Équations générales d'équilibre d'un fil flexl
L' ble* — Désignons par C un point matériel du fil, supposé toujours le môme, servant d'origine à l'arc CM; celui-ci est compté dans un sens déterminé à partir de C jusqu'au point variable M. Soient t la tension du fil en M, et a, (3, y les angles que fait la tangente ML avec les axes, cette tangente étant menée dans le sens où l'arc s augmente. On peut regarder <, a, |3,' y
comme des fonctions de 5; désignons par t^ a'^ /3', y ce qu'elles deviennent pour un autre point M', et prenons pour le système en équilibre l'arc MM' dont la longueur sera l'accroissement ds de l'arc s, supposé d'abord de grandeur quelconque. Les forces, autres que les tensions, qui lui sont appliquées, sont très petites en même temps que ds^ qu'il conviendra de leur mettre en facteur ; de la sorte nous désignerons par Xrf.s, Yds, Zds, les sommes de leurs projections sur les axes. La tension t en M' s'exerce suivant la tangente M'L' et la tension t en M suivant la direction opposée à ML, de sorte que leurs projections sur l'axe des x sont t cos a , — t cos a ; on a donc pour la première équation d'équilibre
t' cos a' — / cos a + \dê ■= 0.
Si ensuite nous supposons ds infiniment petit nous pourrons remplacer a cos IL — t cos oc par l'accroissement d {t cos jc) correspondant à ds ; en y joignant les relations analogues pour les autres axes, les conditions d'équilibre deviendront
d. (t cos a)
ds
à . {t cos p) Y n
d- {t cos t) L 7 , ^— + /. - 0.
Nous verrons que ces équations suffisent pour déterminer la forme du fil, les conditions relatives aux moments étant superfines. Il en est ainsi en général quand on partage un corps en éléments ayant toutes leurs dimensions infiniment petites, et qu'on applique à chacun les conditions d'équilibre d'un solide.
Les forces agissent sur divers points de l'élément. Si on les applique au même point en les déplaçant parallèlement, le changement de leurs bras de levier est infiniment petit, et par suite celui de leurs moments est infiniment petit par rapport aux forces,
ou négligeable.
On peut donc supposer toutes les forces appliquées au même point ; or dans ce cas les conditions d'équilibre relatives aux moments sont la conséquence des autres.
Si le fil est tendu sur une surface et qu'on néglige le frottement, on peut le regarder comme libre, en joignant aux forces la pression normale de la surface. En la désignant par N^fe, et par a, 6, c les cosinus de ces angles avec les axes, on aura pour les équations d'équilibre
d. (t cos a)
rfs
+ X + Na = 0,
^-4^^ + Z + Nc = <,.
as
A cause de la relation cos* a -|- cos' ,S -f- cos' y = 1, les fonctions inconnues <, a, P, 7 n'en représentent que trois distinctes, pour lesquelles on a trois équations si le fil est libre ; quand il est sur une surface, a, h, c sont donnés, mais il y a une fonction inconnue N de plus, et aussi une équation de plus, qui est celle de la surface.
Cas où la courbe est plane. — En prenant son plan pour celui des xy il faut admettre que Z = 0 pour qu'aucune force ne tende
à faire sortir le fil du plan. La troisième équation d'équilibre
deviendra alors identique en supposant y = -x- tt ; le fil étant dans
le plan nous savons que la direction de la tangente doit être déterminée par son angle polaire 9 au lieu de a et |3, en remplaçant cos a, cos P par cos cp, sin y ; les équations d^équilibre deviennent ainsi
Is *- ^ - ^' ds + ^ - ^•
34. Applleatlon de ce qui précède h l'équilibre d'un fil pesant et h la courbe des Tolles. Équation
de la ehatnette. — Équilibre d'un fil pesant. — Nous le supposons parfaitement flexible, homogène, de section constante. Toutes les forces étant verticales nous avons vu que la courbe était plane. Soit fc le poids de l'unité de longueur du fil. Prenons OY vertical de bas en haut, OX dirigé à droite ; la force appliquée à l'élément ds étant fcds, on devra substituer dans les équations du numéro précédent X = o, Y = — k; elles deviennent ainsi
d.{l cos tf) d. {l sin ç)
ds =='' 'ds~ "='''
la première donne f cos cp = /*, /* étant une constante, et en sub-
f stituant dans la seconde t = — ^— on a
cos f
d.(tangcp) k — ^~r^ — - = - - =5 coDst.
