AN

Or € est la tangente de l'angle du frottement. Par suite, les forces de contact admissibles sont toîdes celles qui font twec la normale un angle inférieur à celui du frottement^ leur intensité étant d'ailleurs quelconque.

28. Équilibre d'an solide en ayant égard an fr«f> tement. — Premier exemple. — Équilibre d'un corps pesant posé sur un plan incliné. Nous supposons sa forme telle qu'il ne soit pas renversé, ou ne puisse se déplacer qu'en glissant. Soit p son poids, c le coefficient dn frottement et i l'inelinaison du plan sur Thorizon. La pression du corps contre le plan est p cos' i ; p sin i est la force parallèle au plan qui tend à le faire descendre. La condition d'équilibre est donc

p sin t < cp cos t, tang i < c

Si l'on incline le plan jusqu'à ce que le corps glisse, on aura à cet instant tangi = c, de sorte qu'alors l'inclinaison mesure l'angle du frottement.

Second exemple. — Équilibre d'un solide formé de deux tiges ABC, |BD, liées entre elles et à des colliers A, D, embrassant l'arbre vertical OZ, le long duquel ils peuvent glisser ; un poids p est suspendu en C. On considère comme négligeable le poids du solide et les dimen- «^t sions de l'arbre et des colliers. •* ^

Les forces de contact en A, D et le poids ^ p sont trois forces agissant sur le solide p'

comme s'il était libre. D'après le numéro 13, elles doivent pour l'équilibre être dans un o

même plan, ou dans celui de la figure. Soient a;, y, a/, yf les composantes des forces de contact en A et D, en les supposant négatives quand elles n'ont pas le sens indiqué dans la figure ; x^ od sont les pressions normales, et y, yf les frottements de tension.

En posant AD = h, AC = /, et prenant A pour centre des moments, les équations d'équilibre sont

X = X, y ^ y z=p^ x'h = Ip

En outre, c étant le coefficient du frottement, il faut qu'on ait numériquement

y < ex, y' < ex

En substituant

on voit qu'il y aura équilibre s'il existe des valeurs de y, y' satisfaisant à la fois

Ces dernières concernent les valeurs numériques de y, y, mais elles auraient encore lieu si on les prenait avec leur signe, d'où, résulte

y + y <-^\ ou p<-^

Si cette dernière relation est satisfaite, les autres le seront en

prenant y =y' = —p, La seule condition d'équilibre est donc

AD

h < 2c/, ou .-^ < 2c

Au

Elle est indépendante du poids et par suite, si elle a lieu, le solide ne pourra glisser quel que soit le poids p.

Troisième exemple. — Équilibre d'une planche dont les extrémités sont appuyées contre un mur vertical et le sol horizontal.

En la représentant par la droite OB on voit comme au numéro

précédent que les forces de contact en Oy B et le poids doivent être dans le plan de la figure.

Désignons par l la longueur OB ; par c, d les coefficients du frottement en 0 et B ; par 2p le poids du solide appliqué en 6 au milieu de OB ; par x., oti les pressions normales du sol et du mur en 0 et B ; par y y y les frottements de tension aux mêmes points, supposés positifs quand ils ont le sens indiqué dans la figure, négatifs en sens contraire ; soit enfin i l'angle BOA, qui est en réalité l'inconnue, mais qu'on considère comme donné dans les équations d'équilibre.

Les forces sont dans un même plan et en prenant 0 pour centre des moments, ces équations seront

— 2p X a- / cas t + y' ^ cos i + j;7 sin t =î 0 ;

en posant cot i = p, la troisième se réduit à

P (y' — p) + ^' = 0 En outre, on doit avoir x y o^ oi y o, et, numériquement, y < ^> y < ^^, ou algébriquement.

