VV" = PV = OV — OV

VV" v' -

et à la limite, 9 étant infiniment petit, T = ^-, ce qu'il fallait vérifier. Cette composante, dans la figure, a le sens de la vitesse, parce que OV > OV ou i^ > v ; il est clair qu'elle serait dirigée

en sens contraire si la vitesse était décroissante, et sa valeur --

serait alors négative.

La valeur de N s'obtient par la construction suivante : On

nomme d'ordinaire jîZaw osculateur d'ane courbe en un point M la position limite d'un plan Q mené par la tangente en M et par un point très voisin M, ; de la sorte M et M, ; sont dans le plan Q, mais non l'arc MM^ . Si le plan était horizontal et l'arc au-dessus, il est clair qu'en son point le plus élevé la tangente serait horizontale, et qu'en général entre M et M, il y a un point où la tangente est parallèle au plan Q. Nous définirons donc plutôt le plan osculateur comme position limite d'un plan Q mené par la tangente ML en M et parallèle à la tangente M'L' en M'. Prenons-le pour celui de la figure où M'L' se projette en une droite parallèle m'I'. V' En menant MO, ;n'0, perpendiculaires à

ML, m'l\ et par ces droites des plans perpendiculaires à celui de la figure, ce seront les plans normaux en M, M' ou perpendiculaires aux tangentes; ainsi Vintersection de deux plans normaux infiniment voisins est perpendiculaire au plan osculateur ; le point 0 où elle le coupe est le centre de cxyurhure ; le rayon de courhire est la distance OM = p. En désignant par a l'angle MOw', on a dans le triangle MOm'.

Mm' MO Mm'

■ = • M 'H ^" ^ MO = p,

sin a sin Mm 0 a

l'angle Mw«'0 étant sensiblement droit.

La corde MM' fait un très petit angle avec la tangente en M et par suite avec le plan Q et avec sa projection Mm' ; leur rapport étant sensiblement l'unité on aura aussi

MM' — = f>.

Prenons maintenant pouf MM' l'arc parcouru dans le temps 9 parle point mobile. Nous pouvons choisir pour origine des vitesses le centre de courbure 0 ; les droites OV, OV, parallèles aux vitesses, ou aux tangentes en M, M', seront ainsi toutes deux dans le plan de la figure, perpendiculaires du même côté à OM, Om',

et feront entre elles l'angle a. En prenant comme précédemment OP = OV, la direction VP de la composante N sera celle de M vers 0, et comme on la suppose menée à partir du point M, elle est dirigée vers le centre de courbure. Dans le triangle OVP on a

en outre

= OV=t;; a

MM' a '

MM'

puisque l'arc MM' est parcouru dans le temps 0. Il en résulte

VP^

MM'

c'est la valeur de N qu'il fallait démontrer.

Dans le mouvement uniformément varié mentionné au numéro

précédent, et dont la formule générale est s = fe + eei -f- ~a ^^ N

on a

ds IF

= H -r- ai.

de sorte que a désigne l'accélération tangentielle. Si le mouvement est rectiligne p est infini et N = o^ de sorte que si en outre a est positive, ce nombre est l'accélération elle-même.

Démonstration de la troisième propriété. — Conservons les désignations indiquées dans l'énoncé. Nous regarderons x comme une fonction du temps ^; si sa valeur est a au ^^^ point M, xf en M', Taccroissement correspondant de t étant 6, la série de Taylor donne pour celui Aex

x—a = ab+ !- a"b'' + ,!r a'V -f- elc ,

à, <f, (f', etc., étant pour le point M les valeurs de -rr, -j-„ ~^, etc.

Pour le second point mobile, la projection -j- de la vitesse est constante et — = o ; ainsi en employant la même formule on doit

supposer a" = o,* a'" = o, etc., mais a\ valeur de -^ en M, est la

même que pour le premier point ; on aura donc x'* — a = a'9, af' étant la valeur de x en M''. En soustrayant cette expression de la précédente on trouve

-^^ = ^- + a"'e + etc.

