dtf xdy — ydx
T'' IT ""^ ïdi •
Elle est constante quand l'intégrale des aires a lieu, et par suite alors l'aire croît proportionnellement au temps. Quatrihne cas. — On a
(iy d^x dx d*y d. idx dy
dt dt
(IX a'y a. tax ay \
ir ' dî^^ii \if'ir) '^
ainsi en ajoutant les deux premières équations multipliées par %, dx^ le résultat peut s'écrire
si X, Y ne contiennent pas d'autre quantité variable que x, y, il peut arriver que J.dy + Xdx soit la différentielle exacte d'une fonction V de x^ y, auquel cas il en résulte l'intégrale
dx dy
dt dt ^
On verra au cinquième cas comment on peut trouver cette fonction V quand elle existe.
n est clair qu'une combinaison analogue peut se présenter entre iT et ^ ou y et ^.
Cinquième cas, — On trouve souvent une intégrale en ajoutant les équations multipliées por 2r/.r, 2dy, 2dz, ce qui donne
et si Xdx + Ydy + Zdz est la différentielle totale d'une expression P on en déduit l'intégrale
4(ï)'Ml)'+(l)*]-^M-«.
Nous savons que - - . .> = ^'* 5 1® premier membre est
ainsi niv* ; ce produit de la masse par le carré de sa vitesse d'un point se nomme sa force vire et on nomme intégrale des forces
mves la précédente quand elle existe. Une force vive et une force 3ont des grandeurs d'espèce différente, qu'il ne faut pas confondre. Pour obtenir le résultat précédent, il faut et il suffit que X, Y, Z soient les dérivées partielles
/dP\ /dP\ id?
\dx /* \dy )'
\dz)'
d'une même fonction P de x, y, z, et d'après la forme attribuée à dP elle ne doit pas contenir d'autre quantité variable ; nous dirons que la force a la forme potentielle quand elle satisfait ces conditions.
On aurait également ^
mdA-t/y' df-
= n\dx+\dyl
et on en tirerait de même une intégrale, si Xdx -f- ^dy était une différentielle exacte ; il faut pour cela que X et Y soient indépendants de ^ ; ce cas correspond au mouvement dans un plan, et cela même s'il était en réalité dans l'espace ; en effet, les deux premières équations ne contenant pas la lettre z devraient être intégrées indépendamment de la troisième.
Fort souvent la fonction P quand elle existe se voit immédiatement ; voici du reste la manière exacte de la trouver :
P Pour que Xdx + Ydy soit une différentielle exacte, ou qu'on ait
il faut la condition / — j = ( - j , car cela revient à la relation
^dxdy) \dydx)*
Supposons cette condition satisfaite ; on cherchera une fonction U telle qu'on ait X = ( ,-) c'est-à-dire une valeur de / Xdx
prise comme si x variait seule. On formera ensaite l'expression
ydu dy
laquelle sera indépendante de x; en effet
dx
^l \dy)\ [dx) \dxdy) \dx) \dy} ^*
On pourra donc trouver une fonction U' indépendante de .r, telle que
et en posant alors P = U -f- U' on aura Y = ( -r-) , et en outre X = (— ) ; en effet cela revient à
dx' )'
et U' étant indépendante de a; on a (-jz) = <>• 20 Pour qu'on ait Xdx -\- Ydy -\- Zdz = rfP, ou
il faut de même supposer
Wy/""Ux/* Wxj^UJ' \dzl^\dyl''
si ces conditions sont satisfaites, on cherchera comme ci-dessus une fonction V telle qu'on ait
z étant regardé dans ce calcul comme une constante ; on formera alors l'expression
. qui sera indépendante de x, car on a
dx
tl' \dz)\ \dx) \dzdx)^\dx)'^\dz)''^'
on verrait de même que cette expression est indépendante de y. On pourra donc trouver une fonction U" de jsf seul, telle qu'on ait
et en posant V -f- U" = P, on aura Z = (-j-j ; il en résulte en outre
eu effet, la première de ces relations revient à
\dx)~\ dx "/'
et U" étant indépendant de ^r on a (— ) = ^/ ^^ valeur de Y se vérifierait de même.
