il en résulte

Ainsi pour que l'équilibre soit possible, il faut et il suffit que le

2/ rapport p ou -^ , qui est celui de la longueur du cylindre au dia-

ar

mètre de la sphère, soit compris entre V ^ et 2.

Si la longueur est inférieure an diamètre, il est clair qu'on anra aussi une position d'équilibre en faisant reposer les deux extrémités du cylindre sur la surface de l'hémisphère et il est aisé de vérifier qu'il doit être alors horizontal. Les deux positions

d'équilibre sont possibles si p est compris entre i/ 0- ©t 1 .

Troisième exemple. — Positions d'équilibre d'une tige pesante OA dont l'extrémité 0 repose sur le plan OX incliné sur l'horizon d'un angle i, tandis que l'autre extrémité A est suspendue par un fil AB au point fixe B ; on donne le poids p de la tige, appliqué à son milieu G, les longueurs OA = a, AB = 6, et la distance BC = A du point B au plan.

Plaçons l'origine en 0, l'axe OX sur le plan, OY comme dans la figure. Soient 9 Y l'angle polaire de OA compté de OX, pou- ^ vaut ainsi varier de 0 à tt ; cp celui de la direction de A vers B, angle quelconque, pouvant varier de — ir à TT. Les forces sont la réaction R du plan en 0, dirigée suivant OY, la tension f du fil, qui agit sur la tige suivant AB, et

le poids p dont la direction a pour angle polaire — (i + ^ J ; ses

projections sur OX, OY sont ainsi — p sini, — p cos i. Toutes les forces sont dans un même plan. La nullité des sommes des projections donne les conditions

(A) — p siii t -|- /* cos y = 0, R — p cos t + /■ sin y = 0,

d'où

^ P sin î „ . . p cos (9 + 1)

r — R = p cos I — p sin * taiiff ap = ^

cos y ^ cos <p

Ces deux forces devant être positives, il en résulte cos cp > 0, de sorte que 9 est compris entre + -x~, etenoutrecos(cp4-0>^7 de sorte que si çp est positif, on doit avoir ç» < -- — i.

Les coordonnées x, y du point d'application B de la force f

sont a cos ô, a sin 6. Celles du point d'application de p sont

-^a cos 6, -^ a sin 6. En les substituant dans la formule xX — yX,

de même que les projections X, Y de ^^ ou /*, le moment de ^ se

réduit à ~aj> cos (Ô + i), et celui de /* à a/* sin (cp — 6). En

égalant leur somme à o et substituant la valeur de /*, on trouve

sin i sin (9 — 9) I /^ . .^

== - cos 6 + t) cos cp 2

ou, en divisant par ^^ sin i cos 6,

(B) 2 lang ?p — tang g = cot t

En outre l'ordonnée du point B par rapport à l'origine A est i sin cp ; pour l'origine 0 elle est donc 6 sin y + a sin 9, d'où résulte la condition géométrique

(C) a sin 6 + 6 sin y = /i

Il existera donc une position d'équilibre correspondant à chaque système de valeurs de 9 et cp satisfaisant les équations (B) et (C),

9 étant compris entre 0 et tt, et ^ entre ô" ^* "9 *•

Il est superflu de chercher une équation finale à une inconnue sin cp, tang cp, etc. ; elle serait du huitième degré et quand même on pourrait rabaisser, la discussion, en laissant à a, b, h, i leur forme indéterminée, serait impraticable ; pour des valeurs partiticulières de ces lettres, leur substitution, suivie de la séparation des racines et de leur calcul, serait aussi plus longue que la résolution directe des équations (B) et (C). En ce sens, on peut dire que celles-ci sont la solution, car ce mot signifie le tableau des opérations à faire pour trouver les inconnues quand les données sont numériques.

D'après l'équation (C), nous devons supposer A < a -f- 6 pour

qu'il y ait des solutions. Nous nommerons celles-ci directes quand Ô est aigu comme dans la figure, et indirectes quand 9 est obtus. Dans tous les cas, nous regarderons 0 comme une fonction de cp donnée par l'équation (B), et pour des valeurs croissantes de cp, ayant trouvé celle de 6, nous les substituerons dans l'expression

M = a sin 6 + 6 sin y

pour voir si elle est supérieure ou inférieure à h.

