I -. — ■ — ^ H -, : — I d.sin œ = indx
Li + sm cp 1 — sin fj ^
Intégrant et désignant -par a une constante arbitraire, on aura
L*-smpJ
Pour trouver les valeurs de dy^ ds en fonction de x nous avons besoin de celles de sin cp, cos (p. tang cp ; dans ce calcul il est préférable de poser comme abréviation
quantité toujours positive, où e est la base des logarithmes népériens. On a ainsi
, fi 4- sin œl ^^, i + sin œ
[i — sin çj 1 — sin ^ '
cos»y=i 8in«y = - -—— ;
nous avons vu que cos cp est constamment positif de même que ^; il en résulte, sans ambiguïté
OU en remettant pour g sa valeur
2 du - r e"^*""* — r"*'""'! dx
en multipliant par >?, intégrant, et désignant par 6, c detix constantes arbitraires, on aura les formules cherchées
Zfi (y — b) = e 4- e ,
Supposons qu'on donne les points de suspension A, B et la longueur l du fil ; prenons A pour l'origine des coordonnées et
aussi pour celle de l'arc; aa point A on aura 0? = y = 0, s = o; enB, s = 1 et x^y sont données ; en substituant ces valeurs dans les équa- . tions ci-dessus, appliquées aux deux points, on en aura quatre pour déterminer les constantes Inconnues a, b, c, n. D'ordinaire on suppose l'origine, qui était arbitraire, transportée au point dont les coordonnées sont a, fe, de sorte qu'elle devient elle-même inconnue; les équations, où l'on doit remplacer x, y par •^ + ^? y + ^; prennent alors la forme plus simple
2ny = e*» + e- ««,
— nx
Comme y reste le même en remplaçant x par — x, OY est un axe de symétrie de la courbe complète correspondant à l'équation; y^ est positif en même temps que x; les deux branches
montent donc indéfiniment à partir du point D le plus bas en s'écartant de l'axe OY. En employant cette forme de Téquation la détermination des constantes n'est point simple eu général mais elle le devient si les points de suspension A, B sont au même niveau ; en effet, y étant le même pour tous deux, OY est la verticale passant au milieu de AB ; on connaît ainsi pour le point A la valeur x" de x. Prenant en outre D pour origine des arcs on aura en D x = o,
s = 0, et en A X = oc^, s = -^ l ; Téquation en s pour ces points donne
ni --= e — e
nx'
on tirera n de la seconde, et la valeur de y pour x =xf fera ensuite connaître la différence du niveau des points A et 0, ou la position de l'origine.
En supposant l'origine des arcs en D, ou c = o, les valeurs de
y, s donnent y' — ,s* = -y, et l'on en déduit aussi d'autres pro-
priétés géométriques de la chaînette, qae nous laisserons de côté comme étrangères à la mécanique. Il n'en est pas de même de la suivante qui fournit une .solution graphique.
Nous savons qu'étant donné une courbe LML ^' on en formera une autre semblable en portant ;m^ ^L sur chaque droite OM allant de l'origine à un ^ point quelconque M, une distance OM' ayant avec OM un rapport constant p ; si x, y sont les coordonnées de M, et x\ y' celles de son correspondant M', on aura x' = ax^ ^ = ay,
et en substituant x = — ^ y = ~l- dans l'équation de LL, on aura celle de la courbe semblable, lieu des points M'. Or en substituant
X = , ^ = -^ dans l'équation de la chaînette on trouve
qui ne contient aucun paramètre. Supposons qu'avec une unité
u de longueur quelconque on ait tracé la courbe ^ L'L' correspondant à cette équation ; toutes les f^ "z;^ chaînettes lui sont semblables ; ainsi pour trouver celle qui a les points de suspension A, B et la longueur donnée ANB, on déterminera les points correspondants A', B' par la condition que l'inclinaison de la corde A'B' à l'horizon soit égale à celle de AB, et que son rapport à l'arc A'N'B' soit égal à celui de AB à l'arc ANB. Après avoir trouvé A'B' par quelques essais sur des cordes parallèles, on connaîtra le rapport de similitude n des arcs qui est aussi celui des cordes.