CX + y> 0,

cx-^y > 0,

ex' +• y' > 0,

ex — y > a

La somme des deux premières entraînant comme conséquence rr > 0, et celle des autres x > o, ces dernières conditions deviennent superflues. On devrait tirer des équations d'équilibre trois inconnues pour les substituer dans les inégalités ; le résultat sera plus simple en prenant pour inconnue auxiliaire p — y = ^, ce qui donne

y == p — z, X = p + î, jc' = y = p2

Les inégalités deviennent ainsi

c (p + a) + p* > 0, c{p + z) — fz> 0

c'pz + p — z > 0, c'pz — p -\- z> 0

Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit qu'une valeur de z puisse les satisfaire toutes à la fois. En ajoutant les deux dernières on trouve z y o; la première en est une conséquence et peut être supprimée. Ensuite nous devrions tirer z de chacune d'elles ; or plusieurs de ses coefficients sont des binômes de signe indécis, ce qui entraînerait des complications. Il est donc préférable de diviser les inégalités par ^, puisque ce nombre est positif,

et de prendre pour inconnue -^ = «i, ce qui donne

CM + C — p > 0, tt + C'p — - 1 > 0, — « + C'p + i > 0

on doit y joindre «^ > o qui n'est plus une conséquence des autres. On en tire

M > 0, U> - , W > 1 — C'p, M < i -|- Cfj

Ces inégalités ayant la forme w > A, w > B, e^ > C, w < A', il faut et il suffit, pour qu'une même valeur de u puisse les satisfaire toutes, qu'on ait A' — A > o, A' — B > o, A' — C > o, c'est-à-dire

la première et la troisième sont identiques ; dans la seconde, où 2c -(- cdp — p > 0, dont p ou coti est l'inconnue, son coefficient est de signe indécis ; il est donc préférable de l'écrire

2c , , , . 1 — ce'

-}- ce — 1 > 0 ou tang t > - —

C'est donc l'unique condition d'équilibre, n aura lieu pour toute in-

clinaisonsi ce' > 1 ; dans le cas contraire, en posant tang i' = — ^ —

la condition sera i > i'.

AîUre méthode. — La question peut être ramenée à l'équilibre de forces appliquées à un point ; pour cela soient P, F les pressions obliques des surfaces en 0 et B, qui doivent faire équilibre

au poids 2p appliqué en G ; il faut que leur résultante soit dirigée suivant la verticale GC et par conséquent leur intersection doit se trouver sur cette droite, et il suffit pour l'équilibre que ce point M soit en outre au-dessus de G, afin que la résultante de P et F soit dirigée de bas en haut. Menons la droite BD faisant avec l'horizontale BN' Tangle du frottement en B. En posant OC =r CA = a, AB = b, on aura

DN' = BN' tang DBN' = c'a CD = 6 + ca

Les points M où CD rencontre les forces F admissibles en B sont au-dessous de D ; pour qu'en même temps OM puisse être la direction d'une force P admissible en 0, il faut et il suffit que OD en soit une, puisqu'elle fait un angle moindre avec la normale ON. La condition d'équilibre est donc

f^.^,vT oc c. > tang DON = — - = -

CD b-\'Ca

En y substituant h = 2a tangi, elle se réduit à

c' + 2 tang t

ou tang i >

i — ce

comme nous l'avons déjà trouvé.

29. Équilibre d'au systèifie de solides, en ayaut égard au frottement. — Premier exemple. Arc-boutement des rimes dentées, — Deux roues dentées peuvent tourner autour de leurs centres 0, 0' ; la première reçoit le mouvement d'une force dont le moment u par rapport à 0 tend à la faire tourner dans le sens de la flèche ; une de ses dents touche en M une dent de la roue 0', exerçant sur elle une pression suivant la normale MN et un frottement ; aucune autre force n'agit sur la roue 0'. Nous pouvons, comme on l'a vu au numéro 22, consi-

dérer les rones comme deux solides ayant an axe fixe et remplacer sexdement le contact en M par une force q. Cette force^ pour l'équilibre de la roue 0', doit être dirigée suivant MO'; elle le pourra si l'angle O'MN est inférieur à l'angle du frottement, et en supposant cette condition satisfaite^ son intensité q restera arbitraire. La roue 0 doit être aussi en équilibre ; outre le moment fx il agit sur elle une pression q égale et opposée à l'autre, dirigée suivant ML, prolongement de O'M ; celle-là dan& la figure tend à la faire tourner dans le sens contraire à la flèche ; ainsi quel que soit [i. on pourra attribuer à q une valeur telle que son moment soit égal à fx et de signe contraire. La seule condition d'équilibre des deux roues est donc que l'angle O'MN soit inférieur à celui du frottement.