58. Mouvement dA h une forée eonstante de grandeur et de direetlon. — La première équation
OÙ — est une constante, donne en l'intégrant
.c = c + et I t:— r»
dv
c et c' étant les valeurs initiales de x et --j-, et l'on trouverait de
(it
même y et z; mais la loi du mouvement s'exprime mieux en choisissant les axes.
Soient : 0 le point de départ du mobile ; , u sa vitesse initiale, dirigée suivant OL ; OV la direction de la force ; g son intensité rapportée à l'unité de masse, pour laquelle on prendra 9,809 si c'est la pesanteur. Prenons le plan VOL pour celui de la figure, OY en sens contraire de OV, OX du côté deOL, de sorte que l'angle LOX = i soit aigu. Nous savons que le mouvement est résultant de ceux qui seraient dus à la vitesse initiale seule, et à la force seule, et par suite il s'effectue dans le plan de la figure.
Nous pouvons supposer que la force soit la pesanteur, car il suffirait de changer la valeur de g pour en déduire le cas général ; de la sorte le mouvement est celui d'un corps pesant soumis à la résistance de l'air, ou lancé dans le vide. La force étant ing, les équations deviennent
d'y dn
qui rentrent dans le premier cas du numéro précédent. Les valeurs
.... I jt dx du
imtiales de ^
dr dt
sont les projections de la vitesse initiale, ou
H cos i, u sin i ; on a donc en intégrant.
dx 1t
u cos /.
ày dt
= u sin i — (jt.
Les valeurs initiales de x, y sont nulles, d'où résulte en intégrant de nouveau
X =^ ut cos î.
y =■- ut sin i — -- yt*.
On en conclut
y» == --^- -- = u^ cos* i + (m sin i — gt)^ = m' + g*t* — ^yt u sin i» dt
OU d'après la valeur de y,
v^ = u^ — 2yy ;
cette relation est la même que si le corps avait été lancé verticalement.
L'équation de la trajectoire se trouve en éliminant t entre les valeurs de x et de y.
La première donne t = -.? d'où
^ il COS t
On nomme ampUttdde du jet la distance OA du point A où le mobile revient à son niveau primitif ; on la trouve en posant y = a dans l'équation de la trajectoire, ce qui donne
gx
x(taiigt— ^ ) = o; \ ttr COS* 1/
en laissant de côté la solution x = o qui correspond au point 0, on aura
2m* sin t COS t m* sin 2i 9 9
Ainsi pour une même vitesse u, l'amplitude sera la plus grande quand sin 2i = 1 ou i -- 45' ; en outre si i = 45° ± a, a étant un angle quelconque, on a
sin 2t = sin (90^ ± 2a) = cos 2a,
et par suite le point A reste le même pour les angles i ~ 45° + a, i r=r45°— a.
L'équation de la trajectoire, ou
QX-
: — X lang I -[- y =0,
%i^ cos- i
étant du second degré se réduit par les règles usuelles, on trouve^ en la divisant par le coefficient de x%
2u" sin î ros i . 2m''' cos 2^^ i x^ jc 4- - y = o,
qui peut s'écrire
/ ti^ sin t cos t\2 u* sin* t cos* t . 2m* cos* i
et en posant
Su'"' sin i cos î , tt*sin*î «^cos^i
elle a la forme
En transportant l'origine au point 0' dont les coordonnées sont
- a et h, on doit remplacer xety par x-\-— a, y -{- h, et l'équation se réduit à a;* = — 2py ; c'est celle d'une parabole dont l'axe O'Y' est parallèle à OY et de sens contraire. Le point 0' est le plus élevé de la trajectoire. La valeur de a
est celle de l'amplitude, et la figure rend évident que -3- a doit être
l'abscisse de 0' ; quant à son ordonnée h, c'est la hauteur due à la vitesse u sin i.
59. Équations du monTement dû H une force centrale. Cas oti la force est proportionnelle H la distance» — On dit que le mobile m est animé d'une force centrale^ quand elle est toujours dirigée vers un même point M, fixe ou mobile, et que sa valeur est fonction seulement de la distance r des deux points. Nous la désignerons par B,m, R étant positive si cette force est une attraction, négative si c'est une répulsion.
