OM = OA + OB + OC

et OA, OB, OC sont, au signe près, les trois projections de OM.

Conséquence. A l'aide des propriétés précédentes, la composition d'un nombre quelconque de droites peut s'opérer par un calcul au lieu d'un tracé dans l'espace. Les droites étant données de même que leurs angles avec les axes, on connaîtra leurs projections sur OX ; la somme X de celles-ci sera, d'après le théorème II, la projection de la résultante ; on trouvera de même ses projections Y, Z sur OY, OZ ; en désignant par R la résultante, par a, J3, y ses angles* avec les axes, on aura, d'après le théorème Y,

et en outre, par la définition des projections, X = Rcosa, etc., d'où

cos a = -^, cos p = -^, cos Y = -^ .

On peut conclure de cette règle que la résultante de plusieurs droites est indépendante de V ordre de leur composition. En effet, si on change cet ordre, les sommes X, Y, Z, et par suite les valeurs de R, a, (3, y restent les mêmes.

La résultante ne change donc pas non plus si l'on remplace quelques-unes des composantes par leur résultante prise à part, car en employant le tracé dans Tespace, cela revient à commencer la composition par celles-là.

Il est donc aussi indifférent de remplacer une des composantes par plusieurs droites dont elle est résultante.

Théorème VI. — Soient x, y, z les projections d'une droite limitée sur OX, 0 F, OZ, et p sa projection sur une droite indéfinie U Ly faisant Us angles ol^ ^^ y avec les axes.

On a

p = ;r cos a 4- y cos p + î cos Y .

On pent^ comme ci-dessus, supposer pour la démonstration que l'origine 0 tombe sur celle de la droite limitée, qui sera OM; désignons par a, b, c ses composantes parallèles aux axes ; d'après le théorème II leurs projections sur L' L ont pour somme celle de leur résultante OM ; ainsi

p == proj. a + proj. b + proj. c ,

ces trois projections étant faites sur L'L, Or, d'après le théorème IV, si c tombe dans le sens OZ, cette droite c fait, comme OZ, l'angle y avec L'L, et en même temps ^ = c ; il en résulte

proj. c = c cos Y = 2 cos Y ;

si c tombe dans le sens opposé à OZ, cette droite fait avec L'L l'angle tt — 7, et en même temps on a ^ = — c, d'où résulte

proj. c = c cos (ir — t) == — c cos y = + 2 cos y ,

comme dans le premier cas. On vérifierait de même qu'on a dans tous les cas

proj. a = a: cos a, proj. 6 = y cos p ,

et la valeur de p^ ou

P = proj. 0 + proj. b -{- proj. c

prend ainsi la forme indiquée.

4. Coordoniiées dans l'espace. — Les coordonnées d'un point quelconque M signifient les projections de OM sur OX, OY, OZ, le sens de OM étant de 0 vers M. (Pour éviter des répétitions, nous conviendrons dans ce qui suivra que l'ordre dans lequel sont écrites les deux extrémités d'une droite indique son sens, qui va de la première à la seconde).

Lqs propriétés les plus asaeiles des coordonnées, détaillées plus loin, sont la traduction en formules des principes que nous avons démontrés.

Supposons que OM soit la résultante de OM', OM", et désignons par oi^ y', ^', rc", y", /'les coordonnées de M', M'' ; on aura entre les projections de ces trois droites sur OX, d'après le théorème H, la relation a; = 0/ -f- oi'\ or oi' ^mx — od, projection de OM", est aussi celle de la droite M'M qui lui est égale et parallèle et a le même sens ; ses projections sur OY, OZ sont de même y^y\ z — /. On pourra donc énoncer les propriétés suivantes :

FremUéTe propriété. — Soient Xy y, ^, x^, y, /, les coordonnées de deux points quelconques M, M' ; «, jS, 7, les angles de M'Mavec les axes, et r sa longueur ; on aura

X — x = r cos a, y — t/' =^ r cos p , z — 2' = r cos y ,

puisque le rapport de la projection d'une droite à cette droite est le cosinus de leur angle ; et en outre, à cause du théorème V,

Seconde propriété. — Les données étant les mêmes, x—x\y — y\ z — / sorA les coordonnées de M pour r origine M\ ou par rapport à des axes menés par M' parallèles aux anciens et de même sens.