Solutions directes. — Il faut, d'après l'équation (B), qu'on ait

au moins tang cp = cot i ; ainsi en posant tang « = — cot i , cp

croît de a à ^ ^^ — i; tang 0 augmente en même temps de o à

cot i, ou 6 de 0 à "â- ir — i, et par conséquent u croît constamment

de 6 sin a à (a + b) cos i. Dans l'intervalle u deviendra égal à h pourvu qu'on ait à la fois

(D) h > h sin a, h < (a + h) cos i

et la valeur de <p pour laquelle il en est ainsi se trouve aisément par des essais, u étant croissant.

Solutions indirectes. — Il est préférable pour celles-là de remplacer 0 par ir — ffyde sorte que & sera un angle aigu et positif ; l'équation (B) devient alors

2 tang <p -|- tang 6' = cot i

Si pendant que cp croît entre deux nombres donnés u est constamment croissant ou constamment décroissant, on trouvera comme ci-dessus la valeur intermédiaire de cp pour laquelle ee = A, si elle existe. Tout se réduit donc à déterminer les périodes de croissance et de décroissance de u. Pour cela posons

- - cot I = c, tang ^ = X

l'équation (B) donne tang &' = 2 (c — x) ; ainsi x varie seulement

de — oo à -|- c. Il en résulte

bx 2a(c — x)

on en tire

du dx

1/1+ dP* l/l +4(c — ar)"

Les valeurs de x qui rendent u maximum ou minimum sont données par Féquation -^ = o, qui se réduit à

dx

Si a, 6, hy i sont connus en nombres, on trouvera en résolvant cette équation du second degré les périodes de croissance et de décroissance de u^ et même dans le cas contraire on pourra exprimer, en fonction de a, 6, h, i, les conditions nécessaires pour que le nombre de solutions de l'équation u = h^ soit 1, 2, 3 ou o. D est inutile de détailler ces formules qui sont d'une grande complication.

Oow^léfnent de la sdtdion. — Nous avons vu qu'on devait supposer h < a -|- 6 et si cette condition est remplie, il semble qu'il doit toujours exister une solution directe ou une position d'équilibre telle que le point 0 soit le plus bas possible; cela n'a lieu cependant que si h satisfait les conditions (D). Il est donc nécessaire de compléter la discussion par l'examen des cas extrêmes, comme cela arrive fréquemment dans les questions de statique. B Remarquons d'abord qu'en menant la verticale

BE jusqu'à la rencontre du plan on a

« COS I cos t

Si donc la seconde condition (D) n'est pas remplie, ou qu'on ait — - > a -j- i, cela signifie qu'on pourrait suspendre la tige verti-

cos *■

Gaiement au point B sans qu'elle atteignit le plan.

L'autre conditiou (D) est i > 2» sin «, de sorte qm pour de petites valears de h la position d'équilibre n'existe plus ; célf^ provient évidemment de ce que, pour être en équilibre, la tige doit alors être couchée sur le plan.

En effet, en la supposant ainsi, ses conditions d'équilibre se détermineront comme précédemment; R ne sera plus une force appliquée en 0, mais la résultante des actions normales du plan le long de la tige. Les équations (A) resteront les mêmes, et l'on aura encore

pjmi ^ p eos (y + t)

cos <p * cos y

Comme dans la situation actuelle cp ne peut être négatif, cet angle devra être compris entre o et -^'^ — *•

Le moment de R par rapport à 0, au lieu d'être nul, deviendra RZ, l désignant la distance an point 0 au point d'application de la résultante R des forces du plan.

Pour les moments de fet p par rapport à 0, nous avons trouvé

a/ sin (ç) — 6), ^ ap cos (6 + i) ;

nous devons y supposer 0 = o, et la condition relative aux moments sera ainsi

Ri ^ ap cos î + a/* sin (p = 0

Les forces de contact du plan se disposeront d'elles-mêmes pour produire l'équilibre si c'est possible, c'est-à-dire si l'équation précédente peut être satisfaite par une valeur de l comprise entre o et a, ou si le premier membre a pour l = o etl — a àes valeurs de signe contraire.

