OA' = ^ X OA, OB' = / X OB, OC = / X OC

Dans le second cas, a étant l'accélération, on a e = -^ a<', ou

OA' = ~ i' X OA, OB' = ^- i* X OB, OC = ^- i' X OC

Dans les deux cas OA', OB', OC sont proportionnels à OA, OB, OC, tombent dans la même direction et forment ainsi un parallélogramme, puisque A'C est parallèle à AC et B'C à BC ; l'espace parcouru OC est donc résultant de OA' et OB', ce qu'il fallait démontrer.

39. Houvenient de translation d'une ligure. Hou- Tement relatif et absolu. — Désignons par y une figure composée d'un nombre quelconque de points A, B, C, etc. Supposons-la d'abord liée à un système s d'axes, et déplaçons s et cp à la fois comme un solide unique, d'une façon quelconque telle que les

axes restent parallèles et de même sens ; les positions cp' que u prend ainsi seront dites placées semblablement à (p. Quelle que soit

la direction des axes il est clair qae si Tori* gine 0 est venue en 0', et le point A en A', A A est égale et parallèle à 00' ; ainsi en désignant par A, B', G\ etc., les points homologues à A, B, etc., et laissant de côté le système d'axes, nous trouverons encore toutes les figures cp' placées semblablement à ç en menant par A, B, etc., des droites AA', BB', etc., égales, parallèles et de même sens.

Puisque AA est égale et parallèle à BB', AB' Test aussi à AB, c'est-à-dire que les droites joignant deux points homologues dans les figures u et cp' sont parallèles et de même sens ; réciproquement si cette condition est satisfaite la première le sera, c'est-àdire que AA', BB', etc., seront égales et parallèles et cp' placée semblablement à cp.

Si deux figures cp', ç" sont placées semblablement à cp, «lies le sont aussi entre elles ; en effet, A et B étant deux points quelconques de cp, et A", B" leurs homologues dans cp", les droites A'B', A'B", toutes deux égales et parallèles à AB, le sont aussi entre elles.

Dans le cas fréquent où deux courbes sont semblablement pla- ^ g» cées, nous dirons pour abréger qu'elles sont 2î«-

/^/^"^ rallèles; les droites AA, BB', CC, etc., joignant 'A^ ^ ' leurs points homologues sont alors égales et parallèles.

Mouvemeni de translation. — On nomme ainsi celui d'une figure cp si toutes les positions par lesquelles elle passe sont sem- 0 8' R- blablement placées. En ce cas, en désignant par r/ T^^ A et B', A" et B", etc., diverses positions simulavT^- tanées des points A et et B, les droites AB, AB',

A"B", etc., sont égales et parallèles. Par conséquent les trajectoires de tous les points de la figure cp sont des lignes droites ou

coarbes égales et parallèles^ et il est clair qae leurs vitesses au même instant le sont aussi.

Mouvement relatif d'un point. — On nomme ainsi le mouvement du point tel qu'il apparaît à un observateur lui-même en mouvement. Pour en avoir une notion plus précise il faut remplacer Tobservateur par une figure de forme invariable à laquelle on puisse rapporter la position du point mobile. Telle serait par exemple une chambre, en mouvement dans Tespace, à Tintérieur de laquelle le point se déplacerait ; mais il est plus simple de remplacer la chambre par un système d'axes qui lui soit invariablement lié.

Figurons alors la trajectoire relative ABC par une tige rigide, fixe par rapport aux axes, et le long de laquelle chemine le point. Partageons le temps en très petits instants égaux f>, et soient A, B, C, etc., d'instant en instant, les positions du point sur la tige.

Les axes se déplaçant d'une façon quelconque dans l'espace, la tige qu'ils entraînent, placée en AB...E quand le point est en A, occupera d'instant en instant dans l'espace les positions AB'...E', A^F', etc., et quand le point paraîtra arrivé en B, C, etc., sa position dans l'espace sera B', C, etc. ; de la sorte son vrai mouvement, nommé mouvement absolu^ est figuré par AB'C"D"E'\..

On nomme mmivement (V entraînement d'un point celui qu'il prendrait en étant lié invariablement au système ou aux axes. Celui du point A de la tige est ainsi figuré par AA'A"A'''A'^, celui de B par B.., B'"", etc. Quant au mouvement relatif, s'il s'agit de le comparer à d'autres, il n'a dans l'espace de sens précis qn'en supposant la tige et les axes immobilisés dans une de leurs positions.

