Frojectioiifi. — Abstraction
faite du signe, la projection d'une
droite limitée AB sur une droite in-
^' ^ définie OX signifie la distance des
pieds A', B' des perpendiculaires abaissées des points A, B sur OX; ces points A'^B' sont les projections de A et B sur OX.
Ce qui précède n'est que la définition géométrique de la projection. Dans tout ce qui suivra, nous la considérerons comme une quantité algébrique ayant un signe. Cela exige qu'on assigne un sens aux diverses droites. Pour OX ce sera de 0 vers X ; ensuite, en supposant que ce soit de même de A vers B, cela détermine le sens de la projection qui sera de A' vers B' ; quant à sa valeur, elle sera + A' B' si son sens coïncide avec celui de OX, et — A B' dans le cas contraire.
Si Ton déplace OX parallèlement, la projection ne change pas, car A'B' est la distance des plans perpendiculaires à OX menés par A et B, et ces deux plans parallèles restent les mêmes. Elle ne change pas non plus quand c'est AB qu'on déplace parallèlement, car la figure est alors pareille à celle qui, dans le premier cas, résultait du déplacement de la droite OX.
Quand on a assigné un sens à deux droites, leur angle supposé compris entre o et tt est entièrement déterminé, lors même qu'elles ne se rencontrent pas; c'est celui de deux parallèles à ces droites, menées dans le sens de chacune par un point quelconque de l'espace.
L'angle droit est ici désigné par ^ , et en général dans l'ana-
lyse on doit supposer tout angle ainsi exprimé en arcs ayant pour rayon l'unité. C'est à cette condition qu'un arc quelconque est le produit de l'angle par le rayon, que le rapport d'un petit angle à son sinus ou à sa tangente est sensiblement l'unité, etc. Toutes les formules du calcul différentiel le supposent également.
Cette mesure se transforme en secondes en la multipliant par le nombre
qu'on désigne par R".
La projection de AB sur OX est égale à AB cos î" pour la valeur et pour le signe, i étant l'angle des deux droites. Cela devient ^v évident si l'on déplace AB parallèlement de
J X \ façon que le point A vienne en 0 ; la pro-
jection et l'angle i restent alors les mêmes. Dans la première figure, B' tombant du côté de X, la projection est
OB' = OB ros BOB' = OB cos i ;
dans la seconde, B' tombant du côté opposé, elle est
— 0B' = — OBcosBOB' = — OBco8(;t — i) = OBcosi :
sa valeur est donc OB cos i dans les deux cas.
Théorème II. — Si Von projette plusieurs composantes OA^ OB, OC, etc., et leur résultante sur une même droite, la projection de la résultante est la somme algébrique, de celles des composantes.
On peut supposer dans la démonstration que les projections se fassent sur une droite OX passant au point 0; en effet, si elle était autrement placée on pourrait l'y transporter parallèlement, ce qui ne changerait ni la projection de la résultante, ni celles des composantes.
Cela posé, soient OA, OB les deux premières droites, OH leur
A -^ ^ résultante, et prenons pour OA celle des deux droites dont la projection est la plus grande, abstraction faite du signe. Nous pouvons remplacer celle de OB par celle de AH prise dans le sens de la flèche; soient A', H', les projections de A et H.
Si celles de OA et AH ont le même signe, w ^i^ A' H' est le prolongement de OA', et l'on a
OH' = OA'-(-A'H', c'est-à-dire la projection de la résultante est numériquement la somme de celles des composantes ; elle a le même sens et, par suite, le signe commun.
Si les projections de OA^ AH sont de signe contraire, H' tombe entre 0 et A', et l'on a OH' = OA' — A'H, c'est-à-dire la projection de la résultante est nnmériqnement la différence de celles des composantes ; elle a le sens et par suite le signe de la pins grande OA'.
Le théorème est donc démontré s'il n'y a que deux composantes. S'il y en a d'autres, OC, OD, etc., soient OH' la résultante de OH et OC, OH' celle de OH' et OD, et ainsi de suite. On aura d'après ce qui précède
ou
proj. OH' = prqj. OH -h proj. OC = proj. OA + proj. OB + proj. OC,
proj. OH" = proj. OH' + proj. OD, etc.
proj. OH" = proj. OA + proj. OB + proj. OC + proj. OD,
et ainsi de suite jusqu'à la projection de la résultante finale, qui sera la somme de celles des composantes OA^ OB, etc.
Conséquence. — Le cas où les composantes OA, OB, OC, etc., sont toutes placées sur une même droite OX, peut se ramener au cas général en admettant que leurs angles avec OX diffèrent très peu de 0 ou de TT ; alors on en peut dire autant des angles des parallélogrammes employés dans leur composition et de celui que fait la résultante avec OX. Les projections de la résultante et des composantes sur OX ne diffèrent donc de ces droites que par le signe dont elles sont affectées. En attribuant alors ce signe aux droites elles-mêmes, c'est-à-dire en les supposant positives ou négatives, suivant qu'elles ont ou non le sens OX, on pourra dire, d'après le théorème H, que la résultante est la somme algébrique des composantes.
Théorème HI. — Si dans le triangle g
OAB, OA et OB ont des valewrs finies et o que AB soit infiniment petit, sa projection sur AO, en lui donnant le sens de A vers 0, est la différence OA — OB, en négligeant les infiniment petits du second ordre.
JiS
Soit, en effet, i l'angle infiniment petit AOB; en projetant les droites sur AO, résultante de AB et BO, on a
proj. AB + proj, BO = proj. AO, on
proj, AB = AO — BO cos i = AO — BO + 2B0 sin« ^
et le dernier terme de cette valeur est infiniment petit du second ordre.
On voit aussi que la différence de la droite BO et de sa projection est du second ordre si leur angle est du premier.
3. Propriétés des projeetionii snr trois axes rectangulaires. — Le mot â*aoi^, en géométrie, signifie une droite indéfinie ayant un sens déterminé. Un système d'axes dans l'espace se compose de trois axes dont le sens est en général indiqué par OX, OY, OZ ; ils sont menés par une même origine 0, et nous admettrons constamment qu'ils sont perpendiculaires entre eux deux à deux. Les plans XOY, XOZ, YOZ se nomment lesplcms coordonnés j nous verrons bientôt pourquoi ; on les appelle aussi les plans des an/y des xjs et des yjsf.
Théorème IV. — Si Von décompose une droite suivant trois directions pa/rallUes aux axes, les projections de la droite sur les axes sont égales aux trois composantes^ prises chacune avec le signe -j- ou — suivant qu'elle est ou non dirigée dans le sens de Vaxe correspondant.
Pour le vérifier on peut supposer les axes transportés parallèlement de façon que leur origine 0 soit aussi celle de la droite. ^ Désignons par OM celle-ci, et par OA, OB,
yT^^^^^^^ZT/^ OC ses composantes suivant les axes. Le ! ,^'"1 parallélipipède qu'elles forment étant rec-
|/ ^"^-^^[/ tangle, l'angle MCO est droit, et OC est,
^ ^ sauf le signe, la projection de OM sur OZ;
en outre, cette projection est positive ou négative suivant que OC
ou la composante a on non le sens de OZ. La même remarque s'appliqne anx antres projections.
Théorème V. — Le carré d'une droite est la somme des carrés de ses projections sur les trois axes.
En effet, dans le parallélipipède précédent on a
