Eiol du mouvement du centre de gravité
Au numéro 17 nous avons trouvé pour les coordonnées x,, y,, z, du centre de gravité d'un corps les valeurs
__ pa;+pa;+...
p, p etc., étant les poids des particules ou points matériels qui composent le corps, et x, y, z, x\ etc., leurs coordonnées. Ce résultat suppose le corps de dimensions imperceptibles par rapport à celles de la terre, de sorte que p, p\ p\ etc., puissent être considérées comme des forces parallèles. Or ces forces, dans un même lieu, si les particules tombent dans le vide, leur donnent la même accélération (^ ; de la sorte, en désignant par m, m', etc., leurs
masses, rapport de la force à l'accélération, on a — = m,
1^ = m\ etc. En substituant p = mg, pî = m'y, etc., dans les valeurs de x^, y^, z^^ et supprimant le facteur commun ,</, on trouve
mx -f- m'x + ... iny -\- m'y + •••
mz -|- m V 4* • • • m -\- m' ~\- ...
Nous premlrons ces formules comme définition nouvelle du centre de gravité d'un système ou assemblage quelconque de points matériels. S'ils forment un solide pesant, ce centre sera le même que nous connaissons déjà ; dans le cas général ce sera un certain point bien déterminé par ses coordonnées rr^, y,, ^,, car tout point matériel a une masse qui lui est propre.
Le centre de gravité primitif pouvait s'obtenir par une construction géométrique, donnant le même point que les formules ; il le pourra donc encore dans le cas général, en substituant les masses A.^,,^^ aux poids; pour des masses m, m', ... placées
B^L-? —^li^ en A, A', ..., on composera m et m' en une
seule m + m' placée en B, de sorte que AB m' I r , ^
^ = — ; on composera ensuite m + ^'*' ^t ^^^" en une seule
m + w' -f- 7n'' en B', et ainsi de suite, ce qui revient à chercher le centre de gravité de A et A', puis celui de A, A', A", etc. On pourra de même remplacer plusieurs masses par leur résultante prise à part. S'il s'agit, par exemple, du centre de gravité de la
terre et de la lune réunies, on emploiera leurs masses totales M, M\ au lieu de celles des particules ; elles sont placées aux deux centres T, L, et on partagera la droite TLen raison inverse de M, M'. Le centre de gravité est ainsi défini indépendamment de la pesanteur, mais ne représente plus le point d'application de la résultante de forces parallèles.
Mouvement du centre de f/ravité, — Chacun des éléments ou points matériels du système peut d'après le numéro 2 1 être regardé . comme libre, en remplaçant les obstacles à son mouvement par les forces qu'ils exercent. De la sorte, en désignant par X, X',etc., pour chacun la somme des projections des forces qui l'animent sur Taxe des x^ c'est-à-dire celle de leur résultante, la première équation du mouvement sera
d'où résulte en les ajoutant
^ [m.v -h mx + wV + ...) = X + X' + X" + ...
Or en désignant par M la masse totale m -f m' -f- etc., la valeur de x^ donne mx -f- w^'a;' -}- etc., = Mo;^ ; par suite
M "^J^^ = Xp où X, = X f X' I- X" -f etc. ;
X, est ainsi la somme des projections de toutes les forces agissant sur tous les éléments. Elles comprennent les forces extérieures au système total ; les autres sont toutes celles qui agissent entre deux éléments, y compris les forces de contact. Il y entre séparément celles qu'exerce soit le premier sur le second, soit le second sur le premier. Or d'après le principe d'égalité de l'action et de la réaction la somme des projections est pour ces deux groupes de forces la même en signe contraire, de sorte qu'elles se détruisent dans la somme totale X,, où n'entreront plus que les forces extérieures. De la sorte, en les supposant déplacées parallèlement et appliquées
au centre de gravité, X, sera la somme de leurs projections ou celle de leur résultante.
Les équations du mouvement du centre de gravité sont
et deux autres analogues, semblables à> celles d'un point matériel. Par suite il se meut comme un point mutériel ayant pour masse la masse totale du système et auquel seraient appliquées toutes les forces extérieures qtii agissent sur le système, déplacées parallèle-' ment.