35. Flexion d'une tige. — La déformation des corps élastiques de forme quelconque, de même que la distribution des pressions à l'intérieur, suivent des lois très compliquées. Mais leur étude se simplifie si le corps est très petit dans une ou deux dimensions^ comme c'est le cas pour la tige prismatique que nous allons prendre pour exemple.
js:
Noos sapposeroDS qu'avant l'action de toute force elle soit horizontale, encastrée à l'extrémité 0, c'est-à-dire que sa sec- ^' ^
tion droite en ce point est maintenue fixe pendant la déformation de la tige. Le plan vertical de la figure la partage en deux parties symétriques. Le point 0 est le centre de gravité de l'aire de la section droite à l'extrémité encastrée, et l'horizontale OH contient par suite les centres de gravité de toutes les autres sections droites. On suppose que des forces, toutes comprises dans le plan de la figure, viennent à agir sur la tige; elle se déformera, et les particules situées sur OH formeront alors une courbe, nommée filet moyen et comprise dans le plan de la figure, car il n'y a pas de raison pour qu'elles s'en écartent d'un côté plutôt que de Tautre ; pour la même cause d'indifférence, la tige après sa déformation sera encore symétrique de part et d'autre du plan de la figure.
DéfannatioH normale. — Nous désignerons ainsi un mode de déformation tel que les particules matérielles formant une section droite dans la tige rectiligne en forment encore une identique dans la tige déformée, c'est-à-dire qu'elles soient dans un même plan perpendiculaire à la courbe du filet moyen ou à sa tangente ;
le centre de gravité G par suite reste le même, de sorte que la courbe du filet moyen renferme encore ceux de toutes les sections droites.
L'expérience montre que cette règle est presque rigoureusement exacte, et nous l'admettrons provisoirement dans ce qui suit, sauf à examiner plus tard quelles modifications doivent être faites au résultat.
Forces de contact exercées sur une section droits. — Cette section, soit dans la tige rectiligne soit dans la tige déformée, a pour centre de gravité G et coupe le plan de la figure suivant EGF ; nous la
désignerons par w et a>' sera une autre section droite figurée de même par E'G'F', qui dans la tige rectiligne se trouve à une très petite distance l de la première du côté de l'origine 0. Imaginons dans cette dernière position un cylindre très fin parallèle à OH, allant d'une section à l'autre et les rencontrant en M, M'. Soient A, A' les projections de ces points sur le plan de la figure et par suite A A' celle du cylindre.
Après la déformation les points M, M' sont restés les mêmes sur les deux sections, et par suite la distance GA ou G' A' n'a pas changé. Mais la matière du cylindre a éprouvé une dilatation linéaire £, de sorte que sa longueur primitive / est devenue I{l-\-z); en même temps il s'est infléchi en une courbe évidemment perpendiculaire aux plans des deux sections ; l'effet de l'allongement est d'exercer sur la section (jù une force proportionnelle à f , dirigée à gauche, et dont la valeur rapportée à l'unité de surface sera désignée par Ae; la constante A; pour chaque substance se nomme son coeffident cVélasticité. Il est clair que si e était négative la dilatation deviendrait une compression et la force changerait de sens.
La courbe MM' étant parallèle au plan de la figure, sa projection AA' lui est égale, perpendiculaire à EF, ET', et peut être considérée comme un arc de cercle ayant pour centre Tintersection I de ces droites. Lorsqu'on prendra pour M, M' les points G, G, la dilatation linéaire, qui est alors celle du filet moyen, sera désignée par S au lieu de e. Posons aussi p = GI qui est évidemment le rayon de courbure du filet moyen. Les arcs AA, GG' étant semblables, on a
AA' ___ AI p + t^ GG' ~ GI ~" p '
en posant v = GA si, comme dans la figure, A est au-dessus de G ; s'il est au-dessous, il est clair qu'on doit prendre v = — Gx\. D'ailleurs
AA'=/(14-6), GG'=/(i +S),
et la relation précédente devient
(l + s)-(i+g)(l4--fV
ou e = s -|
en remarquant que 5, — sont de petites dilatations dont on peut
p négliger le produit.