Les conditions d'équilibre sont donc

R ^ p cos i + /■ sin ^ > o, /"sin y ô~P^^ * "^ ^

Les valeurs de f et R satisfont la première, les équations (A) donnant

R + /" sin y = p cos i

La seconde, en y substituant la valeur de /*, devient

p sin t sin c^ 1 I .

— • r- p cos t < 0, tanjr œ < -- col t

cos y ^ ^ T^ 2

c'est-à-dire cp < a. D'autre part, la condition (C) se réduit à A = 6 sin cp ; la condition nécessaire pour que la tige couchée sur le plan puisse être en équilibre est donc h < 6 sin or, et elle est satisfaite quand la condition (D ) ne l'est pas.

25. Exemple de l'équilibre d'un système de soli* des en négligeant le frottement. — Équilibre d'une voûte, — On nomme ainsi un assemblage de pierres taillées qui restent suspendues en s'appuyant mutuellement, de façon à recouvrir un espace vide. L'étude de leurs formes diverses rentre plutôt dans la stéréotomie que dans la mécanique. Elles se construisent d'après des règles pratiques, et entre autres les joints ou les surfaces communes à deux pierres contiguës doivent être autant que possible perpendiculaires à la surface visible, nommée la douelle ; sans cela quelques pierres présenteraient des arêtes aiguës, risquant de se briser.

On nomme berceau une voûte dont la douelle est une surface cylindrique ; c'est la forme en général employée pour les portes, passages et les arches de pont. Ici se présente encore une règle pratique évidente : si l'ouvrage est compris entre deux plans verticaux parallèles, les surfaces des joints doivent leur être perpendiculaires, sans quoi la pression mutuelle des pierres tendrait à en déjeter une partie hors de ces plans. Mais une théorie générale de ces constructions est fort difficile ; elle dépendrait de la distribution des poids qu'ils supportent ; pour les ponts, par exemple, cette distribution est variable, et il y entre la charge de corps en

r^VTTTTl

mouvement. D'âillears la disposition des joints est suffisamment indiquée par les deux règles pratiques déjà énoncées.

Dans ce qui suit nous nous occuperons uniquement des berceaux nommés plate-bandes, dont la douelle est un plan, et qu'on emploie fréquemment, surtout pour des arcades de magasins. Les joints ne peuvent plus être perpendiculaires à la douelle de sorte qu'on doit recourir à des considérations mécaniques pour trouver leur direction. D'autre part, cette recherche est facilitée par le fait que l'ouvrage étant noyé dans la maçonnerie, on peut regarder la charge qu'il supporte comme répartie d'une manière sensiblement uniforme.

A cause des faibles secousses du sol, auxquelles une construction est exposée, l'équilibre doit avoir lieu en négligeant le frottement; si celui-ci, agissant entre deux pierres, contribuait à maintenir leur position, ces secousses provoqueraient de petits glissements successifs, de même qu'un corps pesant retenu par le frottement sur un plan incliné descendrait un peu à chaque secousse.

Le nombre des pierres est toujours impair et elles sont symétriques de part et d'autre de la pierre du milieu ; l'appareil est compris entre deux plans verticaux parallèles dont la distance sera désignée par Z, et nous prendrons pour plan de la figure la coupe verticale équidistante de ces deux plans, contenant en général les forces qu'on aura à considérer.

