CHAPITRE III
CINEMATIQUE
36. Mou veulent d'un point. — La cinématiqae est la théorie du mouvement, abstraction faite des forces qui le produisent ; il s'y rattache en outre des applications industrielles importantes. Quelquefois on y a fait rentrer aussi l'étude 'géométrique des courbes déduite de leur mode de génération. Toutefois dans la théorie générale des lignes et des surfaces ce genre de considération est fréquemment employé quand il en peut résulter quelque simplification ; aussi ces questions ne se rattachent qu'indirectement à la cinématique et nous n'aurons pas à nous en occuper.
Rej^résentation du mouvement (Vun point. — C'est d'un point géométrique et non d'un point matériel que nous avons à considérer le mouvement. On peut le figurer en quelque sorte au moyen
des positions successives A, B, C, etc., du point à des ^ B ^ D ê intervalles de temps égaux et très petits. Ce procédé
est quelquefois utile pour des raisonnements généraux, mais pour une étude exacte, il faut exprimer la loi du mouvement d'une façon plus précise.
Premier mode de représentation. — Le mouvement sera connu si les coordonnées x^ y, z, du point sont exprimées en fonction du temps t; il est clair que deux d'entre elles suffiraient si le mouvement s'effectuait dans un plan, et une seule s'il était rectiligne.
Second mode. — Le mouvement sera également connu si l'on donne la courbe parcourue par le point ou sa trajectoire, et la loi suivant laquelle elle est parcourue, c'est-à-dire l'arc 5 en fonc-
tion du temps t; l'arc est compté à partir d'une origine fixe jusqu'au point mobile M.
Un de ces modes d'expression du mouvement étant connu, on peut en déduire l'autre ; toutefois à chacun d'eux se rattachent des propriétés distinctes.
Vitesse. — On nomme uniforme tout mouvement dans lequel l'espace e parcouru dans le temps t lui est proportionnel, de sorte qu'on B,e= ^Jty V étant une constante nommée la intesse ; elle est ainsi le rapport de l'espace au temps. On nomme varié tout mouvement non uniforme ; si le point va de M en M' dans le temps h
MM'
le rapport '-'- est la vitesse moyenne et en supposant 6 et par suite MM' infiniment petits elle devient ce qu'on nomme la vitesse v
ds
au point M ; elle est ainsi la dérivée -r- de l'arc par rapport au
temps.
La vitesse est figurée par une tangente menée en M à la trajectoire, dans le sens du mouvement, sa longueur étant égale à v ou exprimée par le même nombre. Quand on parle de la composition des vitesses, de leurs projections, etc., ces mots s'appliquent aux droites qui les représentent ; de la sorte les propriétés générales des résultantes et des projections restent exactes en remplaçant le mot de droites par celui de vitesses.
La vitesse en M est dirigée suivant la tang^te ML ou du point M vers un autre M' très voisin; en nommant X, y, Zj oi^ y, si les coordonnées de M, M' et Q le temps employé à parcourir MM', les
cosinus de cette direction sont -^^ > etc. La
projection de la vitesse sur OX est donc
X — X x' — X MM' X — X dx
MM' • MM' e e dt'
(Ix étant l'accroissement de x correspondant h Q on dt ; en raison-
(Ix d/u o*
nant de même pour OY, OZ, on voit que -, , -: , -~ sont les pro-
at ai ai
jections de la vitesse but les axes ; c'est sous cette forme qu'elle est connue dans le premier mode ci-dessus de représentation du mouvement. Le carré d'une droite étant la somme de ceux de ses projections, on a
En général la vitesse est considérée comme une grandeur absolue, ou positive. Toutefois quand le mouvement s'effectue sur une droite prise pour axe des a;, elle est égale sauf le signe à sa pro-
jection , et pour simplifier on lui attribue également ce signe,
de sorte que v désigne -r- ; la vitesse devient alors négative si x
diminue pendant le mouvement.
Mouvement uniformément varié. — On nomme ainsi celui dans lequel la vitesse varie proportionnellement au temps, de sorte qu'on ^v = u-\-at,ueta étant des constantes, dont la première représente la vitesse initiale, correspondant à i = o. Il en résulte
ds 1
h étant la valeur de 5 correspondant kt = o.