Si par exemple plusieurs corps pesants sont lancés dans le vide, pouvant se rencontrer, se déformer, etc., leur centre de gravité commun décrit une parabole comme le ferait un point pesant isolé ; il en est de même s'il s'agit d'êtres animés, tout organisme étant soumis à la même loi.
Si un système ' n'est animé d'aucune force extérieure, aucune n'agit sur son centre de gravité, qui se meut alors en ligne droite d'un mouvement uniforme. Il en est ainsi pour celui du système solaire si on néglige l'attraction des étoiles.
Remarques sur ce qui précède, — \^ Quand nous avons trouvé que les forces intérieures se détruisaient, c'était en supposant la loi d'égalité de l'action et de la réaction exacte dans l'état de mouvement. On pourrait le regarder comme évident ; en tout cas cette exactitude se trouve démontrée par celle de la loi du mouvement du centre de gravité qui en dépend ; celle-ci, en effet, est vérifiée par Texpérience avec la dernière précision, en particulier en astronomie.
2^ Les mouvements qui peuvent être pris pour exemples affectent toujours un corps et non un point infiniment petit ; aussi dans toutes les applications qui seront faites des équations du numéro précédent, nous devrons considérer le point comme le centre de gravité d'un corps de masse m, et X, Y, Z seront les projections
de la force extérieure ; de même quand nous parlerons dans ce chapitre du mouvement d'un corps, il s'agira de celui du centre, qu'on nomme aussi son mouvement de translation. C'est en vue de ces applications qu'il convenait d'établir dès à présent la loi du mouvement du centre de gravité.
3° On a vu que pour les particules d'un corps pesant on a
Ji^ z=i m, — = m\ etc., (p -\-p + p" -+- .-.) = flf (tn + m' -f- ...),
" il
de sorte que la relation m — — reste exacte en prenant pour p
et m le poids total et la masse totale ; elle donne la valeur numérique de m,
La masse mesure la résistance qu'oppose l'inertie d'un corps à la force fqui tend à le mouvoir; on peut conclure, en effet, de la
relation -i- = a que si la masse devient trois fois plus grande, il
faut une force triple pour donner au corps la même vitesse dans le même temps, ou qu'une même force lui donne une vitesse trois fois moindre.
On dit aussi quelquefois que la masse mesure la quantité de tnatiere d'un corps ; c'est exact pourvu qu'on regarde cette quantité comme mesurée par le poids ; mais cette comparaison n'a de
sens précis que s'il s^agit de corps formés d'une même substance.
f Le mouvement d'un corps ne dépend que du rapport — qu'on
nomme la force rapportée à Vunité de masse, ou la force accélératrice ; quelquefois par opposition on nomme f la force motrice.
52. Méthodes d'Intégration de l'équation du mouvement reetlllgne. — Pour que le mouvement d'un point soit déterminé, on doit connaître sa vitesse initiale et sa position initiale, ou celles qui correspondent à t = o.
Le point restera toujours sur une même droite si la vitesse
initiale u est placée sur cette droite et qu'elle soit aussi la direction de la force. Eu la prenant pour axe des x, Téquation sera
OÙ X désigne la projection de la force ; mais on peut regarder X comme la force elle-même en lui attribuant le signe -f- ou — suivant qu'elle agit ou non dans le sens des x positives ; le signe de la vitesse initiale ti est déterminé de la même manière.
Les seules quantités variables dont la force peut dépendre sont X, t et V, et on ne peut point donner pour l'intégration des règles propres à tous les cas , nous nous bornerons à ceux où la force ne dépend que de l'une de ces trois quantités.
Sous * cette forme générale on ne peut que ramener la solution aux quadratures, c'est-à-dire à des intégrales indéfinies ordinaires ; on peut en général les évaluer, et en tout cas la difficulté est ainsi abaissée.
Dans ce qui suit, nous conviendrons de désigner par le signe /*(/), /*(ic), etc., non, suivant l'usage, une fonction déterminée de t, X. mais l'équivalent du mot fonction, de sorte qu'elle pourra changer de forme chaque fois que nous emploierons ce signe f.