Nous nommerons p la charge que supporte par mètre carré le plan supérieur de la voûte ; p' le poids d'un mètre cube de la pierre. Nous prendrons pour le système en équilibre celui qui est compris entre un joint quelconque figuré par CD, et un plan vertical perpendiculaire à celui de la figure et parta-

géant ÈtA^MA AB en dem parties égates là pierre du tniliett. Parmi les forces extétîeureâ se tfouvetit aindi les forces de contact exercées strîvaiît AB ; elles ne peuvent produire une pression tangentîelle ni dans le sens vertical ni dans le sens perpendiculaire au plan de la figure, car il n'y à aucune raison pour que la moitié de l'ouvrage située à droite de AB pousse l'autre moitié à descendre plutôt qu'à monter, ni à se déplacer en avant plutôt qu'en arrière ; toutes ces forces se réduisent donc à une pression normale a parallèle à BC. t)e même, puisqu'il n'y a pas de frottement, les forces de contact exercées sur le système suivant CD se réduisent à une pression normale k, et en désignant par i l'angle BCD, ses composantes horizontale et verticale seront k sin i, k cos i. En notnmant P le poids total du système et de sa charge on aura ainsi pour l'équilibre

k sin t = a, fccos t = P

et une équation entre les moments qui nous est inutile, parce qu'elle nous donnerait la position du point d'application de k; or nous cherchons seulement la direction des joints ou l'angle i; les pressions mutuelles inconnues doivent donc être éliminées. En

substituant A; = . la seule relation à employer est a coti = P.

sin i ^ "^

Soit h la hauteur AB ; le système a la forme d'un prisme de hauteur l dont la base est le trapèze ADCB ; son volume est

1 hl (AD + BC) ;

la surface supérieure est l x BC : la charge verticale totale est donc

p = -L hl (AD + BC) ;/ + p/ X BC

Les quantités i, AD, BC, variables d'un joint à un autre, peuvent se ramener à deux, car en menant la verticale DE on a

CE = DE cot DCE = h coli

(foù AD = BC — jfecoti; en faisant cette substitution dans l'équation a cot i = P, elle devient

a coi i = ^p'U (2 BC — /fc eot i)+pl BC;

en rassemblant les termes contenant BC et cot i, cette relation prend la forme F cot i = Fx BC, les coefficients F, P contenant les lettres h, 2, p^ p', a qui sont des constantes ou les mêmes pour tous les joints. Il en résulte

-=r = BC tangi = BC tang BCO = BO r

le point 0 étant l'intersection de AB et CD; puisque BO est constante la condition d'équilibre est que tous les joints aillent couper au même point 0 la verticale BAO du milieu.

Après qu'on aura choisi à volonté le point 0, la condition

BO = -pT donnera -=^ : les valeurs de A, Z, p' sont bien connues ;

si l'on peut évaluer celle de la charge p on aura ainsi celle de a,

et l'équation k = ^ -. donnera la pression mutuelle k sur tous les ^ sin t ^

joints.

26. Êqnlllbre dHine chaîne et d'nn système artienlé. — Toute chaîne est formée d'une suite de solides pesants dont chacun touche le suivant et le précédent en un point autour duquel il peut tourner. Le premier et le dernier sont de même suspendus à des appuis fixes. Nous allons vérifier que dans l'état d'équilibre un même plan vertical contient tous les points de contact successifs A, B, C, etc., tous les centres de gravité des solides et toutes les forces qui agissent entre eux.

P Soient A, B deux points de contact consécutifs ; le centre de gravité G du solide intermédiaire doit être dans le plan vertical mené par la droite AB, car dans le cas contraire^ si l'on fixait la droite AB, le solide soumis alors à son seul poids tournerait

autour d'elle. Par conséquent A', B', G' étant les projections de A, B, G sur un plan horizontal, G' est sur la droite A'B' et nous pouvons évidemment laisser de côté le cas anormal où il se trouverait sur ses prolongements, bien que le principe reste alors exact.

2^ Si C, H' sont les projections du point de contact suivant C

, et du centre de gravité H du solide BC, H' est de même sur B'C, et si comme dans la figure A'B' et B'C n'étaient pas sur la même droite, le centre de gravité du système de AB et BC solidifié se trouverait sur G'H' entre ces deux points et ne serait pas sur A'C ; par suite si l'on fixait la droite AC le système tournerait autour de cette droite. Il faut donc pour l'équilibre que A'B' et B'C soient sur une même droite, ou que le plan vertical mené par AB contienne BC ; il contiendra de même CD et ainsi de suite, c'est-à-dire tous les points de contact et tous les centres de gravité.