Supposons d'abord M mobile, et soient M sa masse ; x', y\ si ses coordonnées ; x, y, z celles de m, La force agissant sur m est dirigée, quand c'est une attraction, de m vers M ; ses cosinus sont
donc , etc., et la première équation du mouvement de m est
ainsi
ai r
Elle reste exacte si la force est une répulsion, car le cosinus — ^—
devrait alors changer de signe, et il revient au même de changer celui de R comme nous l'avons supposé.
La première équation du mouvement de M est de même
dt^ r
la force étant la même en sens contraire ; on a donc
dir X — X d^x ^ X — x ^ m
"rfP "" T ' dt' ^ ~~r~~ m" '
et en les soustrayant
Or a; — (xf, y — y\ 0 — £f sont les coordonnées de m par rapport au point M pris pour origine ; si on les remplace pour simplifier par X, y, z, l'équation précédente se réduit à
rfF"""" \ 'm ; 7"'
Supposons maintenant que M soit un point fixe et prenons-le pour origine ; la force étant dirigée de m vers M, ses cosinus sont
, — ^, , et la première équation du mouvement est
d'^x „ X ,, d^x Ro;
in-T-=X = Rm, ou -jri = .
dr r dt* r
Tout ce qui précède reste exact en remplaçant la lettre x par y onz, .
En comparant les équations da moavement de m relatif à M dans l'hypothèse où M est mobile et dans celle où il est fixe, on voit que les premières se déduisent des autres en remplaçant R
par R \—u—-)f 6t comme R dans toute son application contient
un facteur constant indéterminé, la loi du mouvement est la même dans les deux cas, sauf que si M est mobile, ce facteur doit être
multiplié par la constante — ^~— .
Il suffit donc d'intégrer les équations quand M est fixe, et nous /t. remplacerons cette lettre par l'origine 0. Si A est la position initiale de 7)i et AL sa vitesse, il n'y a pas de raison pour qu'il sorte du plan OAL d'un côté plutôt que de l'autre, la force étant toujours dirigée vers 0 ; le mouvement s'effectue donc dans un plan, et en le prenant pour celui des xy les^ équations du mouvement sont
Avant de nous accuper de ce cas général, nous considérerons d'abord celui où la force est proportionnelle à r, parce que l'intégration est alors immédiate. En désignant par oc une constante, nous aurons R = aV si c'est une attraction R = — aV si c'est une répulsion.
Premier cas. — La force est attractive. Les équations sont alors
elles rentrent dans le premier cas du numéro 57, ou s'intègrent séparément, et les intégrales complètes, comme on l'a vu au numéro 55, sont
0? = A cos at + B sin at, 1/ = A' cos eut + B' sin atr
A, B, A', B' étant des constantes. On en tire
dx du
-j- = — A sin a< + B cos at, -7: = — À' sin ai + B' cos at ;
adt adt
en posant t = 0 dans ces relations, elles deviennent
qui donnent les constantes au moyen des valeurs initiales de
dx dy ^' ^' dT^lt'
Remarquons, pour simplifier la solution, que ^ et ^ restent limitées, cos cet et sin at étant compris entre ± 1 ; elles varient en outre périodiquement : il existe donc des positions où r passe par un maximum ; soit C l'une d'elles, de sorte qu'on
df dr ^ '^^
ait alors -r = 0; on a vu au numéro 40 que -r-
était la projection de la vitesse sur le rayon ; si "" elle est nulle, la vitesse CL est perpendiculaire à OC. Quel que soit le mouvement on peut le regarder à partir de cet instant comme dû à la position C et à la vitesse CL prises comme initiales. Plaçons OX sur OC et 0 Y dans le même sens que CL ; soient OC = fe, et la vitesse CL = «^; les valeurs initiales seront
dx dy
et en les substituant dans les valeurs ci-dessus de A, B, etc., on aura
La solution générale se réduit ainsi à
X = h cos atj y = — slna^
On en déduit, en éliminant t
cos at = -7-, 8in a* = --^, -z-r -{ r y' = ^•
C'est l'éqnation de la trajectoire qui est ainsi une ellipse ayant 0 pour centre.