ds f
Ainsi tang <p varie proportionnellement à l'arc s. On peut supposer la constante positive. En effet, l'arc s restant toujours fini, il en est de même de tang <p, et la tangente à la courbe ne peut devenir verticale ; ainsi en comptant l'arc s de gauche à droite comme les x positives, la tangente fait toujours un angle aigu avec OX, de sorte que cos cp est positif, et il en est de même de t cos cp ou de la constante f.
Combe des voiles. — Il s'agit en apparence d'une membrane flexible et non d'un fil ; mais nous ne pouvons considérer toutes les formes possibles d'une voile. Nous l'assimilons à un rectangle ABCD maintenu par des tiges rigides BC, AD ; nous g supposons que le vent descende verticalement avec une vitesse constante v. et que sous son action le bord AB prenne la forme d'une courbe AMB contenue dans le plan vertical de la figure, auquel les tiges sont perpendiculaires. La voile est ainsi une surface cylindrique ayant AMB pour section droite.
Si l'on coupe la surface par des plans pa* rallèles à celni de la figure, éqnidistants et très rapprochés, la voile sera partagée en bandes étroites, de forme identiqne, soumises aux mêmes forces et qui seront séparément en équilibre. Il suffit pour trouver la courbe de considérer une de ces bandes, qu'on peut assimiler à un fil placé dans le plan de la figure.
Plaçons les axes comme dans la question précédente; nous devons admettre que le vent arrive sur la voile partout du même côté, ou que la tangente ML n'est nulle part verticale ; par conséquent, si nous comptons encore l'arc s de gauche à droite, u sera toujours aigu, positif ou négatif. La force exercée par le vent est une pression normale que nous désignerons par Fds pour un élément ds; sa direction MN se déduit de celle de ML en tournant de
-^ Tt dans le sens rétrograde ; son angle polaire est donc cp — - tt.
et pour les projections de la force on a ainsi
X = P cos
Y = P;8in((p — -^-Tcj.
D en résulte pour les équations d'équilibre
— ^^-j — ^^ -f p sm œ = 0,
d, {t sin y)
ds
cos y = 0,
ou
cos f dt — t sin ^ df -\- Pds sin y = o, siri (D dt -{- t cos f dff — Pcb cos (p = o.
En les ajoutant, multipliées par cos cp, sin <p, ou par — sin cp, coscp, on trouve
dt ds
(^ = P ds
Ainsi la tension est constante, comme cela devait être, la force étant normale. La pression exercée par le vent paraît être pro-
portioDuelle an carré de la composante normale de la vitesse. L'angle cp est au signe près celui que fait la normale avec la verticale, direction de la vitesse v. On a donc
P = av^ cos' cp
a étant une constante.
La relation trouvée <a<p = Pcte devient ainsi
-^ = -— - cos" œ ds t ^
ou
rf.(tangf) av' ds '~ t '
a, i; et < étant constantes, cette équation est celle de la chaînette. Équation de la chaînette sous forme finie. — L'équation trouvée
est
cos' ç . ds
en désignant par n la constante ; celle-ci, comme on Ta vu, est positive.
Nous devons trouver y en fonction de x qui est ainsi employée comme variable au lieu de s; mais en considérant la chaînette comme la courbe d'un fil pesant sa longueur l est une des données ; nous avons donc aussi besoin de la valeur de s en fonction de X.
Quand s augmente de cfe, x et y augmentent de dx, dy qui sont les projections de ds sur les axes; cp étant l'angle polaire de ds^ on a
dx = ds cos (p, dy = ds sin y = rfx.tang tp.
dv
En substituant ds = -— l'équation devient
cos y ^
cos cp . dœ , d . sin œ
4 — ^ = ndx, ou ~l— = mx.
cos* (p 1 — sm* y
Pour l'intégrer on doit décomposer le premier membre en fractions simples, ou en multipliant par 2, écrire
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