x'~~' Xdïj'^'x

dt

C étant une constante. 15

Boraons-nous au cas où le point serait placé d'abord en A à la distance 0 A = h, et tomberait sur 0 sans vitesse initiale ; on

dx 2a'

aurait alors à la fois -3- = 0 et a? = h, d'où 0 = . + ^/ Téqua-

di ' h

tion devient ainsi

\ àt I X hr '

Le second membre devant être toujours positif, il faut que x le soit aussi et en outre soit < fe; comme on l'a vu au numéro 52, X étant compris entre 0 et A est toujours croissant ou décroissant dans cet intervalle et en employant la formule de transformation a; = A cos' w + B sin' u, on aura dans le cas actuel

X = h cos* M + o.sin* u,

u étant toujours croissant. En substituant cette valeur dans l'équation, on trouve

— 2/i sin M cos w-r- = 2a'— r — = 2a' 7^ r~»

ai I hx h^ cos* u

ou

^"V— ** du __ a 1

d/ ' 2/i*cos*M * dt if^hi ' cos* u

d'où

rft = cos* li du = ( - + -^- cos iu] du ,

^ + c = -TT- tt + -S" sm 2m ,

et en intégrant

6* étant une constante. On a pris pour instant initial celui où l'on avait x= h^ ou h cos' u =h^ oixu = 0^ qui correspond ainsi à / = 0 ; il en résulte c = 0.

Désignons par T la durée de la chute ; c'est la valeur de t cor-

respondant à ^r = A cos* ^^ = 0, ou à ?^ = -^ -ir ; on a ainsi

Si Ton voulait chercher d'après les formules précédentes quelle est la suite du mouvement, d'une part la valeur x^=ih cos' u indiquerait que le point revient en A et oscille entre A et 0, ce qui parait absurde ; d'autre part s'il passe de l'autre côté du point 0 , l'équation du mouvement change de forme, devenant

En réalité, si l'on s'en tient au point de vue purement analytique l'emploi des formules cesse dès que le mobile a atteint le point 0, parce que la vitesse est devenue infinie ; cette vitesse sert d'initiale pour la suite du mouvement ; étant infinie elle est indéterminée, et rien ne distingue celle qui serait propre à faire revenir le mobile en A plutôt qu'en tout autre point A, ou en tout point B de l'autre côté si le mobile dépasse 0. En général on en peut dire autant pour toute question où la vitesse devient infinie, tandis que si c'est seulement la force, les formules indiquent presque toujours une suite au mouvement.

Ce qui précède concerne sehlement les formules, ou l'intégrale de l'équation donnée ; mais s'il s'agit du problème mécanique à résoudre, le point de vue est différent.

Si la force ou la vitesse devient infinie en un point non situé à l'infini, cela indique évidemment que les données ne répondent plus exactement à un mouvement physiquement réalisable. Cela peut provenir des deux causes suivantes bien distinctes :

P Fréquemment on laisse de côté pour simplifier certaines complications de la question, ou des circonstances secondaires dont rinfluence paraît négligeable. Dans le cas actuel, par exemple, 51 et 0 figurent des corps d'une certaine étendue et les points M et 0 ne peuvent réellement arriver à coïncider.

Si à un certain instant la force est infinie dans les formules, mais non la vitesse, les formules représentent bien le mouvement ultérieur, car en réalité la force est seulement très grande, et la

vitesse peu différente de celle de la formule. Mais si c'est la vitesse qui devient infinie, la formule ne nous apprend rien sur sa valeur ; nous savons seulement qu'elle est très grande et le mouvement ultérieur ne peut être connu qu'en tenant compte des circonstances d'abord négligées.

2^ Fort souvent aussi le calcul représente un cas extrême ou un cas limite d'un mouvement dont les formules ne présentent en général rien d'anormal, et il devra s'y trouver une indétermination, s'il sert à la fois de cas limite à plusieurs mouvements de forme très différente.

Dans la question actuelle, par exemple, si le mobile partant du

point A recevait une très faible vitesse per-

^ • — pendiculaire à AO, il décrirait une ellipse allongée, passant tout près du point 0 et revenant en A ; à la limite où cette vitesse est infiniment petite, ce mouvement devient oscillatoire entre 0 et A sur la droite OA.

p Supposons ensuite le point attiré par un

anneau ayant son centre en 0, et son plan perpendiculaire à OA ; le point mobile partant de A sans vitesse, oscillera comme nous allons le voir entre les points A et B situés sur la droite BOX aux distances OB = OA = h; en supposant l'anneau infiniment petit, il se réduira à un point attirant, et pour ce cas limite, le même que cidessus, le mouvement sera oscillatoire entre A et B, ou très différent du premier.