En effet, ^— /, par exemple, est la projection de M'M sur OZ et aussi sur le nouvel axe des z ; c'est donc la nouvelle ordonnée de M.

Troisième propriété. — En supposant dans la première que M' coïncide avec 0, on aura a;'=y=/=o, d'où

cosa =

cos p = —, cos Y = — , r = ^x* -\- y^ + **,

X, y, z étant les coordonnées du point quelconque M, a, |3, y les

angles de OM avec les axes, et r la distance OM. On en déduit aussi

cos* a + cos' p 4- cos* y = — \ — = -r = ^ ;

cette relation est toujours satisfaite par les cosînws d*une droite, en désignant de la sorte ceux de ses angles avec les axes.

Quatrième propriété. — Soient x^y^js les coordonnées d'un point quelconque M, et p la projection de OM sur une droite indéfinie OL, faisant avec les axes des angles a, |3, y ; on aura, d'après le théorème VI,

p = a: cos a + y cos p -j- 2 cos Y »

puisque x^y^ z sont les projections de OM sur les axes.

On peut donner une autre forme à cette relation : soient a, ^', y les angles de OM avec les axes, et v son angle avec OL ; supposons la distance OM = 1 ; on aura d'une part

p = OM cos v = cos v , et d'autre part

j; = OM cos a' = cos a, y = cos p', 2 = cos y' ;

en faisant ces substitutions, la formule ci- dessus deviendra

cos V = cos a cos a' + cos p cos p' + cos y cos y'.

Elle donne l'angle v de deux droites lors même que celles-ci ne passeraient pas par l'origine, puisqu'en les déplaçant parallèlement, tous les angles restent les mêmes.

Si les deux droites sont perpendiculaires, on a cos 1; = 0 ; par suite, si les cosinus de la première droite sont proportionnels h. a^h^c et ceux de la seconde à a\ b\ cfy la condition de perpendicularité est exprimée par

aa! + 66' -f- ce' = 0 .

Angles polaires. — Cette expression suppose qu'on donne dans un plan une origine 0, un axe polaire OL, et un sens direct de rotation indiqué par la flèche. On nomme alors angle polaire d'une droite OM tout angle tel qu'étant compté à partir de OL, dans le sens direct s'il est positif, en sens contraire s'il est négatif, il aboutisse à OM. Ce n'est donc pas l'angle ordinaire LOM compris entre 0 et tr, mais une quantité algébrique de grandeur et de signe quelconques. L'angle polaire de la droite OM a ainsi une infinité de valeurs, qui se déduisent de l'une d'elles en lui ajoutant des multiples positifs ou négatifs de 2n ou de quatre droits. Voici un cas particulier où l'emploi de ces angles est nécessaire.

La direction d'une droite OM dans l'espace est définie par ses angles a, (3, y avec les axes, compris entre o et -nr. Quand elle se trouve dans le plan des o?^, on a

cos 7 = 0, cos* a -H cos* p = i .

A cause de cette relation entre a et ^, il est préférable de n'employer alors qu'un angle polaire cp. Communément, on prend pour axe polaire OX et pour sens direct celui qui va de OX vers OY. On définit les signes cos cp, sin <p de façon que dans ce cas, pour tout point M de la droite, rr et ^ étant ses coordonnées et r la distance OM, on ait

j; = r cos ^, y=rs\n(p.

Comme en général x = rcos a^ y = r cos /3, on voit que pour passer des angles dans l'espace à l'angle polaire, on a simplement à remplacer cos y par o, cos a par cos cp et cos (3 par sin cp.

Il suffirait, pour déterminer une droite, de compter son angle polaire de o à 2-77, mais pour de nombreuses applications de ces angles, il est nécessaire de leur laisser leur généralité.

A toute droite AB du plan correspond un angle polaire ; c'est celui d'une parallèle OM qui lui serait menée par l'origine dans le même sens.

Soient OA, OA' deux droites déterminées par des angles polaires quelconques ^y cp' ; soit aussi (p*" nn angle polaire de OA' compté à partir de OA dans le sens direct. Il est clair qne si cp et cp" sont positifs, cp -f- <p* est un angle polaire de OA compté de OX, d'où

,p' = y 4- f 4- mult. (27c) .