Action mutuelle des deux parties, de la tige. — Laissons maintenant de côté la section a>' et considérons
l'action totale de la première partie de la ^ — -^ — r^
tige, comprise entre l'origine et la section o) o r^^ ' ^^^^"^7^ ou EF, sur la seconde partie, allant de la ^
section à l'extrémité H.
Cette action, comme on vient de le voir, résulte d'une force normale variable, appliquée en chaque point de l'aire co, et dont la valeur f pour l'unité de surface est
f = kE= kl 8+^].
En partageant l'aire en jpetites parties s, la force sera fs pour l'une d'elles, et en désignant par P la force normale ou tension totale^ dirigée à gauche si elle est positive, on aura
les sommes I s'étendant à tous les éléments s.
Soit pL la somme des moments des mêmes forces par rapport à un axe mené par le point G perpendiculairement au plan de la figure, en le prenant positif dans le sens de la flèche. Pour la force fs appliquée en M le bras de levier est évidemment AG, mais le moment est positif ou négatif suivant que le point A est au-dessus ou au-dessous de G, et comme v désigne AG pris avec ce même signe, le moment est en tout cas fsv, d'où résulte
M = 2/si, = Sik f 8 + —]v8 == kSlvs + — Ivh.
Figurons à part la section co que la droite EGF partage en deux parties symétriques et soient x, y les coordonnées de l'élément s situé en M par rapport aux axes GY placé sur GE et GX horizontal ; en menant MA perpendiculaire à EF, on aura le point désigné par A dans l'autre figure ; on a supposé V = GA si A est au-dessus de G, v = — GA ^ s'il, est au-dessous; ainsi v=y. L'origine étant au centre de gravité de Taire, il en résulte lys = o ou 1rs = o; de plus Is = a>. Quant à lv\s ou ly^s qui se nomme le mmieiit d'inertie de l'aire par rapport à OX, nous l'évaluerons plus tard pour diverses formes de la section, mais pour se rendre compte de son ordre de grandeur, il est clair qu'on peut y remplacer v par une valeur moyenne constante /. convenablement choisie de façon à avoir
Les valeurs de P et ^^z d'après ce qui précède se réduisent à
V = KOO), Ul =
Conditions d'équilibre. — Pour l'équilibre de la tige il est nécessaire d'admettre que sa première partie puisse exercer sur la seconde, outre, les forces précédentes, une pression tangentielle P' parallèle à EF, pour résister à une force tendant à faire glisser la jseconde partie de E vers F, force qu'on nomme Veffort tranchant. Elle produit donc un léger glissement, en vertu duquel les fibres ou séries de particules qui, dans la tige horizontale, étaient perpendiculaires à la section font ensuite avec la normale une petit angle 6. Cette force rapportée à l'unité de surface peut être représentée par k'Oy k' étant un coefficient propre à chaque substance, et pour la section entière on a ainsi
P' = fc'Ôa).
La déformation que nous avons appelée normale excluant ce glissement ne peut être rigoureuse ; mais si la tige est d'une matière rigide, bois, métal, etc., en excluant le caoutchouc et les corps analogues, la résistance à l'extension et au glissement est telle qu'à moins d'amener la rupture la dilatation S reste très faible, et l'angle 0 tout à fait insensible ; ainsi dans les constructions géométriques dont nous avons tiré les valeurs de P et ,u, on pouvait sans aucune erreur regarder les filets comme perpendiculaires aux sections. Les autres écarts de la déformation normale sont du même ordre ; si les particules d'une section droite cessaient d'être dans un même plan il y aurait un glissement entre les fibres dans le sens longitudinal ; si les sections se rétrécissaient leur contraction serait encore plus faible que la dilatation linéaire, etc., et par conséquent nous pouvons considérer les valeurs de P et tx comme presque rigoureuses. L'erreur provenant de la cause précédente est en pratique bien inférieure à celle qui résulte des défauts d'homogénéité de la tige et de la valeur plus ou moins variable et incertaine de la constante A;.