Dans les trois cas que nous allons examiner se présentent deux intégrations successives ; la constante arbitraire est déterminée
dx
pour la première par la condition qu'on ait v ou — = wpour *=o,
et pour la seconde par celle que x ait pour ^ = o sa valeur initiale donnée.
Premier cas. — X est fonction de f ; on a alors
= f{t), d.{^^) = f{t)dt',
on en tire en intégrant
dx
en intégrant de nouveau on a la solution sous la forme x = f (f), qui est pour les trois cas la forme demandée.
Second cas. — Xest fonction de v. L'équation est — = /* (v) ;
on récrit
en l'intégrant, le résultat a la forme t =: f (v), d'où l'on devra tirer v en résolvant l'équation ; on trouvera un résultat tel que
V = f{t) d'où dx^fif) dt,
et en l'intégrant comme ci-dessus on aura la solution x=f (t). Troisième cas. — Xest fonction de x. Il faut remarquer qu'on a
'{th'% '■(%)-'
dx d^x d^x
dt dt* dt^
Ainsi l'équation ayant la forme ^ = f{x) devient en la multipliant par 2dx.
On en tire en intégrant
dx\* . dx
= l{x), rfi^dt
et en intégrant, à part l'ambiguïté de signe que nous allons examiner, on trouvera t = f{x)^ équation qu'on devra résoudre pour en tirer la forme demandée x = f{t).
Complément du troisième cas. — On nomme intégrale première le résultat de la première intégration qui fournit déjà l'expression de la vitesse. Dans le troisième cas, elle a la forme
où ¥{x) est one fonction de forme déterminée ayant pour dérivée
F{x). Il en résulte les propriétés saivantes, auxquelles ou ne peut guère se dispenser d'«¥oir égard avant de poisser plus loin l'inté^ gration. Elles s'étendent à toute équation de la forme (£) antre que celle du mouyement.
V Soient a, a', a'\ a'" ... les valeurs de x satisfaisant l'équation Y{x) = 0, et rangées pas ordre de grandeur croissante ; nous laisserons de côté le cas où Fune d'elles satisferait en même temps la condition F(x) = o ; supposons pour simplifier qu'il y ait quatre racines, le résultat ne dépendant pas de leur nombre.
Si l'on fait croître x de — »> à + =^ » F(^) change de signe quand x = a,a'y etc., puisqu'alors F{x) s'annule et non. F(a;) ; par conséquent le signe de F(a;)est tour à tour -(-et — dans lea intervalles successifs des nombres
— »ï, a, a a , a , -|i- cso.
D'ailleurs d'après l'équation (E), F(x) doit rester toujours positif; par conséquent la variable x reste toujours comprise dans le même des intervalles précédents, puisque étant continue eQe ne peut en franchir les limites ; cet intervalle est celui qui contient sa valeur initiale.
2^ L'équation (E) donne
/dx\^ d^x d*x 1.
Il en résulte qu'on ne peut supposer x constant, car alors on devrait avoir -^ =o, -^ = o, ou à la fois ¥(x) = o, F(a?) = a. D'autre part, pour que x cesse de croître ou cesse de décroître,
dx
il faut que -.- change de signe et par suite s'annule, ou qu'on ait
x = aonx =s a\ etc., et alors x ne pouvant rester constant doit varier en sens contraire. Par conséquent, si par exemple x est compris entre a et a! sa valetir croît sans cesse jusqu^à a', puis décroît sans cesse jusqu'à a, et ainsi de suite alternativement. On verrait de même, dans le cas où x est compris entre a"et -f- î>o,
que si sa yaleur croît c'est jusqu'à Tinfini, et si elle décroît c'est jusqu'à a", après quoi elle augmente ; le résultat est analogue si x est compris entre a et — c».
Par conséquent, Fintégrale première suffit pour faire coimaitre la forme générale du mouvement.