C'est encore exact si cp ou cp" est négatif, l'équation conservant la même forme quand on augmente ces angles d'un multiple de 2i:. On a donc, dans tous les cas

(p" = ^' — (p 4- mult. (27c).

relation qui sera employée plus loin et dans laquelle on peut supposer tp" compris entre o et 2-17 ; si i; est l'angle ordinaire AOA, il est clair que cp" = t; ou 27r — v, cos v = cos cp" = cos (cp' — cp). On a d'ailleurs

cos v = cos a cos a + cos p cos p' + ^^ T ^^^ T-

En y remplaçant cos y par o et cos œ, cos |3 , cos a', cos /3' par coscp, sin cp, cos cp', sin (p', on trouve la formule connue

cos (y' — ç) = cos y cos y' 4" sin ^ sin y' ;

elle coïncide ainsi avec celle qui donne cos v.

Coordonnées polaires. — S'il s'agit d'un point M dans le plan des xy, on nomme coordonnées polaires de ce point le rayon vecteur OM = r et l'angle polaire cp de la droite OM. La position d'un point M dans l'espace peut être déterminée au

moyen d'une origine 0, d'un aa^ principal quelconque OL, d'un axe polaire OL' placé dans un plan perpendiculaire à OL, puis d'un sens de rotation direct qui sera par exemple de OL' vers OL" perpendiculaire à OL'.

Les coordonnées polaires du point M sont alors le rayon vecteur OM = p, l'angle LOM = 9 variable de o à tt, et l'angle polaire (p de la projection OM' de OM sur le plan L'OL".

Il est clair que p, 6 et 9 déterminent entièrement la position da point M.

Le plus souvent on prend pour OL, OL' des axes ordinaires : plaçons par exemple OZ sur OL, OX sur OL', OY sur OL" et soient x^ y, z les coordonnées ordinaires du point M, dites coordonnées linéaires; z est la projection de OM sur OZ ou pcosô. Suivant que 6 est aigu ou obtus, le triangle OMM' donne

OM' = pcos(-^ e) ou p cos (e |-j,

c'est-à-dire OM' = p sin6. Ensuite, dans le plan des xy^ OM' et (p sont les coordonnées polaires du point M'; ses coordonnées rc, y sont d'ailleurs celles de M, d'où résulte

X = OM' cos y, y = OM' sin ^p.

En substituant la valeur de OM' on trouve les formules usuelles

x = p sin 6 cos'^, y = p sin 6 sin ç, 2 = p cos 6.

Les cosinus de la droite OM par rapport aux axes ont pour

valeur—, —, -, c'est-à-dire P f P

sin 6 cos f , sin 6 sin (p, cos 6.

Aussi les angles 6, cp qui déterminent la direction de OM se nomment quelquefois ses coordonnées angulaires.

Transformation des coordonnées. Soient x, y, z les coordonnées d'un point M par rapport à un premier système d'axes et ^', y', z ce qu'elles deviennent par rapport à un autre OX', OY', OZ' de même origine. Désignons par a, b^ c les cosinus de OX' par rapport aux anciens axes ; par a'^ h\ d ceux de OY' et par a\ h", c" ceux de OZ'; x' est la projection de OM sur OX' ou la valeur de j9 tirée de la quatrième propriété ci-dessus en remplaçant cosa, cos (3, cos 7 par a, ft, c; on trouverait de même y' et /.

En outre, par rapport aux nouveaux axes, a, a', a" sont les

cosinus de OX; ft, 6', b' ceux de OY et c, c\ c" ceux de OZ. Il en résulte les deux groupes de formules suivants :

.r' = flx -|- 6y -}- «, X =^ ax '-\- a y' + a" z,

y' == a'x + b'y + c'a. y z=z bx + h' y + b"z\

z' = o"x -t- 6'V + c\ z = cx' + c'y' + c"2',

Les carrés des cosinus d'une droite ayant pour somme Tunité^ les coefficients satisfont six relations telles que :

0* + 6« + <7» = i , a» -f- a'» + a"' = 1, etc.

La condition de perpendicularité en fournit six autres telles que :

aa' + bb' + ce = o, ab + ab' + a"b" = o, etc.