Il est clair que pour l'équilibre de la seconde portion de la tige P, P, jx doivent être égales et opposées aux sommes analogues de projections et de moments des forces agissant sur elle, et par conséquent ces sommes, supposées connues, peuvent être désignées par les mêmes lettres; les conditions d'équilibre seront ainsi
qui devront être satisfaites pour toutes les sections. La seconde donnerait 0 si k' était connu ; la première donne la dilatation S du
filet moyen, et la troisième détermine — ou la forme de la courbe
qui est ainsi indépendante des deux autres. Nous allons la trouver dans un cas particulier.
Forme de la courbe. — Nous supposerons le poids de la tige
négligeable et la flexion produite par un poids Q suspendu à
l'extrémité H ; la tangente au filet moyen ? — X enO reste nécessairement horizontale et
G^'^^ ^ nous la prendrons pour axe des x, OY , ^ étant dirigé dans le sens de la pesanteur ; X, y seront les coordonnées d'un point quelconque G du filet, a et & celles de H, cp l'angle aigu de la tangente en G et de OX, évidemment croissant avec x.
Le* moment fx du poids par rapport à G est Q (a — x\ et la troisième équation d'équilibre
hiùk
devient
— = c (fl — x) où c =
ki,,V'
On a
dy ^ 1 do?» , d.fangœ
ce qui réduit l'équation à
d.sincp , .
dx
En intégrant et remarquant que cp = o pour x^=o on trouve
sm ço = c I flo; — -— x"^
Ensuite
-.- = tang y = . --Z : = sm ap + ~ sm» œ + etc.
^ l/l — sin^ <p ^ t '
Cette série, très convergente, étant une fonction entière de x, on peut en tirer la valeur exacte de y et on trouverait de même celle de l'arc 5; en négligeant sin' cp on a simplement
dy = dx sin rp = c lax x* \dx, y = c 1 -r- ax^ — x^ j,
en remarquant que y s'annulle avec x.
C'est l'équation de la courbe du filet moyen.
On nomme flèche (Je flexion l'ordonnée DH = ft du point H, ou la valeur de y correspondant à a: = a ; on a ainsi
c = — fa" =
et au même degré d'approximation que ci-dessus on peut prendre
pour n la longueur de la tige.
En rapportant la constante k au kilogramme et au centimètre comme unités on évalue h à 2,000,000 pour le fer; pour le bois de sapin ou de chêne ce coefficient, très variable, paraît être de
100,000 en moyenne. Quant à l\ sa valeur est —-pour une sec-
tion circulaire de rayon r; si la section est un rectangle de hau-
teur a, on a /* = -. Par exemple, pour une tige de fer circulaire
d'un centimètre de diamètre, longue d'un mètre, le poids étant un
kilogramme, on trouve 6 = 7.- = 34"*™. Si la tige était de lon-
gueur double, avec un poids Q à chaque
extrémité H, H', soutenue au milieu 0, les h
courbes OH, OH' seraient les mêmes que
ci-dessus, car on ne dérangerait point l'équilibre en la supposant
encastrée en 0. La double courbe serait encore la même, mais
renversée, si la tige reposait en H, H, au
même niveau, sur deux appuis, et se trou- ^ 1^^^^==::=:=:^=:::==^^
vait chargée au milieu d'un poids 2Q, car
chaque appui exercerait sur elle une force Q de bas en haut.