Mais l'équilibre est impossible si M a la position M' de l'autre côté de la droite 00', car la pression suivant M'L' tendrait à faire tourner la roue 0 dans le sens de la flèche. L'état d'équilibre^ nommé arc-boutement des roues dentées, ne peut donc se produire dès que le point de contact des dents a dépassé la ligne 00' dea centres, et en général on dispose les roues de façon que le contact ait lieu dans cette situation.

Second exemple. Équilibre du coin. — Le coin est un prisme g ^ ^ triangulaire dont la figure repré-

sente la coupe par un plan équi- -/ distant des bases. Le triangle OAB est isocèle ; AB est horizontal, chargé d'un poids 2p en son milieu C; l'angle AOC = i; aux points symétriques D, D" dea pressions sont exercées par des tiges horizontales DE, DE', ayant leur axe dans le plan de la figure et ne pouvant que glisser sans frottement le long de cet axe.

Les pressions obliques exercées sur le coin en D, D' devant faire équilibre au poids, il faut qu'elles se coupent sur la verticale OC, et par suite qu'elles soient symétriques par rapport à cette droite ;

ensuite la seale condition d'équilibre sera que la projection de l'une d'elles sur OC soit égale à p. En désignant par x la pression normale en D, et par y le frottement de tension, pris positif dans le sens qu'il a sur la figure, la condition précédente revient à

jc sin t + îf cos i = p

En négligeant le frottement, on aurait simplement rc sin i = py et en supposant x le même en D', ce seraient les forces produisant l'équilibre. Mais si Ton a égard au frottement, il faut admettre en D, D' le contact d'une surface ; si elle était imiûobile, il y aurait toujours équilibre, la relation précédente n'indiquant alors que la répartition des forces sur les appuis. Ainsi l'équilibre du coin avec le frottement suppose mobiles les surfaces en contact, et s'étend^ ainsi à plusieurs solides.

Nous supposerons que des forces égales f agissent sur les tiges suivant ED, E'D', outre les forces x^ y, changées de sens. La tige ne pouvant que glisser le long d'un axe sans frottement, il faut et il suffit pour son équilibre, comme on Ta vu au numéro 1 1 , que les projections des forces sur Taxe aient une somme nulle, ou qu'on ait

j; cos t — 2/ sin i = /*

Des deux équations trouvées on tire

j; = p sin t -}- /" cos i, y = p cos t — f sin i

La valeur de x est ainsi toujours positive. En outre en désignant par c le coefficient du frottement on doit avoir cx-\'y > o, ca; — 2/ > 0, ou

p (c sin i -f- cos i) + /* (c cos t — sin %)> o p (c sin i — cos î) 4" /^ (c cos i + sin i ) > o

en substituant c = tang «, x étant l'angle du frottement, ces relations deviennent

p eos (gt — i) + / sin (a — t) > o -T-p cos (a + i) + /" sin (a + i) > o

Si a > i, la première condition est identique ; la seconde, ou

/* > pcot (a + i) fest aussi quand (xy nr — i; dans le cas de

grandes valeurs de ex ou de c, Téquilibre a donc lieu quelles que

soient les forces f et p.

Si a < i, les conditions sont

f < p cot (t — a),

f > p cot (i -(- a)

et la seconde disparaît encore si ^c > -^ tt — i.

30. Équilibre d'un eorps déformaMc par rnpture. ISolldes de moindre résistanee. JIEurs de soutènement. Massif de terrain. — Solides de moindre résistance. — On nomme ainsi des solides ayant les plus petites dimensions qui leur permettent de résister aux efforts qu'ils doivent supporter, de sorte qu'ils sont à la limite de rupture, et que leurs dimensions doivent toujours être dépassées dans la pratique.