Un cas particulier que nous aurons plus souvent à employer

est celui où le nouveau système se déduit de l'ancien en le faisant

tourner d'un angle w autour de l'un des axes, par exemple de OZ.

y' y De la sorte z ne change pas ; w est l'angle

polaire de OX' compté à partir de OX ; x, y, x\ y' sont les mêmes pour le point M et pour sa projection M' sur le plan des xy. Soient r la distance OM' ; (p et <p' ses angles polaires par rapport à OX et OX'. Il en résulte, comme on l'a vu plus haut,

çp = cp' = 0) + rault(!27r),

d'où

a; = r cos ^ = r cos (y' + <«)), J/ = r sin (ç?' ■\- co) ;

en développant ces valeurs et remplaçant r cos 9', r sin <p' par a/, y', on trouve les formules de transformation

a; = x' cos (u — y sin co, y = x' sin o) + y' cos (d, z = z

L'ancien système se déduirait du nouveau en le faisant tourner de l'angle — w; en remplaçant w par — o) on aura donc

x' =: j; cos 0) + y sin (d, y' = — ^ sin (d + ^ cos o), ;&' = î,

formules qu'on déduirait également des précédentes.

5. Dtsttiicttoii des sens de rotattoii. Projeettoiis des aires. — Le moavement d'une droite autour d'une origine 0 est bien déterminé si l'on dit qu'elle tourne de OM vers OM', M et M' étant deux points donnés; la droite mobile est alors OR, R cheminant sur la droite MM' de M vers M'. C'est ainsi que pour une figure contenue dans le plan des ocy nous avons défini, comme le sens direct de rotation dans lequel on compte les angles polaires, celui qui va de OX vers OY.

Mais dans l'espace, cette notion est insuffisante pour distinguer le sens direct et rétrograde, car la droite allant de OM vers OM', le sens absolu de sa rotation change suivant que l'observateur est placé d'un côté ou de l'antre du plan OMM'; tantôt la droite lui paraîtra tourner dans le sens des aiguilles d'une montre^ tantôt ce sera en sens contraire. On dit aussi quelquefois qu'elle tourne soit de droite à gauche soit de gauche à droite, en supposant l'observateur ayant les pieds sur le point 0.

En général, il est donc nécessaire, quand une figure tourne autour d'un axe, de mentionner par rapport à laquelle des deux directions opposées de l'axe le sens de rotation est défini.

Dans toute question où il est fait usage de coordonnées dans r espace, le sens de rotation considéré comme direct est, par rapport à Taxe des z positifs, celui qui va de OX vers OY; on le nomme simplement le sens xy\ alors, en conservant ce même sens, il devient, par rapport à l'axe des x positifs le sens yz allant de OY vers OZ; par rapport à OY, c'est de même le sens zx allant de OZ vers OX ; dans ces trois cas, les lettres ^, y, z se succèdent dans l'ordre alphabétique, z étant suivi de x.

Nous emploierons constamment pour les axes la disposition ci-dessus, qui a quelques avantages, entre autres en astronomie. Fréquemment on la remplace par sa symétrique, qui s'en déduit

en échangeant OX et OY; le sens des rotations directes se trouve alors inversé.

Projections d'une aire, — Dans ce qui suit, MM' sont deux points quelconques de coordonnées x^ y, z^ x\ y\ z ; l'aire \i. est celle du parallélogramme construit sur OM, OM'; en outre, en prenant l'une de ces droites OM pour la première, l'autre OM' étant la seconde^ nous attribuerons à l'aire le sens de rotation allant de la première à la seconde.

L'axe de l'aire signifiera une perpendiculaire ON à son plan, ayant pour longueur ON = |ul et menée d'un côté tel (jue le sens de rotation de Taire, par rapport à elle, soit direct.

On sait que la projection de l'aire sur un plan quelconque, abstraction faite du signe, est ^cosi, i étant l'angle aigu des deux plans; mais nous attribuerons à ses projections sur chaque plan coordonné le signe -f- ou — suivant que le sens de rotation allant de la projection de OM à celle de OM' est ou non le sens direct qui correspond à ce plan.

Cela posé, nous allons démontrer les propriétés suivantes :

Première propriété, — Les projections de l'aire sur les plans coordonnés, avec leurs signes, sont égales aux projections de ON, axe de l'aire, sur OX, OY, OZ.