Nous allons démontrer que la vitesse absolue du point est lu réstdtante de la vitesse d'eniraUiement et de la vitesse relative. Dans la position B' du point, par exemple, 9 étant supposé très

petit, la vitesse du mouvement absolu est - dans la direction de B'C" ; la vitesse d'entraînement, ou celle du mouvement d'entraî-

nement de B' est de même - - suivant B'B" ; la vitesse relative est celle qu'aurait le point en B' en supposant la tige immobile dans

BT'

sa position actuelle : c'est donc -r- suivant B'C ; CB" et C'B' sont

égales comme figurant la même portion de la tige; si de plus elles étaient parallèles, B'C'B"C' serait un parallélogramme, la droite BC serait résultante de B'B" et B'C, et la même relation existe-

rait entre les vitesses. Cela n'a pas tout à fait lieu, et - . - est ré-

sultante de . - et d'une autre égale et parallèle à -r— ; mais celle-

BT'

ci est égale à la vitesse relative - - et fait avec elle un angle infiniment petit, parce que dans le temps fi la direction de B'C change infiniment peu ; ainsi à la limite le principe à démontrer est tout à fait exact.

Si par exemple le point mobile est près de la surface de la terre, sa vitesse relative est celle que nous observons par rapport à nous, et dont la direction dans l'espace est bien déterminée à l'instant actuel ; sa vitesse d'entraînement est celle qu'il aurait en restant -lié au sol et partageant les divers mouvements de la terre. En les composant, on aurait sa vitesse absolue.

Si le mouvement du système est une tramlation, le mouvement absolu du i)oint est résultant du mouvement relatif et du mouvement d'entraînement, de sorte que le principe établi ci-dessus pour les vitesses s'étend aux mouvements eux-mêmes.

En efl^et, la tige n'ayant qu'un mouvement de translation les courbes AE, A^^E^^ sont égales et parallèles, et la corde AE»^ du mouvement absolu est résultante des cordes AE, AA'^ ; or c'est

ainsi que nous avons défini an numéro précédent le mouvement résultant de deux autres. Cette définition restait en outre la même en supposant les composantes déplacées parallèlement ; ainsi il est indifférent de remplacer A A"' par BB''', CC*'', ou par le mouvement d'entraînement d'un point quelconque lié aux axes, tous étant égaux et parallèles. Pour la même raison on peut remplacer AE par A'E', A"E", ou par le mouvement relatif que figure la tige immobilisée dans une quelconque de ses positions.

Supposons par exemple que le mobile soit un bateau traversant une eau tranquille d'un mouvement rectiligne et uniforme. En réalité, en vertu du mouvement de la terre, cette eau est un système animé d'un mouvement qu'on peut pendant un temps court considérer comme une translation rectiligne et uniforme. Les deux mouvements en se composant donneront celui du bateau qui sera aussi rectiligne et uniforme. Le résultat serait pareil si l'eau devenait celle d'une rivière à courant régulier, dont le mouvement remplacerait celui de la terre.

De même si la vitesse uniforme d'un bateau est représentée par OA en grandeur et en direction, et celle du ^ veut par OC, nous pouvons, en regardant le bateau comme le système en mouvement, dé- jL^^'^'^ j/b composer la vitesse du vent en deux autres dont l'une OA sera la vitesse d'entraînement, et Tautre OB complétera le parallélogramme ; celle-ci sera donc la vitesse du mouvement relatif du vent, ou celle qui agit réellement sur les voiles.

Mouvement relatif d'tme figure quelconque par rapport à un point. En désignant ce point par 0 l'expression précédente signifiera le mouvement relatif à des axes ayant 0 pour origine et restant constamment parallèles à eux-mêmes et de même sens pendant que le point 0 se déplace ; celui-ci, considéré seul n'aurait pas suffi pour préciser le mouvement relatif; mais il s'agit ici d'une simple locution abrégée, applicable à une disposition qui se présente très fréquemment.

Ce mouvement relatif est celui d'une figure quelconque pouvant même être de forme variable, et il va sans dire qu'il signifie l'ensemble des mouvements relatifs de ses divers points.

Pour l'un quelconque d'entre eux le mouvement absolu est résultant de son mouvement relatif et du mouvement du point 0, car les axes n'ont qu'un mouvement de translation, et pour tout mouvement d'entraînement on peut prendre celui de l'origine. La vitesse absolue du point mobile est de même la résultante de sa vitesse relative et de celle du point 0.