Pour trouver le mouvement dû à l'attraction de l'anneau supposons-le infiniment mince ; soient a son rayon, P un point matériel de son contour, PM = r sa distance au mobile M, 9 l'angle PMO,

' 2 l'attraction de P sur M ; elle se décompose en deux autres,

*^ — suivant MO, et *^ , à angle droit ; celle-ci et ses homologues pour tous les points P se détruisent évidemment pour rai-

OM r

son de symétrie ; en substituant dans l'autre cos 6 =,,-.= " ,

FM r

elle devient ^ ; on devra l'ajouter pour tous les points P de l'an-

^ If*

neau, et -— étant le même pour chacun on aura en tout — Ifx. La

force est d'ailleurs dirigée vers 0 ou négative ; l'équation est par suite

dt' " ~ r»~

a* étant une constante ; elle reste exacte si x est négatif, car si pour deux points x est le même en signe contraire, il en est de même de la force ; le triangle OMP donne en outre r = ^ i^~+^; niultiplant par 2dx et intégrant on trouve

. (dxx^ xdx /dx\^ ±n* .

dx\^ ^ ^ xdx /dx\^ :2a*

dx

au point A, pour t = o^ on a . = o, x = h, d'où

2a» /dx\2 2a'' 2a'

/ dx \2__

\ dt! ■"

Pour que le second membre reste positif, il faut et il suffit qu'on ait x/ < h\ ou que x soit compris entre + h, et par suite, comme on l'a vu au numéro 52, :z; oscille constamment eùtre + h, ou le mobile entre les points A et B.

57. méthodes d'Iiitégration des équations du uftouvement curviligne. — Nous supposons maintenant que les équations du mouvement soient

d'x d^y dH

''di'^^^ ''dt^'=^^ '%/*=^''

quand le mouvement a lieu dans un plan, nous conviendrons toujours de le prendre pour celai des xi/, et les équations se réduiront aux deux premières.

L'équation du mouvement rectiligne n'est pas en général intégrable, et la difficulté est plus grande s'il y en a plusieurs ; mais

elle est abaissée, ou se réduit à la précédente dans ce que nous appellerons Zej^rmier cas d'intégration.

C'est celui où l'une des équations peut s'intégrer indépendamment des autres ; cela aurait lieu par exemple pour la première si

X était indépendant de y, z, ^r, ^ ; elle rentrerait alors dans la

forme d'équation du mouvement rectiligne.

Un seœnd cas d'intégration^ est celui où X, Y, Z ne contiennent

pas x^ y, z, t et ne dépendent que de p ,p -r- ; en désignant

alors celles-ci par af. ?/, z\ les équations prendront la forme

m-^ = X, etc., et ne seront plus que du premier ordre, ou plus

aisées à intégrer, après quoi on aura ^ = / ^'^^ ^tc.

Dans les cas suivants, nous nous bornerons à indiquer trois combinaisons qu'on doit essayer pour trouver une intégrale première ; ce sont les seules que nous aurons à employer, et dans les principales applications de la dynamique il est rare que d'autres réussissent. Dans les numéros suivants, nous verrons pour divers exemples la manière d'en déduire la solution complète. Mais lors même qu'on né trouverait pas cette solution, la connaissance des intégrales premières, comme nous l'avons vu pour le mouvement rectiligne, indique en général la forme du mouvement, le mode de variation des fonctions inconnues, et c'est quelquefois tout ce qu'on a besoin de savoir ; il en était ainsi, par exemple, au numéro précédent, pour le mouvement dû à l'attraction d'un anneau.

Troisième cas, — On a identiquement

d, xdy — ydx\ __ d^y d^x dt ' dl ) ^^ dt' "^ dr' '

transformation d'un emploi très fréquent ; par conséquent en ajoutant les deux premières équations du mouvement multipliées par — yet-^x,\e résultat peut s'écrire

d. (xdy — ydx m

dt\

et dans le cas où l'oii a a;Y — yX = o, il en résulte l'intégrale

xdy — ydx

= const.

Si l'on avait xZ — ^X = o ou yZ — -srY = o, on en conclurait une relation analogue entre x et ^, ou entre y et /s.

D faut remarquer que si xY — yX, sans être nulle, était fonction de t seul^ l'intégration serait également possible ; mais ce cas ne se présentant jamais dans les applications est inutile à considérer.

On nomme intégrale des aires la précédente, parce que oixiy — ydx est double de l'aire élémentaire que décrit dans le temps dt autour de l'origine la projection M du n^obile sur le plan des xy; en effet, xety pour M sont les mêmes que pour le mobile, et en substituant

X = r cos ç, y = r sin «p,

r et cp étant ses coordonnées polaires, on trouve pour xdy — ydx l'expression

r cos f (sin ç> dr -f- r cos y d^) — r sin (p (cos çp dr — r sin ç dç),

d'où en réduisant

xdy — ydx ^ ^ drp ~ dt —^ ^i'

C'est une formule fort usitée, indépendamment de toute application mécanique. j^*

Si le point M vient en M' dans le temps dt, o^ l'angle MOM' = dcp, et l'aire du triangle OMM' est -jc

^ OM.OM'dcp, où l'on peut prendre r pour OM et OM'.

En comptant l'aire variable OCM à partir d'un rayon fixe OC, sa dérivée est ainsi