Seconde propriété. — Les mêmes projections ont pour valeurs

yz' — zy sur le pian des yz , zx — xz sur le plan des zx, xy — yx sur le plan des xy.

Défnonstration de la première propriété. — Nous désignerons

rM' par R un point mobile sur la droite MM', et par A, A', S les projections de M, M', R sur le plan des x//.

Supposons d'abord que l'angle NOZ soit aigu, comme dans la figure. La rotation de OR allant de OM à OM' est directe pour l'observateur placé en N ; il en est par suite de même

s'il est en Z ou du même côté du plan de Taire. Or, ce sens se confond pour lui avec le sens dans lequel il voit tourner OS, projection de OR ; celui-là est donc aussi direct ou de OX vers OY ; d'ailleurs, S va de A en A' et OS de la première droite OA vers la seconde OA. Par suite, le signe de la projection de l'aire, défini comme ci-dessus, est positif. Si Fangle NOZ=-/, c'est aussi l'angle aigu des plans de l'aire et de sa projection, de sorte que celle-ci est ^ cos y.

Si l'angle NOZ ou y est obtus, le sens de rotation de OM vers OM' est rétrograde par rapport au prolongement de ON, qui fait avec OZ l'angle aigu 71 — 7. La projection de OR sur le plan des xy tourne donc dans le sens rétrograde et celle de l'aire est négative. Sa valeur absolue est d'ailleurs fxCos(7r— y); par suite, avec son signe, elle devient f^cosy comme dans le premier cas, c'est-à-dire la projection de ON sur OZ. Tout ce qui précède s'applique de même aux projections de ON sur OX et OY.

Démonstration de la seconde propriété, — Soient r, cp les coordonnées polaires du point A dans le plan des xf/, /, <f' celles de A' et V l'angle ordinaire AOA compris entre 0 etr.. La projection de l'aire sur le plan des xy est r/sint?, abstraction faite du signe. Elle est positive ou négative suivant que la rotation de OA vers OA est ou non directe, ou suivant qu'en tournant dans le sens direct de OA jusqu'à OA', l'angle cp" parcouru est inférieur ou supérieur à tt. Or, on a évidemment v = 9" dans le premier cas, i? = 27r— cp" dans le second. La projection de l'aire est donc, avec son signe, dans le premier cas r/ sin cp" et dans le second

— rr' sin (2;: — 'f ") = rr' sin (p°

comme dans le premier. On a vu, au numéro précédent, que

ff" = ff' — 'f + miilt. (27c).

La projection est ainsi rr' sin (9 — cp).

D'ailleurs x^ y coordonnées da point M sont aussi celles de A et od^ y' celles de A'. Les relations

a; = r cos (p, î/ = y sin çp, x = r' cos (p', y = r' sin y'

donnent

xy' — yx' = rr' (cos © sin ç>' — sin y cos y') = rr' sin (y' — y).

La projection de Faire sur le plan des xy est donc xy' — y si pour la valeur et pour le signe.

La disposition des accents provient de ce que le sens de la rotation directe est xy; par suite, sur les autres plans coordonnés? où ce sens est yz ou zx^ les projections auront bien la valeur indiquée dans l'énoncé.

Comme application, considérons un nouveau système d'axes, en supposant sa disposition pareille à celle de l'ancien et désignons comme précédemment par a, h, c les cosinus de OX', par a', b', c, ceux de OY' et par a% b% c" ceux de OZ'. Prenons M sur OX" M' sur OY', de sorte qu'on ait OM = OM'= 1. L'aire ^i du rectangle construit sur ces lignes est l'unité, de sorte que l'axe de Taire ON = 1 . Le sens de rotation de OX' vers 0 Y' devant être direct par rapport à ON, cette droite est sur OZ'. Ses projections sur les anciens axes sont ainsi a^xON, etc. ou a\ h\ d\ Elles sont égales aux expressions y/ — z^^ etc., dans lesquelles on doit remplacer x^ y, z, coordonnées de M, par a, &, c et x', y\ / par a', &', d. Il en résulte

a" ^bc'"- ch\ h" = ca — ac\ c = ah' — ba'.

En plaçant M, M' sur OY' et OZ' ou sur OZ' et OX', on trouverait six relations analogues, qui se déduiraient des précédentes en augmentant d'une unité chacun des accents et remplaçant l'accent triple par l'accent nul.