3° Quand la fonction x ne fait qu'osciller comme ci-dessus entre deux limites, il est toujours avantageux, soit pour faciliter l'intégration, soit pour faire disparaître l'ambiguïté du signe ± mentionnée plus haut, d'employer la transformation suivante : Si x oscille entre A et Bon posera
A+B . A— B ou a? =5= — g 1 — - cos tt , ou a? = A cos' w + B sin^ u ,
u étant un cmgle touj(n4rs croissant avec le temps.
En eflfet, u croissant toujours cos u oscille entre ± 1 ; s'il en
était de même de -r-, h étant une constante, on pourrait faire croître u de manière à avoir constamment cos eé — ; ainsi dcms
le cas simple oit x oscille entre + A, U convient de poser x = heos u. Le cas général où x oscille entre A et B se ramène
A + B au précédent en remarquant qu'alors x ^- oscille entre
± ( ~ j ; on devra donc l'égaler à (— i— ) cos w^ ce qui donne
la première des formules ci-dessus ; l'autre s'en déduit en remplaçant u par 2u^ de sorte que u est encore un angle toujours croissant.
La transformation précédente introduit dans le calcul les constantes A et B qui sont les mieux adaptées à la forme du
mouvement ; -r- étant toujours positif, le signe ± du troisième
cas disparaît.
En outre, elle généralise des procédés qui sous une apparence très diverse servent à intégrer les équations du mouvement des planètes, du pendule simple, du pendule conique, etc.
53. Houvement reeti ligne dû à une forée eoniitante. — Le premier cas du numéro précédent, où la force est fonction du temps, se présente rarement, et nous en prendrons seulement pour exemple le cas où elle est constante. L'équation du mouvement est alors
a étant l'accélération constante. On en déduit
dx i
— = M + a/, ,r=zb+ ut + - - at\
u et h étant les valeurs initiales de v eXx; mais dans les applications nous supposerons h nulle, de sorte que le point partira de l'origine ; de plus u sera positive en prenant OX dans le sens de la vitesse initiale, et si a est négative, nous la remplacerons par — a;
en outre nous substituerons t = -^^, tiré de la première formule,
dans la valeur de x, afin d'avoir des relations entre les trois variables X, t, V, prises deux à deux. Le résultat aura ainsi les trois formes suivantes, dont la seconde se déduit de la première en remplaçant a par — a, et la troisième en posant ^* = o.
(I) Mouvement uniformément accéléré, la force ayant le sens de la vitesse initiale :
x=zut -\- \ at^ , t? = tt + a( , V* = u* + 2aa;.
(U) Mouvement uniformément retardé, la force ayant le sens contraire à celui de la vitesse initiale î
X =^ ut — J 0/- , t; = M — at ^ v» = u^ — 2aa;.
(III) Mouvement uniformément accéléré simple, la vitesse initiale étant nulle.
jc = I ai» , V = at y v' = 2(u;.
IVemier exemple, — Mouvement vertical d'un corps pesant. On a dans ce cas a = g.
Si le corps est lancé de bas en haut et qu'on demande sa hauteur ascensionnelle A, on doit employer les formules (II) et dans l'équation !;*=«' — 2gx supposer pour la position la plus élevée
du point v = o,x = h^ d'où A = — .
Si le corps retombe ensuite partant ainsi sans vitesse, les formules (ni) donnent pour sa vitesse quand il est revenu au point de départ
c'est dqnc la même vitesse qui le ferait élever à la hauteur h ; aussi la relation u" = 2gh s'exprime en disant; soit que la hauteur h est diie à la vitesse u, soit que la vitesse u est due à la hatiteur h.
Les formules (II) s'appliquent à toute la durée du mouvement montant et descendant; si par exemple un second mobile est lancé n secondes après le premier avec une vitesse n'y et qu'on demande le point où ils se rencontrent, x sera le même pour les deux mouvements, et en comptant t à partir du départ du second point on aura
j. = M(^t+ n) — — a{t -h n)« = u't — -^ at\
d'où l'on tirera t par une équation du premier degré.
Second exemple. — Mouvement d'un corps pesant sur un plan incliné en ayant égard au frottement.