3° Il contient aussi toutes les forces, par exemple la force fqai agit en B sur le solide AB ; en effet, supposons qu'on fixe une droite AL menée dans ce plan perpendiculairement à AB, de sorte que le solide AB ne puisse plus que tourner autour d'elle ; la somme des moments des forces par rapport à cette droite devra être nulle ; celui du poids l'étant déjà il devra en être de même pour celui de f; il faut donc que cette force soit dans un même plan avec AL.

Conditions géœnétriques. — En prenant le plan pour celui des a-y, l'origine étant au point de suspension S, on pourrait, connaissant la position d'équilibre, trouver les coordonnées des points A, B, C, etc., jusqu'au dernier S' qui est l'autre point de suspension. Or pour celui-là elles sont données; il en résulte deux égalités ou conditions géométriques.

Système ariiculé, — Nous ne pourrions trouver pour la forme de la chaîne un résultat simple en laissant aux solides leur gêné-

ralité, d'autant plus que les points de contact peuvent être variables. Nous admettrons donc que ces solides sont des tiges articulées successivement entre elles et aux points de suspension S, S', et nous les assimilerons à des droites de longueur et de poids donnés. A chaque articulation agit une force de contact contenue dans le plan du système, pris pour celui des xy^ et les projections de la force sur les axes sont deux inconnues ; les inclinaisons des tiges à l'horizon en sont d'autres. Si n est le nombre des tiges, on aura ainsi pour inconnues n inclinaisons et 2(>i-f- 1) projections de forces, ou en tout 3 >i -f- 2. D'autre part, à chaque tige correspondent trois équations d'équilibre, les forces étant dans un même plan : les conditions géométriques en fournissent deux ; il y en aura donc en tout 3 n -|- 2 ou autant que d'inconnues.

Pour simplifier la question, admettons que S, S' soient au même niveau et que les tiges de même rang à partir de ces points aient le même poids et la même longueur, le centre de gravité de chacune étant au miUeu. Entre autres positions d'équilibre il en existe évidemment une dont la forme est symétrique par rapport à la verticale HO menée par le milieu H de SS', les tiges descendant à partir de S et S' jusqu'au point le plus bas 0. Nous nous bornerons à chercher celle-là ; 0 sera ainsi un point d'articulation si le nombre des tiges est pair, le milieu d'une tige horizontale s'il est impair.

P Soient B, B' deux points d'articulation s; h ^

symétriques. Si nous supposons l'ensemble BOB' U

solidifié, son centre de gravité sera sur HO, "^--H-^^ et son poids sera équilibré par les forces qu'exercent en B, B' les tiges supérieures AB, A'B', ou les appuis S, S' si B, B- coïncident avec ces points.

Par conséquent, les composantes horizontales de ces forces sont égales en sens contraire ; leurs composantes verticales agissent de bas en haut, et pour faire équilibre au poids sont chacune égales à sa moitié ; en B ce sera donc le poids de la portion BO.

K en f éstilte que les forces de eemtact soirt syTBfétriqrre» par r«i^ port à fiO, et si les conditions d'équilibre sont satisfaites pour lés tiges de la portion SO, elles le seront aussi potrr la portion S'O.

2^ Considérons maintenant FéquiKbre de la

tige quelconque BC, de longueur ?, de poids p.

^ ' Soient x, y les composantes horizontale et ver-

ticale de la force exercée en B par AB sur BC, et a;', y leurs analogues pour la force exercée en C par BC sur CD ; y, y ont le sens indiqué sur la figure ; si celui de rr, oi était opposé, nous supposerions ces forces négatives. Celle qui agit de CD sur BC a pour projections — ic', — y, et les deux premières conditions d'équilibre sont ainsi

La relation a; = rr' montre que la composante horizontale est la même en chaque point d'articulation ; la relation y = y -f- jp est identiquement satisfaite par les valeurs de y, jr' que nous connaissons déjà, y étant le poids de la portion BCDO et de même y' celui de CDO.