Prenons pour exemple un prisme de fonte ayant pour base l'aire ABO, l'épaisseur / étant perpendiculaire au plan de la iigUre; on le suppose fortement assujetti suivant la verticale AB, et supportant en 0 le poids q ; le poids même du prisme est négligé. Plaçons l'origine^en 0, OX sur l'horizontale OA ; BO est une courbe à déterminer par la condition de moindre résistance ; M, M' sont deux de ses points, de coordonnées ir, y, x\ y' ; leurs ordonnées MP, M'F figurent aussi des sections perpendiculaires au plan de la figure. Voici les conditions d'équilibre du solide OMP :

1^ Les forces de contact suivant MP doivent produire une pression tangentielle égale kq; mais l'influence de celle-là sur la rupture est négligeable et nous la laisserons de côté.

2^ La pression normale totale doit être nulle ; or la pression f rapportée à l'unité de surface varie [d'une manière sensiblement uniforme d'un point à l'autre de MP ; elle doit donc être nulle au milieu C et avoir en M et P des valeurs ± 9 égales et opposées.

3** La somme u des moments de ces forces par rapport à P, pris dans le sens de la flèche, doit être égale à ? x OP ou qx; ainsi les forces cp ont le sens indiqué dans la figure, formant une pression en M, une tension en P, et c'est en P que la rupture peut se produire. Il faut donc que cp soit la résistance à la rupture par exten-

sion, c'est-à-dire la tension par unité de surface la plus grande que le solide puisse supporter sans se rompre.

Si pour la section MP .a est le moment analogue à ,a, on aura de même a' = qx\ et de F à M' la pression par unité de surface variera encore de — cp à y ; si donc on partage MP, MP' en un même nombre n très grand de parties égales, bandes horizontales perpendiculaires à la figure, les pressions rapportées à l'unité de surface seront les mêmes pour deux parties S, S' de même rang, mais pour les aires S, S' les forces auront le rapport

S MP y

leurs bras de levier relatifs à P ou F ont le même rapport, et par suite celui de leurs moments est , , ; comme il en est de même

pour toutes les parties, on en peut dire autant pour les sommes de moment |i, fx' ; on aura donc à la fois

qx qx'

OU

ainsi la courbe BO est telle que — = const. ; c'est une parabole ayant OA pour axe.

Murs de sotUènement. — Soient ABCD la coape transversale du mur; M une masse d'eau qu'il doit soutenir ; *LL le sol horizontal. Il faut pour la stabilité du 0 c mur qu'aucune sorte de déplace-

ment ne soit possible. Une des principales est le renversement de tout ou partie de sa longueur ; le plan de rupture étant figuré par EF, il tournerait alors autour de l'axe mené par E perpendiculaire à la figure; la force qui produit le renversement est la poussée de l'eau sur la portion FH, et il faut que son moment par rapport à l'axe E soit inférieur à celui de la force s'opposant au renversement, c'est-à-dire du poids du solide figuré par ABFE, appliqué à son centre de gravité ; on peut y joindre la cohésion suivant le plan EF ; toutefois on doit souvent la négliger comme incertaine. Les conditions précédentes doivent être satisfaites pour toutes les positions possibles des points E et F, et il en résulte un groupe d'inégalités auxquelles sont assujetties les dimensions du trapèze ABCD, désignées par des lettres.

Un autre mode de déplacement serait le glissement du solide ABFE ; mais la surface de rupture dans un mur présente des aspérités trop fortes pour le rendre à craindre.

On déterminerait de même les conditions nécessaires pour qu'il n'y ait pas de glissement de la base CD.

La rupture verticale suivant un plan parallèle à celui de la figure se produit aisément dans un mur de grande longueur, surtout si la cohésion est faible, et sa variété de forme rend le calcul plus difficile ; on la prévient en établissant de distance en distance des appuis nommés éperons.

Stabilité d'un massif de terrain. — Nous le supposons compris c B Ai u entre deux plans perpendiculaires à celui de

la figure, qu'ils coupent suivant BL, AB ; le premier est horizontal ; la dimension perpendiculaire à la figure est indéfinie, mais il

suffit pour trouver les conditions de stabilité de lui attribuer une longueur quelconque l.

Le déplacement à éviter n'est pas le renversement, mais plutôt le glissement d'une portion ABM sur un plan de rupture perpendiculaire à celui de la figure qu'il coupe suivant AM ; nous allons chercher la condition nécessaire pour qu'il n'ait pas lieu.