Soient i l'inclinaison du plan, c le coefficient du frottement, p lé poids du corps; ce poids se décompose en deux forces, p cos i normale au plan, ou pression du corps contre le plan, et p sini qui seule fait mouvoir le corps; en même temps le frottement est <5P cos î; ces] forces s'ajoutent ou se retranchent, le frottement étant toujours en sens contraire du mouvement, et il en est de même des portions correspondantes de l'accélération, qui sont
p sin t . . cp cos i
= ^ sin 1, ' = c^ cos t .
m fn j^-
Si le corps monte toutes deux sont négatives^ et dans les formules (H) on a
a = — g (sin î + c cos t) .
Si le corps descend l'accélération est
a — g (sin i — c cos i)
si elle est positive, et correspond alors aux formules (I) ou (III) ; si elle est négative ou si c > tang i on emploiera
a = g {c cos t — sin t)
dans les formules (U).
Du reste Tusage de ces formules est le même que dans le premier exemple, sauf que les formules (H) ne correspondent qu'à la première partie du mouvement, jusqu'à l'instant où la vitesse est nulle.
Troisième eoœmpk, contenant les divers emplois des formules ; . . . on doit faire parcourir l'espace AB = 20" à
un wagon pesant 6000*"'^ ; le coefficient du frot-
tement, qui est ici un roulement, est ^. Deux hommes poussent
le wagon en A avec une force de 25^* chacun, jusqu'en un point C où il ait acquis la vitesse de 0",4 par seconde; ils se homent ensuite à entretenir sa vitesse uniforme jusqu'à un point D où ils l'ahandonnent; ce point doit être tel que le wagon aille de lui-même s'arrêter en B. On demande la position de C et D et le temps total employé.
Pour faire usage de la valeur ^ = 9,809 on doit prendre pour unité le mètre et la seconde ; en supposant pour simplifier ^r = 10^ on a
g io La pression est le poids du corps; le frottement est ainsi
De D en B il n'y a pas d'autre force^ et le mouvement est
retardé : a = —= ^7^ = ^^- Conme en B c'est la vitesse qui ^ m 4KI0 W
est douée ou t; = o^ on doit employer les relations où entre v, c'est-à-dire
v = tt — 0/, i;* ^ u* — iax^
\ et en substituant u = 0,4, -a a^ -g^r^ r «s o, «n «n ti« < se 8,
a; = DB=l,6- De A en C la force «zôrcée |Ar les homBies «st 50^"* ; »mbs-
trayant le frotteaifiatou30"'-ona.|»rarla £ûr€eTéelle/s20^^^',d'où
f 20 1 a«r -L 3BB — = — ;eBC c'^t ta 1^886 0,4 tjui «st donnée, et
il n'y a pas de vitesse initiale ; on doit donc employer dans les formules (III)
et en substituant a= o/x , ^ = 0,4, on en tire < = 1 2, ic = AC = 2,4. On a ensoite
CD = AB— AC — DB = ÎO — M — i,6 = 16«
Cette distance est parcourue avec la vitesse uniforme 0,4, d'où t =— = 7Î4=40.Lad1l^éetx)tofceBtfiinfli40H-12« + 8«==l•"'^
54. Houvement vertical d'un corps pesant dan» nn milieu résistant. — Parmi les forces dont on a à étudier l'effet, la résistance d'un milieu est à peu près la seule qui dépende de la vitesse. Bsns te «as «ctuel nous la supposerons proportionnelle au carré de la vitesse ; c'est la loi em «générad admise pour l'air, du moins dans les cas ordinaires. Elle a donc pour valeur kv% fc étant une constante; toutefois le poids du corps étante, c'est surtout du rapport des deux forces que dépendra le résultat,
de sorte qu'il sera préférable de prendre — pour constante, et la^
meilleure forme à lui donner est — = — r car alors p =ka% et
a représente la valeur de la vitesse pour laquelle les deux forces
sont égales ; on a ainsi fc = -^ et la résistance devient ^ ; les
forces rapportées à l'unité de masse ou les deux parties de — , en
remplaçant^ par mg, sont alors g et ^.