Second cas. — La force est répulsive. En remplaçant a' par — «• les équations du mouvement sont
Leurs intégrales complètes sont
X = ae -]-he , y =: a'e ^b'e ,
qui satisfont les équations quelles que soient les constantes a, b, a',b'; celles-ci se déterminent comme précédemment par les données initiales. On trouvera l'équation de la trajectoire en éliminant t entre les valeurs de ûp^ y; mais nous laisserons de côté les ca3 où. le mouvement serait rectiligne. On a
b'x — 6y = (ob' — a!h) e , ay — a'x = (aV — ah) e
d'où
(Vx — hy) {ay — a'x) = (ab' — a'6)*.
c'est l'équation de la trajectoire.
Nous laisserons de côté la réduction de cette équation, qui représente une hyperbole, et dans quelques cas particuliers une droite.
60. JHouireiiieiit dû A une force centrale. — Nous avons trouvé au numéro 59 pour les équations de ce mouvement
'dtS - " *^ T"' 'dt^^-^T^
R étant une fonction donnée de r.
Elles rentrent dans le troisième cas du numéro 57, car on en déduit
d^y d*x dy dx
di" ^ dt* ' di ^ di
€ étant une constante ; en coordonnées polaires, en substituant rc = r cos cp, y = r sin (p, la même relation se réduit, comme on l'a vu, à
dt
Ainsi Taire décrite par le rayon r varie proportionnellement au temps.
Nous pouvons exclure le cas où l'on aurait c = o, car r ne pouvant être constamment nul, il en résulterait -^ = o^ ou^ = const.^ et le mouvement serait rectiligne ; on retomberait ainsi sur un cas déjà examiné. Ainsi ^ ou --^ n'est pas nul et a un signe constant ;
<p est toujours croissant ou toiûoQi^ décroissant, ou le rayon tourne toujours dans le même sens ; on peut supposer que c'est le sens direct, on de OX vers OY, sauf à échanger ces axes en^e eux si cela n'avait pas lieu ; on peut donc regarder c comme positif.
Les équations rentrent aussi dans le cinquième cas du numéro 57, car en les ajoutant, multipliées par 2 dx, 2dy, on trouve
[dx' + dyn . , .ixdx + iydy
et en remarquant que
x'* -|- ^* = r«, ^xdx + iydy = ^rdr^
et intégrant, il en résulte
d.v' = — 2Rrfr, v» = — 2R', où R' ^^Cmt,
l'expression R' contenant une constante arbitraire. Comme on l'a
vu au numéro 40, les composantes de la vitesse en coordonnées polaires sont -^j -^, d'où
et en substituant -^2 = tt ? ^^^^^ ^^ 1* première intégrale, le résultat pourra s'écrire
Cette équation a déjà été examinée au numéro 52, où la lettre r était remplacée par x, et nous avons vu la série d'intervalles dans l'un desquels r reste toujours compris ; mais r étant nécessairement positif, on doit supprimer dans cette série toute la portion où r serait négatif. Voici donc les diverses formes de la variation de r, dont chacune est accompagnée de la dotation du rayon.
Première forme, que nous nommerons la forme circulante. — r reste compris entre deux racines positives /, r", de l'équation f{r) = 0, oscillant entre elles ; de la sorte chaque fois que r part de l'une d'elles /, les valeurs de r suivent la même loi en fonction
du temps ; il en est de même de celles de -^ ou — , et, à une constante près, de celles de 9 ; le mouvement se compose donc d'une suite de révolutions égales, dont les trajectoires coïncident si pendant la durée de l'une d'elles, r revenant à la valeur r', tp a augmenté de 27r; en ce cas la courbe est rentrante.
Seconde forme : r est compris entre la plus grande racine positive / de l'équation f{r)=^o et Tinfini; alors, ou r croît à l'infini, ou il décroît jusqu'à r', puis augmente.
Troisième forme : r reste inférieur à la plus petite racine positive r'; alors il diminue jusqu'à 0, ou croît jusqu'à / puis diminue.
Quatrième forme. — Si Téquation f{r) = o n'a pas de racine positive, r croit jasqn'à l'infini ou décroît jusqu'à o.