Soit ensuite a l'angle BCo/ ; la condition relative aux moments^

en leur donnant C pour centre, est évidemment

i// cos a — xlixxiix ~ pi cos a = o

d'où

tang a =

De la sorte tang a a partout le signe de x; or tang a ne pourrait être négative ou a obtus pour toutes les tiges de la portion SO ; par suite x est positif et l'angle a partout aigu. En outre y est le

poids de la portion BCDO, -p celui de BG, et par suite y ^

celui de GCO.

n ne reste ffatttt-e mcofnnue que x; on la détenninera par Id condition que les projections horizontales des tiges aient p^ur ^omme SS'.

Si toutes les tigeis ont le même poids p, il est clair que les poids dejt portiofns GO, pour les milieux G des tiges successives à partir du point 0, sont^, 2p, 3^, etc., si le nombre des tiges est impair,

i' 3 5 et ^ j?, ^ Pj -^p, etc., s'il est pair. Les tangentes des inclinaisons

sont proportionnelles à ces poids ; elles le seront donc à l,2,3,etc.^ dans le premier cas et à 1, 3, 5, etc., dans le second. Si par exemple il y a quatre tiges, a étant Tinclinaison

de OF, et jJ celle de FS, on aura tang (5 = 3 tang at, ^' ^

et la condition géométrique ^^^^ ^^^^

OFcosa -f FScosg = ^^ SS'

27. ILols du rrottenient A l^état de repa» en de meni'eiiient, — Nous admettrons que les corps frottants sont simplement appuyés l'un contre l'autre, sans adhésion, Tune au moins de leurs surfaces ayant un plan tangent unique. Le cas le plus simple est celui d'un corps pesant, de poids^, posé sur un plan horizontal, et qu'une force çp parallèle au plan, tend à faire glisser ; il reste alors en repos si la force est faible. Puisqu'il est en équilibre, le plan exerce sur lui une pression normale égale à jp, et une pression tangentielle égale et opposée à cp ; celle-ci est le frottement à Vétat de tension. Si l'on augmente progressivement la force <p, sa valeur <ù à l'instant où le corps commence à glisser mesare la pression tangentielle maxima que la surface soit capable

d'exercer. On la nomme frottement au départ et son rapport -

à la pression normale est le coefficient du frottement au dépafi. Il est indépendant de la pression normale, de la forme et de la nature du corps, de l'étendue de la surface frottée et varie seulement.

avec la nature de cette surface dans les deux corps et son degré de poli.

Si le corps continue de glisser le plan exerce une pression tangentielle en sens contraire du mouvement et cette force retardatrice est \q frottement ordinaire; son rapport à la pression normale se nomme aussi le coefficient du frottement. Celui-là comme l'autre est indépendant de la pression normale et de l'étendue de la surface frottée et ne varie qu'avec sa nature. On le regarde même comme indépendant de la vitesse, bien que dans quelques cas particuliers ce fait ait été contesté. Nous avons pris comme exemple un corps pesant posé sur un plan, mais ce qui précède reste exact pour un corps frottant une surface quelconque, le poids du corps étant alors remplacé par sa pression normale.

On conçoit aisément pourquoi le frottement est indépendant de l'étendue de la surface frottée ; en effet, soit p la pression, h le coefficient du frottement qui sera ainsi kp. Si l'on partage le corps

et la surface en deux parties égales, de sorte que le frottement

soit le même pour chacune, sa valeur sera — kp, mais en même

temps chacune ne supportera que la pression ^^ \P ; le rapport des

deux forces reste ainsi le même.

Le coefficient du frottement, dépendant des deux surfaces, est très variable quand on les laisse à l'état naturel. En voici quelques exemples :

Frottcmoitt Frottement ,

ordinaire an départ !

Chôae sur chêne les fibres étant parallèles 0,48 0,62 '

Chêne sur chêne les fibres étant perpendiculaires 0,3 i 0,54

Calcaire sur calcaire 0,04 0,74

Fonle sur fonte ^ 0,15 0,16

Pour les corps mouillés d'eau, le coefficient du frottement au départ semble augmenter un peu, tandis que l'autre diminue. Dans les applications industrielles on atténue toujours le frottement par des enduits. Le coefficient du frottement ordinaire pour le bois et

les métaux est alors en général réduit à 0,07 ou 0,08, et si l'enduit est constamment renouvelé, il s'abaisse à 0,05. Si les surfaces sont simplement onctueuses, il est en moyenne de 0,15.