Soient AC = A la hauteur du plan BL, -x l'angle CAB du talus avec la verticale, |3 l'angle CAM, v le volume figuré par ABM, s la surface figurée par AM, p le poids de l'unité de volume, c le coefficient du frottement au départ pour deux parties du massif glissant l'une sur l'autre. Le poids pv du volume ABM se décompose en deux forces ; pv cos (5 parallèle à AM est celle qui tend à produire le glissement ; l'autre ^w sin |3 est la pression totale contre la surface AM, et il en résulte cpv sin (3 pour le frottement au départ. Mais d'après les expériences de Coulomb on doit y joindre une résistance provenant de la cohésion, laquelle est indépendante de la pression, en désignant par h sa valeur pour l'unité de surface, la résistance totale hs jointe au frottement devra l'emporter sur la force pv cos |3 ; il faut donc qu'on ait

/c« -f- cpv sin p — pv cos p > 0

en divisant par L s se réduit à AM ou — ~.eivk Taire .

*^ ' cos 3'

km = — - /iBM = ~h {h tang p — /i lang a) ;

la relation précédente devient ainsi

Vh 1

cos p

p/i* (c sin p — cos p) (tang p — taiig a) > o

En la divisant par -^ph^ cos (3, posant pour abréger

= a, tang a = t tang p = x

et remplaçant — — par 1 -f- ^*, elle prend la forme

X > 0 où X = a (1 + a:») + (cjc — 1) (x — <)

Cette condition concernant -le plan AM devra être satisfaite quelle que soit sa direction à l'intérieur du massif, ou quand /3 > «, c'est-à-dire que X doit être toujours positif quand xy t; ilen est déjà ainsi quand x =^t^ X se réduisant à- a (1 -f- i*). Pour exprimer cette condition en fonction des données, posons

de sorte qu'on a

Comme A, B, C sont positifs, on voit que x croissant à partir de o,

X décroit jusqu'à un minimum — correspondant kx = ^, puis

croît ensuite à l'infini.

Pour que X soit positif il suffit que son minimum le soit ou

qu'on ait H > o, et c'est nécessaire si la valeur 5-- est une de celles

que nous donnons à Xy c'est-à-dire dépasse t; mais c'est une condi-

B ' tion inutile si ^ < f , car alors X qui est déjà positif pour x = t

se trouve toujours croissant à partir de cette valeur. La condition

demandée revient donc à ce qu'on ait ou H > 0 ou i > ^-r. Dans

celles-là c'est t que nous prendrons pour inconnue ; en y substituant les valeurs de A, B, C, la première devient

et l'autre ou 2 (a + c) i > c< -f 1 peut s'écrire

za -{- c

On en tire

^ ^ (ia -\- cy 2a + c

par conséquent, en remplaçant t par 6 dans l'expression H, le résultat est positif ou de signe contraire au coefficient de t* qui est — c* ; 6 est donc comprise entre les racines f, t" de l'équation H = 0, et celles-ci sont réelles et inégales. La condition H > o signifie que t est comprise entre t et f ; ainsi t doit satisfaire ou celle-là ou < > 6 ; mais ô étant comprise entre t' et f , les deux solutions, en supposant t < f , se réduisent à la seule condition / > f, ou tanga > f . On a

Il = — cH* -t- (4a + 2c) H- -i a (fl + c) — 1

et ^' étant la plus petite racine de H = o,

d'où

comme {a + -â"^)' > ^' + «^j ou a + ^ c > v/a^ + oc, cette expression est négative ; ainsi t diminue quand a ou . augmente, ou

quand h diminue.

On peut en conclure que la condition tang a > f étant satisfaite pour le point A pied du talus suffit pour la stabilité du massif, ou qu'il ne pourra se produire de glissement suivant aucun plan coupant le talus en un autre point A' ; en effet, pour celui-ci les conditions seraient les mêmes, sauf que h serait diminué, et t' l'étant aussi on aurait encore tang a > t.

En posant ^ = o, on a

et en désignant par h' la valeur correspondante de h

si A = OU < h\ t étant nul ou négatif, la stabilité existe avec un talus vertical.

