X.^ ^y^' existe deux systèmes de cables et
de tiges ayant la même projection
^ ^ ^ ^ sur le plan vertical de la figure ;
la forme et la distribution des forces étant les mêmes pour tous
deux nous pouvons les déterminer comme s'il n'en existait qu'un.
Nous négligerons le poids du câble et des tiges.
Il faut que si l'on suppose le tablier coupé au milieu B de chaque intervalle AA et formé ainsi dé portions disjointes identiques, elles conservent d'elles-mêmes leur position. Sans cela, en effet, ces parties étant liées ensemble dans le tablier et tendant à se placer à des niveaux difiérents, il en résulterait une déformation. En supposant les portions disjointes, chaque tige supporte un même poids p; la forme du polygone doit donc être calculée dans cette hypothèse et achèvera d'être déterminée par la condition que deux tiges successives aient toujours la même distance h. Nous supposerons pair le nombre des tiges, de sorte qu'il existe dans le polygone un côté horizontal NM„. Soient C son milieu, k sa tension. M,, M,, etc., les sommets successifs du polygone. Pre-
Me-
nons l'origine 0 au-dessous de C et plaçons OY sur la verticale OC, OX étant dirigé à droite.
Soient x^^y^ les coordonnées de M,; x^^ y^ celles de M, , et ainsi de suite. Le polygone étant symétrique des deux côtés de OY, il suffit de trouver la forme de la moitié CM.M^M,
Pour cela, soit t la tension d'un côté quelconque, par exemple MjMj ; d'après la condition d'équilibre du polygone funiculaire, en considérant C comme l'extrémité du fil, t sera la résultante de k et des forces p appliquées en M,, M,, M, comme si elles Tétaient toutes au même point. En désignant par i l'angle de M^Mj avec l'horizontale MH, l'égalité des projections des forces donnera
^ cos i = fc,
4'où
tang i =s
/ sin t = 3 p k
En menant la verticale M,D, on a
hp
tang i =
Vi — y^
en posant -[- = ot, il en résulte
2?L7J? = tangi=^^''
ys - î/» = 3a
Il est clair qu'en considérant la tension de M, M, ou de M^M,, on aurait de môme y, — y, = 2:x, y^ — y^ = a, et en ajoutant ces égalités
2/»-!/o = aO +2+3)
On trouverait de même y, — ^^ = a(l -f- 2 + 3 +4) et en général quel que soit l'entier w,
!/n-yo = a(l +2 + 3+ ... + ») = a ^l^yii)
On a aussi évidemment
En écrivant a?, y au lieu de x^ , y» et substituant ^ = -r ô"
dans la valeur de y, elle devient
On peut choisir l'origine 0 de manière à avoir OC ou y^ = ^ a,
d'où résulte
Cette relation étant satisfaite par tous les sommets M^, M^ etc., ils se trouvent sur une même parabole de sommet 0 dont l'axe est OY.
En supposant qu'on ait choisi à volonté son paramètre q, on aura d'après la valeur de a
h^ hk , pq
Â, p et par suite k étant connus, il en sera de même de l'inclinaison i de chaque côté et de sa tension t = — : , qui deviendra la
^ cos t '
plus grande près des points de suspension S, S'.