D'ordinaire a se nomme Y accélération. Toutefois nous donnerons bientôt à ce mot un sens plus étendu, de sorte que dans le mouvement précédent a devrait s'appeler l'accélération tangentielle ; ce nombre deviendrait l'accélération elle-même dans le seul cas où il serait positif et le mouvement rectiligne ; lorsqu'il en sera ainsi et qu'en outre u ^ih seront nuls, nous dirons que le mouvement est uniformément accéléré simple. On aura alors
V = a/, c = ^-fl^*,
e étant l'espace parcouru dans le temps ty le point partant du \^ repos. On sait par expérience que telle est la loi de la chute des « " dans le vide, a étant alors remplacé par le nombre
>^ 37. Accélération. — On nomme ainsi une certaine quantité variable correspondant à chaque position d'un point mobile M et figurée comme la vitesse, en grandeur et en direction, par une droite MK menée à partir du point, ce qui permettra de parler de la composition des accélérations et de leurs projections. Son importance provient de ce que plus tard, en dynamique, elle représentera la force ; nous aurons à la définir et à démontrer les propriétés suivantes :
Première propriété. — ^,y,z étant les coordonnées du point mobile, les projections de l'accélération sur les axes sont leurs dérivées secondes
à^x d*y d^z 1^' rfi»' In'
Seconde propriété. — Elle se décompose en deux autres, savoir Y accélération tangentielle T suivant la tangente à la trajectoire, et V accélération normale N, perpendiculaire à la tangente. Celle-ci est dirigée vers le centre de courbure, et l'on a
dv V*
dt p
p étant le rayon de courbure et v la vitesse ; suivant que T est positive ou négative elle aura le sens de la vitesse ou le sens contraire.
Troisième propriété. — M étant une position quel- ,v|»» conque du point mobile, supposons qu'un autre point, partant de M en même temps que le premier et avec la même vitesse, conserve un mouvement rectiligne et uniforme ; et soient M', M" les positions des deux points m
an bont d'un même temps 6 ; on nomme déviation la droite allant de M" vers M'. La propriété consiste en ce que si 6 est infiniment petit r (accélération a pour valeur
et sa direction est ceUe de la déviation.
Les deux premières propriétés correspondent évidemment aux: deux modes de représentation du mouvement. Chacune des trois^ est une expression particulière de l'accélération et pourrait lui servir de définition, sauf à démontrer ensuite l'exactitude des^ deux autres. Mais il est préférable de la définir comme il suit, d'une façon purement géométrique, indépendante de toute notion de limites, de courbure, et du choix des axes.
Définition, — Soit 0 un point fixe choisi à volonté, que nous nommerons Y origine des vitesses; îl étant le point mobile, nous^ ferons correspondre à chacune de ses positions un point V tel que
la droite OV soit égale et parallèle à la vitesse ML et de même sens. De la sorte '^ />^>'^ V sera un second point mobile décrivant
la courbe représentative des vitesses du premier. L'accélération du point M sera alors la vitesse du point V dans la position correspondante, c'est-à-dire la droite MK égale et parallèle à cette vitesse et de même sens.
De quelque manière qu^on ait choisi le point 0, il est clair qu'on retrouvera toujours la même droite MK.
Démonstration de la prenUère propriété. — Prenons pour îe point 0 l'origine des axes auxquels se rapportent les coordonnées Xy y, z du point M, et soient oi^ y', / celles du point V cmrespmdant à M ; elles sont les projections de OV sur les axes, et puisque cette droite est en graadeor et en direction la vitesse de M, on a,
àx , à^ dz
dt ^ dt dt
De même jr^-^^-jr sont les projections de la vitesse de V, ou de Faccélération du point M^ et en y substituant les valeurs précédentes elles deviennent -j^z.-j^, -i^r-
or ai" or
Démonstration de la seconde propriété. — Nous supposerons le temps 0 pendant lequel le point va de M en M' assez petit pour que les propriétés géométriques de la figure soient sensiblement <;elles qui conviennent à la limite, où B est infiniment petit. En menant par l'origine des vitesses OV, 0 V' qui figurent les vitesses
V, v' en M, M', les points V, V seront très voisins et la vitesse
de V ou l'accélération sera la droite VH = — -
dirigée suivant VV. En prenant OP = OV, et menant VV" égale et parallèle à PV, VV est la résultante de VP, VV ; en décomposant l'accélération VH suivant ces deux directions il est clair que le rapport des composantes aux droites VV", VP est celui de VH à VV ; leurs valeurs sont ainsi