Nous supposerons que le point part de l'origine 0 avec une vitesse initiale verticale u, et nous prendrons l'axe OZ vertical dans le sens de la vitesse ; la résistance est toujours en sens contraire du mouvement. En employant z au lieu de x nous aurons pour l'équation du mouvement
— - = — g — g --- SI le corps monte, or o'
dh v»
^iv = 9 — ^"T s'il descend.
Premier cas. — Le corps monte. C'est le plus simple des deux parce que ce mouvement n'est pas indéfini ; on n'a à le déterminer que jusqu'à l'instant où la vitesse est nulle, l'équation changeant ensuite de forme.
D'après le second cas du numéro 52 l'équation doit s'écrire
dv v' , a*dv
= — 9 — 9-^- ou —gdt=-^
dt ^ ^a* ^ c"+t;*
Pour intégrer le second membre on doit diviser haut et bas
par a% afin de prendre — pour variable, en substituant dv=^ad. - ce qui donne en intégrant
a qt f V \
— qdt = a — , c — — = arc tang — )
c étant une constante arbitraire, et l'arc étant supposé compris
entre + -^tt. On a i; = w pour i = o, d'où
u c = arc tancr — .
On doit ensuite tirer de l'équation précédente
V = a tangic ) >
quand t croit, v diminue, et l'emploi de la formule cesse quand on ac — = oovLv = o; ainsi en désignant par t le temps de la
montée du corps, on a
f = — c = - arc tanjç — ) .
9 9 ''Va/
On aura ensuite
dz =i vdt = a ^ —. dt =^ ,
cos(c ^) ^ cos(c ^j
d'où en intégrant
b est une constante qu'on détermine par la condition ^ = o pour < = 0; ce qui donne
Désignons par h la hauteur à laquelle s'élève le point ; c'est la
valeur de z correspondant ht = if,et comme c — — = o, elle se réduit à
g Icos c)i .
D'ailleurs on a
c = arc tang — , — = taiig c, cos c =
d'où
Second cas. — Le corps descend. Comme dans le premier cas, on met Féquation sous la forme
év V* ^ ct*iv
— = g-g- OU J*=irz:;;-,.
On doit décomposer le second membre en fracdons simples, ùn en multipliant par 2, écrire
igdt =a\—— +
Il faut remarquer qu'on ne peut employer le logarithme d'une quantité négative ; de la sorte on doit prendre
f dv
I = — l (a — v) ou — l(v — a)
suivant que t; < a ou > a ; les deux cas ne peuvent se rencontrer dans un même mouvement, sans quoi v passant par la valeur a, le résultat deviendrait infini dans l'intervalle. Nous devons donc prendre l'une ou l'autre fonsœ suivant qu'an «Msmeiiceiiieiit t; < ou > a, ou suivant que w < ou > a.
En divisant par a, désignant par c une constante arbitraire, l'intégrale sera
-^ -|- c = M SI M < a ;
a \v — aj
d'où l'on déduit, en posant v = u,t = o.
Ja+u\ (u + o\
ou c = M , ou c = / ;
\a — uj \u — aJ
ces valeurs sont positives, etc = osi u = o. On doit tirer v de l'intégrale. En posant ponr abréger
valeur de + ?L2l? qq anra pour les deux cas
d croit constamment jusqu'à l'infini, et pour connaître le mode de variation de v il faut diviser haut et bas par 9, ou écrire dans le premier cas
-T- décroissant, le numérateur augmente, le dénominateur diminue, et- -augmente convergeant vers 1 ou i; vers a; on voit de même
(JL
que dans le second cas v diminue convergeant vers a ; ainsi dans les deux cas le mouvement au bout d'un certain temps est sensiblement uniforme. Il le serait dès le commencement dans le cas, laissé de côté, où l'on aurait u = a; alors en effet le poids et la résistance se détruisant aucune force n'agit sur le corps ; d'ailleurs l'équation
dv v'
est identiquement satisfaite en supposant v=a — const, d'où
dv
Bornons-nous maintenant au premier cas où l'on a e^ < a ; remarquons en outre que celui où l'on e^u = o comprend tous les autres;. en effet soit alors/ la valeur de ^ à Tinstant où le mobile a acquis une vitesse u ; le mouvement compté de cet instant est
celai dont la vitesse initiale est u, et l'espace qui lui correspond, au lieu d'être désigné par ^, sera exprimé par ^ — z\ En supposant donc w = 0, on a c = 0 comme on l'a vu, d'où
Ô == c * , dz = vdt = a — — — r dt .