Explication probable, du frottement. — Quand deux surfaces A, B ont glissé l'une sur l'autre pendant un temps prolongé, l'usure a enlevé les saillies trop prononcées de chacune d'elles, et celles qui restent ont une courbure assez faible pour que le mouvement ne les fasse plus disparaître ; mais celles du corps A pénètrent dans les rentrants de la surface B, de sorte qu'il se produit une série de petits chocs, et en même temps, en supposant par exemple que A

soit un corps pesant, se mouvant dans la direction de la flèche, et B un plan immobile, le point de contact M est contraint de remonter une sorte de petit plan incliné. Telle est sans doute une des causes pour lesquelles les forces des contacts prennent une direction oblique, produisant ainsi une force retardatrice. On conçoit même que si la vitesse augmente, la pénétration devient moins prononcée, et cette circonstance compense l'accroissement d'intensité des chocs, de sorte que le frottement reste sensiblement le même.

Le frottement au départ est évidemment dû à cette même disposition des surfaces, et son coefficient est toujours plus fort que pendant le mouvement parce que la pénétration est plus complète, n s'y joint une autre circonstance : Nous avons vu au numéro 23 que tout contact a une certaine étendue, produite par une dépression des deux surfaces; or des mesures micrométriques d'une grande délicatesse ont montré que même dans les corps les plus durs cette espèce de tassement s'accroît pendant une durée très variable, dépassant presque toujours une minute. Il est donc aussi plus prononcé quand les surfaces sont en repos relatif. Aussi observe-t-on que le coefficient du frottement au départ diminue si les surfaces ont été en mouvement peu de temps auparavant. Il

fftQt pour qu'il reprenne sa valeur normale que le repos relatif ^it Avivé \ux certain temps., en général 4e quelques minutes.

Frottement de roulement. — I^r$qu'ii»e roaije roule ^ans glisser ssxx an pbm cela signifie que l^ point 4e contact A n'a p^ de

vitesse parallèle ^,u plan ; comme le conts^t a )" une foible étendue la dépression est plus pro- ^//// noncée, .et en supposant que la ro^ie tonrne dans le sens de la flèche la pression 4n plan en A a constamment une direction légèrement ojblique en arrière 4u mouvement; la force retardatrice qui en résulte est en général beaucoup plus faible que le frottement ordinaire. Voici pour le tirage des voitures quelques exemples du coefficient du frottement de roulement ou de son rapport à la charge :

. Terrain ferme, battu et très uni 0,040

Chaussée à Tétat^ d'empierrement ordinaire 0,080

Chemins de fer à ornières saillantes en bon état d'entretien 0,007

Les mômes avec les essieux maintenus constamment huilés 0,005

Ce ne sont que des résultats moyens ; ils contiennent, outre le frottement de roulement, le frottement ordinaire des essieux ; la résistance diminue si les roues sont plus grandes ; elle augmente si une voiture va au trot et non au pas. Le frottement de roulement n'a pas comme l'autre des lois simples, et comme nous n'aurons à en faire aucune application, il est superflu de détailler les théories diverses auxquelles il a donné lieu.

Forces de contact admissibles. — Il ne s'agit plus ici que du frottement statique. On nomme angle du frottement celui qui a pour tangente le coefficient c du frottement au départ.

Soient A, A deux points en contact appartenant à des solides S, S', en admettant que S' soit fixe. Nous pouvons assimiler ainsi ^ ^ à des points une très petite étendue de surface frot-

j tante. Figurons par AR la force du contact, par AN, Jr AT ses composantes normale et tangentielle. Nous

avoDS vu que la surface S' n'e$t ra^eptible d'exercer que des frottements de tension AT pour lesquels on ait

AT

-m < c ou tanff NAR < c