Or xf — af' est la projection de la déviation M"M' sur OX, et si on prend sur sa direction la longueur

la projection de M"L sera par suite ,- , ; or quand 0 est infi-

niment petit, sa valeur ci-dessus se réduit à a" ou à -^ , projection de l'accélération. On verrait de même que les projections de M"L sur OY et 02 coïncident avec celles de l'accélération.

38. Extension de la définition des résultantes. Composition des mouvements. — Nous dirons que A''B'' 0 est résultante de AB et A'B', lors même que

les commencements A, A', A" de ces droites ne coïncident pas, si eu menant par un point 0 des droites égales et parallèles à chacune d'elles dans le même sens, la première est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres. Il est clair que si cette propriété a lieu pour un certain point 0, il en sera de même en le plaçant partout ailleurs.

Le commencement de la résultante doit être en outre donné. Par exemple dans tout triangle OAB, le côté OA est la résultante de OB et BA en donnant à ces droites le sens des flèches. De la sorte pour qu'une droite soit la résultante de plusieurs autres, il faut et il suffit que sa projection sur un axe quelconque soit la somme de ceux des composantes. Ce qui précède s'appliquera aux résultantes des vitesses, des espaces parcourus, etc.

Composition des mouvements. — Supposons que trois points partant simultanément de A, A, A" décrivent les trajectoires AM, AM', A''M" ; le troisième mouvement sera dit BY résultant des deux autres, si en dési- a*^

gnant par M, M', M" les positions attein- ^ ...---'TTrrr^ m tes au bout d'un même temps quelconque, la corde A"M" est constamment la résultante des cordes AM, AM'.

En désignant par a, a\ a" les abscisses de A, A'^ A", et par X, dc^, a" celles de M, M', M", la même condition consiste en ce que la projection de A"M" sur l'axe quelconque OX est la somme de celles de AM , A'M', ou qu'on a

On en déduit les propriétés suivantes :

P La vitesse du troisième mouvement est résultante de celles des deux autres au même instant, car on tire de l'égalité précédente

àx" dx dx dl " dt "^ ~di''

ainsi la projection de la troisième vitesse sur un axe quelconque est la somme de celles des deux autres.

2^ L'accélération du troisième mouvement est aussi la résul-

tante de celles des deux autres. On le conclurait de même de ce que leurs projections satisfont la relation

~dl* ~ dV "^ "dp •

3^ La propriété suivante est la réciproque de la première : Si trois mouvements commencent à la fois en A, A', A" et que la vitesse du troisième soit constamment la résultante de celles des deux autres, ce mouvement sera aussi résultant des deux autres. En effet, on a par hypothèse

dx" dx dx dï ^lt~^Tt

d'où x" = X -+ x' -\- Gj G étant une constante; cette relation ayant lieu pour des positions simultanées quelconques, on a aussi a" = a + a' -j- C, et par suite

ce qu'il fallait démontrer.

4^ Si B, B', B" sont des positions simultanées, et qu'on les prenne pour points de départ au lieu de A, A', A", le troisième mouvement sera encore résultant des deux autres ; en eifet, ces points devant satisfaire les mêmes conditions que M, M', M", on a à la fois

X — a =x — a-f-x — a, h — a ^= b — a -\- b — rt,

d'où

ce qui exprime la propriété énoncée.

Cas particuliers, — Les deux suivants, dans lesquels nous supposons les positions initiales au même point 0 ont de fréquentes applications.

P Si deux mouvements rectilignes et uniformes sont dirigés

suivant OA, OB et ont pour vitesse OA, OB, le mouvement résultant est rectiligne et uniforme, ayant pour vitesse OC résultante de OA, OB. ^ '^ trt"

2^ Si deux mouvements uniformément accélérés simples, par .conséquent rectilignes, ont pour accélération OA, OB, le mouvement résultant sera aussi uniformément accéléré simple, ayant pour accélération OC, résultante de OA, OB.

Dans les deux cas nous comparerons les deux mouvements donnés avec celui qui correspond à la résultante OC des vitesses ou des accélérations, puis nous vérifierons que celui-ci est bien résultant des deux autres.

Pour cela soient A', B', C, pour les trois mouvements, les positions simultanées du point mobile au bout d'un temps t quelconque ; dans le premier cas, t étant l'espace parcouru, on a 6 = vt^ c'est-à-dire