Pour intégrer cette expression par les règles usuelles on devrait prendre 6 pour variable, afin de la ramener à une fonction rationnelle. On aurait
^ l (6), d/ . , rf* - 2^ • g(g^^
dont on devrait décomposer le second membre en fractions simples.
Mais on trouve de suite le résultat en divisant haut et bas par
6 ^ ; on aura ainsi
dz e — 1- e — e , a d.vc+^
d'où
2» étant une constante qu'on détermine en posant ^gr = o, ^ = o, ce qui donne
On a une forme préférable de z en mettant en évidence la portion qui croît avec le temps, ou en substituant
En remplaçant ce logarithme par sa valeur, de même que 6, ou trouvera
2 = ar -8, où ô = Y /(2) — l\i + e"^)
Comme e ** est décroissant, è augmente ayant pour valeur o
quand ^ = o, et — l{2) quand t est infini. Par conséquent si, en
même temps que le mobile il en part un second avec la vitesse a, conservant par suite cette vitesse et parcourant l'espace at, le premier sera en arrière du second à la distance 5 et finira par se
mouvoir d'une vitesse sensiblement uniforme à la distance — t(2) du second.
55. MonTement reetiligiie d'un point attiré vers un point fixe O proportionnellement à la distanee.
— En prenant 0 pour origine et la droite
pour OX, la force — pourra être représentée par — a^x, (X étant une constante ; de la sorte si le point est en M ou a? positif la force étant négative sera dirigée vers 0, et il en sera de même si le point est en M' et œ négatif. L'équation est ainsi
dt*
et rentre dans le troisième cas du numéro 52, la force étant fonction de x; ainsi en multipliant par 2dx et intégrant^ on aura
fdxV idxV
le second membre devant rester toujours positif, la constante doit l'être, et on peut la représenter par a' A*, h étant une ligne positive quelconque.
Le second membre s'annale qaand x = + h, et pour qu'il soit positif, X doit être compris entre ces limites ; par suite, comme on l'a vu au num^o 52, x ne fait qu'osciller entre -\- h et — h et doit être représenté par h cos u, u étant toujours croissant ; en substituant x = heos u^ l'équation devient
I — /isinu — 1 = (xW8in'u on I — I = a'
et puisque u est croissant et -j- positif comme a, on en tire sans ambiguïté de signe
du , ,
— = a, u = at-\-l\
1 étant une constante arbitraire. H en résulte
j; = /i cos tt = /i cos (oU + 0 i
les constantes h, l se déterminent dans chaque cas par les valeurs
dm
initiales de x et -r-. En prenant OC = OC = A, le point oscille entre C et C ; si à un certain instant il est en G ou qu'on ait x = fe, il arrivera en G quand ai aura augmenté de tt, ou f de — ; on a
Cf.
donc T = — pour la durée d'une oscillation ou le temps que met
le point à parcourir CC.
En posant A cos Z = A, — A sin Z = B, la valeur de x prend la forme
a? = A cos at + B sin eut.
qu'on emploie plus fréquemment comme intégrale complète de
l'équation nr? + ol'x = o ; A et B sont des constantes quelconques, car on peut vérifier que cette valeur de x satisfait identiquement l'équation,
La loi d'attraction qui précède se rencontre fréquenunent dans la nature sous la forme suivante :
Supposons qa'nn point M ne puisse se déplacer qae sur la droite IX, et que des forces agissant snr lai soient fonctions de sa position ou de la distance IM = j ; s'il est en équilibre au point 0 et qu'on le déplace de la longueur OM = dz, la projection de la résultante des forces sur IX, qui seule fait mouvoir le corps augmentera d'une quantité kdz et puisqu'elle était nulle pour le point 0, kdz sera la force elle-même ; en prenant 0 pour origine des x on aura x = OM =z dz;]s, force, si j? est très petit, est donc égale kkx; sik était positif elle tendrait à éloigner M du point 0 qui serait une position d'éqoilibre instable ; si k est négatif elle tend à l'en rapprocher et équivaut à une attraction proportionnelle à la distance. Le résultat sera évidemment le même si le point M est libre, mais que toutes les forces soient dirigées suivant IX.