Bemarque sur la forme circulante. — Elle se réalise comme on
verra, en supposant R = — p, h étant une constante; nous l'avons
trouvée aussi quand R était proportionnel à r; ces deux cas ren-
trent dans la forme plus générale R = —, n étant quelconque,
positif ou négatif, entier ou fractionnaire. Nous allons chercher pour quelles valeurs de n la forme circulante peut exister.
Il faut pour cela que f{r) reste positive entre deux racines positives de l'équation f{r) = o, et par suite que f{r) ait une période de croissance suivie d'une de décroissance, ou que sa dérivée f(r) change une fois de signe en passant du -f au — . Or comme
^ = R, la valeur (1) de f{r) donne
nr^=.-2R4^. ou -^ r^r^ = .- + -.
Si^w= 3 la condition n'est pas satisfaite, car les deux termes n'en font qu'un et f (r) a un signe constant.
Pour toute autre valeur de w on a /*' (r) = o ou r** "" ^ = - -
pour une seule valeur de r ; mais si ?i > 3 le terme l'emporte
sur l'autre pour de petites valeurs de r, et par suite f (r) en s'annulant passe du — an +, et non du -f- au — ; c'est l'inverse quand n < 3 et c'est alors seulement que f{r) a une période de croissance suivie d'une de décroissance. Les circonstances initiales sont nécessairement telles que f{r) ne soit pas toujours négatif, ou que son maximum soit positif. Ainsi pour que la forme circulante existe, il faut et il suffit que f{r) s'annule dans chacune de ses deux périodes, c'est-à-dire soit négative à la fois quand r est infini et infiniment petit.
Or on a
fc' /* Jt*
R = - R' = ( Rdr= — , - ,, , -+ k^h.
h étant une constante, et le premier terme devant être remplacé par -f- kH(r) si n = 1. La formule (1) donne
^ k' („-i)r«-i JtV* '
et comme nous supposons n — 1 < 2, le troisième terme l'emporte sur les autres quand r est infiniment petit ; il en est ainsi même quand le premier terme est — 2?(r), le produit rl(r) convergeant vers o; f(r) étant alors négative, il suffit qu'il en soit de même
quand r est infini, auquel cas — = o.
Quand n < 1 cela a toujours lieu, le premier terme ayant la forme
OÙ 1 — n est positif; il en est de même quand [n= 1, ce terme étant — 2l[r).
Quand it > 1 et < 3, le premier terme s'annulant pour r = c»^ il suffit que h soit positif ; mais il faut vérifier que c'est compatible avec les conditions initiales, ou que f(r) peut en même temps
avoir des valeurs positives.
Or puisque n — 1 < 2, le terme t __ j\^-,i ^^ ^^ valeur (2)
dépasse 77:,- pour des valeurs de r suffisamment grandes, et par
suite on pourra donner à h une valeur positive sans que f(r) soit toujours négatif.
En résumé : Si ?i > 1 et < 3 la forme circulante existera seulement pour certaines conditions initiales ; si w = ou < 1 , elle existera pour toutes; si n = ou > 3, elle n'existera pour aucune.
Il semble au premier abord que ces lois d'attraction, sauf celle (|ui est inverse du carré de la distance, ne se réalisent jamais. Toutefois nous avons vu au numéro 55 que la force proportionnelle à la distance correspondait au mouvement rectiligne d'un corps
écarté d'une position d'équilibre, il en serait même ainsi pour le mouvement curviligne dans des cas très particuliers. Dans la théorie de l'électricité il s'en présente un autre exemple : si un corps électrisé C a des dimensions suffisamment faibles >^ 5 par rapport à sa distance à une petite sphère conduc- ^^ ^ trice S, et que celle-ci soit électrisée seulement par l'influence de C, elle est attirée sensiblement en raison inverse de la cinquième puissance de la distance.
Dans le cas d'une force quelconque R^ on aura l'équation de la
trajectoire en éliminant dt entre l'équation — = f(r) et r * -^ = c,
ou la divisant par ^* ^ = ^'- La question est ainsi réduite à intégrer à la fois
Elle est ramenée aux quadratures si l'on en tire les valeurs de dt, rf(p en fonction de r, et après l'intégration, il ne refera qu'à substituer la valeur de r en fonction de t dans celle de <p en fonction de r.