Cette stabilité dans la question actuelle signifie qu'il n'y a pas de rupture immédiate. S'il s'agissait de sa durée, il faudrait en pratique tenir compte des charges accidentelles, des dégradations à la surface, etc.

31. Équilibre du polygone ftainlenlalre. — Nous devons examiner maintenant l'équilibre d'un corps déformable par flexibilité, c'est-à-dire d'un fil, et le cas le plus simple est celui où il ne forme pas une courbe, mais un polygone nommé fumcuculaire, des forces cp, f, f\ etc., lui étant appliquées seulement en un nombre limité de points 0, A, A', A", etc. ; la force y agit à l'extrémité 0 et forme ainsi la tension de la portion OA, que nous considérerons comme dirigée de A vers 0. L'afutre extrémité est

attachée en I à un point fixe.

Nous supposons que A, A', etc-, sont des points déterminés du fil. Si l'on imaginait en chacun d'eux une particule solide à laquelle seraient attachés les cordons voisins et appliquée la force, les conditions d'équilibre du polygone funiculaire seraient celles du système de ces particules. Elles consistent donc en ce qu'à chaque sommet du polygone les tensions des cordons adjacents et la force qui lui est appliquée se font équilibre. Soient f, f , f , etc, les tensions dirigées de A' vers A, de A" vers A', etc., et désignons par — tj — 1\ etc., les tensions de sens contraire.

Les forces qui doivent se faire équilibre en A sont ainsi cp, f et -^t; en A' elles sont /, f et — if et ainsi de suite. Cela revient à

dire que t est résultante de cp et f; if Test de même de tet f, etc.

Par suite if est résultante de ^, f et f; if' est celle de cp, f, /*', /*" et ainsi de suite, en considérant ses composantes comme appliquées en un même point ; cette nouvelle forme des conditions d'équilibre est équivalente à la première.

En supposant données les forces f, f\ etc., la direction et la tension des cordons successifs sont entièrement déterminées par cette règle ; mais il faut y joindre des conditions géométriques qui seront les longueurs AA', A'A", etc., si elles sont données, ou d'autres équivalentes.

Deux côtés consécutifs AB, BC du polygone et la force BF sont toujours dans un même a plan, d'où résultent les conséquences suivantes :

P Si toutes les forces sont verticales, le ''^ plan vertical mené par AB contient BF et par suite BC ; pour la même raison il contient le côté suivant CD et ainsi de suite, et en général si toutes les forces sont parallèles le polygone est une figure plane.

2® Si les points A, B, C, etc., sont infiniment rapprochés, le polygone devient une courbe ; la position limite du plan passant par trois points de la courbe infiniment rapprochés se nomme le plan osculateur ; ainsi ce plan contient toujours la force.

3<> Si la force BF fait des angles égaux avec les côtés AB, BC, ceux-ci, pour l'équilibre, doivent avoir la même tension ; si toutes les forces sont ainsi dirigées chacune suivant la bisectrice des côtés adjacents, la tension est partout la même. Quand le polygone devient une courbe, cette direction particulière des forces consiste à être perpendiculaire au fil; par conséquent, lorsqu'il en est ainsi, la tension est constante.

4^ Si un fil est tendu sur une surface sans qu'aucune force lui soit directement appliquée, on peut, en négligeant le frottement, le regarder comme libre, en remplaçant la surface par la pression

normale qu'elle exerce. Celle-ci étant perpendiculaire au fil, la tension est constante ; elle est ainsi la même sur les deux portions du fil qui se détachent de la surface. De plus la force étant dans le plan osculateur, celui-ci contient partout la normale à la surface ; or on démontre en géométrie que cette propriété caractérise la ligne la plus courte tracée sur la surface entre deux points donnés.

32. Équilibre d'nn pont suspendu. — Le tablier LL du ponl est suspendu, en des points A équidistants, par des câbles verticaux ou des tiges, que nous nommerons tiges, à un cable principal, formant un polygone funiculaire et attaché lui-même en deux points fixes S, S' de même niveau. , - , c . Le tablier est ainsi suspendu

\ . / de chaque côté, de sorte qu'il