Premier exemple. — Prenons pour le mobile M un point pesant suspendu verticalement au point I par un ressort en hélice, dont la longueur à l'état naturel est AI = a. Si le point est en M à la distance IM = z, le ressort est allongé de AM =z — a et il tend à ramener le point en A avec une force k{z — a) proportionnelle à l'allongement, de sorte que k eot une constante ; si M était audessus de A et le ressort comprimé 1& force serait de même k{a — if), et celle-là convient aux deux positions en la supposant dirigée de haut en bas ; la force totale est donc X=p-{-ka-kz, p étant le poids du corps ; elle devient nulle au point 0 pour lequel ^ = ^ en supposant p-^-ka — kjif^^o; pour toute autre position, en substituant jp -f- A;a = k^j X se réduit à k(;sf — z). Si ensuite on prend 0 pojir origine des x, on a constamment
c'est la forme mentionnée ci-dessus.
Seœnd exemple. — Un point M est attiré vers un point fixe A avec une force my ; en même temps il est lié à un point fixe I par
un fil IM = /, de manière à ne pouvoir que parcourir l'arc de cercle COC. Nous avons vu au numéro 50 que Téquation du mouvement pour ce cas est
dt
dh T
ou
dt
T étant la projection de la force sur la tangente et s Tare de courbe compté d'une origine fixe, pour laquelle nous prendrons le point 0 sur la droite AI. L'équation est ainsi pareille à celle du mouvement rectiligne en remplaçant x par s. Si l'on désigne par B, & les angles MIA, MAI, on aura
AMI =r. ,: — e — 6',
et l'angle aigu de MA avec la tangente en M sera -^-n — ô — 6' ; comme T' agit dans le sens contraire à celui où augmente s, on
aura
T'= m^cos^ * rt — 6 — 6').
Le mobile serait en équilibre au point 0 ; nous supposerons très petit son écart OM ou 5 de cette position ; il en sera de même de 6, ff et Ton pourra remplacer sin (ô + 6') par 9 + 6' ;
. ; avec le même degré d'approximation on
ore= ^ =
peut prendre l'arc OM pour sa corde, la supposer perpendiculaire à OA, d'où tang 6' = ^^. , et en désignant OA par l' on aura
L'équation devient ainsi
dh di^
en désignant par À une ligne telle qu'on ait
Nous pouvons aussi sans erreur sensible attribuer à la force y la même valeur que si le mobile était en 0 ; de la sorte en remplaçant par a' la constante ^ l'équation devient la même qui dans
le mouvement rectiligne correspond à une attraction proportionnelle à la distance. Le point M abandonné sans vitesse en C très près de 0, oscille donc entre C et C, en supposant OC = OC, et
la durée d'oscillation est T = - - = tt \/—.
L'observation de la durée T s'emploie souvent en physique pour trouver l'intensité y d'une attraction. Si le point attirant devient le centre de la terre, le mouvement est celui d'un point pesant,
suspendu à un fil, et oscillant dans un plan vertical ; il se nomme
alors \^ pendule simple ; y- est nul ou À = ?; de plus y devient le
nombre g; on s, ainsi T = -rr \/ J . pour la durée des oscillations infiniment petites d'un pendule de longueur l
56. Mouvement d'an point attiré vers un point Axe O eu raison inverse du earré de la distanee. Remarques générales sur les eas oti la vitesse devient infinie. — En prenant 0 -= — ■ .
pour origine, supposant le point en M
ou X positif, X sera la distance, et la force étant négative — aura
la forme ^, où a* est une constante positive ; l'équation est
ainsi
dt^ x'
et rentre dans le troisième cas du numéro 52. On aura donc, en multipliant par 2dx et intégrant,
dx\^ ^la}âx (dx\^ 2a'
\2 __ ta^dx / dx \2 2a'
